USTHB-Faculté de Mathématiques 1ère • Aiinêe~Liçe&oi& SM^Sëctâon. A; 10 janvier .2012 Durée J.H30 Examen final de Partie 1 Algèbre Exercice 1. (4points) On définit sur l'ensemble R la relation R, définie, par (1) Montrer que 72. est une relation d'équivalence. (2j • Déterminer la classe d'équivalence jdc- x — | Exercice 2. (6 points) Dans l'ensemble E =E - {-1} on considereMN (2) Mbntrer que ialôj (3) Montrer Partie 2-Arialyse Exercice 3. On considèT' et (%} données par 2t% (i) Montrer par récurrence quç ^ - vn.= :U° .'"0;: n €' (ii) En déduire que.un < vn et '~Bm un -vn. > (iii) Montrer que (un) est croissante st que (vj est décroissante. = (iv) Montrer que les suite (ti,*) et (vn)sônt convergentes et qu'eUës ont la ttiêmme limite t. ' : . . Exercice 4. (4 points) Soit (a, 6) 6 SI2 et / la fonction définie sur R par : ,siz. < 0 Etudiez, suivant tes vafeiar^de 4 et è là mtt USTHB-Faculté de Mathématiques 1ère Année-Licence SM-Section A Corrigé de l'Examen final de Mathl "Cerrigé de l'exercice Soit 7£ la relation définie sur R par xH-y <=> x - y - je1 (1) Montrons que K est une relation d'équivalence ce (a) Puisque Vx 6 R on a 0 = = x — x — x'2 — x- alors qui montre -que cette relation est reflexive (b) Si on a xTiy* ce qui vêt dire que x — y — .T- — y2 alors y — îc = y2 — -x2 ce. qui montre que yTLx et donc que relation, est symétrique. (c.) Soient x, y, z € M. tels que 'x"R,y. et alors on a •X -y = -x2 -y2 et g - - - y- En sommant les égalités piécédei prouvant ainsi que- la ^el Par conséquent, la lence; (2) La classe d'é aura transitive, est une relation d'équiva- ^ est donnée par /-. \2 i i2 2 Corrigé de l'exercice 2 On définit sur E —.•. R — { — 1} la loi * donnée par Va.b E E. a * 6 = a-|-6 + a-6 (1) Oïi a. " . . 1 + a + b + ab = (1 + a) (1 4- 6) ceb qui montre que a = a et 3 — b ' . (2) De l'égalité précédente, et comme a, 6 ^ —l. ou cire 1 + a + b + ab ^ 0 . ; et donc a + b + ab .G E. ce qui prouve que a •*/.>€ E et donc *est interne dans. /'? l (à) Un véntie.que Va, à, c 6 E a * b = b * a et (a * &) * c = à * (6 * <:•) Ainsi * est commutative et associative. L'élément neutre e s'il existe vérifie a * e = e •*• a — a e = a<? — a ce qui entraine Comme a- ^ —l, alors e = 0, Le symétrique a? de a s'il existe .vérifie a * a = a' * a = 0 ce qui donne a 4- a' (14- a) =0 et comme a ^ — 1, alors // — -~~Ci' -i i a "l+a^""1 car sinon -a- = -1 - c et donc •-1 j^ûceTjiu- est absurde Par conséquent, (E, *) est un grouj Corrigé dé l'exercice 3 Soient (un] et (vn] deux s donnée par LA ;,.-{- «0 < VQ ; tin 5 (1) ainsi, la propriété est vraie pour n =Q. On suppose qu'elle est vraie à Tordre n. c'est à dire u n alors cl l'ordre n 4-1 on a 3un -fr 2u,, 5 3vn -+-"2un ~ VQ ~ Vn = 5" u,, — /;,, 5 Ainsi, Vn 6 N on a u,, - u,, = Uf) ~" 5" (2) Puisque UQ < Vo> alors 0 ' 0. —VQ < 0 et donc un — un = ° ' ° < . . De plus on a, comme Uni 57! = 4-oc. alors lim «7, — vn — 0 ; »-î--foo . (3) En exprimant un+i ~~ 'tln -et t>n+i — t»n . sachant, que «„ < u,,, aura • - . . ; • . . • - -un = 5 5 0. et -2(vn -«-„) 3-y .5 5 Ainsi, (un] est croissante tandisque (y,,) est (4) Les suites (un) et (f n ) sont respectivement c^p5arite et décroissante et vérifient linu/,, — vn =.0, alors ^ffl^pnt adjacentes. Elles sont donc convergentes et Gonverge]|0^te là. même limite £. Corrigé de l'exercice 4 Soit la fonction réelle / .don; si x < 0 six>0..