Programme de colle de mathématiques, semaine

Programme de colle de mathématiques, semaine du 16/1 au 22/1
dénombrement, calcul matriciel, dérivabilité
est une matrice élémentaire.
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Cours : dénombrement
• Cardinal d’un ensemble fini. Deux ensembles ont même
cardinal si et seulement si ils sont en bijection.
• Dans le cas d’ensembles finis : cardinal de l’union
de deux ensembles, de l’union d’un nombre quelconque d’ensembles disjoints, du complémentaire d’un
ensemble, d’un produit cartésien, des parties d’un ensemble.
• Cardinal d’une partie d’un ensemble (et cas d’égalité).
• Cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble
dans un autre.
• Notion de liste. Nombre de tirages avec remise.
• Notion d’arrangement. Nombre de tirages sans remise.
Nombre d’injections d’un ensemble dans un autre, cardinal de l’ensemble des permutations d’un ensemble,
nombre de manières d’ordonner un ensemble.
• Notion de combinaison. Nombre de combinaisons de p
éléments parmi n.
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Cours : matrices
• Combinaisons linéaires de matrices. Propriétés élémentaires.
• Produit de matrices compatibles. Ce produit est associatif mais pas commutatif.
• Puissances d’une matrice carrée. Calcul des puissances
d’une matrice diagonale. Formule du binôme de Newton pour les paires de matrices commutants.
• Matrices carrées inversibles. Résultats élémentaires, définition du groupe linéaire.
• Matrices semblables, matrices diagonalisables. Puissances d’une matrice diagonalisable.
• Transposée d’une matrice. Propriétés élémentaires de la
transposition. Matrices symétriques, antisymétriques.
• Toute matrice s’écrit de manière unique comme la
somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
• Toute matrice M se décompose en le produit de matrices élémentaires et d’une matrice échelonnée réduite
par ligne R. Si M est inversible, alors R est la matrice
identité.
• Soit A une matrice de taille n. Les propriétés suivantes
sont équivalentes : A est inversible, le système linéaire
homogène associé à A est de Cramer, tout système linéaire associé à A est de Cramer, tout système linéaire
associé à A admet au moins une solution, A est équivalente par lignes à la matrice identité.
• Caractérisation des matrices inversibles par les systèmes de Cramer. Inversion d’une matrice par l’algorithme du pivot.
3 Cours : dérivabilité
• Rappels : notion de dérivée en un point et propriétés
élémentaires associées.
• Dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient,
d’une composée et de l’inverse d’une bijection.
• Fonctions de classe C n et C ∞ sur un intervalle véritable
I.
• Les ensembles C n ( I, R ) et C ∞ ( I, R ) sont stables par produit, quotient, composition et passage à l’inverse. Formule de Leibniz.
• Si f : I → R est une fonction dérivable admettant un
extremum local en x0 ∈ I, et si x0 n’est pas l’une des
bornes de I, alors f ′ ( x0 ) = 0.
• Théorème de Rolle. Égalité et inégalité des accroissements finis.
• Une fonction f : I → R dérivable est strictement croissante si et seulement si ∀ x ∈ I, f ′ ( x ) > 0 et si f ′ ne
s’annule sur aucun intervalle véritable inclus dans I.
• Inégalité des accroissements finis dans le cas des fonctions à valeurs complexes.
• Théorème de la limite de la dérivée. Théorème de prolongement C 1 .
• Formule de Taylor avec reste intégral, inégalité de
Taylor-Lagrange.
• Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes
d’une matrice. Effectuer une opération élémentaire sur 4 Questions de cours
les colonnes (resp. lignes) d’une matrice revient à la
Les énoncés (théorèmes et définitions) du cours doivent être
multiplier à droite (resp. à gauche) par une matrice éléconnus.
Tout exercice ou exemple vu en cours doit être maitrisé
mentaire.
(tout exercice analogue à ceux-ci pourra également faire l’objet
• Toute matrice élémentaire est inversible, et son inverse d’une question de cours).
La colle pourra notamment commencer par la démonstration d’un
ou plusieurs des points suivants.
• Soit E un ensemble fini de cardinal n. Montrer que l’ensemble P ( E) est également fini, de cardinal 2n .
• Soient E et F deux ensembles finis de même cardinal
et f : E → F. Montrer f injective ⇔ f surjective ⇔
f bijective .
• Calculer une ou plusieurs des quantités suivantes : le
nombre de tirages avec remise, le nombre de tirages
sans remise, le nombre d’injections d’un ensemble dans
un autre, le nombre de manières d’ordonner un ensemble, le nombre de tirages simultanés.
• Établir l’associativité du produit matriciel.
• Monter que toute matrice s’écrit de manière unique
comme la somme d’une matrice symétrique et d’une
matrice antisymétrique.
• Montrer la formule de Leibniz.
• Soit f : [ a, b] → [ a, b] une fonction contractante et (un )
la suite définie par u0 ∈ [ a, b] et un+1 = f (un ). Montrer
que f possède un unique point fixe ℓ, puis que (un )
converge vers ℓ.
• Montrer qu’une fonction dérivable est croissante si et
seulement si sa dérivée est positive (prouver les deux
implications).
• Établir la formule de Taylor avec reste intégral.