Projection, projection orthogonale

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Projection, projection orthogonale
Définition 4.28 Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Soient F et H deux sous-espaces vectoriels de E complémentaires:
Alors l'application
est linéaire. On l'applelle la projection sur F parallèlement à H.
Dans ce cas
est la projection sur H parallèlement à F.
Si E est un espace euclidien de norme
on dit que
et si
est la projection orthogonale sur F.
Dans ce cas on a l'égalité de Pythagore
Remarque 4.29
Soit
un espace euclidien de dimension n.
Soit F est un sous-espace de E. Si
est une base orthonormée de F, et si
est la projection orthogonale sur F, alors
(4.18)
Exemple 4.30 On prend
et on considère le plan
1) La méthode la plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur
celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite.
consiste à déterminer avant,
L'orthogonal du plan
est la droite
de vecteur directeur unitaire
est une base orthonormée de
Si
est la projection orthogonale sur
alors
La projection orthogonale
sur
est donnée par
et donc
2) La deuxième méthode, directe, pour déterminer
est une base de
consiste à trouver une base orthonormée de
si
et
On orthonormalise cette base en une base orthonormée de
et
où
La projection orthogonale
on trouve que
sur
est alors donnée par
Théorème 4.31
Soit E un espace vectoriel de dimension
et soit
Alors p est une projection s.s.s.
C'est alors la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p) et,
est la projection sur Ker(p) parallèlement à Im(p).
Corollaire 4.32
Soit
un espace euclidien de dimension n
et soit
une projection sur F parallèlement à H:
Alors p est une projection orthogonale s.s.s.
c'est à dire s.s.s. la matrice de
dans une base orthonormée, est symetrique.
Remarque 4.33 Soit
un espace euclidien de dimension n et soit
une projection
orthogonale sur F=Im(p).
Alors, si
vérifie
i) L'égalité de Pythagore
(4.19)
ii)
est caractérisé comme étant l'unique vecteur de F
minimisant la distance de
à F:
(4.20)
iii) Par définition de la projection orthogonale,
est caractérisé par
Exercice 4.34
Soit
un espace euclidien de dimension n.
Soit F est un sous-espace de E. Soit
une base de F, et soit
Prouver que
la projection orthogonale sur F.
et G est la matrice de Gram
Remarque 4.35 Une application importante pour la physique est
la résolution d'un système
où A est une matrice
(non nécessairement carrée).
Le système n'admet pas toujours de solution.
Par contre le système
admet toujours une solution caractérisée par
où p est la projection orthogonale sur Im(A).
On dit que X est une 'solution' au sens des moindres carrés.
Parmi ces solutions existe une seule,
de norme la plus petite:
Remarque 4.36 Projection orthogonale sur une droite ou un plan affine
+ Cas du plan affine:
Une droite affine
Si
de
a une équation de la forme
est un point de
sa projection orthogonale sur
ce qui est équivalent à
On en déduit que
En écrivant que
avec
est dans
on en trouve les coordonnées de
est l'unique point
de
tel que
+ Cas de l'espace affine:
+ + Un plan affine
Si
a une équation de la forme
est un point de
sa projection orthogonale sur
est l'unique point
de
tel que
est l'unique point
de
tel que
ce qui est équivalent à
On en déduit que
En écrivant que
avec
est dans
+ + Une droite affine
Si
on trouve les coordonnées de
a une équation de la forme
alors
Si
est un point de
ce qui est équivalent à
En écrivant que
est dans
sa projection orthogonale sur
avec
on trouve les coordonnées de
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Abderemane Morame 2006-06-07