Fonctions complexes et théorème de d`Alembert.

1
Notes du cours d'Équations aux Dérivées Partielles de l'ISIMA, première année
http://www.isima.fr/∼leborgne
Complément : fonctions complexes et théorème de d'Alembert
Gilles
Leborgne
22 novembre 2010
Table des matières
1 Rappels sur C
1
2 Fonctions complexes dérivables
2
3 Intégration
5
4 Théorème de CauchyGoursat
7
5 Théorème de d'Alembert
8
1 Rappels sur C
On utilise la base canonique de
On rappelle que
C
R2 .
est isomorphe à
R2 .
Ainsi
( )
1
C∋1≃
∈ R2
0
on note :
z∈C
et
peut être représenté par
( )
x
∈ R2 ,
y
et si
( )
0
C∋i≃
∈ R2 ,
1
alors tout complexe s'écrit :
C ∋ z = x + iy ≃
( )
x
∈ R2 ,
y
x, y ∈ R.
zk = xk + iyk , k = 1, 2, xk , yk ∈ R. L'espace C = (C, +, .)
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), et pour la multiplication :
Notons
usuelle
est un corps pour l'addition
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).
En particulier,
i2 = −1.
( )
√
x
z = x+iy , on note z̄ = x−iy (le conjugué) et |z| = x2 +y 2 = ||
||R2 (le module de z
y
( )
x
2
qui est égal à la norme euclidienne du vecteur
). En particulier z z̄ = |z| . Et donc l'inverse
y
d'un z ̸= 0 est donné par :
z̄
x
y
1
= 2 = 2
−i 2
.
2
z
|z|
x +y
x + y2
Pour
Remarque 1.1
Interprétation. Avec la notation complexe
eiθ = cos θ + i sin θ,
tout complexe
z
s'écrit :
z = ρeiθ ,
où
des
ρ = |z| est le module (l'amplitude),
x (quand z = x + iy = ρeiθ ).
et
θ
est la phase, i.e. l'angle du vecteur
(x, y)
avec l'axe
Et le produit complexe a été construit dans le but de multiplier les modules en additionnant
z1 = ρ1 eiθ1 et z2 = ρ2 eiθ2 , on obtient :
les phases : si
z1 z2 = (ρ1 ρ2 )ei(θ1 +θ2 ) .
R2 , multiplier par z = ρeiθ revient à faire un homothétie de rapport ρ
−1
particulier, z
= ρ1 e−iθ quand z = ρeiθ ̸= 0, i.e. interprété dans R2 ,
En particulier, interprété dans
et une rotation d'angle
θ.
En
1
2
multiplier par
vient à munir
z −1
R2
revient à faire un homothétie de rapport
x1
y1
d'une structure de corps pour le produit associé
Ainsi, tout vecteur
( )
x
y
non nul de
R2
−θ. Cela re)
x1 x2 − y1 y2
.
x1 y2 + x2 y1
1
rotation d'angle
ρ et une
( )( ) (
x2
y2
=
est inversible pour cette structure, et :
( )−1
(
)
1
x
x
= 2
.
y
x + y 2 −y
C
|.| : z ∈ C → |z| ∈ R+ (le
R2 (muni de sa structure
est muni d'une structure topologique à l'aide de la norme
module). En particulier, les boules ouvertes sont identiables aux boules de
euclidienne) :
déf
B(z0 , R) = {z ∈ C : |z − z0 | < R}
( )
( )
x
x
déf
∈ R2 : (x−x0 )2 + (y−y0 )2 < R2 }.
≃ B( 0 , R) = {
y
y0
Et un ouvert
U
Dénition 1.2
de
R2
est identié à l'ouvert de
C
noté encore
On appelle fonction complexe une fonction
U
(pour alléger les notations).
f :U →C
où
U
est un ouvert de
C.
2 Fonctions complexes dérivables
Soit
U
un ouvert de
soit :
R2 .
P et Q : U → R deux fonctions dérivables
(
)
( )
P (x, y)
x
∈ U → f⃗(x, y) =
∈ R2 .
f⃗ :
Q(x, y)
y
Soient
à valeurs réelles. Et
Ses dérivées partielles sont dénies par :

)
( ∂P
∂ f⃗

∂x (x, y)

