Modèle mathématique.

Fiche de travail autonome n°1 : arithmétique et fractions
Compétence n°1 :critères de divisibilité, nombres premiers
Exercice 1 :
1. Indiquer dans la liste suivante les nombres divisibles par 3
37 56 45 121 9 513 8 214
2. Parmi ces nombres, quels sont ceux qui sont aussi divisibles par 9 ?
Exercice 2 :
Indiquer dans la tableau si chacun des nombres proposés est divisible par 2 – 3 – 4 – 5 ou 6.
654
48
73
675
60
725
556
1 245
3 256
9 996
24 315
2
3
4
5
6
Exercice 3 :
En utilisant les critères de divisibilité, expliquer pourquoi chacun des nombres de la liste suivante n’est pas un nombre premier.
12 15 8 9 10 6 144 20 000 9 634 10 000 004 123 999 999 28 719
Compétence n°2 :listes de diviseurs, nombres premiers
Exercice 4 :
Dresser la liste des diviseurs de chacun des nombres suivants et préciser s’il s’agit ou non d’un nombre premier.
100 19 32 50 78 48 64 31 144 127 162 60
Compétence n°3 : listes de diviseurs et diviseurs communs, PGCD
Exercice 5 :
Dans chacun des cas suivants, écrire la liste des diviseurs de chacun des deux nombres puis en déduire leurs diviseurs commun et leur PGCD.
15 et 18 25 et 30 26 et 28 21 et 35 120 et 100 63 et 45 19 et 38
Exercice 6 :
1. Ecrire les listes des diviseurs des nombres 42 et 56.
2. En déduire le PGCD de ces deux nombres.
3. Ecrire la liste des diviseurs de ce PGCD.
4. Comparer avec la liste des diviseurs communs à 42 et 56.
Compétence n°4 : nombres premiers entre eux
Exercice 7 :
Ecrire la liste des diviseurs de chacun des deux nombres puis indiquer s’ils sont premiers entre eux.
24 et 18 8 et 21 9 et 10 28 et 35
Compétence n°5 : calcul du PGCD par l’algorithme d’Euclide
Exercice 8 :
Dans chacun des cas suivants, calculer le PGCD des deux nombre proposés à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
1 961 et 296 648 et 347 475 et 125
Exercice 9 :
Les nombres 84 et 147 sont-ils premiers entre eux ? Justifier la réponse.
Compétence n°6 : PGCD et problèmes
Exercice 10 :
Dans une salle de bain, on décide de recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux carrés. On veut que ces
carreaux aient pour côté le plus grand nombre entier possible de centimètres.
1. Déterminer la longueur, en cm, du côté d’un carreau, sachant que le mur mesure 210cm de hauteur et 135 cm de largeur.
2. Combien faudra-t-il de carreaux pour recouvrir le mur ?
Exercice 11 :
M. Durand est épicier. Il souhaite écouler son stock de boîtes de sardines et de boîtes de petits pois. Ce stock est composé de 162 boîtes de sardines
et de 270 boîtes de petits pois. M. Durand décide de réaliser des filets garnis identiques tels que :
 Chaque filet contient le même nombre de boîtes de sardines et le même nombre de boîtes de petits pois.
 Toutes les boîtes de sardines et de petits pois sont utilisées.
1. Quel nombre maximal de filets garnis M. Durand peut-il constituer ?
2. Combien y aura-t-il de boîtes de sardines et de boîtes de petits pois dans chaque filet ?
Compétence n°7 : PGCD et fractions irréductibles
Exercice 12 :
1. Calculer le PGCD des nombres 273 et 156.
2. Simplifier la fraction 273
156 pour la rendre irréductible.

Exercice 13 :
On pose A = 20 755
9 488 – 3 8
1. Calculer le PGCD de 20 755 et 9 488.
2. En déduire la forme irréductible de 20 755
9 488 .
3. Calculer A en détaillant les étapes.
Exercice 14 :
1. Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ? Justifier sans calculer le PGCD.
2. La fraction 756
441 est-elle irréductible ? Sinon l’écrire sous forme irréductible en justifiant.
3. Calculer B = 756
441 + 19 21
Exercice 15 :
1. Calculer le PGCD des nombres 648 et 972.
2. Rendre la fraction 648
972 irréductible.
3. Calculer C= 648
972 – 5 18  2 15.
Compétence n°8 : Calcul sur les fractions
Exercice 16:
Calculer les expressions suivantes en indiquant les étapes. Donner les résultats sous forme de fractions les plus simples possibles.
A = 4
9 – 5 9 ( )
1 – 3
10 B = 1 4 + 3 2  5 12 C = ( )
3
4 – 1 2  5 6 D = 3 2 – 5 6  2 15 E = 2 3 – 1 4  6 + 7
F = 1 + 1
2
1
4 – 3 G = ( )
8
7 – 2
9
14
H =
5
3 – 1
1 – 1
6
I =
4
3
2 J =
3
4 – 1 4  3 4 + 5 4
5
8 – 7 6
Exercice 17 :
1. Calculer A, B et C. On donnera les résultats sous la forme la plus simple possible.
A = 1
4  5 – 1 3 B = 1 4  ( )
5 – 1
3 C = ( )
1
6 + 1 2 + ( )
7 – 23
4
2. Vérifier que la somme des trois nombres A, B et C est un nombre entier.
Compétence n°9 : Problèmes et fractions
Exercice 18:
Dans un village de vacances de 360 personnes, il y a 198 enfants ; les autres personnes sont des adultes. Tous les jours, 176 enfants et 1
3 des adultes
vont à la piscine.
Quel est le nombre d’adultes allant tous les jours à la piscine ?
Exercice 19 :
1. Effectuer le calcul suivant et donner le résultat sous forme d’une fraction la plus simplifiée possible : 1 – ( )
1
4 + 3 4  4 5.
2. Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 2001 et les quatre cinquièmes du reste en 2002.
a. Quelle fraction de la propriété a été vendue en 2002 ?
b. Quelle fraction de la propriété reste invendue à l’issue des deux années ?
c. Quelle était la superficie de la propriété sachant que la partie invendue au bout des deux années représente six hectares ?
Le corrigé
Exercice 1 :
1. Les nombres 45 – 9 513 et 8 214 sont divisibles par 3.
2. Les nombres 45 et 9 513 sont aussi divisibles par 9.
Exercice 2 :
654
48
73
675
60
725
556
1 245
3 256
9 996
24 315
2
oui
oui
oui
oui
oui
oui
3
oui
oui
oui
oui
oui
oui
4
oui
oui
oui
oui
oui
5
oui
oui
oui
oui
oui
6
oui
oui
Oui

Exercice 3 :
Les nombres 12 – 8 – 10 – 6 -144 – 20 000 – 10 000 004 sont pairs donc ont au moins 3 diviseurs (1, eux mêmes et 2)
Les nombres 15 – 9 – 123 – 999 999 et 28 719 sont divisibles par 3 donc ont au moins 3 diviseurs (1, eux mêmes et 3).
Exercice 4 :
Diviseurs de 100 : 1 – 2 – 4 – 5 – 10 – 20- 25 – 50 – 100 Diviseurs de 19 : 1 – 19
Diviseurs de 32 :1 – 2 – 4 – 8 -16 – 32 Diviseurs de 162 : 1 – 2 – 3 – 6 – 9 – 18 – 27 – 54 – 81 – 162
Diviseurs de 78 :1 – 2 – 3 – 6 – 13 – 26 – 39 – 78 Diviseurs de 48 :1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 16 – 24 – 48
Diviseurs de 64 :1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64 Diviseurs de 31 :1 – 31
Diviseurs de 127 : 1 – 127 Diviseurs de 50 : 1 – 2 – 5 – 10 -25 – 50
Diviseurs de 60 : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 10 – 12 – 15 – 20- 30 – 60
Diviseurs de 144 :1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 18 – 24 – 36 – 48- 72 – 144
Exercice 5 :
Diviseurs de 15 : 1 – 3 – 5- 15 Diviseurs de 25 : 1 – 5 – 25
Diviseurs de 18 : 1 – 2 – 3 – 6 – 9 – 18 Diviseurs de 30 : 1 – 2 – 3 – 5 – 6 – 10 – 15 – 30
PGCD(15 ;18) = 3 PGCD(25 ;30) = 5
Diviseurs de 26 : 1 – 2 – 13 – 26 Diviseurs de 21 : 1 – 3 – 7 – 21
Diviseurs de 28 : 1 – 2 – 4 – 7– 14 – 28 Diviseurs de 35 : 1 – 5 – 7 – 35
PGCD(26 ;28) = 2 PGCD(21 ;35) = 7
Diviseurs de 120 : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 10 – 12 – 20 – 24 – 30 – 40 – 60 – 120
Diviseurs de 100 : 1 – 2 – 4 – 5 – 10 – 20 – 25 – 50 – 100
PGCD(120 ;100) = 20
Diviseurs de 63 : 1 – 3 – 7 – 9 – 21 – 63 Diviseurs de 19 : 1 – 19
Diviseurs de 45 : 1 – 3 – 5 – 9 – 15 – 45 Diviseurs de 38 : 1 – 2 – 19 – 38
PGCD(63 ;45) = 9 PGCD(19 ;38)=19
Exercice 6 :
1. Diviseurs de 42 : 1 – 2 – 3 – 6 – 7 – 14 – 21 – 42 Diviseurs de 56 : 1 – 2 – 4 – 7 – 8 – 14 – 28 – 56
2. PGCD(42 ;56) = 14
3. Diviseurs de 14 : 1 – 2 – 7 – 14
4. Tous les diviseurs du PGCD de 42 et 56 sont les diviseurs communs à 42 et 56.
Exercice 7 :
Diviseurs de 24 : 1 – 2 – 3 – 4 – 6- 8 – 12 – 24 Diviseurs de 8 : 1 – 2 – 4 – 8
Diviseurs de 18 : 1 – 2 – 3 – 6 – 9 – 18 Diviseurs de 21 : 1 – 3 – 7 – 21
Donc 24 et 18 ne sont pas premiers entre eux mais 8 et 21 sont premiers entre eux.
Diviseurs de 9 : 1 -3 – 9 Diviseurs de 28 : 1 – 2 – 4 – 7 – 14 -28
Diviseurs de 10 : 1 – 2 – 5 – 10 Diviseurs de 35 : 1 – 5 – 7 – 35
Donc 9 et 10 ne sont pas premiers entre eux mais 28 et 35 sont premiers entre eux.
Exercice 8 :
1 961 296 296 185 185 111 111 74 74 37
185 6 111 1 74 1 37 1 0 2
Donc d’après l’algorithme d’Euclide, le PGCD de 1 961 et 296 est 37.
648 347 347 301 301 46 46 25 25 21 21 4 4 1
301 1 46 1 25 6 21 1 4 1 1 5 0 4
Donc d’après l’algorithme d’Euclide, le PGCD de 648 et 347 est 1.
475 125 125 100 100 25
100 3 25 1 0 4
Donc d’après l’algorithme d’Euclide,le PGCD de 475 et 125 est 25.
Exercice 9 :
147 84 84 63 63 21
63 1 21 1 0 3
Donc d’après l’algorithme d’Euclide, le PGCD de 147 et 84 est 21 et ces deux nombres ne sont pas premiers
entre eux.

Exercice 10 :
1. On calcule le PGCD de 210 et 135 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On obtient PGCD(210 ;135) = 15 donc la longueur de côté d’un carreau est 15 cm.
2. 210 = 15  14 et 135 = 15  9
9  14 = 126 donc il faut 126 carreaux pour recouvrir le mur.
Exercice 11 :
1. On calcule le PGCD de 162 et 270 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
On obtient PGCD(162 ;270) = 54 donc M. Durand peut faire 54 filets garnis.
2. 162 = 54 3 et 270 = 54  5 donc il peut mettre 3 boîtes de sardines et 5 boîtes de petits pois par filet.
Exercice 12 :
1. On utilise l’algorithme d’Euclide. PGCD(273 ; 156) = 39
2. 273
156 = 39 7
39  4 = 7
4
Exercice 13 :
1. On utilise l’algorithme d’Euclide. On obtient PGCD(20 755 ;9 488) = 593
2. 20 755
9488 = 593  35
593  16 = 35
16
3. A = 20 755
9 488 – 3 8 = 35 16 – 3 8 = 35 16 – 6 16 = 29 16
Exercice 14 :
1. On utilise l’algorithme d’Euclide. On obtient PGCD(756 ;441) =63
2. 756
441 n’est pas irréductible. 756 441 = 63  12
63  7 = 12
7
3. 756
441 + 19 21 = 12 7 + 19 21 = 36 21 + 19 21 = 55 21
Exercice 15 :
1. On utilise l’algorithme d’Euclide. On obtient PGCD(648 ;972) = 324
2. 648
972 = 324  2
324  3 = 2
3
3. C = 648
972 – 5 18  2 15 = 2 3 – 5  2
9  2 3 5 = 2
3 – 1 27 = 18 27 – 1 27 = 17 27
Exercice 16 :
A = 1
18 B = 7 8 C = 5 24 D = 25 18 E = 37 6 F = -6 11 G = -4 3 H = 4 5 I = 2 3 J = -87 26
Exercice 17 :
A = 11
12 B = 7 6 C = 23 12 A + B + C = 4
Exercice 18:
Il y a au total 162 adultes dans le village. Parmi eux 54 vont à la piscine tous les jours.
Exercice 19:
1. 1 – 
1
4 + 3 4  4 5 = 3 20 2.a. 3 5 b. 3 20 c. 40 hectares