CARACTERISATION DES ALGEBRES LOCALEMENT m

COLLOQUIUM MATHEMATICUM
VOL. LXVIII 1995 FASC. 1
CARACT ´ ERISATION DES ALG ` EBRES LOCALEMENT m-CONVEXES
DONT L’ENSEMBLE DES CARACT ` ERES EST ´ EQUIBORN ´ E
PAR
MOHAMED A K K A R (TALENCE)
1. Introduction. Dans cet article, suivant une id´ee de W. ˙ Zelazko dans
[8], on donne plusieurs caract´erisations des alg`ebres localement m-convexes
ayant tous leurs ´el´ements `a spectre born´e. Cela nous permet d’obtenir la
caract´erisation, parmi les alg`ebres localement m-convexes, de celles qui ont
l’espace des caract`eres ´equiborn´e.
On obtient, comme cons´equence imm´ediate de cette caract´erisation, que
dans une alg`ebre localement m-convexe compl`ete, commutative et unitaire
dont tous les ´el´ements sont `a spectre born´e, tout caract`ere est born´e.
Nous ´etablissons un lien naturel entre notre th´eor`eme principal et celui
de ˙ Zelazko dans [8] par l’introduction de la notion de topologie de Q-alg`ebre
τ∗, associ´ee `a la topologie τd’une alg`ebre et ayant les mˆemes born´es (voir
lemme 2 et corollaire 3).
2. Pr´eliminaires. Dans toute la suite, Ed´esigne une alg`ebre complexe,
commutative unitaire, localement m-convexe et compl`ete ([5] ou [6]). Une
telle alg`ebre est, d’apr´es le th´eor`eme de structure de [1], r´eunion bornologi-
que filtrante sup´erieurement d’alg`ebres du mˆeme type qui sont en plus de
Fr´echet. Cela signifie que Eest une r´eunion croissante de sous-alg`ebres Eα
de Equi sont munies de topologies localement m-convexes de Fr´echet telles
que les injections canoniques soient continues et telles que, une partie de
Bde Eest born´ee si elle est contenue dans une sous alg`ebre Eαet y est
born´ee. On note Σ(E) l’espace des fonctionnelles lin´eaires multiplicatives
non nulles sur Eet M(E) le sous-espace de Σ(E) form´e des fonctionnelles
continues.
Pour tout ´el´ement xde E, le spectre alg´ebrique de xest l’ensemble
σ(x) = {λ∈C:x−λe non inversible}.
On a
bx(Σ(E)) = bx(M(E)) = σ(x), x ∈E,
1991 Mathematics Subject Classification: Primary 46H05.
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o`u bxd´esigne la transform´ee de Gelfand de x. On consid`ere sur l’alg`ebre E
la semi-norme spectrale
(1) %E(x) = sup{|λ|:λ∈σ(x)}.
On sait que
(2) %E(x) = sup{|ϕ(x)|:ϕ∈M(E)}= sup{|ϕ(x)|:ϕ∈Σ(E)}.
Pour toutes ces propri´et´es voir par exemple [5], [6] ou [9]. On a aussi
(3) %E(x) = sup
i
{lim |xn|1/n
i:|·|,semi-normes continues sur E}.
Sur l’alg`ebre Eon aura besoin de consid´erer la topologie de la Mackey-
fermeture d´efinie dans [4].
Rappelons d’abord la notion de convergence au sens de Mackey : une
suite (xn)ndans Eest dite Mackey-convergente vers x, ou converge au sens
de Mackey vers x, s’il existe une suite de scalaires (εn)ntendant vers 0 et
un disque born´e Bde Etel que xn−x∈εnBpour tout n. Cela signifie que
(xn)nconverge vers xdans l’espace semi-norm´e EB=Sλ>0λB engendr´e
par Bet dont la semi-norme est la jauge de B.
Une partie Fde Eest Mackey-ferm´ee dans Esi toute suite d’´el´ements
de Fqui converge au sens de Mackey dans Ea une limite qui appartient
`a F. Les parties Mackey-ferm´ees d´efinissent une topologie dite de la Mackey-
fermeture pour laquelle les parties ouvertes sont appel´ees Mackey-ouvertes.
L’alg`ebre Eest une Q-alg`ebre bornologique si l’ensemble des ´el´ements in-
versibles de Eest Mackey-ouvert.
Un ´el´ement xde Eest r´egulier s’il existe λ > 0 tel que la suite (xn/λn)n
est born´ee [7].
3. Exemples de Q-alg`ebres bornologiques. a) Si Eest une alg`ebre
topologique localement convexe pour une topologie J, si (E, J) est une Q-
alg`ebre topologique, c’est-`a-dire si l’ensemble G(E) des ´el´ements inversibles
de Eest J-ouvert, alors Eest une Q-alg`ebre bornologique.
b) Toute alg`ebre de Banach et plus g´en´eralement toute “pseudo-Banach
algebra” au sens de [3] est une Q-alg`ebre bornologique.
c) Soit Eune alg`ebre pseudo-localement convexe (voir [7] ou [9]) dont
l’ensemble des ´el´ements inversibles est ouvert. Si tout born´e convexe B
est compl´etant (c’est-`a-dire l’espace EBest de Banach), par exemple si E
est semi-compl`ete, alors la bornologie `a d´ecroissance rapide fait de Eune
alg`ebre bornologique convexe ([7], Prop. 5, p. 28) qui est une Q-alg`ebre
alors que En’est pas forc´ement une Q-alg`ebre topologique localement con-
vexe.