(x,
y)
=

∂Q
 ∂x
∂x (x, y)
(
)
∂P
 ∂ f⃗

∂y (x, y)

(x, y) = ∂Q

∂y
∂y (x, y)
Et le développement limité de
f⃗ est
f⃗(x + h, y) − f⃗(x, y)
),
h→0
h
f⃗(x, y + h) − f⃗(x, y)
(= lim
).
h→0
h
(= lim
donné par, en un point
(
(x0 , y0 )
(2.1)
:
)
x−x0
+ o(||(x−x0 , y−y0 )||R2
y−y0
( ∂P
) (
)
∂P
x−x0
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
⃗
= f (x0 , y0 ) + ∂Q
.
+ o(||(x−x0 , y−y0 )||R2 ).
∂Q
y−y0
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
f⃗(x, y) = f⃗(x0 , y0 ) + df⃗(x0 , y0 ).
f⃗.)
(Utilisation de la matrice jacobienne de
On considère maintenant
U
comme un ouvert de
f (z) = P (x, y) + iQ(x, y)
Dénition 2.1
Une fonction complexe
lim
z→z0
f ′ (z0 ) ∈ C
lim
z→z0
C.
On dénit
quand
f : U → C
suivante existe :
i.e. ssi il existe un complexe noté
(2.2)
f :U →C
par :
z = x + iy
est dite dérivable en
f (z) − f (z0 )
,
z − z0
z0 ∈ U
ssi la limite
(2.3)
tel que :
f (z) − f (z0 )
= f ′ (z0 ).
z − z0
2
(2.4)
3
Et
f
f
dérivable équivaut à
admet un développement limité au premier ordre (immédiat) :
f (z) = f (z0 ) + (z−z0 )f ′ (z0 ) + o(z−z0 ).
En particulier, avec
z = x + iy
et
z0 = x0 + iy0 ,
puis avec
(2.5)
f ′ (z0 ) = α0 + iβ0 ,
cela s'écrit :
P (x, y) + iQ(x, y) = P (x0 , y0 ) + iQ(x0 , y0 ) + ((x−x0 ) + i(y−y0 ))(α0 + iβ0 ) + o(z−z0 ),
soit encore :
(
P (x, y)
Q(x, y)
)
(
=
P (x0 , y0 )
Q(x0 , y0 )
)
(
+
α0
β0
−β0
α0
)(
x−x0
y−y0
(2.6)
)
+ o(z−z0 ).
(2.7)
On en déduit :
Théorème 2.2
Si f : U → C est dérivable, on a, pour z ∈ U :

