Feuille d`exercices 1

Université Rennes 1, Année 2012-2013
Master 1 Math., Algèbre générale de base
Feuille d'exercices 1
Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, dire si la relation d'équivalence
R
sur l'ensemble
E
est compatible avec la ou les opérations indiquées :
(1)
E = R, R = {(x, y), |x| = |y|}
; addition, multiplication.
(2)
E = Z, R = {(x, y), x = y = 0
ou
(3)
E = Z, R = {(x, y), x
(4)
E = R, R = {(x, y), x − y ∈ Z}
(5)
E = N∗ , R = {(x, y), x
Exercice 2 Soit
et
y
et
xy > 0}
; addition, multiplication.
sont de même parité} ; addition, multiplication.
; addition, multiplication.
sont de même parité} ; puissance.
y
E un ensemble.
Les lois suivantes munissent-elles l'ensemble des parties
d'une structure de groupe : l'intersection ; la réunion ; la diérence symétrique
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A)
G
Soient
Exercice 3
un groupe,
E = Z, G = (Z, +)
Exercice 4
Soit
que
E
et
f : E → G une bijection. Montrer qu'il
que f soit un isomorphisme. Expliciter cette
un ensemble,
E telle
f (x) = x + 1.
- Ordre d'un élément
G un groupe et g ∈ G. On appelle ordre
g n = 1, s'il en existe un, et +∞ sinon.
(1) Quel est l'ordre de
(2) L'élément
g∈G
−1
dans
(Q, +)
de
? Et dans
g
dans
k, n ≥ 1
(1) Soit
G
le plus petit des entiers
Z → G, m 7→ g m
et l'ordre de g .
étant xé, montrez que l'application
k
et
n
n≥1
tels
?
deux entiers. Calculez l'ordre de la classe
mencer par le cas où
Exercice 5
G
(Q∗ , ×)
de groupes. Donnez les liens entre son noyau, son image
(3) Soient
dénie par
?
existe une unique structure de groupe sur
loi lorsque
∆
P(E)
k
dans
est un morphisme
Z/nZ
(on pourra com-
sont premiers entre eux).
- Caractérisations de la commutativité
un groupe. Montrez que les conditions suivantes sont équivalentes :
g 7→ g −1 est un morphisme de groupes ; l'élévation au carré
tatif ; l'inversion
G est commug 7→ g 2 est un
morphisme de groupes.
(2) (Plus dicile) Les groupes tels que l'élévation au cube
g 7→ g 3
est un morphisme de groupes
sont-ils tous commutatifs ?
Exercice 6
Soit
G
- Automorphismes intérieurs
un groupe. Pour tout
g ∈ G,
on note
cg : G → G
1
l'application
x 7→ gxg −1 .
(1) Montrez que
cg
(2) Montrez que
c : G → Aut(G)
est un automorphisme du groupe
(3) Montrez que l'image de
c
G.
est un morphisme de groupes. Quel est son noyau ?
est un sous-groupe distingué de
Aut(G).
Le morphisme
c
est-il
toujours surjectif ?
Exercice 7
Soit
G
- Groupes sans automorphisme
un groupe dont le seul automorphisme est l'identité.
(1) Montrez que
G
est commutatif.
G peut
2 éléments F2 .
(2) Montrez que
corps à
(3) Montrez que
Exercice 8
Soit
G
être muni canoniquement d'une structure d'espace vectoriel sur le
G ' {1}
ou
G ' Z/2Z.
- Exposant d'un groupe
un groupe abélien ni. Pour tout
(1) Soit
(x, y) ∈ G2 , m = ω(x)
(i) Lorsque
m
et
n
on note
ω(x)
(m, n) ∈ (N? )2 ,
m0 | m,
m
premier avec
montrer qu'il existe
n0 |n,
x.
