SUITES I. GÉNÉRALITÉS 1. Différents modes de génération d`une

SUITES
I. GÉNÉRALITÉS
1. Différents modes de génération d’une suite
* Un= f(n) : suite définie par son terme général
(on donne la fonction f)
 les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f.
* Un+1 = f(Un) : suite définie par récurrence
(on donne la fonction f et le premier terme, U0 le plus souvent)
 les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et du premier terme)
* Un = f(Vn) : suite définie à partir d’une autre
(on donne la fonction f et la suite Vn)
 les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et de celles de Vn)
2. Suites particulières
Rappels sur les suites arithmétiques, suites géométriques: voir manuel
3. monotonie (sens de variation)
Suite croissante lorsque pour tout entier n, Un ≤ Un+1
Suite strictement décroissante lorsque, pour tout entier , Un > Un+1
Suite monotone lorsqu' elle est croissante, ou décroissante
4. suite minorée, suite majorée, suite bornée
a) définitions
Suite majorée par M lorsque tous ses termes sont majorés par M cad si, pour tout entier n, Un ≤ M
Suite est majorée lorsqu'’il existe un réel M par lequel elle est majorée
Suite minorée
Suite bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe m et M tels que, pour tout n, m ≤ Un ≤ M
Suite positive lorsque tous ses termes sont positifs cad si elle est minorée par 0
Suite négative
b) suite majorée, suite non majorée
* Propriété ( P) : « La suite (un) est majorée »
Elle se traduit par la proposition: « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M» .
* La négation de la propriété (P) est notée (non P) ; c'est : « La suite (Un) n'est pas majorée » ; comment se
traduit-elle ?...
Examinons la structure de la proposition (P). Elle est composée de trois parties
(1)
« Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que »
(2)
« pour tout élément f de l'ensemble F, »
(3)
« on a la propriété (A) » .
Cherchons la négation des différentes étapes en remontant:
partie (3): (A) : « Un < M » a pour négation (non A) : « Un> M »
parties (2)et (3): (B) : « pour tout n de N, on a u,< M»
(B) est de a forme: « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » . Ce type de proposition est
appelée proposition universelle .
Exemple : la négation de la proposition universelle: «pour tout être humain n, son âge un vérifie un <150 ans ».
est: « il existe un être humain no dont l'âge u vérifie u,,>150». Ce type de négation est appelée négation par «
contre-exemple » .
D'où la formulation de (non B ) : « il existe un entier naturel n o tel que u n > M ».
0
SUITES
Plus généralement, (B) : « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » , a pour négation
(non B) : « il existe un élément f de l'ensemble F, pour lequel on a (non A) »
parties (1)+(2)+(3): (C) : « Il existe un réel M tel qu'on ait (B) ».
Ce type de proposition « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que (B) »est appelée proposition
existentielle .
Sa négation serait la traduction du fait que « l'on n'a pas trouvé d'élément de E vérifiant (B);
pourquoi ? Parce que, chaque fois que l'on a considéré un élément de E, il vérifiait (non B)...
Exemple: « il existe un entier naturel dont le carré se termine par 3 ».
Négation : « quel que soit l'entier naturel n, son carré ne se termine pas par 3 »
Plus généralement, (P) : « il existe un élément e de E tel que (B) »
donne (non P) : « pour tout élément e de E, on a (non B) »
D'où la formulation de (nonC): « pour tout réel M, on a (non B) »
Conclusion : la propriété (P): « la suite est majorée », soit :
« Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M «
a pour négation la propriété (non P): « la suite n'est pas majorée » soit :
« Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que uti0.> M ».
II. LIMITE D’UNE SUITE
NB: la notion de limite pour une suite n'a de sens que en l'infini cad quand n tend vers + ∞ )
1, Définitions: suite convergente, suite divergente
a) Suite convergente
une suite est CV si elle a une limite finie : il existe un réel  tel que lim Un = 
définition dans le cas où la limite est finie : L =  ∈ R
* Un tend vers  quand n tend vers + ∞
* tout intervalle J du type ]  -h ;  +h[ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0, -h < Un < +h dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0, il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0 on a  -h < Un <  +h.
b) Suite divergente
une suite est DV si elle n’est pas CV :
* ou bien parce qu’elle a une limite infinie : lim Un + ∞ ou lim Un= - ∞ ,
* ou bien parce qu’elle n’a pas de limite (exemple : Un = (-1)n)
définition dans le cas où la limite est infinie : L = + ∞
* Un tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞
* tout intervalle J du type ] A ; + ∞ [ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand.
* quel que soit A, Un > A dès que n est assez grand.
* quel que soit A, il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0 on a Un > A.
2. Calcul de la limite
* pour une suite Un = f(n) :
lim
- si xlim
(L fini ou infini)
→ + ∞ f(x) = L alors n → + ∞ Un = L
- limite d’un SG (voir manuel)
lim n
+ ∞ si q>1
n→ + ∞ q =
1 si q = 1
0 si –1 < q < 1
pas de limite si q ≤ -1
* composée suite / fonction :
th
si nlim
→ + ∞ Un = a (a fini ou infini)
SUITES
alors nlim
→ + ∞ f(Un) = b
et si lim
x→ a f(x) = b (b fini ou infini)
* théorèmes des gendarmes
si an ≤ Un ≤ bn pour tout n
et si lim an = lim bn = 
si Un ≥ an
et si lim an = +∞
alors lim Un = 
(dem manuel p16, à adapter pour les suites)
alors lim Un = +∞
* th (limite d’une suite bornée) (th admis)
si (Un) CV, de limite (finie)  : lim Un = 
et si (Un) est majorée par M (respectivement minorée par m)
m)
alors  ≤ M (respectivement  ≥
3. Théorèmes de CV et de DV pour les suites monotone
th1 ( = th de convergence monotone) (th admis)
si (Un) est croissante et majorée alors (Un) CV
rq : ceci dit que la limite sera finie : lim Un =  mais ne donne pas la valeur de cette limite  ;
on saura seulement que, si M est un majorant de (Un), alors  vérifie  ≤ M (th limite d’une suite bornée
th1bis si (Un) est décroissante et minorée (par m) alors (Un) CV (et sa limite  vérifie  ≥ m)
th2
si (Un) est croissante et non majorée alors lim Un = + ∞
dem
Soit A un réel quelconque.
•
(Un) non majorée : donc A ne majore pas Un : il existe un terme Un0 tel que Un0 > A cad il existe un
entier n0 tel que Un0 > A
•
(Un) croissante donc pour tout entier n, Un+1 ≥ Un donc pour tout n ≥ n0, Un ≥ Un0
On a donc : il existe un entier n0 tel que pour tout n ≥ n0, Un ≥ Un0 > A
* conclusion :
On a montré que quel que soit le réel A choisi, il existe toujours un rang n0 à partir duquel tous les termes
Un sont >A, ce qui est la définition de : lim Un = + inf
th2bis si (Un) est décroissante et non minorée alors lim Un = - ∞
dem : si (Un) est décroissante non minorée alors Vn = - Un est croissante non majorée donc lim Vn = +inf et
lim Un = - inf