chapitre 5

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Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
© Éditions Belin 2010
Ce chapitre permet de découvrir la fonction inverse, et plus généralement
les fonctions homographiques. La fonction inverse est étudiée en détail :
on y met en évidence son ensemble de défi nition, ses variations et
sa courbe représentative ; elle fournit en outre un exemple supplémentaire
de fonction non-linéaire. En revanche, comme le suggère le programme
offi ciel, nous avons choisi de ne pas faire une étude générale des fonctions
homographiques. L’accent est seulement mis sur la reconnaissance
de ces fonctions et sur la détermination de leur ensemble de défi nition.
L’activité 4 permettra cependant de découvrir les allures possibles
de leur courbe représentative et les « effets » géométriques des constantes ␣
et ␤ sur les fonctions
xx ␭
␣␤ −+ .
Fonctions inverse
et homographiques Chapitre 5
Ouverture
Comme dans le chapitre précédent, les
courbes représentatives des fonctions étu-
diées, ici les fonctions homographiques,
sont des coniques.
Il s’agit ici d’hyperboles qui ont deux branches,
chacune infi nie, et les comètes dont la trajec-
toire est hyperbolique, ne décrivent qu’une
partie de l’une des deux branches.
Il en est de même pour certaines sondes
spatiales ; après leur mise sur orbite, elles
décrivent une partie d’une branche d’hyper-
bole calculée pour que la sonde entre dans
la zone d’attraction de la planète que l’on
souhaite étudier.
Le fait que l’hyperbole ait deux branches est
lié à deux causes :
– les fonctions homographiques sont défi -
nies sur les réels privés d’un point et donc
la courbe représentative a une partie corres-
pondant à un intervalle ]−∝, a[ et une autre
partie correspondant à un intervalle ]a, +∝[ ;
– lorsque la variable x est proche de a, la
valeur f(x) devient très grande, le point de la
courbe s’éloigne de l’axe des abscisses.
Pour bien commencer
Exercice 1
b/ et d/ ; b/.
Exercice 2
b/ ; a/, b/ et d/.
Exercice 3
a/ et d/.
Exercice 4
a/, c/ et d/.
Exercice 5
a/ et c/.
Exercice 6
b/.

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Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
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Activités d’introduction
Commentaires
La première activité a pour objectif de
prendre un premier contact avec la fonction
inverse (tableau de valeurs, courbe repré-
sentative). On y fait remarquer que, comme
pour la fonction carré, il ne s’agit pas d’une
fonction linéaire.
La deuxième activité met en évidence deux
points : tout d’abord, la fonction inverse
est impaire (et donc ses tableaux de valeurs
possèdent une symétrie par rapport à 0) ;
d’autre part, la fonction inverse n’est pas
bornée autour de 0, et peut donc prendre
de très grandes valeurs.
La troisième activité propose un premier
exemple de fonction homographique, autour
d’un problème géométrique.
La quatrième et dernière activité permet
de comparer deux multiples simples de la
fonction inverse. On y étudie notamment
comment les constantes ␣ et ␤ peuvent
infl uer sur la courbe représentative d’une
fonction homographique x 哫 λ
αβ x−+ et
ainsi préparer le cours à ce sujet. Si l’on
souhaite passer du temps sur cette activité,
on conseillera d’utiliser un logiciel traceur
de courbe ou le tracé à la main plutôt que
la calculatrice.
Activité 1 1. a/ f(␯) = 1
␯ .
b/
␯0,1 0,25 0,5 0,75 1 2 3
f(␯)10 4 2 1,33 1 0,5 0,33
␯45678910
f(␯)0,25 0,2 0,17 0,14 0,12 0,11 0,1
c/ Ce tableau n’est pas un tableau de pro-
portionnalité. En effet, en regardant par
exemple la colonne du tableau qui corres-
pond à x = 0,1, on passe de la première
ligne à la seconde en multipliant par 100.
En revanche, dans la colonne suivante, on
passe de la première ligne à la seconde en
multipliant par 16.
2. a/
01
v
f (v)
1
b/ La courbe obtenue dans la question 2. a/
n’est pas une droite, donc, la fonction f
n’est ni une fonction linéaire, ni une fonc-
tion affi ne.
3. a/ On trouve f(␯) ≈ 0,1, donc, un temps
de parcours voisin de 6 minutes. Sur papier
millimétré, on a une précision de 0,1. On peut
donc considérer l’encadrement [0,1 ; 0,2]
pour le résultat.
b/ Sa vitesse moyenne est comprise entre
0,3 et 0,4 kilomètre par heure.
Activité 2 On ne peut pas calculer 1
x
lorsque
x vaut 0.
2. a/
b/ On constate que ce tableau est symé-
trique par rapport à l’abscisse 0.

