DS5

Contrôle 5, classe de TS2 (3heures)
Exercice 1(3 points)
La fonction f est solution de l’équation différentielle (1) f’=kf, k étant un réel donné.
Répondre par vrai ou faux à chaque affirmation en justifiant :
a) Si f et g sont deux solutions de l’équation différentielle (1), alors la fonction f+g est
aussi une solution de (1).
b) Dans le cas où k=1, la fonction exponentielle est la solution unique de l’équation (1).
c) Les seules solutions (dans le cas général) de l’équation différentielle (1) vérifiant
f(0)=c ( c étant un réel fixé) sont les fonctions de la forme f(x)=c exp(kx), exp
désignant la fonction exponentielle.
d) Les fonctions f solutions de (1) sont toutes continues sur .
Exercice 2 (4 points)
Le directeur d’une fabrique de microprocesseurs constate que 4% de la production journalière
est défectueuse. Un responsable qualité propose une vérification systématique des
microprocesseurs. Cette vérification n’est pas parfaite, elle ne détecte que 95% des
microprocesseurs défectueux et déclare défectueux 2% des microprocesseurs qui ne
présentent pourtant aucun défaut.
On prend au hasard l’un des microprocesseurs dans une production journalière. On appelle :
- M l’événement : « le microprocesseur est défectueux » ;
- R l’événement : « le microprocesseur est rejeté après vérification ».
La notation pB(A) désignant la probabilité de l’événement A sachant que B est réalisé.
Toute réponse doit être justifiée.
1. Préciser les probabilités : p(M), pM(R), pM (R).
2. Calculer la probabilité de l’événement (M et R) ainsi que celle de l’événement ( M et R).
Quelle est la probabilité qu’un microprocesseur soit rejeté après vérification ?
3. Calculer la probabilité que le microprocesseur soit défectueux et déclaré bon par la
vérification.
4. Calculer la probabilité que le microprocesseur soit bon sachant que la vérification va le
déclarer « à rejeter ».
Exercice 3 (6 points)
 xe
Soit la fonction F définie par F ( x)  3 x  ln 
 1.
 xe
1) Quelle est le domaine de définition de cette fonction ?
2) Montrer que le point A(0,1) est le centre de symétrie de la courbe représentative C de
F.
3) Montrer que la courbe C possède 3 droites asymptotes.
4) Montrer que l’équation F(x)=0 admet une solution unique x0dans l’intervalle ]e ;+∞[.
Donner un encadrement au centième près de x0 en utilisant la calculatrice.
Exercice 4 (7 points)
a a
Question préliminaire : a et b sont deux complexes non nuls. Prouvez l’égalité    .
b b
On se propose de déterminer quels sont les nombres complexes solutions de l'équation
(E) : z² - 6z + 12 =0 et de placer, par une construction géométrique, les images de ces nombres
dans le plan complexe.
1° )a) Résoudre l'équation (E).
On note u et u ses solutions, u étant celle dont la partie imaginaire est positive.
b) Calculer le module et un argument de u. En déduire le module et un argument de u .
2° )a) On considère le nombre complexe u - 4.
Écrire ce nombre sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

u
b) Prouver qu’un argument du nombre
est  .
2
u4
u
En déduire un argument de
.
u4
3° ) Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé, on note A le point d'affixe 4,
B le point d'affixe 2 et C le point d'affixe 6. M et N sont les points d'affixes u et u ..
a) En interprétant géométriquement les résultats du 2° ), démontrer que les triangles OMA et
ONA sont rectangles
En déduire que les points O, A, M, N sont sur un même cercle que l'on précisera.
b) Démontrer que les points B, C, M, N sont aussi sur un même cercle que l'on précisera.
c) Construire les deux cercles ainsi obtenus, et les deux points M et N.