-••• Sur l'intervalle l^çjNP^ 4a fonction / est la fonction polynôme x i—>• r'2 + b qui y es^»^pt^et' continue. Sur l'intervall^@»roo[ la fonction / est une fraction rationnelle continue sur ce domaine .-, Par conséquent la fonction / est continue sur R*. En XQ •- 0, on a • . lim •/ (x) = lim x'2 + 6 = 6 et n i lim - •/f ((a;)\ = lima smcra0, " a et a = 0. lim / (;r) = lim =0 Donc lim /" (x) = a J.-+0+ ' Ainsi, il v a continuité en 0 si et seulement si a ~ b. USTHB Faculté de mathématiques LMD ST SECTIONS 22/28 2010/2011 Epreuve finale Mathl Exercice 1 :Soit l'application /: K -* [ 5, +co[ définie par : Vx E On définit dans E la relation R par : V xlf x2 e R, x^ x2 & f(xj ~ Vérifier que £ est une relation d'équivalence, calculer Ô et 2, Exercice 2 : On considère la suite numérique (tfn)neN définie par : l/Montrer que a<'Un, Vn G M. j 2/ Montrer que la suite (f/n)n6w e$t décroissante. ^^éoWe qu'elle est convergente. Calculer sa limite. Exercice 3 : Soit a un réel strictement p o s i ^ o n s i d è r e fa fonction / définie par : l/ Déterminer le domairfede shition"de / . •••••.. 2/ Pour quelle valeiA^ la fonction / est-elle continue en x0 = 0 ? 3/ Pour la va l e j trouvée en 2/ montrer qu'il existe au moins un réel c dans l'intervalle ]0, a[ solution déréquation f(x) =0. Exercice 4 : Soit la fonction /(*) = 1/Donner le D.L de / à l'ordre 3 au voisinage 0. ^! 2/ En déduire l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point XQ = 0, sa position par rapport à celle-ci et que le point (0,0) est un point d'inflexion, indication; On donne les développements limités suivants au voisinage de 0: et VI - x2 = 1- • «U E,M& d. (V p uu. 0 w fe- të, / • (vv\_ / / <K.\ 2-, v(] ,, X! X . £j . ir- v- « a> -^. 4 T& - ->2jH?-Hovp u^ ~^?- -«» < hfl -^l < n -c ^ ^ v ) \ o , -~ o O < •*• ^ -i_. ^u.cl^3uJi^ d 0- 0 y V '«s V 0 1 0 A. rs A i 3 «v'o m ;* o. j: r <vo r 0 R ? 4 4 -F- § P ? 3' — ts I 1 rv r r I • Kr l I I 3* F J USTHB Facuïté de Mathématiques 1ère Année Lic.SM Sections MathsX Année 2010/2011 Examen Final Exercice 1 ( 6 points) On considère la suite numérique (ua)n définie par: ; ne 1) Montrer par récurrence que si UQ * l, alors V/z e M, ua < 2 et est croissante. Calculer sa limite. 2) Quelle est Ja nature de (ua)n si UQ = 2? Exercice 2 (8 Points) On considère te fonction définie sur [-1,3] par: 1) Montrer que /est continue sur [-1,3] 2) Etudier la dérivçbilité aux points *& = -l, 3) /est-elle înjective sur [-1,0[, sur [0,3]? 4) Déterminer l'ensemble image JJO, Exercice 3 (3 points) On donne les développements iifô^és suçants au voisinage de 0: snx = JT- --^c + o Sa-.i: Calculer tes limites s Exercice 4 (3 points) Calculer les dérivées des fonctions suivantes: I) £x) « 1 + Aretg^ + Aretgx ( jre : R* ), 2) ^) » 1 x:e [0,1] ) 3) Bon Courage u :> " V *- ar o =.