SUITES I. GÉNÉRALITÉS 1. Différents modes de génération d`une

SUITES
I. GÉNÉRALITÉS
1. Différents modes de génération d’une suite
* Un= f(n) : suite définie par son terme général
(on donne la fonction f)
les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f.
* Un+1 = f(Un) : suite définie par récurrence
(on donne la fonction f et le premier terme, U0 le plus souvent)
les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et du premier terme)
* Un = f(Vn) : suite définie à partir d’une autre
(on donne la fonction f et la suite Vn)
les propriétés de Un dépendent de celles de la fonction f et de celles de Vn)
2. Suites particulières
Rappels sur les suites arithmétiques, suites géométriques: voir manuel
3. monotonie (sens de variation)
Suite croissante lorsque pour tout entier n, Un Un+1
Suite strictement décroissante lorsque, pour tout entier , Un > Un+1
Suite monotone lorsqu' elle est croissante, ou décroissante
4. suite minorée, suite majorée, suite bornée
a) définitions
Suite majorée par M lorsque tous ses termes sont majorés par M cad si, pour tout entier n, Un M
Suite est majorée lorsqu'’il existe un réel M par lequel elle est majorée
Suite minorée
Suite bornée lorsqu'elle est minorée et majorée : il existe m et M tels que, pour tout n, m Un M
Suite positive lorsque tous ses termes sont positifs cad si elle est minorée par 0
Suite négative
b) suite majorée, suite non majorée
* Propriété ( P) : « La suite (un) est majorée »
Elle se traduit par la proposition: « Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M» .
* La négation de la propriété (P) est notée (non P) ; c'est : « La suite (Un) n'est pas majorée » ; comment se
traduit-elle ?...
Examinons la structure de la proposition (P). Elle est composée de trois parties
(1) « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que »
(2) « pour tout élément f de l'ensemble F, »
(3) « on a la proprté (A) » .
Cherchons la négation des différentes étapes en remontant:
partie (3): (A) : « Un < M » a pour négation (non A) : « Un> M »
parties (2)et (3): (B) : « pour tout n de N, on a u,< M»
(B) est de a forme: « pour tout élément f de l'ensemble F, on a la propriété (A) » . Ce type de proposition est
appelée proposition universelle .
Exemple : la négation de la proposition universelle: «pour tout être humain n, son âge un rifie un <150 ans ».
est: « il existe un être humain no dont l'âge u vérifie u,,>150». Ce type de négation est appelée négation par «
contre-exemple » .
D'où la formulation de (non B ) : « il existe un entier naturel no tel que
un0
> M ».
SUITES
Plus généralement, (B) : « pour tout ément f de l'ensemble F, on a la propr (A) » , a pour négation
(non B) : « il existe un élément f de l'ensemble F, pour lequel on a (non A) »
parties (1)+(2)+(3): (C) : « Il existe un réel M tel qu'on ait (B) ».
Ce type de proposition « Il existe un élément e de l'ensemble E, tel que (B) »est appelée proposition
existentielle .
Sa négation serait la traduction du fait que « l'on n'a pas trouvé d'ément de E vérifiant (B);
pourquoi ? Parce que, chaque fois que l'on a considéré un élément de E, il vérifiait (non B)...
Exemple: « il existe un entier naturel dont le carré se termine par 3 ».
gation : « quel que soit l'entier naturel n, son carré ne se termine pas par 3 »
Plus généralement, (P) : « il existe un élément e de E tel que (B) »
donne (non P) : « pour tout élément e de E, on a (non B) »
D'où la formulation de (nonC): « pour tout réel M, on a (non B) »
Conclusion : la propriété (P): « la suite est majorée », soit :
« Il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, on a un < M «
a pour négation la propriété (non P): « la suite n'est pas majorée » soit :
« Pour tout réel M, il existe un entier naturel n0 tel que uti0.> M ».
II. LIMITE D’UNE SUITE
NB: la notion de limite pour une suite n'a de sens que en l'infini cad quand n tend vers +
)
1, Définitions: suite convergente, suite divergente
a) Suite convergente
une suite est CV si elle a une limite finie : il existe un réel
tel que lim Un =
définition dans le cas où la limite est finie : L =
R
* Un tend vers
quand n tend vers +
* tout intervalle J du type ]
-h ;
+h[ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0,
-h < Un <
+h dès que n est assez grand.
* quel que soit h>0, il existe n0 tel que pour tout n
n0 on a
-h < Un <
+h.
b) Suite divergente
une suite est DV si elle n’est pas CV :
* ou bien parce qu’elle a une limite infinie : lim Un +
ou lim Un= -
,
* ou bien parce qu’elle n’a pas de limite (exemple : Un = (-1)n)
définition dans le cas où la limite est infinie : L = +
* Un tend vers +
quand n tend vers +
* tout intervalle J du type ] A ; +
[ contient toutes les valeurs Un dès que n est assez grand.
* quel que soit A, Un > A dès que n est assez grand.
* quel que soit A, il existe n0 tel que pour tout n
n0 on a Un > A.
2. Calcul de la limite
* pour une suite Un = f(n) :
- si
+ ∞
x
lim
f(x) = L alors
+ ∞
n
lim
Un = L (L fini ou infini)
- limite d’un SG (voir manuel)
+ ∞
n
lim
qn = + ∞ si q>1
1 si q = 1
0 si –1 < q < 1
pas de limite si q ≤ -1
* composée suite / fonction :
SUITES
th si
+ ∞
n
lim
Un = a (a fini ou infini) alors
+ ∞
n
lim
f(Un) = b
et si
ax
lim
f(x) = b (b fini ou infini)
* théorèmes des gendarmes
si an ≤ Un ≤ bn pour tout n
et si lim an = lim bn =
alors lim Un =
(dem manuel p16, à adapter pour les suites)
si Un ≥ an
et si lim an = +∞ alors lim Un = +∞
* th (limite d’une suite bornée) (th admis)
si (Un) CV, de limite (finie)
: lim Un =
et si (Un) est majorée par M (respectivement minorée par m) alors
≤ M (respectivement
m)
3. Théorèmes de CV et de DV pour les suites monotone
th1 ( = th de convergence monotone) (th admis)
si (Un) est croissante et majorée alors (Un) CV
rq : ceci dit que la limite sera finie : lim Un =
mais ne donne pas la valeur de cette limite
;
on saura seulement que, si M est un majorant de (Un), alors
vérifie
M (th limite d’une suite bornée
th1bis si (Un) est décroissante et minorée (par m) alors (Un) CV (et sa limite
vérifie
m)
th2 si (Un) est croissante et non majorée alors lim Un = +
dem
Soit A un réel quelconque.
(Un) non majorée : donc A ne majore pas Un : il existe un terme Un0 tel que Un0 > A cad il existe un
entier n0 tel que Un0 > A
(Un) croissante donc pour tout entier n, Un+1
Un donc pour tout n
n0, Un
Un0
On a donc : il existe un entier n0 tel que pour tout n
n0, Un
Un0 > A
* conclusion :
On a montré que quel que soit le réel A choisi, il existe toujours un rang n0 à partir duquel tous les termes
Un sont >A, ce qui est la définition de : lim Un = + inf
th2bis si (Un) est décroissante et non minorée alors lim Un = -
dem : si (Un) est décroissante non minorée alors Vn = - Un est croissante non majorée donc lim Vn = +inf et
lim Un = - inf
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