∂Q
∂P


(x, y) =
(x, y),

∂x
∂y
∂Q
∂P



(x, y) = −
(x, y).
∂x
∂y
(2.8)
Ce sont les relations dites de CauchyRiemann. Et ainsi on a :
∂P
∂Q
(x, y) + i
(x, y) =
∂x
∂x
∂P
∂P
=
(x, y) − i
(x, y) =
∂x
∂y
f ′ (z) =
Preuve.
Avec
f ′ (z) = α + iβ ,
Remarque 2.3
∂Q
∂P
(x, y) − i
(x, y)
∂y
∂y
∂Q
∂Q
(x, y) + i
(x, y).
∂y
∂x
(2.9)
on compare (2.2) et (2.7) pour obtenir (2.8), d'où (2.9).
La réciproque de ce théorème est vraie, à savoir, si
CauchyRiemann dans un ouvert
U , alors f
f
vérie les relations de
y est dérivable : c'est le théorème de LoomanMencho
(dicile).
Interprétation géométrique de la dérivation. Le développement limité :
f (z) = f (z0 ) + f ′ (z0 )(z−z0 ) + o(z−z0 )
dit que pour passer de
α0 + iβ0 = ρ0 eiθ0
f (z0 )
à
plique la rotation◦homothétie
(
′
(au voisinage de z0 ) on applique la transformation f (z0 ) =
2
(z
−
z
)
(vrai
au
premier
ordre).
Exprimé
dans
R
,
on ap0)
(
(
)
α0 −β0
x−x0
au vecteur
. C'est la rotation◦homothétie
β0 α0
y−y0
f (z)
au déplacement
)
cos θ0 − sin θ0
. C'est d'ailleurs
sin θ0
cos θ0
f (z)−f (z0 ) = ρ0 eiθ0 (z−z0 ) + o(z−z0 ).
ρ20
Remarque 2.4
le sens du développement limité (2.5) qui peut se lire
Parmi toutes les fonctions
f⃗ : U → R2
dérivables (diérentiables), il n'y a que
celles qui vérient les relations de CauchyRiemann qui sont dérivables au sens des fonctions
complexes : ce sont celles dont la matrice jacobienne est la matrice d'une rotation◦homothétie,
cf. (2.7). Il n'y a donc que très peu de fonctions complexes
2
2
interprète comme fonctions de R → R ) :
C → C
dérivables (quand on les
Théorème 2.5 La somme f +g, le produit f g, la composée f ◦g de fonctions complexes dérivables
sont dérivables (là où cela a un sens), de dérivées respectives f ′ + g ′ , f ′ g + f g ′ et (f ′ ◦ g)g ′ .
Preuve.
Exercices.
Remarque 2.6
′
′
′
Interprétation géométrique de (f ◦ g) = (f ◦ g)g . Le théorème précédent indique
′
′
′
′
que (f ◦ g) (z) = f (g(z))g (z) : la dérivée de la composée est donc le produit dérivées des f et g ,
′
′
i.e. le produit deshomothéties-rotations f et g .
′
(
)
( )
f1
g1
En termes de fonctions
où
et ⃗
g=
quand f = f1 + if2 et g =
f2
g2
g1 + ig2 avec les fk , gk : R2 → R, on a d(f⃗ ◦⃗g ) = df⃗ ◦⃗g .d⃗g (pour les diérentielles correspondantes).
Pour les matrices jacobiennes correspondantes, qui sont des matrices de homothéties◦rotations
2
2
d'après les relations de CauchyRiemann, on obtient donc une homothétie◦rotation de R → R
′
′
identiable à f ◦ g.g : C → C.
f⃗, ⃗g : R2 → R2
f⃗ =
3
4
Exemple 2.7
D'où
Toute fonction monôme est dérivable dans C. En eet, une telle fonction est de la
n
n
n−1
et, pour n ≥ 1 on a z − z0 = (z − z0 )(z
+ z n−2 z0 + ... + zz0n−2 + z0n−1 .
f (z) = z n , n ≥ 0
(z n )′ = nz n−1 .
forme
Exemple 2.8
Toute fonction polynôme est dérivable dans
C. En eet, tout monôme est dérivable,
et on applique le théorème précédent.
Exemple 2.9
Toute fraction rationnelle est dérivable dans C ailleurs qu'en ses pôles.
z0n −z n
1
1
1 ′
1
−n ′
−
) = −nz −n−1 . Et on applique
zn
z0n = z n z0n donne ( z n ) = −n z n+1 , ou encore (z
le théorème précédent après décomposition en éléments simples.
En eet,
Exemple 2.10
La conjugaison
f : z → z̄
n'est pas dérivable : les conditions de Cauchy
Riemann (2.8) ne sont pas vériées.
f⃗ :
Alors que la fonction vectorielle associée
par rapport à l'axe des
(
canonique) est
1
0
Remarque 2.11
U →C
0
−1
)x).
( )
(
)
x
x
→
y
−y
Et sa matrice jacobienne (représentant sa diérentielle dans la base
. Mais cette matrice n'est pas celle d'une rotation◦homothétie.
f comme une
z = x + iy . On a alors
On peut également considérer
donnée par
est bien dérivable (symétrie
f˜(x, y) = f (z)
df˜(x, y) =
quand
∂ f˜
∂ f˜
(x, y) dx +
(x, y) dy
∂x
∂y
et son développement limité s'écrit alors :
(
f˜(x, y) = f˜(x0 , y0 ) + df (x0 , y0 ).
x−x0
y−y0
fonction de
R2 → C
: notons
f˜ :
:
∈ L(R2 ; C),
(2.10)
)
+ o(||(x−x0 , y−y0 )||R2 )
∂ f˜
∂ f˜
= f˜(x0 , y0 ) +
(x0 , y0 ) (x−x0 ) +
(x0 , y0 ) (y−y0 ) + o(||(x−x0 , y−y0 )||R2 ),
∂x
∂y
où
∂ f˜
∂ f˜
∂x (x0 , y0 ) et ∂y (x0 , y0 ) sont des complexes. Et avec (2.6) on trouve :
 ˜
∂f