ALG ` EBRES LOCALEMENT m-CONVEXES 61
4. Th´eor`eme principal
Th´ eor` eme.Soit Eune alg`ebre localement m-convexe commutative,
compl`ete et unitaire. Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes :
(1) Tout ´el´ement xde Ea un spectre compact.
(2) Tout ´el´ement xde Ea un spectre born´e.
(3) Tout ´el´ement xde Eest r´egulier.
(4) L’espace Σ(E)est ´equiborn´e dans le dual (E0, σ(E0, E)).
(5) Le rayon spectral %Eest born´e sur E.
(6) Le rayon spectral %Eest Mackey continu en 0.
(7) L’alg`ebre Eest une Q-alg`ebre bornologique.
D ´e m o n s t r a t i o n. (1)⇒(2) est ´evident.
(2)⇒(3). Si un ´el´ement xde Ea un spectre born´e, cela signifie que
%E(x) est fini. Soit λ > 0 tel que λ>%E(x), alors %E(x/λ)<1 et donc la
s´erie P(xn/λn) converge dans Ed’apr`es la propri´et´e (3) sur %E(x) rappel´ee
dans le paragraphe 2 (Pr´eliminaires).
(3)⇒(1) est bien connue (voir [7] ou [2]).
(2)⇒(4). La propri´et´e (2) signifie que le rayon spectral %E(x) est fini
pour tout x. On sait par ailleurs que pour tout xdans Eon a l’´egalit´e
(2); donc l’ensemble {|ϕ(x)|:ϕ∈M(E)}est born´e, c’est-`a-dire que M(E)
est simplement born´e dans le dual topologique de E. Donc la restriction
`a tout sous-espace tonnel´e de Eest ´equicontinue d’apr´es le th´eor`eme de
Banach–Steinhaus. Montrons que cela a pour cons´equence que M(E), ainsi
que Σ(E), sont ´equiborn´es : en effet, d’apr´es [1], pour tout born´e de E,
il existe une sous-alg`ebre de Fr´echet Eαde Equi contient Bet tel que
Bsoit born´e dans Eαmais M(E)|Eαy est ´equicontinue. Donc l’ensemble
{ϕ(B) : ϕ∈M(E)}est born´e. Il en est de mˆeme pour Σ(E).
(4)⇒(5). Il est clair, d’apr´es l’´egalit´e (2), que %Eest born´ee si, et seule-
ment si, M(E) (ou Σ(E)) est ´equiborn´e.
(5)⇒(6). La semi-norme %Eest continue en 0 pour la topologie de la
Mackey-fermeture si, et seulement si, %E(xn) tend vers 0 si xntend vers 0
au sens de Mackey (voir [4]); ceci est ´equivalent au fait que %Eest born´e.
(6)⇒(7). Supposons que l’ensemble G(E) des ´el´ements inversibles de
Eadmette l’´el´ement unit´e ede l’alg`ebre comme point int´erieur pour la
topologie τ(E) de la Mackey-fermeture de E; cela signifie qu’il existe une
partie Pouverte pour τ(E), ´equilibr´ee et bornivore telle que
e−P⊂G(E).
Soit ε > 0. Pour tout λtel que |λ|> ε, si x∈εP , alors x/λ ∈Pet
λe −x∈G(E), c’est-`a-dire que %E(x)≤ε. D’o`u la continuit´e de %Epour
τ(E) en 0. Inversement, s’il existe Ppartie ´equilibr´ee bornivore, voisinage
de 0 pour τ(E) telle que x∈P, cela implique que %E(x)<1. On en d´eduit

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que pour tout xde P,e−x∈G(E). Donc eest int´erieur `a G(E) et G(E)
est ouvert pour τ(E) dans E.
(7)⇒(1). Supposons que Eest une Q-alg`ebre bornologique. Cela signifie
qu’il existe une partie Pbornivore de Etelle que, pour tout r´eel positif α
on ait
x∈αP ⇒%E(x)≤α.
P´etant bornivore, pour tout y∈Eil existe αpositif tel que y∈αP et
donc %E(x)≤α. Ce qui signifie que le spectre de xest born´e.
On d´eduit du th´eor`eme pr´ec´edent le r´esultat bien connu suivant :
Corollaire.Une alg`ebre norm´ee Eest une Q-alg`ebre si ,et seulement
si,le rayon spectral %Eest born´e ou,ce qui est ´equivalent,si
%E(x)≤ kxk,∀x∈E.