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Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
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3. a.
b/ La courbe représentative de f est symé-
trique par rapport à l’origine O du repère.
4. a/ La fonction f semble être décroissante
sur [−3 ; 0[ et décroissante sur ]0 ; 3].
b/ On constate que f(0,05) = 20, donc, on
n’a pas forcément f(x) ⭐ 10 pour tout réel x
de ]0 ; 3].
On constate que f(−0,05) = −20, donc on
n’a pas forcément f(x) ⭓ −10 pour tout
réel x de [−3 ; 0[.
Activité 3 1. Aire = (x + 5) × (y + 5).
2. De l’égalité 100 = (x + 5) × (y + 5), on
déduit que y + 5 = 100
5x+ , ce qui implique
y = 100
55 x+−.
La donnée de x suffi ra à l’entrepreneur pour
déterminer y. Notons que la donnée de y
aurait suffi t également, en utilisant la rela-
tion analogue x = 100
55 y+−.
3. a/ On doit résoudre l’inéquation
100
555 x+−⭐ ⇔ 100 510 x+⭐
⇔ 100 ⭐ 10(x + 5) ⇔ x ⭓ 5.
Remarque : on a de plus la condition y ⭓ 0
qui impose x ⭐ 15.
b/
01
y
x
1
c/ La fonction f semble être décroissante sur
[5 ; 15].
d/ Lorsque x = 5, on trouve y = 5, donc le
périmètre vaut 40 m.
Lorsque x = 10, on trouve y ≈ 1,67, donc le
périmètre est voisin de 43 m.
C’est donc la valeur x2 qui donne à l’aire de
jeu le plus grand périmètre.
Activité 4 1. a/
b/ La fonction f semble être décroissante sur
[−5 ; 0[ et décroissante sur ]0 ; 5].
2. a/
b/ La fonction g semble croissante sur [−5 ; 0[
et croissante sur ]0 ; 5].
3. a/ f1 est défi nie sur [−5 ; 5] privé de 1.
f2 est défi nie sur [−5 ; 5] privé de 0.
f3 est défi nie sur [−5 ; 5] privé de 1.
g1 est défi nie sur [−5 ; 5] privé de −3.
g2 est défi nie sur [−5 ; 5] privé de 0.
g3 est défi nie sur [−5 ; 5] privé de 2.
b/ f1
f2
f3