^ foV ' yAy x •p-^-V'x - l» \y Jv 4- f 1v — Faculté de Mathématiques LMD/ST- Section 18 Année 201.0/2011 Epreuve Finale Mathl Exercice 1 Soit la suite récurrente définie par : uo= 1 et a) Etudier la monotonie de (Un)n6jK. b) Montrer que 0 < i^ < 1. c) En déduire la nature de (Un)neiN. d) Soit A={Un, neIN}. Déterminer SupA, Inf A, ma> existent. ., s'ils Exercice 2 Soit la fonction f définie par : a) Etuiiier la continuité et la dérivabil sur IR. b) Peut-on appliquer le théorème intermédiaires à f sur [-1,1]. ç) Montrer qu'il existe c e e f ?(cj=7. 4 Exercice 3 Soit E={&t, fifejpïR , x+2y+z=0> a) Montrer que E ^^^lous espace vectoriel de IR3. Soit G={(x, y?^pbIR3s x+y=0, z=0} un sous espace de!IR3. c) Déterminer une base de G d) A-t-on IR3= E©G ? r^' o î * s 11 •^5- ^ * > x c >- • Ç1 <: -& ^ *i~~ r* H S V r* V y V ti r* •? r- r y r A 1 r— 4- rt 5 * \ fô v i C -jt6f- p * \ J 55? .-* s' jjf fo- - <*> USTHB : Faculté de Mathématiques Module d'Analys.el.lère année MI,Coordination. 03 Février 2010 EPREUVE FINALE D'ANALYSE I(Durée: IhSOmn) Exercice 1: [6 pts] On considère la fonction / définie par : f(x] — arcsin( ) — 2 arctan x -1 + a-2 ' l/ Vérifier que / est définie sur M. 2/ / est-elle continue sur R ? Justifier la réponse. 3/ Etudier la dérivabilité de / sur R puis calculer f ' ( x } . 4/ On note / = [1, +ob[. Montrer que /, restreinte J^.. à8feï£t une fonction réciproque dont on précisera le domaine de définit! Exercice 2: [3 pts] Calculer les deux limites suivantes : if PROBLEME: I/ On considère "* V&ê*- • lim - t%umérique (Un}n définie par : a l/ Montrê¥que: 0 < Un < f,' V n € N. 2/Montrer que: \Un+i - 1| < l\Un - 1|, Vn € M. 3/ En déduire que: |C/n - 1| < 5(5)", V n € N et que la suite (Urt)n converge vers 1. Il/ l/ Appliquer la formule de Mac-Laurin-Lagrange à la fonction a; l'ordre n (n * '••-•oi .• ' 2/ En déduire que: e2, à fc=7l Y" ~\ 0. Va: € R lim ^-^ /;;! ' 3/ On considère la suite numérique (Vn)n définie par : a/ Déterminer lim 14. 7i—»-rOO b/ Montrer que la suite (Vn)n est croissante. c/ Soit A ~ {Vn, n € N}. Déterminer InfA,SupA,MinA et s'ils 4/ Les suites (£/n)n et (Ki)n sont-elles adjacentes? USTHB Faculté de Mathématiques Module d'AïisJyse I.lère année MI,Coordination. 03 Février 2010 CORRIGE DE L'EPREUVE FINALE D'ANALYSE I Exercice 1: (l+l + (l-f l)+(i-«-;t)] <; l/ La fonction, x M- arctans.' est définie sur R et la' fonction x M- arcsiua; est définie sur •[— 1, 1], par conséquent on a: 1-r Or,on vérifie immédiatement quo: < 1) <* (1 -à;)2 > 0 et (^ > -1) & (l 2/ / est continue sur R comme composée etlb^râne' de fonctions continues. 3/ La fonction x M- arctana; est dérivajajfTl^^ret la fonction x M- arcsin a; est jdérivable sur j — 1,1[. Par ailleur = 1) <=> (a? = 1) et (ïlf? = -^^^^a: = -1). Par conséquent,la fonction composée x f-> arcsin( dérivable en 1 et en — 1. Ailleurs, elleiest dérivable comme fonctions dérivables. Conclusion: / est déri} -1>1K , Pour tout x 6 M - {-j les régies de dérivation classiques.on obtient; . «, , 1 2(1 ou encore: , = f o si *eJ-M[ l î^r si are]-oo ) -lfUjl,-+oo[ lim f(x] = —-/r et /(l) = 0. Comme / est (strictement) z-H-oo décroissante sur / alors: / est continue sur / et strictement décroissante (puisque f'(x) < 0, Vx 6 ]1, +ôo[),£iJors elle admet une fonction réciproque définie sur /(/) =] — TT, 0]. est continue et strictemeat décroissante. Exericice 2: [1,5+1,5] i/ On applique la règle de l'Hopitd en posant. f ( x ) = cosx — sinx + 1 et g(x) — cosx + sinx — 1. / et g sont dérivables sur R et en particulier au voisinage de :',-. g'(x) — co,?x - sinx = 0 <& i »= f -f &TT, A: e Z. : ^ '' f -T ^ lim ï-^r ^-r-r —- 1 =;> lim Q'(X) g'(x) *-»? ii/ On applique encore la réglo de l'Hôpital en posant œtte fois-ci: f(x} --= a:2 - 2* et, g(x) - xx - 2 2 . ; / dérivable sur M, £r dérivable sur ]0, +oo[. g'(x)0 lim 2 f(x) g'(x] PROBLEME: fl-M+(H-0,5)'+lr-l,5+1+1+2+ I/ l/ On procède par récurrence, on a; 0 < UQ = Supposons que 0 < Un < 4 ( pour n fixé. Aie 0 < U' < => 0 > - Par encadrement,on obtient: lim |£/n — 11 = 0 et donc lim Un = 1 • - ^ n-H-oc II/ l/ Comme la fonction x M- e1 est de classe C°° sur R,on peut écrire: ii i -\i ,,2 • ii.—y-rvjk^ _.n = 1+ x + n! où 0 (n + 1)!' 2/ En rappelant que lim —- = 0, Va 6 S.on a : ni lim \^-C xk |ex - y] —| = lim £=o In-fl «ex - 0 3/ a/ En mettant a? = 1 dans la limite précédente.on ' a: - lim - • - le ' — '> - -—1 £j i = 0 k=n d'où lim TI-++OQ y — '•= e et par conséquent, lim •*—' A;! k~0 n-t-+oo Vn.= Loge b/ On a immédiatement: -Vn=tLog(l + - d'où la suite (K,)r,-est strictement croissanij c/(Vn)n est (strictement) croissante vers .1, alors n = 1 et donc .Siip^i =1. La suite étant strictement croissan^^^cKi ne peut pas exister donc Max A n'existe pas. Toujours parce que la suite es^%^sante,/n/T4 = MmVn = V0 = 0. 4/ Deux suites(67n)net(K), adjacentes si l'une estcroissante, l'autre décroissante et lim (Un - V^ =3 n-*-f-oo e a . (Z/n)n e t(Ki)n conver^^outes les deux vers 1. (^n)n est croissante.il reste donc à étudier laP^apnotonie de (Un)n. (Un}n est 4éfi^^^^ f/o = I et Ûn+i = /(Z7n) où / est la fonction se ^-J^ f(x] — |(^^^^^est strictement décroissante sur JQ, +op[ et dans ce cas,la suite UajLn " i croissante, ni décroissante puisque des deux suites (U^n)n st croissante et l'autre décroissante, Concîu^li: les deux suites (Un)-net(Vn)n ne sont pas adjacentes. USTHB Année Universitaire 2006/2007 Faculté de Mathématiques BMD2 Exercice 01 : Etudier la nature des séries numériques suivantes : „ Y] (-l)n — (01,5 pts) , , a > 0 et a 6 K (02 pts). " Exercice 02 : Soit la série entière : vi2 i „ n(n+l)(n + 2) (01 pt) (03 pts) (03 pts) 1) Déterminer le rayon de convergence JR . 2) Déterminer les domaines de convergence simpî€ej?ujïrrorme. 3) Calculer la somme S de la série sur son domafffl^gliïjgJvergerice simple. Exercice 03 r On considère la suite de fonctions /„ dans [l,e] par: •n«-(Ino:)n si x 0 c) Cali d)En (01 pt) b) Calculer L, (01 pt) a) Montrer que la s vers une foncti (01 Pt) (01 pt) fiions (fn)n converge simplement en fonction de a. TSSE*'^ ^re les valeurs de a pour lesquelles la convergence n'est sur [1, e]. . lit / la fonction 2ir—périodique définie sur ]—TT, w] par : Exercic m si x Ç ]—TT, 0] —1 f(x} = 1 - - si x € JO, TT (01 pt) (02 pt) (01 pt) (01 pt) (01 pt) ^ a) Etudier la parité de /. b) Tracer sur 3 périodes le graphe de /. c) Déterminer, la, série de Fourier associée à /. d) Calculer la somme de la série de Fourier sur " . e) En déduire la somme de la série -.