n° 1 : 1) Rappeler la définition de suites adjacentes

n° 1 : 1) Rappeler la définition de suites adjacentes.
2) Vrai ou faux ? Justifier. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont
bornées.
n° 2 : 1) Déterminer un argument de z = 1 + i 3 .
1 + i 3 
2) En déduire un argument de – 3 
.
i


2010
3) Vrai ou faux ? Justifier. Le nombre z
est un nombre réel.
n° 4 : Calculer l’intégrale : I  
1
n° 9 La sphère de centre  (3,3,0) et de rayon 5 est – elle tangente au plan
d’équation 2x + 2y + z + 3 = 0 ? Justifier.
n° 10 La durée de vie en km d’un pneu est une variable aléatoire X qui suit
une loi exponentielle de paramètre  :  = 2  10 5 .
x
n° 3 :Une chaîne de supermarchés vend des sacs à ses clients pour le
transport de leurs achats. On considère que la probabilité qu’un sac soit
défectueux est de 0,03. Les sacs sont livrés par lot de 10.
On suppose que leurs défectuosités sont indépendantes.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de sacs défectueux dans
un lot de 10.
1. Calculer à 10  4 près, la probabilité que dans un lot de 10 sacs, 2 soient
défectueux.
2. Donner l’espérance mathématique de X.
2
n° 8 On considère l’équation différentielle ,notée (E), y’ –2y =e2x.
Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x)= xe2x est solution de (E).
1  1t
e dt,
t2
Selon cette loi, pour tout x de [ 0 ;   [, on a P ( X  x ) =  .  e  t dt .
1) Justifier que P ( X  x ) = 1 – e–  x
2 ) Quelle est la valeur de x telle que P ( X  x ) = 0.5 ?
0
n° 11 Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie
x
n
sur ]0 ;+∞[ par f n ( x)  ln x   1
1) Etudier la fonction (limites et variations).
2) Montrer que l’équation fn(x) = 0 admet une seule solution αn et que,
pour tout n, cette solution est dans [1; e]
n° 12 Soit f la fonction définie sur  par f (x) = x ex . Calculer la valeur
puis, à l’aide d’une intégration par parties : J  
2
1
1  1t
e dt.
t3
moyenne de f sur [0 ;3]
n° 13 A et B sont les points de coordonnées  2;1; 2  et  1; 2;1 . Le plan P
 ln x  x 
n° 5 Justifier les résultats suivants : lim 
  1 et
x   
 x 
lim  e x  x   
a pour équation 2 x  y  z  2  0 . Prouver que (AB) coupe P en un point I
puis déterminer les coordonnées de I.
x 
n° 6Soit la suite géométrique u de premier terme u0  1 et de raison
2
.
3
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que : un  105 .
n° 7 Quelle est la transformation géométrique associée à z
i
z e

2
?
n° 14 Un tireur sur cible s’entraîne sur une cible circulaire comportant trois
zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10,20, et
30 centimètres. On admet que la probabilité d’atteindre une zone est
proportionnelle à l’aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible.
La probabilité d’atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :
a. 5/9 ;
b. 9/14 ;
c. 4/7 ; d. 1/3 ?
n° 21 : On considère le polynôme P (z) = 2 z3 +14 z2 +41z +68.
n° 15 : Soit les équations différentielles sur [0 ; +∞[ :
(E) : y’ = 0,05 y (10 – y)
et (E’) : y’ = – 0,5 y + 0,05
1) Résoudre (E’)
1
2) Montrer que y est solution de (E) si et seulement si
est solution de (E’).
y
(On suppose que y ne s’annule pas sur son ensemble de définition)
3) Résoudre (E)
n° 16 Un sac contient trois jetons noirs et deux jetons blancs. On choisit
simultanément et au hasard deux jetons parmi les cinq jetons. Déterminer la
loi de probabilité et l’espérance mathématique de la variable X comptant le
nombre de jetons noirs obtenus
n° 17 Dans le plan complexe P on considère les points A, B et M d’affixes
Z i
respectives 1, i et Z. Soit le point M ’ d’affixe Z’ tel que : Z’ =
.
Z 1
1) Définir à l’aide des points A, B et M le module et un argument de Z’.
2) Déterminer l’ensemble des points M du plan P tels que Z’ = 1.
3) Déterminer l’ensemble des points M du plan P tels que Z’ soit un nombre
réel.
1°) Calculer P(-4), puis déterminer trois nombres réels a,b et c tels que, pour
tout z de Z, on ait P( z ) = ( z+4 ) ( az2 + bz + c).
2°) Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.
n° 22 : Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points
A(1,1,0), B(2,0,3), C(0,–2,5) et D(1,–5,5).
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en
justifiant la réponse :
Proposition 1 : L’ensemble des points M de coordonnées (x,y,z) tels que
y = 2x + 4 est une droite.
Proposition 2 : La transformation de l’espace qui à tout point M associe le
point M’ tel que MM '  MA  MB  2MC est l’homothétie de centre G et de
rapport 3, où G désigne le barycentre de (A,1), (B,1) et (C,2).
Proposition 3 : les points A, B, C et D sont coplanaires
y
1
y = x^(1/n)
Calculer l’aire (en u.a.) du domaine hachuré en
fonction de n (n étant un entier naturel
supérieur ou égal à 2)
n° 18. Les plans P1 et P2 ont pour équations respectives : 2 x  y  z  2  0
et x  2 y  z  1  0 .
Prouver que ces deux plans sont sécants, puis trouver une représentation
paramétrique de leur droite d’intersection D.
y=x^n
0
n° 19 On considère la fonction f définie sur [0 ;
1
] par:
2
f ( x) 
n° 23 :
1x
x
e
1 x
a. Etudier le sens de variation de f .
b. Démontrer que, pour tout réel x de [0 ; 12 ], on a : 1  f ( x) 
En déduire que :
2
e
1
1
1
  2 x 2 f ( x) dx 
0
24
12 e
n° 20 Soit l’équation (E) y ' 3 y  1 . Déterminer la solution de (E) qui prend
la valeur 2 pour x = 1.
n° 24 : Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct


(O, u , v ) , déterminer et représenter les ensembles suivants :
1. E1 , ensemble des points M d’affixe z tels que : z  1  i  2 .
2. E 2 , ensemble des points M d’affixe z tels que : z  2  z .