c’est l’ordonnée du point A donnée dans l’énoncé.
b) f’(3) = 0 car la tangente en A est horizontale donc son coefficient directeur est nul.
c) f(5) = 0 c’est l’ordonnée du point B.
d) f’(5) = 1 c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en B.
e) f’(8) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en C donc de la droite passant par C et D
f) L'équation de la tangente à Cf en B est : y = x – 5 (coefficient directeur 1 et ordonnée à l’origine -5)
g) L'équation de la tangente à Cf en C : on ne peut pas lire l'ordonnée à l'origine donc on applique la
formule :
y = f’(8) (x – 8) + f(8) y =
.
2. Le tableau de variations de f nous indique le signe de f’ donc la position de la courbe de f’ par rapport à
l’axe des abscisses :
x 0 3 7 10
f(x)
f '(x) – 0 + 0 –
Donc la courbe de f’ est située en dessous de l’axe des abscisses sur les intervalles [0 ; 3] et [7 ; 10] et au-
dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle [3 ; 7], d’où l’élimination de la courbe 2.
Les courbes 1 et 3 peuvent convenir. Cependant, on sait d’après la première question que f’(5) = 1 donc la
courbe de f’ doit passer par le point de coordonnées (5 ; 1) d’où l’élimination de la courbe 3.
C’est donc la courbe 1 qui représente la dérivée f’ de f .
Exercice 2 : (5,5 points)
On considère la fonction définie sur ℝ par f(x) = – 3x4 – 4x3 + 12x² + 7 .
1. f est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et
f’(x) = – 3 × 4x3 – 4 × 3x2 + 12 × 2x + 0 = – 12x3 – 12x2 + 24x = 12x (–x² – x + 2).
2. Le premier facteur : 12x est du premier degré et s'annule en 0
Le second facteur (–x² – x + 2) est un trinôme : Δ = 9 > 0 donc il a deux racines : x1 = – 2 et x2 = 1 et il
est du signe de a = – 1 à
l’extérieur des racines
On en déduit :
x–5 –2 0 1 5
12x – – 0 + +
–x² – x + 2 – 0 + + 0 –
f’(x) + 0 – 0 + 0 –