(x0 , y0 ) = α0 + iβ0 = f ′ (z0 ),

∂x
˜


 ∂ f (x0 , y0 ) = −β0 + iα0 = if ′ (z0 ).
∂y
(2.11)
Notations. Avec (2.11) on pose :

∂f
déf


(z) =

∂x

déf
 ∂f

(z) =
∂y
∂ f˜
(x, y)
∂x
∂ f˜
(x, y)
∂y
∂P
∂Q
(x, y) + i
(x, y)),
∂x
∂x
∂P
∂Q
(=
(x, y) + i
(x, y)).
∂y
∂y
(=
(2.12)
∂ f⃗
∂ f⃗
∂x et de ∂y exprimées dans C, cf. (2.1).
Connaissant x, y ∈ R, on connaît z = x + iy et z̄ = x − iy . Réciproquement, connaissant z et
1
1
on en déduit x = (z + z̄) et y =
2
2i (z − z̄). On souhaite avoir pour variables z et z̄ au lieu de
et y .
Ce sont aussi les expressions de
On introduit alors les opérateurs

∂f


=

∂x
∂f


=

∂y
Et donc :
∂f
∂z
∂f
∂z
∂
∂z
et
∂
∂ z̄
de telles sortes qu'ils vérient :
∂z
∂f ∂ z̄
+
,
∂x
∂ z̄ ∂x
∂z
∂f ∂ z̄
+
,
∂y
∂ z̄ ∂y

∂


=

∂z
∂



=
∂ z̄
i.e.

∂f
∂f
∂f


=
+
,

∂x
∂z
∂ z̄
∂f
∂f
∂f


=i
−i .

∂y
∂z
∂ z̄
1 ∂
∂
(
− i ),
2 ∂x
∂y
1 ∂
∂
(
+ i ).
2 ∂x
∂y
4
z̄
x
5
Et on obtient à l'aide des conditions de CauchyRiemann (2.8) :

∂f


(z) = f ′ (z)