ω(xy) = mn.
n,
a-t-on
ω(xy) = ppcm(m, n)
(m0 , n0 ) ∈ (N? )2
0
0
pgcd(m , n )
=1
et
G, noté exp G,
que exp G = ω(z).
z∈G
tel
?
tel que
ppcm(m, n)
(3) On dénit l'exposant d'un groupe ni
éléments. Montrer qu'il existe
l'ordre de
n = ω(y).
sont premiers entre eux, montrer que
(ii) Si on ne suppose plus
(2) Pour
et
x ∈ G,
= m0 n0
comme le ppcm des ordres de ses
(4) En déduire qu'un sous-groupe ni du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique.
Exercice 9
Soit
G
- Groupe dérivé
un groupe. Pour
appelle groupe dérivé de
x, y ∈ G, on note [x, y] = xyx−1 y −1 le commutateur de x et y .
G le sous-groupe D(G) de G engendré par les commutateurs.
(1) Caractériser les couples d'éléments
G
(x, y) de G tels que [x, y] = e.
Déterminer
On
D(G) lorsque
est abélien.
(2) Montrer que
phismes de
G)
D(G)
G
est un sous-groupe caractéristique de
ou, directement, qu'il est distingué dans
G
(i.e. stable par les automor-
et que le quotient
G/D(G)
est
abélien.
(3) Montrer que, pour un sous-groupe
H C G,
le quotient
G/H
est abélien si et seulement si
D(G) ⊂ H .
M et tout morphisme
travers G/D(G).
(4) Propriété universelle : montrer que, pour tout groupe abélien
groupes
f : G −→ M ,
(5) Déterminer
il existe une unique factorisation de
D(Sn ).
f
Indication : les 3-cycles engendrent
2
à
An .
de
Exercice 10
Soit
- Morphismes et commutativité
f :G→H
un morphisme de groupes.
(1) On suppose
H
commutatif.
f
Montrez que si
est injectif, alors
G
est commutatif.
Si
f
est surjectif, alors
H
est commutatif. Si
f
n'est pas injectif, donnez un contre-exemple.
(2) On suppose
G
commutatif. Montrez que si
f
n'est pas surjectif, donnez un contre-exemple.
ZG = {g ∈ G; ∀x ∈ G, xg = gx}
surjectif, on a f (ZG ) ⊂ ZH . Si f n'est
(3) On note
si
f
est
Exercice 11
Soit
N
π
G
et
ZH
celui de
H.
Montrez que
pas surjectif, donnez un contre-exemple.
- Produit semi-direct
G
un sous-groupe distingué de
section de
le centre de
π : G → G/N le morphisme de
s : G/N → G tel que π ◦ s = Id.
et
un morphisme de groupes
quotient. On appelle
(1) Montrez que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) il existe un sous-groupe
(ii) Le morphisme
π
H⊂G
tel que
H ∩N =1
et
HN = G
;
admet une section.
Lorsque ces conditions sont réalisées, on dit que
G
est produit semi-direct de
N
par
H.
On
suppose dans la suite que c'est le cas.
(2) Montrez que
(3) Notons
H
G/N .
est isomorphe à
θ : H → Aut(N )
l'action de
struire la structure de groupe de
G
H
Montrez que
sur
N
∼
G −→ N × H
ensemblistement.
par conjugaison. Montrez qu'on peut recon-
(c'est-à-dire, sa multiplication) à partir de
N, H
et
θ.
(4) Montrez que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i)
H
commute avec
(ii)
H
(iii)
θ
N
dans
G
;
est distingué ;
est le morphisme trivial ;
(iv) la structure de produit semi-direct dénie par
Exercice 12
θ
est une structure de produit direct.
- Un théorème de Frobenius pour les sous-groupes distingués
(1) Montrer qu'un sous-groupe d'indice 2 est toujours distingué.
(2) On se propose maintenant de démontrer un théorème de Frobenius, qui est une généralisation du critère précédent :
Si
de
G,
H
est un sous-groupe d'indice
alors
H
est distingué dans
G.
p
de
p
est le plus petit diviseur premier de l'ordre
ρ : G −→ SG/H .
On note
K
son noyau.
| p! Card K .
(iii) Conclure, en remarquant que
Exercice 13
où
(i) Justier l'existence d'un morphisme
(ii) Montrer que Card G
G,
K ⊂ H.
Caractériser les groupes dont l'ensemble des sous-groupes est ni.
3