Programme de colle de mathématiques, semaine

Programme de colle de mathématiques, semaine du 16/1 au 22/1
dénombrement, calcul matriciel, dérivabilité
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1 Cours : dénombrement
•Cardinal d’un ensemble fini. Deux ensembles ont même
cardinal si et seulement si ils sont en bijection.
•Dans le cas d’ensembles finis : cardinal de l’union
de deux ensembles, de l’union d’un nombre quel-
conque d’ensembles disjoints, du complémentaire d’un
ensemble, d’un produit cartésien, des parties d’un en-
semble.
•Cardinal d’une partie d’un ensemble (et cas d’égalité).
•Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble
dans un autre.
•Notion de liste. Nombre de tirages avec remise.
•Notion d’arrangement. Nombre de tirages sans remise.
Nombre d’injections d’un ensemble dans un autre, car-
dinal de l’ensemble des permutations d’un ensemble,
nombre de manières d’ordonner un ensemble.
•Notion de combinaison. Nombre de combinaisons de p
éléments parmi n.
2 Cours : matrices
•Combinaisons linéaires de matrices. Propriétés élémen-
taires.
•Produit de matrices compatibles. Ce produit est asso-
ciatif mais pas commutatif.
•Puissances d’une matrice carrée. Calcul des puissances
d’une matrice diagonale. Formule du binôme de New-
ton pour les paires de matrices commutants.
•Matrices carrées inversibles. Résultats élémentaires, dé-
finition du groupe linéaire.
•Matrices semblables, matrices diagonalisables. Puis-
sances d’une matrice diagonalisable.
•Transposée d’une matrice. Propriétés élémentaires de la
transposition. Matrices symétriques, antisymétriques.
•Toute matrice s’écrit de manière unique comme la
somme d’une matrice symétrique et d’une matrice an-
tisymétrique.
•Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes
d’une matrice. Effectuer une opération élémentaire sur
les colonnes (resp. lignes) d’une matrice revient à la
multiplier à droite (resp. à gauche) par une matrice élé-
mentaire.
•Toute matrice élémentaire est inversible, et son inverse
est une matrice élémentaire.
•Toute matrice Mse décompose en le produit de ma-
trices élémentaires et d’une matrice échelonnée réduite
par ligne R. Si Mest inversible, alors Rest la matrice
identité.
•Soit Aune matrice de taille n. Les propriétés suivantes
sont équivalentes : Aest inversible, le système linéaire
homogène associé à Aest de Cramer, tout système li-
néaire associé à Aest de Cramer, tout système linéaire
associé à Aadmet au moins une solution, Aest équiva-
lente par lignes à la matrice identité.
•Caractérisation des matrices inversibles par les sys-
tèmes de Cramer. Inversion d’une matrice par l’algo-
rithme du pivot.
3 Cours : dérivabilité
•Rappels : notion de dérivée en un point et propriétés
élémentaires associées.
•Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient,
d’une composée et de l’inverse d’une bijection.
•Fonctions de classe Cnet C∞sur un intervalle véritable
I.
•Les ensembles Cn(I,R)et C∞(I,R)sont stables par pro-
duit, quotient, composition et passage à l’inverse. For-
mule de Leibniz.
•Si f:I→Rest une fonction dérivable admettant un
extremum local en x0∈I, et si x0n’est pas l’une des
bornes de I, alors f′(x0) = 0.
•Théorème de Rolle. Égalité et inégalité des accrois-
sements finis.
•Une fonction f:I→Rdérivable est strictement crois-
sante si et seulement si ∀x∈I,f′(x)>0 et si f′ne
s’annule sur aucun intervalle véritable inclus dans I.
•Inégalité des accroissements finis dans le cas des fonc-
tions à valeurs complexes.
•Théorème de la limite de la dérivée. Théorème de pro-
longement C1.
•Formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de
Taylor-Lagrange.
4 Questions de cours
Les énoncés (théorèmes et définitions) du cours doivent être
connus. Tout exercice ou exemple vu en cours doit être maitrisé
(tout exercice analogue à ceux-ci pourra également faire l’objet
d’une question de cours).

La colle pourra notamment commencer par la démonstration d’un
ou plusieurs des points suivants.
•Soit Eun ensemble fini de cardinal n. Montrer que l’en-
semble P(E)est également fini, de cardinal 2n.
•Soient Eet Fdeux ensembles finis de même cardinal
et f:E→F. Montrer finjective ⇔fsurjective ⇔
fbijective .
•Calculer une ou plusieurs des quantités suivantes : le
nombre de tirages avec remise, le nombre de tirages
sans remise, le nombre d’injections d’un ensemble dans
un autre, le nombre de manières d’ordonner un en-
semble, le nombre de tirages simultanés.
•Établir l’associativité du produit matriciel.
•Monter que toute matrice s’écrit de manière unique
comme la somme d’une matrice symétrique et d’une
matrice antisymétrique.
•Montrer la formule de Leibniz.
•Soit f:[a,b]→[a,b]une fonction contractante et (un)
la suite définie par u0∈[a,b]et un+1=f(un). Montrer
que fpossède un unique point fixe ℓ, puis que (un)
converge vers ℓ.
•Montrer qu’une fonction dérivable est croissante si et
seulement si sa dérivée est positive (prouver les deux
implications).
•Établir la formule de Taylor avec reste intégral.
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