∂z

∂f


(z) = 0
∂ z̄
1 ∂(P + iQ)
∂(P + iQ)
(
(x, y) − i
(x, y))),
2
∂x
∂y
1 ∂(P + iQ)
∂(P + iQ)
(= (
(x, y) + i
(x, y))).
2
∂x
∂y
(=
En particulier :
df (z) =
Sachant que
∂f
(z) dz = f ′ (z) dz.
∂z
∂Q
∂Q
∂P
= [ ∂P
∂x − ∂y ] + i[ ∂x + ∂y ], une autre manière d'exprimer les conditions de Cauchy-
∂f
∂ z̄
Riemann est de dire que
∂f
∂ z̄
= 0.
3 Intégration
Dans
R2
Γ = Im(⃗r)
(
⃗r : t ∈ [a, b] → ⃗r(t) =
on se donne une courbe régulière
(la courbe géométrique). Dans
C,
la courbe
⃗r
x(t)
y(t)
)
∈ R2 .
On note
est notée :
z : t ∈ [a, b] → z(t) = x(t) + iy(t).
(
Et avec
d⃗r =
dx
dy
)
(
=
x′ (t)
y ′ (t)
)
dt,
on dénit
dz = dx + idy
Dénition 3.1
Pour
f ∈ C 0 (Ω; C)
dz
z ′ (t) dt = (x′ (t) + iy ′ (t)) dt.
i.e.
avec
∫
Ω
par :
ouvert de
déf
∫
b
Γ,
contenant
(3.1)
t=a
f (z) = P (x, y) + iQ(x, y) ∈ C quand z = x + iy , x, y ∈ R
2
considéré comme ouvert de R ), on a :
Donc, si
est
∫
∫
b
f dz =
Γ
t=a
b
∫
P (x, y) + iQ(x, y) ∈ C
P, Q ∈ C 0 (Ω; R)
′
(
f⃗ : (x, y) ∈ Ω ⊂ R2 → f⃗(x, y) =
P (x, y)
Q(x, y)
)
∈ R2 ,
quand
f (z) =
z = x + iy ), on a :
)
b (( ′
)
x (t) −y ′ (t) ⃗
⃗
C∋
f dz ≃ F =
.f (x(t), y(t)) dt ∈ R2 ,
′
′
y (t) x (t)
Γ
t=a
( ′
)
x −y ′
′
⃗, puis on intègre sur Γ.
i.e. on applique l'homothétie◦rotation z ∈ C ≃
à f
y ′ x′
( )
∫
F1
F⃗ =
on a
f dz = F1 + iF2 .
Γ
F2
(toujours avec
Γ
f (z) = −y + ix
quand
z = x + iy .
Et
t ∈ [0, 2π]. On obtient avec (3.2) :
∫
∫ 2π
2
2
− sin t(− sin t) − (cos t)(cos t) dt + iR
f dz = R
cercle
∫
∫
(
Soit
Γ
Ω
[Q(x(t), y(t)) x (t) + P (x(t), y(t)) y (t)] dt.
∫
Exemple 3.3
(ici
(3.2)
′
t=a
Si on pose
avec
[P (x(t), y(t)) x′ (t) − Q(x(t), y(t)) y ′ (t)] dt
+i
Remarque 3.2
on dénit :
f (z(t)) z ′ (t) dt.
f dz =
Γ
C
⃗r(t) =
R cos t
R sin t
Et si
)
le paramétrage du
avec
− sin t(cos t) + cos t(− sin t) dt = 0.
0
0
Proposition 3.4
2π
La valeur
∫
Γ
f dz ne dépend que du sens de parcours de Γ.
5
6
Preuve. Soit z : t ∈ [a, b] → z(t) ∈ C un paramétrage donné de Γ. Soit φ : u ∈ [c, d] → t = φ(u) ∈
[a, b]
un diéomorphisme.
ζ = z ◦ φ : u ∈ [c, d] → ζ(u) ∈ C un nouveau paramétrage
′
t = φ(u). Et donc z ′ (t) = φζ ′(u)
(u) quand t = φ(u). D'où :
Soit
quand
∫
∫
ζ ′ (u) ′
f (z(t))z (t) dt =
f (ζ(u)) ′
|φ (u)| du = ±
φ (u)
t∈[a,b]
u∈[c,d]
′
de la courbe, i.e.
∫
ζ(u) = z(t)
f (ζ(u))ζ ′ (u) du,
u∈[c,d]
+ quand φ est croissante, et la valeur est indépendante du paramétrage, et − si φ est décroissante,
et la valeur voit son signe s'inverser.
Exemple 3.5
sens trigo par
y
x
f (z) = z1 = x2 +y
2 − i x2 +y 2 quand z = x + iy . Et Γ le cercle
(
)
R cos θ
⃗r(θ) =
pour θ ∈ [0, 2π]. On obtient :
R sin θ
∫
∫
∫
∫
dz
x dx + y dy
x dy − y dx
f dz =
=
+
i
2 + y2
z
x
x2 + y 2
Γ
Γ
Γ
Γ
∫ 2π
∫ 2π
=
0 dθ + i
dθ = 2iπ,
Soit
0
paramétré dans le
0
dx
=
x dx + y dy = 12 d(x2 + y 2 ) = 12 d(R2 ) = 0, et sur Γ on a x dy−y
x2∫+y 2
1
dz
Noter qu'une des dénitions possibles de π est d'ailleurs π =
2i Γ z .
car
