integrcurvcor 1

Exercices - Intégrales curvilignes : corrigé
Formes différentielles
Exercice 1 --Deuxième année -?
Remarquons d’abord que Uest étoilé, par exemple par rapport au point (1,0). On vérifie
ensuite que ωest fermée. En effet, si on pose
P(x, y) = −y
x2+y2et Q(x, y) = x x2+y2,
on vérifie aisément que :
∂P
∂y =∂Q ∂x =y2−x2 (x2+y2)2.
Par le théorème de Poincaré, ωest exacte. Cherchons ses primitives sur U, i.e. les fonctions f
de classe C1sur Utelles que :
∂f
∂x =−y x2+y2,∂f ∂y =x x2+y2.
On commence par résoudre la deuxième équation, en intégrant par rapport à y. On trouve :
f(x, y) = arctan y
x+H(x),
où Hest une fonction C1qui ne dépend que de x. On introduit cette expression de fdans la
deuxième égalité : ∂f
∂x =H0(x)−y x2+y2=−y x2+y2.
On a donc H0(x)=0sur U, ce qui entraîne que Hest une constante. Les primitives de ωsont
donc de la forme :
f(x, y) = arctan y
x+C,
où Cest une constante réelle.
Exercice 2 --Deuxième année -?
1. En posant P(x, y) = 2x
yet Q(x, y) = −x2 y, on a :
∂P
∂y =∂Q ∂x =−2x y2.
2. La forme différentielle est fermée, et l’ouvert Uest étoilé. D’après le théorème de Poincaré,
la forme différentielle est exacte. On peut aussi prouver qu’elle est exacte en calculant ses
primitives, i.e. en recherchant ftelle que : ω=df. On doit alors résoudre :
∂f
∂x =2x yet ∂f ∂y =−x2 y.
La première équation donne :
f(x, y) = x2
y+H(y),
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et on introduit dans la seconde pour obtenir :
∂f
∂y =−x2 y2+H0(y) = −−x2 y2.
On a donc H(y) = Cste, et on vérifie aisément que f(x, y) = x2/y est une primitive de
ω:ωest exacte.
3. Le calcul ne dépend pas du chemin choisi, mais uniquement des extrémités pour une forme
différentielle exacte. On trouve :
ZC
ω=f(3,8) −f(1,2) = 9/8−1/2=5/8.
Exercice 3 - Une forme différentielle exacte, une ! -Deuxième année -?
En posant P(x, y) = y3−6xy2et Q(x, y)=3xy2−6x2y, on vérifie aisément que les dérivées
croisées :
∂P ∂y =∂Q
∂x = 3y2−12xy
sont égales. La forme différentielle est fermée, et comme elle est définie sur R2qui est étoilée, elle
est exacte. La recherche d’une primitive par résolution successive des deux dérivées partielles
ne pose pas de problèmes ! On trouve qu’une primitive est f(x, y) = xy3−3x2y2. On utilise
enfin cette primitive pour calculer l’intégrale curviligne, et on trouve :
ZC
ω=f(B)−f(A) = −236.
Exercice 4 - Forme différentielle exacte, et intégration le long d’une cardioïde -
Deuxième année -??
On pourrait remplacer xpar rcos θ, etc..., puis utiliser un paramétrage par θ. Il est plus
simple ici de constater que ωest une forme différentielle exacte et de calculer une primitive. En
effet, si on note P(x, y) = X+yet Q(x, y) = x−y, on a l’égalité des dérivées croisées
∂P
∂y =∂Q ∂x = 1.
La forme différentielle est fermée, et d’après le théorème de Poincaré, puisqu’elle est définie sur
l’ouvert étoilé R, elle y est exacte. On cherche une primitive fde ωsur R2. On doit résoudre :
∂f
∂x =x+y
∂f
∂y =x−y.
La résolution de ce système se fait contrainte par contrainte. On a d’abord :
f(x, y) = x2
2+xy +H(y).
On réintroduit dans la seconde équation, et on trouve :
f(x, y) = x2
2+xy −y2 2.
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On a finalement : ZC
ω=f(0,0) −f(2,0) = −2.
Exercice 5 - Rendre une forme exacte -Deuxième année -??
1. Pour que la forme différentielle soit exacte, il faut qu’elle soit fermée. On a donc :
ϕ0(x) = 2x
(1 + x2)2.
On en déduit que
ϕ(x) = −1
1 + x2.
Avec cette condition, la forme différentielle est fermée, et comme elle est définie sur R2
qui est étoilé, elle est exacte.
2. Il suffit de résoudre le système d’équations aux dérivées partielles :
(∂f
∂x =2xy
(1+x2)2
∂f
∂y =−1
1+x2.
On commence par exemple par intégrer la seconde équation :
f(x, y) = −y
1 + x2+H(x).
Si on reporte cette forme dans la première équation, on trouve H0(x)=0, et donc
f(x, y) = −y
1 + x2
est une primitive de ωsur R2.
3. La courbe Cest fermée, et la forme différentielle est exacte, donc son intégrale curviligne
le long de cette courbe est nulle.
Exercice 6 - Forme non exacte que l’on rend exacte -Deuxième année -??
1. Une forme différentielle exacte est fermée. Mais dans notre cas, notant P(x, y) = x2+
y2−a2et Q(x, y) = −2ay, on a :
∂P
∂y = 2yet ∂Q ∂x = 0.
Les dérivées croisées ne sont pas égales, et la forme différentielle n’est pas fermée, donc
n’est pas exacte.
2. Il faut que la forme différentielle soit fermée. Notant P1(x, y) = f(x)P(x, y)et Q1(x, y) =
f(x)Q(x, y), on doit avoir :
∂P1
∂y =f(x)2y=∂Q1 ∂x =f0(x)Q(x, y) = −f0(x)2ay.
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La condition est suffisante, car alors on une forme différentielle fermée, définie sur un
ouvert étoilé R2, et qui est donc exacte. La condition vérifiée par fs’écrit donc :
2ayf0(x) = −f(x)2y.
On en déduit que f0(x) = f(x)
−a. La fonction f(x) = e−x/a vérifie la condition.
3. Soit F(x, y)une primitive de α. Elle vérifie le système d’équations aux dérivées partielles :
(∂F
∂x =e−x/a(x2+y2−a2)
∂F
∂y =−2aye−x/a.
La seconde équation donne par exemple :
F(x, y) = −ay2e−x/a +H(x).
On reporte cette formule dans la première expression :
e−x/ay2+H0(x) = e−x/a(x2+y2−a2).
On en déduit
H0(x) = x2e−x/a −a2e−x/a.
Il faut encore intégrer. La partie de droite se fait par intégrations par parties pour la
partie en x2e−x/a (et même double intégration par parties).
4. Aucun calcul à faire ! La forme différentielle est exacte, et on l’intègre sur une courbe
fermée. On trouve 0 !
Exercice 7 - Primitives en dimension 3 ! -Math Spé -??
On pose :
P= 3x2y+z3,...Q= 3y2z+x3,...R= 3xz2+y3.
On vérifie que la forme différentielle est fermée, en calculant :
∂P
∂y −∂Q ∂x ,∂P ∂z −∂R ∂x et ∂Q ∂z −∂R ∂y ,
et en montrant que ces quantités sont nulles. Comme R3est un ouvert étoilé, le théorème de
Poincaré garantit que ωest exacte. On cherche donc une fonction ftelle que :
∂f
∂x =P, ∂f ∂y =Q, ∂f ∂z =R.
La première condition donne : ∂f
∂x = 3x2y+z3,
ce qui donne :
f(x, y, z) = x3y+xz3+g(y, z),
où gest une fonction de classe C1sur R2. On a ensuite :
∂f
∂y = 3y2z+x3=⇒x3+∂g ∂y = 3y2z+x3.
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Exercices - Intégrales curvilignes : corrigé
On en déduit que g(y, z) = y3z+h(z), où hest une fonction C1sur R. On cherche de même h:
∂f
∂z = 3xz2+y3=⇒3xz2+y3+h0(z)=3xz2+y3.
hest constante, et on a prouvé que les primitives de ωsont de la forme :
f(x, y, z) = x3y+xz3+y3z+c, c ∈R.
Exercice 8 - Dans l’espace -Deuxième année -??
On peut bien sûr paramétrer et tout et tout... mais c’est un peu compliqué. Il est en fait
plus facile de constater que ωest exacte : pour cela, on peut en rechercher une primitive, et l’on
trouve f(x, y, z) = (xy +xz +yz)(on peut également utiliser un théorème de Poincaré dans
l’espace, à l’aide du rotationnel). Maintenant, (C)est une courbe fermée, et donc l’intégrale
curviligne de la forme différentielle ωle long de ce cercle est nulle.
Intégrales curvilignes
Exercice 9 --Deuxième année -??
1. Il faut commencer par paramétrer γ. Remarquons que l’équation de γs’écrit encore :
x2+y−a
22
=a
22
.
On reconnait le cercle de centre (0, a/2), et de rayon a/2. On le paramétrise en posant
x=acos(θ)/2et y=a/2 + asin(θ)/2. On a alors :
Zγ
y2dx +x2dy =Z2π
0a
2+a 2sin θ2−a 2sin θ+a2 4cos2θa 2cos θdθ
=Z2π
0−a2sin2θ
4
=−a2
4Z2π
0
1−cos 2θ
2dθ
=−a3π
4.
2. Une autre équation de γest :
(x−a)2
a2+(y−b)2 b2= 2.
On reconnait l’équation d’une ellipse, qu’on paramétrise en posant :
x=a(1 + √2 cos θ), y =b(1 + √2 cos θ).
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