—- >o 2k +• l ^ Faculté de Mathématiques USTHB Section A (ST) 2006-2007 Epreuve de Rattrapage deMATH2 Problème (14pte) : Soit / l'application linéaire de 9î3 dans 9Î3 définie par : f(x,y, z) «B (3jc + 2y - 2z,4x + y- 2z,8x + 4y- 5z) * •'v ••?, X '*• -i l/Déterminer la matrice M de / relativement à la base canonique B =(e 2/ Montrer que / est bijective. 3/ On pose B' = { V^l ,-2,0),; V^=<0,1,1), V3=^l ,1,2) } Montrer que B' est une base de 9î â . 4/Donner la matrice de passage P de la base canoniqjp%joB» 9l à la base B', puis calculer son inverse P" ' baseB' / 5/ a/Donner alors la matrice D de / relatij •-*•'• U Galculer D2v ? isr. =. c/ En déduire D tt , n € N*, puis, 6/ Montrer que M est inversibïlÉt dé^mùner son inverse M"1 * res : gf Soit le système d'éqi -Montrer que ce système est de Cramer -Le résoudre. Exercice (6pts) : : Résoudre : l/ L'équation différentielle homogène : 2l L'équation différentielle linéaire : cosx .,y •).' o A •j. •J. V 9 y , s Q 0 M X. j f i t: 'U.S. Faculté de Maths Epreuve de Rattrapage Maths I ANNfcfe/ Section S filière SÏT. EXERCICE N°l \(Q6 points) 477 So»t la suite 1 °) Montrer que :V«^e M <0, 2Q) Etudier la monotonie de là sù'if e- (£7 ) „, V «/neN 3°) €n 'déduire ^ue lasaite (fJn\^ ^ 'convergehte* et- trouver ^ •4°) On poSe A a {f/A,« eW}; l5étermiWef5MpA/ ïnfX 'yz <+( $4 points) l9) Donner 2°) Etudîer la continuité de la f on EXERCICE N°3 » menttelte les-nom&resjcompteXes 2Ô) fiésoudre do^^les équation^-1. Z* =C7 , Z 4 =F EXgRCICE N°4 :(Ô5points) On pose O = M— {2} et on définit la lof ©par:-'< Vr,jy eG,x O'y =x,.y—2(x +y.) + 6 1. Montrer que ((?,O)'est un groupe commutatif. 2. Montrer que Q2,+oo£,-0jest un sous-groupe de (iS,0)> N-.B. II sera tenu compte dé la présentation et -toute réponse non. justifiée sera considérée nulle. et? ,£2 / Exercise 3 (g Soit / (a?) = - r — 4- coss, - 2 3 L Qna-^^ï (œ3) et cos#-= 1 • •''i&'^:'.''•/ 'Donc ~ .Hh o 2 . ., ? 3 1je'-point (0,2) est t*a poiiit d'infleadon a; =• —. rc —»• 4-OO +QO d'équation y « -a; - 1 Donc la fbïictioii^^^^piiiei-.a^p et:ï/ià Courbe de f^lftÉsm^aai d 'HB TH 1 Licl sections 5 et 6 2011/2012 •07/J01712 EPREUVE FIWA.LE BRCICE1 C6 points'); int a et b deux réels vérifiant 0 < a < b. On considère les suites •nu.rriéfcCqufes ( u ) et ( v nies p a r : " " - - . , ' . . f?' , »Vn démontrer par récurrence que : V«, « > 0, MM > 0 et vu > 0 Montrer que la suite produit( w . v ) est constante. n n établir que : V», n > 0» tt/r < VH . 'ro'uver que les suites ( u M ) et ( v~n) Jéduire des résultats précédents que les spit^^^4^ ( >f J:É0nvejsgejritvers une limite7 que ^ f^*% .m- • - : " . • • : • . • , . . - , -':•:••,-.