Ce r´esultat est ´egalement vrai pour une “pseudo-Banach algebra” de [2]
si on remplace la norme k·kpar
r(x) = inf{α > 0 : (xn/αn)nsoit born´ee}.
5. Exemples et remarques
Proposition 1. Soit T un espace topologique pseudo-compact (i.e.
“countably compact”), localement compact,non compact. Soit E=C(T)
l’alg`ebre des fonctions continues sur l’espace T,munie de la topologie de la
convergence compacte. Alors Eest une alg`ebre localement multiplicative-
ment convexe,commutative et compl`ete,dont l’ensemble des caract`eres est
´equiborn´e et qui n’est pas une Q-alg`ebre topologique.
D ´e m o n s t r a t i o n. Il est bien connu que l’alg`ebre Eest localement
m-convexe, compl`ete (voir [6], Prop. 12.2). Il est clair aussi que En’est pas
une Q-alg`ebre topologique puisqu’elle poss`ede des caract`eres non continus,
alors que tous ses caract`eres sont born´es ([6], Prop. 12.2).
Montrons que l’espace Σ(E) des caract`eres de Eest ´equiborn´e ou, ce
qui est ´equivalent, que le rayon spectral %Eest born´e.
Soit Bune partie born´ee de E; on veut montrer que l’ensemble {χ(B) :
χ∈Σ(E)}est born´e. Mais Σ(E) est en correspondance avec l’espace βT ,
compactifi´e de Stone–ˇ Cech de T. Donc
{χ(B) : χ∈Σ(E)}={χ(B) : χ∈M(E)}.
Mais ceci est ´egal `a {f(t) : f∈B, t ∈βT }={f(t) : f∈B, t ∈T},
c’est-`a-dire c’est {f(T) : f∈B}. Montrons que ceci est born´e; dans le cas
contraire, soit tn∈Ttel que
sup{f(tn) : f∈B}> n pour tout entier n.

ALG ` EBRES LOCALEMENT m-CONVEXES 63
T´etant pseudo-compact, il existe une suite extraite (tnk)kqui converge
vers tdans T. Donc sup{f(tnk) : f∈B}n’est pas born´e. Ce qui est en
contradiction avec l’hypoth`ese Bborn´e de E, c’est-`a-dire born´e sur tout
compact de T.
Les r´esultats suivants donnent un lien entre la famille des Q-alg`ebres
bornologiques et les alg`ebres Eposs´edant une topologie τ∗de Q-alg`ebre,
plus fine que la topologie τde Emais ayant les mˆemes born´es.
Lemme 2. Soit (E, τ)une alg`ebre localement multiplicativement convexe
v´erifiant les conditions ´equivalentes du th´eor`eme de ˙ Zelazko [8] (i.e. Eest
une Q-alg`ebre pour une topologie plus fine que τ); alors si la topologie τest
d´efinie par la famille kxkαde semi-normes,la topologie de τ∗de Q-alg`ebre
de ˙ Zelazko est d´efinie par la famille
kxk0= sup{|λ|:λ∈σ(x)}et kxk∗
α= max(kxk0,kxkα),
et les deux topologies τet τ∗ont les mˆemes born´es.
D ´e m o n s t r a t i o n. Tout born´e de τ∗est born´e pour τ. Inversement,
soit Bun born´e de τ. D’apr´es le th´eor`eme principal le rayon spectral est
born´e sur B, donc k·k0est born´e sur B; comme chaque k·kαest born´e sur
Bpar d´efinition, les semi-normes k · k∗
αsont donc born´ees sur B, c’est-`a-dire
que Best τ∗-born´e.
Corollaire 3. Si (E, τ )est une alg`ebre localement multiplicativement
convexe compl`ete unitaire,les conditions suivantes sont ´equivalentes :
1) Tout ´el´ement de Ea un spectre born´e.
2) Tout ´el´ement de Ea un spectre compact.
3) Eest une Q-alg`ebre pour une topologie τ∗plus fine que τayant les
mˆemes born´es que τ.
4) Eest une Q-alg`ebre pour une topologie τ1localement multiplicative-
ment convexe compl`ete.
5) Eest une Q-alg`ebre bornologique.
6) Le rayon spectral est born´e sur E.
7) L’espace Σ(E)est ´equiborn´e.
Ce corollaire d´ecoule du lemme pr´ec´edent, du th´eor`eme principal et du
th´eor`eme de ˙ Zelazko [8].
R e m a r q u e 4. Soit (E, τ ) une alg`ebre localement multiplicativement
convexe sur laquelle il existe une topologie plus fine τ∗ayant les mˆemes
born´es telle que (E, τ∗) soit une Q-alg`ebre; dans ce cas l’alg`ebre (E, τ)
n’est pas en g´en´eral une Q-alg`ebre (voir [8]); mais c’est une Q-alg`ebre
bornologique. En effet, (E, τ ∗), ´etant une Q-alg`ebre topologique, est par
cons´equent une Q-alg`ebre bornologique pour la bornologie de τ∗qui est la
mˆeme que celle de τ.