R2 cos2 θ+R2 sin2 θ
dθ
R2
Exemple 3.6 )Exercice
précédent, mais avec Γ le cercle paramétré en sens inverse
(
(
)
(
)
R cos(2π−θ)
R cos(−θ)
R sin(−θ)
=
pour θ ∈ [0, 2π]. Ici on a d⃗
r=
dθ. On
R sin(2π−θ)
R sin(−θ)
−R cos(−θ)
∫
∫
∫
∫
dz
x dx + y dy
x dy − y dx
f dz =
=
+
i
2
2
x +y
x2 + y 2
Γ
Γ z
Γ
Γ
∫ 2π
∫ 2π
=
0 dθ + i
(−1)dθ = −2iπ,
0
:
= dθ.
⃗r(θ) =
obtient :
0
valeur opposée à la précédente.
Exercice 3.7
intérieur, on a
que sur le bord de tout pavé P = [a, b] × [c, d] contenant (0, 0)
∫Montrer
dz
=
2iπ
, où Γ = ∂P est le bord de P paramétré dans le sens trigo.
Γ z
Proposition 3.8
alors :
en son
Si f est dérivable dans l'ouvert Ω de bord Γ régulier et si f ′ est continue dans Ω,
∫
f ′ (z) dz = 0.
Γ
pour toute courbe fermée Γ contenue dans Ω.
Preuve.
Par dénition,
∫
∫b
∫b
f ′ (z) dz = a f ′ (z(t))z ′ (t) dt = a (f ◦ z)′ (t) dt = f (z(b)) − f (z(a)). Et
z(b) = z(a).
(
)
2
⃗(x, y) = P (x, y) quand f (z) = P (x, y) + iQ(x, y), cela
à R avec f
Q(x, y)
Γ
si la courbe est fermée on a
N.B. : si on se ramène
s'écrit également :
∫
∫
df⃗(x, y).d⃗r =
Γ
quand
B = ⃗r(b)
et
Proposition 3.9
z(t) ∈ C, on a :
b
d(f⃗ ◦ ⃗r) = (f⃗ ◦ ⃗r)(b) − (f⃗ ◦ ⃗r)(a) = f⃗(B) − f⃗(A),
a
A = ⃗r(a).
Et quand la courbe est fermée, on a
Pour f : C → C continue sur un chemin Γ régulier image de z : t ∈ [a, b] →
∫
f (z) dz| ≤ ||f ||Γ,∞ |Γ|,
|
où |Γ| =
∫
Γ
B = A.
Γ
|z ′ (t)| dt est la longueur de Γ, et où ||f ||Γ,∞ = supz∈Γ |f (z)|.
6
7
∫b
∫b
f (z) dz =déf t=a f (z(t)) z ′ (t) dt = t=a g(t) dt où g : [a, b] → C est
′
1
continue g(t) = f (z(t)) z (t) (un chemin régulier est au moins C ).
∫b
∫b
∫
∫b
Et on a |
g(t) dt| ≤ t=a |g(t)| dt. D'où | Γ f (z) dz| ≤ t=a |f (z(t))| |z ′ (t)| dt.
t=a
Preuve.
∫
On a
Γ
Exercice 3.10
∫b
t=a
Montrer que pour une fonction complexe
g : U → C continue, on a |
la fonction
∫b
t=a
g(t) dt| ≤
|g(t)| dt.
Réponse. On applique le théorème des accroissements nis pour les fonctions dérivables ∫φ⃗ : R → R2
b ′
armant que, si ||⃗
φ′ (t)||Rn ≤ ψ ′ (t) pour tout t ∈ [a, b] (où ψ : R → R est dérivable), alors || a φ
⃗ (t) dt|| ≤
(
)
∫b
a
ψ ′ (t) dt. Ici on a φ
⃗ ′ (t) =
g1 , g2 : [a, b] → R.
g1 (t)
g2 (t)
√
et ψ ′ (t) =
g1 (t)2 +g2 (t)2 où on a posé g(t) = g1 (t) + ig2 (t) avec
√
Cela
g1 (t)2 +g2 (t)2 étant continue, elle admet une primitive qu'on note ψ , et
( a un
) sens car t →
g1 (t)
t→
étant continue, elle admet une primitive qu'on note φ
⃗.
g2 (t)
4 Théorème de CauchyGoursat
Dénition 4.1
C
(fermé) dans
On note
∂P
Un pavé (fermé) de
R2
est un ensemble de type
∂P
P,
le bord du pavé
est un rectangle [a, b] × [c, d] où a < b et c < d. Un pavé
{z = x + iy ∈ C : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]} où a < b et c < d.
i.e. l'union des segments constituant son bord, et on suppose
orienté dans le sens trigonométrique (i.e. on considère un paramétrage de
∂P
dans le sens
trigonométrique).
