théorèmes sur les triangles et les angles

1) étudier un énoncé et sa réciproque
énoncé : Si un quadrilatère est un losange , alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Enoncer la propriété réciproque. Cette réciproque est-elle vraie ?
Si ABCD est un losange , alors AB = BC = CD = DA
A et C sont situés à égale distance de B et D , donc (AC) est la médiatrice de [BD]
donc (AC) et (BD) sont perpendiculaires
Un contre-exemple suffit pour montrer que la réciproque est fausse
Si un quadrilatère admet des diagonales perpendiculaires , alors c'est un losange. (Faux)
2) Pythagore
- le théorème de Pythagore : "Si ABC est un triangle rectangle en A , alors BC² = AB² + AC²"
permet de calculer un côté d'un triangle rectangle connaissant les 2 autres côtés
- la contraposée du théorème de Pythagore :"Si BC² ≠ AB² + AC² alors le triangle ABC n'est
pas rectangle en A" permet de prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
- la réciproque du théorème de Pythagore "Si BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est
rectangle en A" permet de prouver qu'un triangle est rectangle
Le triangle ABC est-il rectangle ?
Le théorème de Pythagore donne :
AB² = 4² + 6² = 52
BC² = 8² + 5² = 89
AC² = 1² + 12² = 145
Le plus grand côté est AC
AB² + BC² = 52 + 89 = 141
AB² + BC² ≠ AC² , donc d'après la
contraposée du théorème de Pythagore
ABC n'est pas rectangle en B , donc n'est pas
rectangle.

3) le théorème de Thales et sa réciproque
Les droites de même couleur sont parallèles . Montrer que (AC) est parallèle à (DF)
O,A,D sont alignés ainsi que O,B,E et (AB) est parallèle à (DE) , donc d'après le théorème de
Thales , OA
OD = OB OE . De même on montre que OB OE = OC OF
On en déduit que OA
OD = OC OF . Or O,A,D d'une part et O,C,F d'autre part sont alignés dans le
même ordre , donc d'après la réciproque de Thales , (AC) est parallèle à (DF)
4) les droites remarquables dans un triangle
Les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires
Les droites (CE) et (AB) sont perpendiculaires
Montrer que les droites (AF) et (BC) sont
perpendiculaires
(BD) et (CE) sont 2 hauteurs du triangle ABC . Leur point d'intersection F est donc
l'orthocentre du triangle ABC. (AF) est la troisième hauteur du triangle , et par conséquent ,
elle est perpendiculaire au côté opposé (BC) .
5) lignes trigonométriques dans un triangle rectangle
cos (angle) = côté adjacent
hypoténuse , sin(angle) = côté opposé hypoténuse ; tan(angle) = côté opposé côté adjacent
30° 45° 60°
cos 3
2 2 2 1
2
sin 1
2 2
2 3 2
tan 3
3 1 3

énoncé 1 : calculer des longueurs à partir d'angles
HC = 4 cm
1) Calculer la valeur exacte de AC
2) Calculer la valeur exacte de AH
3) Calculer la valeur exacte de AB
4) Calculer l'aire exacte du triangle ABC
1) AHC est rectangle en H; cos  HCA = CH
AC donc AC = CH
cos  HCA = 4
cos 60° = 4 1
2
= 4 × 2 = 8
2) Avec le sinus du même angle ou avec Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H
AH² = AC² − HC² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48 , donc AH = 48 = 4 3
3) sin  ABH = AH
AB donc AB = AH
sin  ABH = 4 3
sin 45° =4 3
2
2
=4 3×2
2 = 4 3 2 = 4 6
4) ABH est un triangle isocèle rectangle en H , donc BH = AH = 4 3
donc BC = BH + HC = 4 3 + 4
L'aire de (ABC) est donc AH × BC
2 = 4 3(4 3 + 4) 2 = 2 3(4 3 + 4) = 24 + 8 3 (cm²)
énoncé 2 : calculer les angles d'un triangle rectangle
ABC est un triangle rectangle en A . avec AB = 3 et AC = 4 .
Calculer les angles du triangle
A C
B
tan  ABC = AC
AB = 4 3 , la touche tan
−1
de la calculatrice permet d'obtenir  ABC ≈ 53,13°
(pour obtenir tan
−1
sur Casio , SHIFT COS)
donc 
ACB = 90° − ABC ≈ 36,87°
On peut remarquer qu'avec la tangente, on n'a pas besoin de calculer l'hypoténuse qui valait
ici 3² + 4² = 5 .

6) théorème de l'angle inscrit
Calculer les angles demandés
7) Cercle circonscrit à un triangle rectangle
énoncé
A
B J C
IK
H
ABC est un triangle rectangle en B . (BH) est la hauteur issue de B .
I,J et K sont les milieux des côtés .
Montrer que B,I,H,K,J appartiennent au même cercle .
(Trouver des triangles rectangles de même hypoténuse)