• srmiiiera en fonction de a et de i. ËRCICE 2Ç& pointsi: / lafonctionréelle dé (étèrrniner le domaine de«di€fînftion dé la a fonction /est-elle contmu&au poirit 2 ? Si t^iT,./^s;t^lte projl^ ui, étudier la dérivabifee de la fonction prolonge ^e/au p-oirit 2, 2? SRCICE 3(8 pointe): r' :' ^, v considère les nombres complexes z = x + / v et Z—z^l-z), alcu 1er la partie imaginaire de Z en fonction de jcel. y. )éterminer l'ensemble des points M d'affixe Z où Z est réel, 3n désigne par r le module de z et par B un argument de z. Quels : sont alors les modules et les ments de 1/z^etde \lz ? • xprimer 1/Z en fonction de r et de<9 . En déduire l'ensemble des points M d'affixe 1/Z. où 1/Z est Bon courage fl .wra tc.nu comote de la nrésenlation USTHB Faculté des Mathématiques lère Année ST, Année universitaire Epreuve finale (Math2) Durée: Ih et 30min Attention! 1) Tout résultat non justifié sera considéré comme étant faux 2) La clarté de la rédaction et l'écriture sans ratures de la solution seront prises en considération 3) L'utilisation de la calculatrice et du stylo rouge est interdite 4) II est souhaitable d'utiliser deux copies d'examen au plus! Exercice 1 ( 5 points). 1. Montrer que : Vz 2. En déduire que : a?) . Exercice 2 (5 points). 1. Déterminer le développement limi^a^]j$isinage de 0 à l'ordre 4 de la fonctions f définie su par: / (or) = sin2 x 2. En utilisant le développ^n^^ limité au voisinage de 0, calculer la limite suivante: 1 r hm — sur x Exercice 3 (4.5 Calculer les i / ites; dx f arcsina: , X(x2_1y J jï^SdXt dx I Exercice 4 (5.5 points). Soit le système x+y+z=2 x + 3y + 2z = -3 2x + y + z = 2 1. Ecrire la forme matricielle AX = B du système (S) 2. Résoudre le système (S) en utilisant la méthode de Cramer. 3. Déterminer A'1 la matrice inverse de A puis retrouver les solutions du système (S) en utilisan A . • • 4. Retrouver les solutions dû système (S) en utilisant la méthode d'échelonnement. USTHB Faculté des Mathématiques 1èr0 Année S.T, Section: H Aimée universitaire: 2006/2007 Epreuve de Rattrapage (Math2) Durée: Ih e t 3 0 min Attention! ~ ~ ~ * 1) Tout résultat non justifié sera considéré comme étant faux ' 2) La clarté de la rédaction et l'écriture sans ratures de la solution seront prises en considération 3) L'utilisation de la calculatrice et du stylo rouge est interdite \) II est souhaitable d'utiliser deux copies d'exame Exercice 1 (7 points). 1 7T arctan x + arctan — = — 1. Montrer que: Vx > 0; x 2 En déduire le développement limité au voisinage de +00 de >n: f ( x ) — arctan a:. 2. Développer à l'ordre 4 au voisinage de 0 les fonctions: si lira x->0 en déduire: sin(ln(l 4- rc)) - 1; (cos : Exercice 2 (5,5 points). Soit 1. Décomposer f (x) en 2. Calculer: l f (x) dx, J dx. * Exercice 3 (7,5 On considère le suivant: -3x -3y-5z = 2 1. Ecrire la matrice A associée à (S) , puis exprimer (3) sous forme matricielle. 2. Calculer A2 et A3 3. En déduire l'inverse A~l de A. A l'aide de A~l résoudre le système (S) . 4. Vérifier les solutions obtenues en (2) en utilisant la méthode de Cramer. 5. Retrouver lés solutions du système (S) en utilisant la méthode d'échelonnement On donne les développements limités suivants (-ir^+0(x^) ÊtrctcLu jû — x ~n~ = l - f + , . . + (-!)' sin x = x — =~ 2n+l ; + .ère année LIC ST section 11 '010-2011 . -Fa.cnlté de mathématiques Durée 1H30 Analyse 1 Exercice 01. (5 points) .lépondre par vrai pu faux. (Justifier dans'le cas où c'est faux). 1. Toute suite convergente est bornée. 