Introduction `a la théorie des nombres Série 5

EPFL -Section de Math´ ematiques
Introduction
`a la th´eorie des nombres
Semestre Printemps 2009 Prof. Eva Bayer-Fluckiger
19.03.2009
S´erie 5
Exercice 1
L’anneau Z[√−2]
Consid´erons l’anneau Z[√−2] := {a+b√−2; a, b ∈Z}. Cet anneau est muni d’une application
N:Z[√−2] →N
appel´ee norme et donn´ee par :
N(a+b√−2) = a2+ 2b2.
1. Montrer que l’application norme est multiplicative, c’est-`a-dire que l’on a N(αβ) =
N(α)N(β) pour tous α, β ∈Z[√−2].
2. Montrer qu’un ´el´ement de Z[√−2] est une unit´e si et seulement s’il est de norme 1.
3. Montrer que l’anneau Z[√−2] est euclidien pour la norme, c’est-`a-dire que l’application
Nsatisfait les deux propri´et´es suivantes (on dit que Nest un stathme euclidien) :
(a) pour tous α, β ∈Z[√−2], N(αβ)≥N(β) ;
(b) pour tous α, β ∈Z[√−2]\{0}, il existe q, r ∈Z[√−2] tels que α=βq +ravec r= 0
ou N(r)< N(β).
4. Soit a⊂Z[√−2] un id´eal non nul de l’anneau Z[√−2]. Montrer l’´egalit´e a=aZ[√−2]
pour tout ´el´ement a∈ade norme minimale.
Ceci implique que l’anneau Z[√−2] est principal. En fait, il s’agit d’un fait plus g´en´eral :
tout anneau euclidien est principal.
Exercice 2
A propos des alg`ebres de quaternions
Soit Fun corps de caract´eristique 6= 2 et soient a, b deux ´el´ements de F∗. On appelle
alg`ebre de quaternions (a, b) toute F-alg`ebre de dimension 4 poss´edant une F-base {1, i, j, k}
telle que :
i2=a, j2=bet k=ij =−ji.
Une telle base est appel´ee base quaternionique pour l’alg`ebre (a, b).

Tout ´el´ement x∈(a, b) est appel´e un quaternion de l’alg`ebre (a, b). Il s’´ecrit comme combi-
naison lin´eaire :
x=α+βi +γj +δk, avec α, β, γ, δ ∈F.
On associe `a xson quaternion conjugu´e, not´e ¯x, d´efini par :
¯x=α−(βi +γj +δk).
L’application ι:x∈(a, b)7→ ¯xest appel´ee l’involution canonique de (a, b). On montre que
l’on peut d´efinir une application N(a,b): (a, b)→F, appel´ee norme et donn´ee par :
N(a,b)(x) = x¯x.
1. Soient a, b ∈F∗. Montrer l’existence d’un isomorphisme de F-alg`ebres :
(a, b)'(b, a).
2. Soit M2(F) l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre 2 sur Fdans laquelle on consid`ere les
matrices suivantes :
I=1 0
0−1et J =0 1 1 0.
Montrer l’existence d’un isomorphisme de F-alg`ebres :
(1,1) ' −→ M2(F),
induit par 1 7→ Id , i7→ I,j7→ Jet k7→ IJ, o`u {1, i, j, k}d´esigne une base de l’alg`ebre
de quaternions (1,1) telle que i2= 1, j2= 1 et k=ij =−ji.
3. Soient a, b ∈F∗. Montrer l’existence d’un isomorphisme de F-alg`ebres de quaternions :
(a, b)'(u2a, v2b),pour tous u, v ∈F∗.
En particulier, cela implique l’existence d’un isomorphisme de F-alg`ebres :
(1, w2)'M2(F),pour tout w∈F∗.
4. Soient a, b ∈F∗. Montrer que l’alg`ebre de quaternions (a, b) est `a division si et seulement
si sa forme norme N(a,b)est anisotrope : plus pr´ecis´ement, on montrera qu’un quaternion
x∈(a, b) est inversible si et seulement si N(a,b)(x)6= 0.
5. Soient a, b ∈F∗. Montrer l’´equivalence des propri´et´es suivantes :
(a) (a, b)'M2(F) (isomorphisme de F-alg`ebres) ;
(b) l’alg`ebre (a, b) n’est pas `a division ;
(c) N(a,b)est isotrope.
Pour montrer l’implication (c)⇒(a), on pourra suivre les indications suivantes :
1. Montrer que l’on peut supposer a6∈ F∗2.
2. Soit x=α+βi +γj +δk ∈(a, b)un quaternion non nul, tel que N(a,b)(x)=0.
En ´ecrivant N(a,b)(x) = α2−β2a−γ2b+δ2ab, montrer qu’il existe deux ´el´ements
r, s ∈Ftels que b−1=r2−as2.
3. Poser u:= rj +sij et v:= (1 + a)i+ (1 −a)ui. Montrer que uet vsatisfont les
relations :
u2= 1, v2= 4a2, uv =−vu,
et que la famille {1, u, v, uv}forme une F-base de l’alg`ebre (a, b).
4. En d´eduire l’existence d’un isomorphisme de F-alg`ebres (a, b)'(1,4a2). Conclure.
6. Application. Pour tout a∈F∗, montrer que les alg`ebres de quaternions (a, −a) et
(a, 1−a) (si a6= 1) sont isomorphes `a l’alg`ebre de matrices M2(F).