Études de signes et inéquations, cours de seconde F.Gaudon 16 février 2009 Table des matières 1 Étude du signe des fonctions affines 2 2 Études de signes de produits et de quotients 2.1 Exemple d’étude de signe d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Exemple d’étude de signe d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 Application à la résolution d’inéquations 3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles . . . . . . . . . . 3.3 Exemple de résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 4 4 Synthèse sur les inéquations 4 5 Résolutions graphiques 5 1 1 Étude du signe des fonctions affines Méthode : Soient a et b deux nombres réels avec a 6= 0. Étudier le signe du nombre ax + b signifie déterminer les valeurs de x pour lesquelles ax + b ≥ 0 et celles pour lesquelles ax + b ≤ 0. Propriété : ax + b est du signe de a pour les valeurs de x supérieures à − ab , du signe opposé pour les valeurs inférieures. Synthèse : On résume l’étude dans un tableau de signe : Si a > 0 x signe de ax + b −∞ x signe de ax + b −∞ − ab - 0 +∞ + Si a < 0 2 − ab + 0 +∞ - Études de signes de produits et de quotients 2.1 Exemple d’étude de signe d’un produit On considère le produit (x − 3)(1 − x) . On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de x − 3 et de 1 − x, puis on utilise la règle des signes. x x−3 1−x (x − 3)(1 − x) −∞ 1 + - 2 0 + 3 0 +∞ + - 2.2 Exemple d’étude de signe d’un quotient On considère le quotient 3 − 2x x+1 . • On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir x + 1 6= 0 c’est à dire x 6= −1. • On procède de même que pour l’étude de signe d’un produit. x 3 − 2x x+1 3−2x x+1 3 3.1 −∞ 2 3 -1 + - 0 k + + + 0 0 +∞ + - Application à la résolution d’inéquations Vocabulaire Définition : • On appelle inéquation produit nul , toute inéquation de la forme f (x)g(x) ≤ 0 ou f (x)g(x) ≥ 0 où f et g sont deux fonctions. (x) • On appelle inéquation quotient nul, toute inéquation de la forme fg(x) ≤0 ou f (x)g(x) ≥ 0 où f et g sont deux fonctions. 3.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles Définition : Soient I et J deux intervalles. • L’intersection de I et J notée I ∩J est l’ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J. • La réunion de I et J notée I ∪ J est l’ensemble des nombres appartenant à I ou (inclusif) à J. • Lorsque les intervalles I et J n’ont aucun point commun, leur intersection est l’ensemble vide noté ∅. On dit aussi que les intervalles sont disjoints. 3 3.3 Exemple de résolution d’inéquations On considère l’inéquation 3x + 1 ≤5 x−2 . • On détermine les valeurs interdites : x − 2 = 0 donne x = 2. • On écrit l’inéquation sous la forme d’une inéquation quotient nul : 3x + 1 −5≤0 x−2 3x + 1 − 5(x − 2) ≤0 x−2 3x + 1 − 5x + 10 ≤0 x−2 −2x + 11 ≤0 x−2 • On étudie le signe du quotient obtenu : x −∞ 2 5,5 +∞ −2x + 11 + + 0 x−2 - 0 + + −2x+11 k + 0 x−2 • On détermine à partir du tableau les valeurs de x solutions de l’inéquation : S = [−∞; 2[ ∪ [5, 5; +∞[ 4 Synthèse sur les inéquations Démarche de résolution : Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factorisations ou des transpositions d’un membre à l’autre pour se ramener à : • Une inéquation du premier degré ; • une inéquation produit nul ; • ou une inéquation quotient nul. 4 Exemple : (x + 2)2 ≤ 9 (x + 2)2 − 9 ≤ 0 (x + 2)2 − 32 ≤ 0 (x + 2 − 3)(x + 2 + 3) ≤ 0 d’après l’identité remarquable a2 − b2 = (a − b)(a + b) (x − 1)(x + 5) = 0 C’est une inéquation produit nul. On étudie donc le signe du produit (x−1)(x+5) : x − 1 ≤ 0 pour x ≤ 1 et x + 5 ≤ 0 pour x ≤ −5. On obtient le tableau de signes suivant : x x−1 x+5 (x − 1)(x + 5) −∞ -5 + 0 0 1 0 + - 0 +∞ + + + L’ensemble des solutions est donc l’ensemble [−5; 1]. 5 Résolutions graphiques Propriété : Soit k un nombre réel, f une fonction et Cf sa représentation graphique dans un repère. Les solutions de l’inéquation f (x) ≤ k (respectivement f (x) ≥ k) sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k). Exemple : Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction f définie par f (x) = x2 . 5 L’inéquation f (x) ≤ 4 a pour ensemble solution [−2; 2]. L’inéquation f (x) ≥ 4 a pour ensemble solution ] − ∞; −2] ∪ [2; +∞[. Propriété : Soient f et g deux fonctions et Cf et Cg leur représentation graphique dans un repère. Les solutions de l’inéquation f (x) ≤ g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf situés en dessous des points de Cg de même abscisse. Exemple : Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g définies par f (x) = x2 et g(x) = − 12 x2 + 6. 6 L’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) < g(x) est l’ensemble ] − 2; 2[. 7