2. Si O/JwiN est croissante-èt vérifiant, V n 6 N, Un <Vn telle que la suite (rJweN est <D convergente alors (^)rteN est convergente, , . ^ • 3. Toute fonction admettant uneJjrnite en un peint aest continue en av 4. Une fonction dérivable sur; [a>b] et sur [&,c]^st çlérivablfe sur[a> c]. 5. Si une fonction'bije'ctive-est dérivabîe en'un |>bint, sa fonction r^i^^ùFrest aussi. Exercice 02. (10 points) Soit (Un)n^ la suite définie par : 1 . Montrer que (?/„ ^ est strictement ,cjrai 2. Montrer que \fa Z l , «fn ^ Un ^ 3. Montrer que (U 4. La suite (Un)n^ On définit deux suites l, Vn =2^~ Montrer que Montrer que Montrer que Montrer que 4. ',5. 6. 7. 8. En déduire lim est min et R ^ ^ sont adjacentes, l, VH<KWn où !-& et Exercice 03. (5 pointj?) - Soit / une fonction réelle définie par : 1. Donner le domaine de définition de / 2. Peut-on prolonger /par continuité -v 3. Etudier la continuité de /en 0. 4. Etudier la déiïvabilité de /en 0. (T) !y CORRECTION XERCICE N°l i {06 pointe) ait la suite (Un ) déf inie-par &0i 0, • p) Montrons que ;V#,« eN G<£/ K:l .On maître par/ réçurj?ence ce résultât,. our n -0-eile est yrafe^car '0<Ç/ q <î {#„ - û], -On suppose au'^H^est vraie à l'ordre n t on montre-'qu'elle 'est vraie à" l'ordre n+1 c'^esW^diréjfeÇ/^j <ï . Qn montre aalemenf que p <l/M+1 . Montrons ^ue C7M+l ^ 1 , on a par^hyp^f fièse que #y < 1 , '-" % * ' * * * * 5-f 6) Etudions la-monotonie- de-la suite, -1-3 )n considère la fonction/définie par/ (x}^~-^ qui est une f c x '+'6 „ i f éfînie, ontinue et croissante sur f intervalle [Ojî] corsa déHvée / omme Ê/^t/j donc la suite,(Un •°) Déduisons-que la suite "(27n ) limite^-. ï à^owc^eile est "convergente a suite (Un )weR est une su t sa limite ^ est donnée par l'équatta ? = 1 ou t=-3, €ômme la suit* f canyengehlé dorrcSupÀ ~£ = 1 , pas» \(M points} joit la fonction / définie- par : -2 -1- '.j/* = 2 ' 2 -2 -6 (x - 2)sin I '-si "x > 2 { J -2 °) Donnons le domaine.de définition de la fonction^ . Si x <2 f est définie si : -x + 6 > 0 , x -2^0<^>[-co,2[u]2,6] / donc f est bien définie sur ]-oo,2[. 2 • -,.4-co n 6 : -{2}, donc f estfcfejixiefïnfèsur']2,-f-oo[; -ï Si -Y =2 elle vaut — qwi est bien définie, "D'où Z), =R . 2 , 2°) Etudions la continuité de la fonction f au poirit xû=2r -1 est continue au point x 0 =2sï ' Ijm/ (3? ) = Jim/ (* ) =/ (2) = —- . Calculons les ~ ' ' 2 ' ' imites suivantes1 Hm/ {x ); Km/ (^ ) . * " . -2) lim - f(2), Donc /* est continue appoint XQ - 2. . y*-»r 2 . :XERCTCE.M03 :(O5points) oient U '='—^.Mettons sous la forme exponentielle les nombres complexes U et n i— ® ( • * 2°) Résolvons dans C les &juatîmwr * 26 ±= C/ , Z 4 =F * Oppose Z =* p£e om> ^ solutions sont ^— \Jj « „ * J *^ » EXERCIC6 ^^4 i -On pose Cr^lR* " i Montrons que ^ ^ r o a p c commutattf, " Montrons que 0 est^^». fl suffit de njontrer ^tie : V^,^ eG,* 0^ ç<5 , on remarque que x (i^^^'m r&àrQ& ies lois V et "x" §ont"i^mes dans l'ensemble des nombre^ ré^ls if 'fes-fe ^ntortfrer^sëùlemeht ^ue x <$y & 2'f on a"pûr hypothèse et \ +y ,y . loi O est interne. ., ' Montrons, que © est commiitotive c'est-à-dire :Vx,V €<L?.;C "".. I • - ^"^ ' „ • . , _ > • • i ... ' . . . . . '^ '• • •* ù!a '. Qn a : ! Montrons que 0 est associative c'est-à-dire Vx,y,z &G,x G ^ ., *uy, .y - 2(x \ !