sujet maths usthb stu sm st001 rotated

USTHB-Faculté de Mathématiques
1ère •• Aiinêe~Liçe&oi& SM^Sëctâon. A;
10 janvier .2012 Durée J.H30
Examen final de
Partie 1 Algèbre
Exercice 1. (4points)
On définit sur l'ensemble R la relation R, définie, par
(1) Montrer que 72. est une relation d'équivalence.
(2j • Déterminer la classe d'équivalence jdc- x — |
Exercice 2. (6 points)
Dans l'ensemble E =E - {-1} on considereMN
et (%} données par
2t%
(2) Mbntrer que ialôj
(3) Montrer
Partie 2-Arialyse
Exercice 3.
On considèT'
(i) Montrer par récurrence quç ^ - vn.= :U° .'"0;: n €'
(ii) En déduire que.un < vn et '~Bm un -vn.
(iii) Montrer que (un) est croissante st que (vj est décroissante. =
(iv) Montrer que les suite (ti,*) et (vn)sônt convergentes et qu'eUës
ont la ttiêmme limite t. ' : . .
>
Exercice 4. (4 points)
Soit (a, 6) 6 SI2 et / la fonction définie sur R par :
,siz. <0
Etudiez, suivant tes vafeiar^de 4 et è là
mtt

USTHB-Faculté de Mathématiques
1ère Année-Licence SM-Section A
Corrigé de l'Examen final de Mathl
"Cerrigé de l'exercice
Soit 7£ la relation définie sur R par
xH-y <=> x - y - je1
(1) Montrons que K est une relation d'équivalence
ce
(a) Puisque Vx 6 R on a 0 ==x — x — x'2 — x- alors
qui montre -que cette relation est reflexive
(b) Si on a xTiy* ce qui vêt dire que x — y — .T- — y2 alors
y — îc = y2 — -x2 ce. qui montre que yTLx et donc que
relation, est symétrique.
(c.) Soient x, y, z € M. tels que
'x"R,y. et
alors on a
•X -y = -x2 -y2 et g - - - y- -
En sommant les égalités piécédei
prouvant ainsi que- la ^el
Par conséquent, la
lence;
(2) La classe d'é
i
2
aura
transitive,
est une relation d'équiva-
^ est donnée par
/-. \2
i 2
Corrigé de l'exercice 2
On définit sur E —.•. R— { — 1} la loi * donnée par
Va.b E E. a*6 = a-|-6 + a-6
(1) Oïi a. " . .
1 + a + b + ab = (1 + a) (1 4- 6)
ceb qui montre que a = a et 3 — b ' . .
(2) De l'égalité précédente, et comme a, 6 ^ —l. ou cire
1 + a + b + ab ^ 0 ;
et donc a + b + ab .G E. ce qui prouve que a •*/.>€ E et donc *est
interne dans. /'?
l

(à) Un véntie.que Va, à, c 6 E
a * b = b * a et (a * &) * c = à * (6 * <:•)
Ainsi * est commutative et associative.
L'élément neutre e s'il existe vérifie
a * e = e •*• a — a
ce qui entraine
e = a<? — a
Comme a- ^ —l, alors e = 0,
Le symétrique a? de a s'il existe .vérifie
a * a = a' * a = 0
ce qui donne
a 4- a' (14- a) =0
et comme a ^ — 1, alors
// — -~~Ci' -i i
a "l+a^""1
car sinon -a- = -1 - c et donc •-1 j^ûceTjiu- est absurde
Par conséquent, (E, *) est un grouj
Corrigé dé l'exercice 3
Soient (un] et (vn] deux
LA
;,.-{-
(1)
s donnée par
«0 < VQ ; tin
5
ainsi, la propriété est vraie pour n = Q.
On suppose qu'elle est vraie à Tordre n. c'est à dire u
alors cl l'ordre n 4-1 on a
3un -fr 2u,, 3vn -+-"2un u,, — /;,,
n ~ Vn =
~ VQ
5"
5
5
Ainsi, Vn 6 N on a u,, - u,, =
Uf) ~ "
5"

(2) Puisque UQ < Vo> alors 0
' 0. . .
De plus on a, comme Uni 57! = 4-oc. alors
—VQ < 0 et donc un — un = ° ' ° <
lim «7, — vn — 0 .
; »-î--foo
(3) En exprimant un+i ~~ 'tln -et t>n+i — t»n . sachant, que «„ < u,,,
aura •-..;• . . •
- -un =
5 5
0.
et
3-y -2(vn -«-„)
.5 5
Ainsi, (un] est croissante tandisque (y,,) est
(4) Les suites (un) et (fn) sont respectivement c^p5arite et décrois-
sante et vérifient linu/,, — vn =.0, alors ^ffl^pnt adjacentes. Elles
sont donc convergentes et Gonverge]|0^te là. même limite £.
Corrigé de l'exercice 4
Soit la fonction réelle / .don;
si x < 0
six>0..-•••
Sur l'intervalle l^çjNP^ 4a fonction / est la fonction polynôme x i—>•
r'2 + b qui y es^»^pt^et' continue.
Sur l'intervall^@»roo[ la fonction / est une fraction rationnelle conti-
nue sur ce domaine .-,
Par conséquent la fonction / est continue sur R*.
En XQ •- 0, on a • .
lim •/ (x) = lim x'2 + 6 = 6
et
et
Donc
ni- f ( \
0, lim •/ (a;) = lima
"
smcra-
a
a = 0. lim / (;r) = lim = 0
lim /" (x) = a
J.-+0+ '
Ainsi, il v a continuité en 0 si et seulement si a ~ b.