Thème Géométrie : Problèmes de calculs de grandeurs

Thème Géométrie : Problèmes de calculs de grandeurs
Exercice
On a construit un rectangle de largeur 5 carreaux et de longueur 13 carreaux et un carré de coté 8
carreaux. On dispose de deux exemplaires du trapèze rectangle ABCD et deux exemplaires du
triangle rectangle TUV reproduits eux aussi sur le quadrillage. On cherche à recouvrir le rectangle
et le carré avec ces éléments.
Si on compare les aires on obtient 64 = 65 ! Expliquer où est l’erreur (on pourra calculer les
pentes des segments [CD] et [UV]).
Travail demandé au candidat
En aucun cas, le candidat ne doit rédiger sur sa fiche sa solution de l'exercice. Celle-ci pourra
néanmoins lui être demandée partiellement ou en totalité lors de l'entretien avec le jury.
Après avoir résolu et analysé l’exercice, le candidat répondra aux questions suivantes :
1. Quel(s) rôle(s) peut jouer un tel exercice dans la formation d’un élève ? Proposez un autre
exercice permettant de développer les mêmes compétences.
2. Proposer ensuite un ou deux exercices utilisant des calculs de grandeurs dans un triangle au
niveau du collège.
Le thème de ce sujet est de savoir poser un paradoxe (ici, par calcul d’aires, logiciel de
géométrie dynamique…).
1. a) Quel(s) rôle(s) peut jouer un tel exercice dans la formation d’un élève ?
- développer le raisonnement déductif ;
- montrer que ce qui peut paraître évident est (tout de même) à démontrer : l’intuition est
essentielle, mais le raisonnement déductif est indispensable;
- inciter l’élève à se vérifier (ici, on peut graphiquement, sans calcul, constater l’inégalité
des pentes des deux segments) ;
- lui apprendre des procédures de vérification ;
- montrer l’intérêt de construire des figures propres et précises en géométrie (plus
précisément, ici, changer d’échelle en agrandissant la figure).
b) Proposez un autre exercice permettant de développer les mêmes compétences.
Soit un triangle quelconque ABC :
La bissectrice issue de A et la médiatrice de [BC] se coupent en K.
M et N sont les projetés orthogonaux de K sur [AB] et [AC].
Considérez la démonstration suivante:
« K étant sur la bissectrice issue de A, KM = KN.
En appliquant le théorème de Pythagore sur les triangles AMK et
respectivement en M et en N, on obtient : AM2 = AK2 – KM2 et AN2
d’où : AM = AN.
De plus, K étant sur la médiatrice de [BC], KB = KC.
En appliquant le théorème de Pythagore sur les triangles MKB et
respectivement en M et en N, on obtient : MB2 = BK2 – KM2 et NC2
d’où :MB = NC. Or , AB = AM + MB, donc AB = AN + NC = AC.
Conclusion: le triangle ABC est isocèle en A. »
Trouvez et expliquez le paradoxe.
ANK, rectangles
= AK2 – KN2 ,
NKC, rectangles
= CK2 – KN2 ,
2. Proposer ensuite un ou deux exercices utilisant des calculs de grandeurs dans un
triangle au niveau du collège.
Le point O est le centre du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC. La droite (OA)
coupe le segment [BC] en un point noté A’. OB = 6 cm.
1) Construire la figure correspondante.
2) a) - Justifier que l’angle OBA’ mesure 30°.
- En déduire que le segment [OA’] mesure 3 cm.
b) - Montrer que la longueur du segment [BA’] vaut 33 cm.
- En déduire la longueur exacte de [BC].
3) Soit E un point de [OC] tel que OE = 2 cm ; la droite parallèle à (BC) passant par E
coupe [OB] en F. Calculer les longueurs des segments [OF] et [EF].
4) Plus généralement, si l’on nomme r le rayon OB, exprimer BC en fonction de r.
Cet exercice fait la synthèse des principales connaissances acquises au collège en
géométrie :
- propriétés du triangle équilatéral,
- trigonométrie,
- théorème de Pythagore,
- théorème de Thalès.