+ y }j + 6 \z L— 2l - x .v \- 2(x + y - x .y .1 - 2xz - 2xy - 2yz + 4x + 4y + 4z - 6 Déterminons l'élément neutre de la lof 0. Soit e l'élément neutre de cette loi xjone >' Déterminons l'élément symétrique x' dex pourla-loi <•)„ SI x' est l'élénient symétrique de x alors : x'Qx '~3 <^># je *-2(x +x ')^6^3^x €& <3> x je '.... 2AT-3 - ' , ~.carx 2. Montrons que (]2,*oo[,0)«sr «n souf-gnôupe 4e (ê;<D>. * * Comme l'é|ément feutre è x, —2 y ceci est ycat car ';t - 2 > P et .y , USTHB . Sheultéde 1ère année Lie ST; section J Exercice 1 (7 pis) 3)l?app.&»tion./: E -» fc telle 4) L'appjcatjon /.- JR 5} L'équation a?4 4te* -2-s= 0 admet 6) Si / (*) = arctan x + &i:d;an(-), alors 7) Vx e R*, arctana; + aretau(-) = J 13oit la suîte.d^e. par l^Montrer 2) Démoutrer que la j 3) < 1)0 déduire la naître do 2) Galcuitr lnn( • ' 'convergente • • •,,;' ; ' -:'• ï;î-.':v»:"' itë éef &l^prqfce ^ . • • cosa? — 2)./a?8 lorsque # ~> 0, n <- Exercdce 4 (4 pts) y Soit /(«) = rc arctan y. Montrer que la fonction / admet une asymptote oblique au voifidnage de +bo et donner son équation. Préciser la position dft /a courbe par rapport à l'asymptote. Déterminons l'élément neutre de la loi 0. Soft e l'éîément neutre de cette loi;done : 6.=-G Déterminons l'élément symétrique x' de x pour 1a-loî 0, Sî x1 ^st^ l'élément de x alors : x 0 x ' = 3 Ô # je '-2(x + x1)#6**3,V.x, && <3>xj '-^2 C°rX * 3, Montrons que (]2;-too[,G))^st.tffi sous^-prtôupe <Je (£; Comme'l'élément.neutre ^ Bâcé|^-H Soit x e<? , mwtr'gns que -x <& Ae(? & ' ceci est .vc<îi cor 'x- ~ 2 > 9 et, 3^ -^ >D v* = T ^ ^ f-n-s---- - -~ ' û n—? < VI 4 Cff, -/Ccfoô î' ce'} j. tt&t- ï^^^ ••mA -^^Mfe^^^ /'•/)•'* "•''•'••','•••-' -v1--"'" ' >? : '' r -• •."*••'/^... ' •,. :•;(• :^:;:,^;;^w,^ USTHB Faculté de Mathématiques CORRIGE StJOGENT DE E'EXAM EN FINAL' DE MATH 1 (25/01/10) Exercice 1 ( 7 pts) . . . . Pour chacun des énortcés-suivants, répondre par Vrai ou Faux et justifier votre réponse. 1. (N, -f ) est un groupe. Eaux : 1 n*a pas de symétrique danâ N (-1 £ H), (l 3.' L'application / :*#^«R telle qfitf'fïij^ • \. (Z, -1-,.) est un corps. E sWèstlnjèetivé: Skux : / (0) * / (vr) « 0. 4; L'açplittat^ài $(¥& 7* X -teH^ que / (ai-)^ e* est ëUijectîv^ 'Eat fte Jgj^^aJ^îJa, .le^ptigni J"<:"Ô; fThéorëme'âes we® ju'^uftt;^ ^$7^^.^3^gg^^m^^ définie par /-(a?) = aj4-f-ea: ~;2Îii cott^ûe sur jp,lf-e^ intermédiaires) 6. Si f(x) = arctano; + arctaa^), al^rs /, 7, Vfc.Ç.)HL% arctana; + arçfetn( € M*^, Faux : f (x) = -——j + JL * 1 ' *C " 1 TT' ;. "Fkux ; /^V«= arqtaa^ -f orotan(--') «"— si a: > 0 et Exercice 2 (4 p Soit la suite défirlflar . UQ « 0 et VneH. 1. Pour n = Q, on a bien 0 < uo <"2, car UQ = 0'. On suppose' 0 < itn < 2, alors 2 < ^ -f- 2 < 4, d'où \/2 < V2V«» < 2, donc 0 < «n+1 < 2. 2. On a ^ « - «« - .2 < 0 virai d'après 1). Donc la suite est' croissante. < Q,:ee qui 3. La suite est croissante et majorée par 2, donc elle est convergente, p'a limite t vérifie V2~+l:= l, d'où (£ - 2) (t + 1) = 0. La valeur i = -1 est rejetée car 0 < un < 2 entraîne 0 '< 't < 2, donc ï = 2.'