Études de signes et inéquations, cours de seconde

Études de signes et inéquations, cours de
seconde
F.Gaudon
16 février 2009
Table des matières
1 Étude du signe des fonctions affines 2
2 Études de signes de produits et de quotients 2
2.1 Exemple d’étude de signe d’un produit ............... 2
2.2 Exemple d’étude de signe d’un quotient .............. 3
3 Application à la résolution d’inéquations 3
3.1 Vocabulaire ............................. 3
3.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles .......... 3
3.3 Exemple de résolution d’inéquations ................ 4
4 Synthèse sur les inéquations 4
5 Résolutions graphiques 5
1

1 Étude du signe des fonctions affines
Méthode :
Soient aet bdeux nombres réels avec a6= 0.
Étudier le signe du nombre ax +bsignifie déterminer les valeurs de xpour
lesquelles ax +b≥0et celles pour lesquelles ax +b≤0.
Propriété :
ax +best du signe de apour les valeurs de xsupérieures à −b
a, du signe
opposé pour les valeurs inférieures.
Synthèse :
On résume l’étude dans un tableau de signe :
Si a > 0
x−∞ − b
a+∞
signe
de - 0 +
ax +b
Si a < 0
x−∞ − b
a+∞
signe
de + 0 -
ax +b
2 Études de signes de produits et de quotients
2.1 Exemple d’étude de signe d’un produit
On considère le produit
(x−3)(1 −x)
.
On fait apparaître dans un tableau de signes, les signes de x−3et de 1−x,
puis on utilise la règle des signes.
x−∞ 1 3 +∞
x−3- - 0 +
1−x+ 0 - -
(x−3)(1 −x)- + -
2

2.2 Exemple d’étude de signe d’un quotient
On considère le quotient 3−2x
x+ 1
.
•On détermine les valeurs interdites : ici, on doit avoir x+ 1 6= 0 c’est à dire
x6=−1.
•On procède de même que pour l’étude de signe d’un produit.
x−∞ -1 2
3+∞
3−2x+ + 0 -
x+ 1 - 0 + +
3−2x
x+1 -k+ 0 -
3 Application à la résolution d’inéquations
3.1 Vocabulaire
Définition :
•On appelle inéquation produit nul , toute inéquation de la forme
f(x)g(x)≤0ou f(x)g(x)≥0où fet gsont deux fonctions.
•On appelle inéquation quotient nul, toute inéquation de la forme f(x)
g(x)≤0
ou f(x)g(x)≥0où fet gsont deux fonctions.
3.2 Compléments de vocabulaire sur les intervalles
Définition :
Soient Iet Jdeux intervalles.
•L’intersection de Iet Jnotée I∩Jest l’ensemble des nombres appartenant
à la fois à Iet à J.
•La réunion de Iet Jnotée I∪Jest l’ensemble des nombres appartenant à
Iou (inclusif) à J.
•Lorsque les intervalles Iet Jn’ont aucun point commun, leur intersection
est l’ensemble vide noté ∅. On dit aussi que les intervalles sont disjoints.
3

3.3 Exemple de résolution d’inéquations
On considère l’inéquation 3x+ 1
x−2≤5
.
•On détermine les valeurs interdites :x−2 = 0 donne x= 2.
•On écrit l’inéquation sous la forme d’une inéquation quotient nul :
3x+ 1
x−2−5≤0
3x+ 1 −5(x−2)
x−2≤0
3x+ 1 −5x+ 10
x−2≤0
−2x+ 11
x−2≤0
•On étudie le signe du quotient obtenu :
x−∞ 2 5,5 +∞
−2x+ 11 + + 0 -
x−2- 0 + +
−2x+11
x−2-k+ 0 -
•On détermine à partir du tableau les valeurs de xsolutions de l’inéquation :
S= [−∞; 2[ ∪[5,5; +∞[
4 Synthèse sur les inéquations
Démarche de résolution :
Pour résoudre une inéquation donnée, on utilise des développements, des factori-
sations ou des transpositions d’un membre à l’autre pour se ramener à :
•Une inéquation du premier degré ;
•une inéquation produit nul ;
•ou une inéquation quotient nul.
4

Exemple :
(x+ 2)2≤9
(x+ 2)2−9≤0
(x+ 2)2−32≤0
(x+ 2 −3)(x+ 2 + 3) ≤0d’après l’identité remarquable
a2−b2= (a−b)(a+b)
(x−1)(x+ 5) = 0
C’est une inéquation produit nul. On étudie donc le signe du produit (x−1)(x+5) :
x−1≤0pour x≤1et x+ 5 ≤0pour x≤ −5.
On obtient le tableau de signes suivant :
x−∞ -5 1 +∞
x−1- - 0 +
x+ 5 - 0 + +
(x−1)(x+ 5) + 0 - 0 +
L’ensemble des solutions est donc l’ensemble [−5; 1].
5 Résolutions graphiques
Propriété :
Soit kun nombre réel, fune fonction et Cfsa représentation graphique dans
un repère. Les solutions de l’inéquation f(x)≤k(respectivement f(x)≥k)
sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous (respectivement
au dessus) de la droite parallèle à l’axe des abscisses et passant par le point de
coordonnées (0; k).
Exemple :
Sur la figure ci-contre, est représentée la fonction fdéfinie par f(x) = x2.
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