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Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
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g1
g2
g3
c/ On obtient la courbe représentative de la
fonction f1 en décalant de 1 unité vers la
droite la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f2 en décalant de 2 unités vers le
bas la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f3 en décalant de 1 unité vers la
droite et 3 unités vers le haut la courbe repré-
sentative de f.
d/ On obtient la courbe représentative de la
fonction g1 en décalant de 3 unités vers la
gauche la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g2 en décalant de 3 unités vers le
haut la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g3 en décalant de 2 unités vers la
droite et 1 unité vers le bas la courbe repré-
sentative de g.
Exercices et problèmes
LA FONCTION INVERSE
1
1
a/ Faux ; b/ vrai ; c/ faux ; d/ faux ; e/ vrai ;
f/ faux.
2
2
a/ 2 ; b/ 10 ; c/ 0,01 ; d/ 2
2 ; e/ 0,04 ;
f/ 4.
3
3
c/ et f/.
4
4
Seuls les points proposés en a/, e/ et f/
appartiennent à la courbe représentative de
la fonction inverse.
5
5
a/ La courbe a/ n’est pas la courbe
représentative de la fonction inverse car la
fonction inverse est positive sur ]0 ; + ∞[.
b/ La courbe b/ n’est pas la courbe repré-
sentative de la fonction inverse car le point
(0 ; 0) n’appartient pas à la courbe représen-
tative de la fonction inverse.
c/ C’est la courbe représentative de la fonc-
tion inverse.
7
7
a/ 1
31
1
04−,,
⬍ ; b/ 1
15
1
32−,,
⬍ ; c/ 1
2
1
02−⬍, ;
d/ 1
5
1
5−⬍ ; e/ 1
2
1
3−−
⬍ .
8
8
La fonction inverse est strictement dé-
croissante sur ]− ∞ ; 0[, donc : 111
xyz
⬎⬎
.
10
10
a/ Erratum : il faut lire « ]0 ; + ∞[ » et non
« ]0 ; + ∞] ».
01
y
x
1
b/
01
y
x
1

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Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
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c/
01
y
x
1
11
11
Erratum : il faut lire « g(x) = −2
x » et non
« f(x) = −2
x ».
a/
La fonction f semble être décroissante sur
]− ∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; + ∞[.
b/ Soient x et y deux réels tels que x ⬍ y.
• Si x ⬍ y ⬍ 0, alors, par stricte décroissance
de la fonction inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut
écrire 11
xy
⬎ , puis, en multipliant chaque
membre par 4, on trouve : f(x) ⬎ f(y). La
fonction f est donc strictement décroissante
sur ]− ∞ ; 0[.
• Si 0 ⬍ x ⬍ y, alors, par stricte décrois-
sance de la fonction inverse sur ]0 ; + ∞[,
on peut écrire 11
xy
⬎ , puis, en multipliant
chaque membre par 4, on trouve : f(x) ⬎ f(y).
La fonction f est donc strictement décrois-
sante sur ]0 ; + ∞[.
c/
La fonction g semble être croissante sur
]− ∞ ; 0[ et croissante sur ]0 ; + ∞[. Démon-
trons-le : soit x et y deux réels tels que x ⬍ y.
• Si x ⬍ y ⬍ 0, alors, par stricte décroissance
de la fonction inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut
écrire 11
xy
⬎ , puis, en multipliant chaque
membre par −2 ⬍ 0, on trouve : g(x) ⬍ g(y).
La fonction g est donc strictement crois-
sante sur ]− ∞ ; 0[.
• Si 0 ⬍ x ⬍ y, alors, par stricte décroissance
de la fonction inverse sur ]0 ; + ∞[, on peut
écrire 11
xy
⬎ , puis, en multipliant chaque
membre par −2 ⬍ 0, on trouve : g(x) ⬍ g(y).
La fonction g est donc strictement crois-
sante sur ]0 ; + ∞[.
12
12
a/ I = 1
R .
b/ Si 3 ⬍ R ⬍ 5, alors, par stricte décrois-
sance de la fonction inverse sur ]0 ; + ∞[, on
peut écrire 1
3
11
5
⬎⬎
R , donc l’intensité est
comprise entre 0,2 et 0,33 A.
13
13
1. a/ Par stricte décroissance de la fonc-
tion inverse sur ]0 ; + ∞[, on peut écrire :
111
bxa
⬍⬍
.
b/ Par stricte décroissance de la fonction
inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut écrire :
111
bxa
⬍⬍
.
2. a/ Par stricte décroissance de la fonction
inverse sur ]0 ; + ∞[, on peut écrire : 11
bx
⬍ .
b/ Par stricte décroissance de la fonction
inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut écrire : 11
xa
⬍ .
c/ Si x ∈ [a ; 0[, alors : 11
xa
⬍ ; si x ∈ ]0 ; b[,
alors : 11
bx
⬍ . On peut donc conclure que
xab ∈−∞
⎤
⎦
⎥⎡
⎣
⎢∪+∞
⎤
⎦
⎥⎡
⎣
⎢
;;
11 .