Projection, projection orthogonale

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Projection, projection orthogonale
Définition 4.28 Soit E un espace vectoriel de dimension n.
Soient F et H deux sous-espaces vectoriels de E complémentaires:
Alors l'application
est linéaire. On l'applelle la projection sur F parallèlement à H.
Dans ce cas est la projection sur H parallèlement à F.
Si E est un espace euclidien de norme et si
on dit que est la projection orthogonale sur F.
Dans ce cas on a l'égalité de Pythagore
Remarque 4.29
Soit un espace euclidien de dimension n.
Soit F est un sous-espace de E. Si est une base orthonormée de F, et si
est la projection orthogonale sur F, alors
(4.18)
Exemple 4.30 On prend et on considère le plan
1) La méthode la plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur consiste à déterminer avant,
celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite.

L'orthogonal du plan est la droite
de vecteur directeur unitaire
est une base orthonormée de
Si est la projection orthogonale sur
alors
La projection orthogonale sur est donnée par
et donc
2) La deuxième méthode, directe, pour déterminer consiste à trouver une base orthonormée de
est une base de si et
On orthonormalise cette base en une base orthonormée de
et où on trouve que
La projection orthogonale sur est alors donnée par
Théorème 4.31
Soit E un espace vectoriel de dimension et soit
Alors p est une projection s.s.s.
C'est alors la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p) et,
est la projection sur Ker(p) parallèlement à Im(p).
Corollaire 4.32

Soit un espace euclidien de dimension n
et soit une projection sur F parallèlement à H:
Alors p est une projection orthogonale s.s.s.
c'est à dire s.s.s. la matrice de dans une base orthonormée, est symetrique.
Remarque 4.33 Soit un espace euclidien de dimension n et soit une projection
orthogonale sur F=Im(p).
Alors, si vérifie
i) L'égalité de Pythagore
(4.19)
ii) est caractérisé comme étant l'unique vecteur de F
minimisant la distance de à F:
(4.20)
iii) Par définition de la projection orthogonale, est caractérisé par
Exercice 4.34
Soit un espace euclidien de dimension n.
Soit F est un sous-espace de E. Soit
une base de F, et soit la projection orthogonale sur F.
Prouver que

et G est la matrice de Gram
Remarque 4.35 Une application importante pour la physique est
la résolution d'un système
où A est une matrice (non nécessairement carrée).
Le système n'admet pas toujours de solution.
Par contre le système
admet toujours une solution caractérisée par
où p est la projection orthogonale sur Im(A).
On dit que X est une 'solution' au sens des moindres carrés.
Parmi ces solutions existe une seule, de norme la plus petite:
Remarque 4.36 Projection orthogonale sur une droite ou un plan affine
+ Cas du plan affine:
Une droite affine de a une équation de la forme
Si est un point de sa projection orthogonale sur est l'unique point de tel que
ce qui est équivalent à
On en déduit que avec
En écrivant que est dans on en trouve les coordonnées de

+ Cas de l'espace affine:
+ + Un plan affine a une équation de la forme
Si est un point de sa projection orthogonale sur est l'unique point de tel que
ce qui est équivalent à
On en déduit que avec
En écrivant que est dans on trouve les coordonnées de
+ + Une droite affine a une équation de la forme
Si alors
Si est un point de sa projection orthogonale sur est l'unique point de tel que
ce qui est équivalent à avec
En écrivant que est dans on trouve les coordonnées de
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Abderemane Morame 2006-06-07