Espaces vectoriels normés de dimension finie

Espaces vectoriel normés de dimension …nie
1) Equivalence des normes en dimension …nie.
Exemple : Considérons E=Rp
Les normes kxk1= sup1ip(jxij),kxk1=Pn
k=1 jxkjet kxk2=qPn k=1 x2
ksont équivalentes. Et on a :
Théorème (admis) : Dans un espace vectoriel normé de dimension …nie , toutes les normes sont équivalentes .
Conséquences fondamentales : Soit Eun ev normé de dimension pet B= (e1; :::; ep)une base de E: Alors
i) une suite de vecteurs converge ssi les psuites de coordonnées dans Bconvergent .
ii) une suite de vecteurs est bornée ssi les psuites de coordonnées dans Bsont bornées.
Preuve : La propriété est immédiate pour la norme sup : kxk1= sup1ip(jij), où x=Pp
i=1 iei:
Exemple : Dans C;limn!+1zn=zssi limn!+1xn=xet limn!+1yn=y:
Exemple : Dans E=Mp(R)s R(p2);limn!+1An=Assi 8(i; j)2 f1; :::; pg2;limn!+1a(n)
ij =aij :
2) Parties compactes (= fermées et bornées) en dimension …nie
a) Dé…nition : en dimension …nie, une partie compacte est une partie fermée et bornée.
Exemple : Les segments [a; b]de Rsont des compacts de R.
Les segments sont d’ailleurs les seules parties de Rà la fois compactes et convexes.
Propriétés (admises) : Soit Kune partie compacte d’un evn Ede dimension …nie.
i) Si f:K!Fest continue et à valeurs dans un evn de dimension …nie, alors f(K)est compacte.
ii) Toute fonction continue f:K!Rsur un compact non vide est bornée et atteint ses bornes .
Corollaire : Soient Kun compact non vide d’un evn E(de dimension …nie) et x2K.
Alors la distance de xàKest atteinte : il existe a2Ktel que kxak=d(x; K):
Preuve : L’application f:K!Ry7! kxykest 1-lipschitzienne donc continue, et atteint ses bornes.
b) Cas des fonctions tendant vers 0en l’in…ni et des fonctionstendant vers +1en l’in…ni.
Prop : Soit f:E!Rcontinue sur un evn Ede dimension …nie (souvent E=Rn).
On suppose que jf(x)jtend vers 0lorsque kxktend vers +1:Alors fest bornée.
Preuve : Pour kxk  rassez grand, jf(x)j  1:Puis fest bornée sur le compact B(0; r). Donc fest bornée.
Prop : Soit f:E!Rcontinue sur un evn Ede dimension …nie (souvent E=Rn).
On suppose que f(x)tend vers +1lorsque kxktend vers +1:
Alors inf fexiste et est atteint : il existe c2Etel que infx2Ef(x) = f(c):
Preuve : Posons k=f(0). Il existe r0tel que 8x2E,kxk  r)f(x)k:
On en déduit que infff(x),x2Eg= infff(x),x2Bg, où Best la boule fermée de centre 0et de rayon r.
En e¤et, f(0) appartient à ff(x),x2Bg, et pour tout xn’appartenant pas à B, on a f(x)k:
Comme fest continue sur le compact B, alors il existe c2Etel que infff(x),x2Bg=f(c):
D’où infff(x),x2Eg=f(c):
c) Distance d’un point à un sev de dimension …nie.
Prop : Soit Fun sev de dimension …nie dans un evn E, et soit x2E:
Alors la distance de xàKest atteinte : il existe a2Ktel que kxak=d(x; F ).
Remarque : La propriété ne résulte pas du corollaire énoncé au a), car Fn’est pas borné (en revanche, Fest fermé).

Preuve : L’application f:F!Ry7! kxykest continue.
De plus, f(y) kykkxk, donc f(y)tend vers +1lorsque kyktend vers +1:Par b), fatteint sa borne inférieure.
