Introduction `a la théorie des nombres Série 5

EPFL - Section de Mathématiques
Introduction
à la théorie des nombres
Semestre Printemps 2009
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
19.03.2009
Série 5
Exercice 1 √
L’anneau Z[ −2]
√
√
Considérons l’anneau Z[ −2] := {a+b −2; a, b ∈ Z}. Cet anneau est muni d’une application
√
N : Z[ −2] → N
appelée norme et donnée par :
√
N (a + b −2) = a2 + 2b2 .
1. Montrer que l’application norme
√ est multiplicative, c’est-à-dire que l’on a N (αβ) =
N (α)N (β) pour tous α, β ∈ Z[ −2].
√
2. Montrer qu’un élément de Z[ −2] est une unité si et seulement s’il est de norme 1.
√
3. Montrer que l’anneau Z[ −2] est euclidien pour la norme, c’est-à-dire que l’application
N satisfait les deux propriétés suivantes (on dit que N est un stathme euclidien) :
√
(a) pour tous α, β ∈ Z[ −2], N (αβ) ≥ N (β) ;
√
√
(b) pour tous α, β ∈ Z[ −2]\{0}, il existe q, r ∈ Z[ −2] tels que α = βq + r avec r = 0
ou N (r) < N (β).
√
√
√
4. Soit a ⊂ Z[ −2] un idéal non nul de l’anneau Z[ −2]. Montrer l’égalité a = aZ[ −2]
pour tout élément a ∈ a de norme minimale.
√
Ceci implique que l’anneau Z[ −2] est principal. En fait, il s’agit d’un fait plus général :
tout anneau euclidien est principal.
Exercice 2
A propos des algèbres de quaternions
Soit F un corps de caractéristique 6= 2 et soient a, b deux éléments de F ∗ . On appelle
algèbre de quaternions (a, b) toute F -algèbre de dimension 4 possédant une F -base {1, i, j, k}
telle que :
i2 = a, j 2 = b et k = ij = −ji.
Une telle base est appelée base quaternionique pour l’algèbre (a, b).
Tout élément x ∈ (a, b) est appelé un quaternion de l’algèbre (a, b). Il s’écrit comme combinaison linéaire :
x = α + βi + γj + δk, avec α, β, γ, δ ∈ F.
On associe à x son quaternion conjugué, noté x̄, défini par :
x̄ = α − (βi + γj + δk).
L’application ι : x ∈ (a, b) 7→ x̄ est appelée l’involution canonique de (a, b). On montre que
l’on peut définir une application N(a,b) : (a, b) → F , appelée norme et donnée par :
N(a,b) (x) = xx̄.
1. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer l’existence d’un isomorphisme de F -algèbres :
(a, b) ' (b, a).
2. Soit M2 (F ) l’algèbre des matrices carrées d’ordre 2 sur F dans laquelle on considère les
matrices suivantes :
1 0
0 1
I=
et J =
.
0 −1
1 0
Montrer l’existence d’un isomorphisme de F -algèbres :
'
(1, 1) −→ M2 (F ),
induit par 1 7→ Id , i 7→ I, j 7→ J et k 7→ IJ, où {1, i, j, k} désigne une base de l’algèbre
de quaternions (1, 1) telle que i2 = 1, j 2 = 1 et k = ij = −ji.
3. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer l’existence d’un isomorphisme de F -algèbres de quaternions :
(a, b) ' (u2 a, v 2 b),
pour tous u, v ∈ F ∗ .
En particulier, cela implique l’existence d’un isomorphisme de F -algèbres :
(1, w2 ) ' M2 (F ),
pour tout w ∈ F ∗ .
4. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer que l’algèbre de quaternions (a, b) est à division si et seulement
si sa forme norme N(a,b) est anisotrope : plus précisément, on montrera qu’un quaternion
x ∈ (a, b) est inversible si et seulement si N(a,b) (x) 6= 0.
5. Soient a, b ∈ F ∗ . Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :
(a) (a, b) ' M2 (F ) (isomorphisme de F -algèbres) ;
(b) l’algèbre (a, b) n’est pas à division ;
(c) N(a,b) est isotrope.
Pour montrer l’implication (c) ⇒ (a), on pourra suivre les indications suivantes :
1. Montrer que l’on peut supposer a 6∈ F ∗ 2 .
2. Soit x = α + βi + γj + δk ∈ (a, b) un quaternion non nul, tel que N(a,b) (x) = 0.
En écrivant N(a,b) (x) = α2 − β 2 a − γ 2 b + δ 2 ab, montrer qu’il existe deux éléments
r, s ∈ F tels que b−1 = r2 − as2 .
3. Poser u := rj + sij et v := (1 + a)i + (1 − a)ui. Montrer que u et v satisfont les
relations :
u2 = 1, v 2 = 4a2 , uv = −vu,
et que la famille {1, u, v, uv} forme une F -base de l’algèbre (a, b).
4. En déduire l’existence d’un isomorphisme de F -algèbres (a, b) ' (1, 4a2 ). Conclure.
6. Application. Pour tout a ∈ F ∗ , montrer que les algèbres de quaternions (a, −a) et
(a, 1 − a) (si a 6= 1) sont isomorphes à l’algèbre de matrices M2 (F ).