Dénition 4.2
pavé
P ⊂U
Une fonction complexe
:
f : U ⊂ C → C vérie
∫
f (z) dz = 0.
la propriété du pavé ssi, pour tout
∂P
Théorème 4.3 (de CauchyGoursat) Toute fonction complexe f : U → C qui est dérivable vérie
la propriété du pavé.
Preuve. (Pris dans [1].) Soit P
oriente les bords de
P
et des
Pi
un pavé,
P ⊂ U.
∫
f (z) dz =
∂P
On note
Q1
l'un des pavés
Pi
On subdivise
4 ∫
∑
|
∫
∂Pi
Q1 subdivisé en 4 pavés
f (z) dz|. On obtient :
∂(sous-pavé Q1 )
f (z) dz|.
égaux, et on note
∫
f (z) dz| ≤ 4 |
2
∂Q2
on a :
∫
∫
|
f (z) dz| ≤ 4k |
∂P
Qk
P ).
Comme
dk −→ 0,
k→∞
f (z) dz|.
∂Qk
forment une suite décroissante (on a
le diamètre de
l'un des 4 sous-pavés qui
f (z) dz|.
∂P
Les pavés
Q2
∫
|
k
on a :
∂Q1
On itère le procédé avec
On itère, et à l'étape
et on
∫
f (z) dz| ≤ 4|
∂P
∫
P1 ,...,P4 ,
f (z) dz.
f (z) dz ;
∫
|
en 4 pavés égaux
∂Pi
i=1
qui maximise
|
maximise
P
dans le sens trigonométrique. On a :
la suite
Qk+1 ⊂ Qk ),
(Qk )k∈N
7
de diamètre
converge vers un point
d0
(où d0 est
2k
a ∈ C (i.e. il existe
dk =
8
a∈C
t.q.
Qk −→ {a}).
Et
k→∞
f
étant dérivable en
a
on a, il existe
|f (z) − f (a) − (z − a)f ′ (a)| ≤ ε|z − a|,
Un polynôme ayant une primitive,
=
∫
∂Qk
2
(z−a)
2
[f (a)z +
′
′
f (a)] dz ),
∂Qk
∫
∫
f (a) + (z − a)f ′ (a) dz = 0
(car
∂Qk ,
|z − a| dz|.
∂Qk
on obtient :
f (z) dz| ≤ ε |∂Qk | dk ≤ ε 2−k |∂P |
|
∂Qk
a.
∫
f (z) dz| ≤ ε |
∂Qk
la longueur de
dans un voisinage de
étant fermé, on a
∫
|∂Qk |
:
et donc :
|
Notant
ε>0
∂Qk
d0
d0
= ε |∂P | k .
k
2
4
∫
D'où :
|
f (z) dz| ≤ ε d0 |∂P |.
∂P
k → ∞,
Et quitte à faire
on peut prendre
ε
aussi petit que souhaité.
5 Théorème de d'Alembert
Théorème 5.1
(de d'Alembert) Tout polynôme complexe non constant a au moins une racine
dans C.
Preuve.
(Pris dans [1].) C'est un corollaire du théorème de CauchyGoursat. Notons :
p(z) = z n + a1 z n−1 + . . . + an ,
Supposons que
n ≥ 1.
p n'a pas de racine dans C. On dénit alors, la fonction ε : C → C, pour tout z ̸= 0,
par :
1 + ε(z)
z n−1
=
,
p(z)
z
n−1
1
z
ε(z) = 1+ a1 +...
an − 1). Et
p(z) est dérivable dans tout C (fraction rationnelle
z
zn
C), donc vérie la propriété du pavé (théorème de CauchyGoursat). Donc :
∫
∫
dz
ε(z) dz
+
= 0.
z
z
∂P
∂P
(on a
tout
lim ε(z) = 0,
|z|→∞
En particulier, pour tout pavé
Puis pour tout
α > 0,
P = [−M, M ]2 (avec M > 0 : dont l'intérieur
∫
∫
dz
ε(z) dz
(2π =) |
|=|
|
z
z
∂P
∂P
il existe
M
assez grand tel que
proposition 3.9 :
∫
(2π =) |
ce qui est absurde dès qu'on prend
|ε(z)| ≤ α
pour tout
contient
z ∈ ∂P ,
dénie sur
0)
:
et donc, cf.
ε
ε(z) dz
| ≤ || ||Γ,∞ 8M ≤ 8α,
z
z
∂P
π
4 . Donc, que
α<
p
n'ait pas de racine est absurde.
Références
[1] Leborgne D. :
[2] Rudin W. :
[3] Polyà G. :
Calcul diérentiel complexe .
Analyse réelle et complexe .
◦
Collection Que sais-je n 2560, PUF, 1991.
Masson, 1995.
Fonctions d'une variable complexe.
8
http ://promenadesmaths.free.fr/