Corollaire : Soit fune application continue sur [a; b]. On munit E=C0([a; b];R)d’une norme arbitraire.
Il existe un polynôme Pminimisant kfPklorsque Pdécrit le sev Rn[X]des fonctions polynômes de degré n:
Remarques :
Pour la norme euclidienne kfk2=qRb
af(t)2dt,Pest unique et est le projeté orthogonal de fsur Rn[X]:
Pour la norme kfk1, on ne peut pas expliciter Pdans le cas général (bien qu’il soit unique).
Pour certaines normes, Pn’est pas unique.
3) Continuité des applications linéaires en dimension …nie
a) Continuité des applications linéaires en dimension …nie.
Remarque : En dimension …nie, les notions de continuité et de lipschitzcité ne dépendent pas du choix de la norme
(mais les rapports de lipschitzcité sont généralement modi…és lorsqu’on change de norme).
Prop : En dimension …nie, toute application linéaire u:E!Fest continue (= lipschitzienne) .
Preuve : On choisit une base B= (e1; :::; ep)de E. On munit Ede la norme du sup des coordonnées dans B.
Alors ku(x)k=ku(Pp
i=1 iei)k=kPp i=1 iu(ei)k  Pp i=1 jij ku(ei)k  ksup1ipjij, où k=Pp i=1 ku(ei)k:
Variante : Par le choix de bases, toute application linéaire us’identi…e à u:Kp!KqX7! AX, où A2 Mq;p(R):
On conclut en utilisant la caractérisation séquentielle : si limn!+1Xn=X, alors limn!+1AXn=AX, qui résulte
immédiatement de l’expression des coordonnées de Y=AX, à savoir yi=Pn
i=1 aij xj:
b) Continuité des applications bilinéaires (et n-linéaires) en dimension …nie.
Prop : soit B:EF!Gune application n-linéaire.
Alors il existe k0tel que 8(x; y)2EF,kB(x; y)k  kkxk kyk, et Best continue.
Preuve : On choisit des bases B= (e1; :::; ep)de Eet B0= (e0
1; :::; e0
p)de F.
Alors kB(x; yk=
Pp
i=1 Pq j=1 ijB(ei; e0
j)
ksup1ipjijsup1jq
j , où k=Pp
i=1 Pq j=1 
B(ei; e0
j)
:
Remarque : Plus généralement, si f:E1E2::: En!Fest une application n-linéaire, il existe k0tel que
8(x1; :::; xn)2,kf(x1; :::; xn)k  kkx1k kx2k::: kxnk, et fest continue.
4) Normes sur une algèbre de dimension …nie, et existence d’une norme d’algèbre
a) Une norme d’algèbre sur une R-algèbre Eest une norme Nsur Evéri…ant N(xy)N(x)N(y):
b) On suppose que (E; +;;)est une K-algèbre de dim …nie muni d’une norme k k, par exemple E=Mn(K):
Comme l’application EE!E(x; y)7! xy est bilinéaire, il existe k > 0tel que 8(x; y)2E2,kxyk  kkxk kyk.
La norme Ndé…nie par N(x) = kkxkest une norme d’algèbre, puisqu’on a : N(xy)N(x)N(y):
5) Exemples de normes sur Rn[X]
a) Pour P=Pn
k=0 akXk, on peut considérer kPk1= sup0knjakj,kPk1=Pn
k=1 jakjet kPk2=qPn
k=1 a2
k:
b) N1(P) = supt2[0;1] jP(t)jest une norme (en fait sur R[X], induite par la norme sup sur C0([0;1];R)).
6) Exemples de normes sur Mn(R)
a) Pour M= (aij )1in;1jn, on peut considérer kMk1= sup1in;1jnjaij j:
Mais il ne s’agit pas d’une norme d’algèbre : kMN k1nkMk1kNk1, avec des cas d’égalité.
b) En revanche, kMk= sup1jnPn
j=1 jaij jest une norme d’algèbre.
De plus, on a 8X2Rn,kMXk1 kMk kXk1, où kXk1= sup1knjxkj: