analyse4 1

Professeur Hannachi Messsaoud
Editions A-Djazair
Analyse 4
Recueil d’exercices corrigés
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De nombreux exercices corrigés
classés par thème
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Sujets corrigés d'examen
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Conforme au programme LMD
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Analyse 4
Recueil d'exercices corrigés
Professeur Messaoud Hannachi
Editions Al-Djazair

Tables des matières
1) Norme et espaces normés 1
2) Fonctions di¤érentiables 6
3) Extréma des fonctions à deux variables 15
4) Formes di¤érentielles 19
5) Intégrales curvilignes 25
6) Intégrales multiples 31
7) Sujets d’examens 39

Exercice 1
Soit kk une norme dé…nie sur un espace vectoriel E.
Montrer que :
kxk 0;8x2E
Exercice 2
Démontrer l’inégalité suivante :
jkxkkykj kxyk:
Exercice 3
Soit a; b > 0:On pose, pour tout (x; y)2R2
N(x;y) = pa2x2+b2y2
1) Montrer que Nest une norme sur R2:
2) Dessiner la boule unité.
3) Montrer que Net N2sont des normes équivalentes
Exercice 4
Soit Nune application de R2dans Rdé…nie par :
N(x; y) = sup
t2R
jtx +yj
p1 + t2
1) Montrer que Nest une norme sur R2:
2) En utilisant l’inégalité de Schwarz, montrer que : NN2:
3) Soit la droite d’équation : tx +y= 0 et M0(x0; y0)un point de R2:
Donner la valeur de d(M0;);en déduire que : NtN2:
4) Autre méthode : En étudiant la fonction
f(t) = (tx +y)2
1 + t2
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1. Normes et espaces normés
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Montrer l’équivalence des deux normes Net N2:
Exercice 5
Pour quelles valeurs de 2Rl’application
N(x; y) = px2+ 2xy +y2
est-elle une norme sur R2:
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Exercice 6
Soit l’application dé nie sur R par
x! f(x) = x
1 + jxj
a) Montrer que l’application fdé…nit une bijection de Rsur I= ]1;1[ :
b) On pose
(x; y) = jf(x)f(y)j:
Vérier que  est une distance sur R.
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