SUITES
I. GÉNÉRALITÉS
1. Différents modes de génération d’une suite
* Un= f(n) : suite définie par son terme général
(on donne la fonction f)
les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f.
* Un+1 = f(Un) : suite définie par récurrence
(on donne la fonction f et le premier terme, U0 le plus souvent)
les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et du premier terme)
* Un = f(Vn) : suite définie à partir d’une autre
(on donne la fonction f et la suite Vn)
les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et de celles de Vn)
2. Suites particulières
Rappels sur les suites arithmétiques, suites géométriques: voir manuel
3. monotonie (sens de variation)
Suite croissante lorsque pour tout entier n, Un ≤ Un+1
Suite strictement décroissante lorsque, pour tout entier , Un > Un+1
Suite monotone lorsqu' elle est croissante, ou décroissante
4. suite minorée, suite majorée, suite bornée
a) définitions
Suite majorée par M lorsque tous ses termes sont majorés par M cad si, pour tout entier n, Un ≤ M
Suite est majorée lorsqu'’il existe un réel M par lequel elle est majorée
Suite minorée
Suite bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe m et M tels que, pour tout n, m ≤ Un ≤ M
Suite positive lorsque tous ses termes sont positifs cad si elle est minorée par 0
Suite négative
b) suite majorée, suite non majorée
* Propriété ( P) : « La suite (un) est majorée »
Elle se traduit par la proposition: « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M» .
* La négation de la propriété (P) est notée (non P) ; c'est : « La suite (Un) n'est pas majorée » ; comment se
traduit-elle ?...
Examinons la structure de la proposition (P). Elle est composée de trois parties
(1) « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que »
(2) « pour tout élément f de l'ensemble F, »
(3) « on a la propriété (A) » .
Cherchons la négation des différentes étapes en remontant:
partie (3): (A) : « Un < M » a pour négation (non A) : « Un> M »
parties (2)et (3): (B) : « pour tout n de N, on a u,< M»
(B) est de a forme: « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » . Ce type de proposition est
appelée proposition universelle .
Exemple : la négation de la proposition universelle: «pour tout être humain n, son âge un vérifie un <150 ans ».
est: « il existe un être humain no dont l'âge u vérifie u,,>150». Ce type de négation est appelée négation par «
contre-exemple » .
D'où la formulation de (non B ) : « il existe un entier naturel no tel que