chapitre 5

Fonctions inverse
et homographiques
Chapitre
5
Ce chapitre permet de découvrir la fonction inverse, et plus généralement
les fonctions homographiques. La fonction inverse est étudiée en détail :
on y met en évidence son ensemble de définition, ses variations et
sa courbe représentative ; elle fournit en outre un exemple supplémentaire
de fonction non-linéaire. En revanche, comme le suggère le programme
officiel, nous avons choisi de ne pas faire une étude générale des fonctions
homographiques. L’accent est seulement mis sur la reconnaissance
de ces fonctions et sur la détermination de leur ensemble de définition.
L’activité 4 permettra cependant de découvrir les allures possibles
de leur courbe représentative et les « effets » géométriques des constantes ␣
␭
+ ␤.
et ␤ sur les fonctions x x −␣
© Éditions Belin 2010
Ouverture
Comme dans le chapitre précédent, les
courbes représentatives des fonctions étudiées, ici les fonctions homographiques,
sont des coniques.
Il s’agit ici d’hyperboles qui ont deux branches,
chacune infinie, et les comètes dont la trajectoire est hyperbolique, ne décrivent qu’une
partie de l’une des deux branches.
Il en est de même pour certaines sondes
spatiales ; après leur mise sur orbite, elles
décrivent une partie d’une branche d’hyperbole calculée pour que la sonde entre dans
la zone d’attraction de la planète que l’on
souhaite étudier.
Le fait que l’hyperbole ait deux branches est
lié à deux causes :
– les fonctions homographiques sont définies sur les réels privés d’un point et donc
la courbe représentative a une partie correspondant à un intervalle ]−∝, a[ et une autre
partie correspondant à un intervalle ]a, +∝[ ;
58
– lorsque la variable x est proche de a, la
valeur f(x) devient très grande, le point de la
courbe s’éloigne de l’axe des abscisses.
Pour bien commencer
Exercice 1
b/ et d/ ; b/.
Exercice 2
b/ ; a/, b/ et d/.
Exercice 3
a/ et d/.
Exercice 4
a/, c/ et d/.
Exercice 5
a/ et c/.
Exercice 6
b/.
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
n
Activités d’introductio
passe de la première ligne à la seconde en
multipliant par 16.
2. a/ f (v)
Commentaires
La première activité a pour objectif de
prendre un premier contact avec la fonction
inverse (tableau de valeurs, courbe représentative). On y fait remarquer que, comme
pour la fonction carré, il ne s’agit pas d’une
fonction linéaire.
La deuxième activité met en évidence deux
points : tout d’abord, la fonction inverse
est impaire (et donc ses tableaux de valeurs
possèdent une symétrie par rapport à 0) ;
d’autre part, la fonction inverse n’est pas
bornée autour de 0, et peut donc prendre
de très grandes valeurs.
La troisième activité propose un premier
exemple de fonction homographique, autour
d’un problème géométrique.
La quatrième et dernière activité permet
de comparer deux multiples simples de la
fonction inverse. On y étudie notamment
comment les constantes ␣ et ␤ peuvent
influer sur la courbe représentative d’une
λ
fonction homographique x 哫
+ β et
x−α
ainsi préparer le cours à ce sujet. Si l’on
souhaite passer du temps sur cette activité,
on conseillera d’utiliser un logiciel traceur
de courbe ou le tracé à la main plutôt que
la calculatrice.
Activité 1
b/
1. a/ f(␯) =
1
␯
1
0
v
1
b/ La courbe obtenue dans la question 2. a/
n’est pas une droite, donc, la fonction f
n’est ni une fonction linéaire, ni une fonction affine.
3. a/ On trouve f(␯) ≈ 0,1, donc, un temps
de parcours voisin de 6 minutes. Sur papier
millimétré, on a une précision de 0,1. On peut
donc considérer l’encadrement [0,1 ; 0,2]
pour le résultat.
b/ Sa vitesse moyenne est comprise entre
0,3 et 0,4 kilomètre par heure.
Activité 2
x vaut 0.
On ne peut pas calculer
1
x
lorsque
2. a/
.
© Éditions Belin 2010
␯
0,1 0,25 0,5 0,75 1
2
3
4
2 1,33 1
0,5 0,33
f(␯) 10
␯
4
5
6
7
8
9
10
f(␯) 0,25 0,2 0,17 0,14 0,12 0,11 0,1
c/ Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. En effet, en regardant par
exemple la colonne du tableau qui correspond à x = 0,1, on passe de la première
ligne à la seconde en multipliant par 100.
En revanche, dans la colonne suivante, on
b/ On constate que ce tableau est symétrique par rapport à l’abscisse 0.
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
59
3. a.
Activité 4
b/ La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’origine O du repère.
4. a/ La fonction f semble être décroissante
sur [−3 ; 0[ et décroissante sur ]0 ; 3].
b/ On constate que f(0,05) = 20, donc, on
n’a pas forcément f(x) ⭐ 10 pour tout réel x
de ]0 ; 3].
On constate que f(−0,05) = −20, donc on
n’a pas forcément f(x) ⭓ −10 pour tout
réel x de [−3 ; 0[.
1. Aire = (x + 5) × ( y + 5).
2. De l’égalité 100 = (x + 5) × ( y + 5), on
100
déduit que y + 5 =
, ce qui implique
x
+5
100
− 5.
y=
x +5
La donnée de x suffira à l’entrepreneur pour
déterminer y. Notons que la donnée de y
aurait suffit également, en utilisant la rela100
tion analogue x =
− 5.
y +5
3. a/ On doit résoudre l’inéquation
100
100
−5⭐5 ⇔
⭐ 10
x +5
x +5
⇔ 100 ⭐ 10(x + 5) ⇔ x ⭓ 5.
Remarque : on a de plus la condition y ⭓ 0
qui impose x ⭐ 15.
Activité 3
b/
0
© Éditions Belin 2010
b/ La fonction f semble être décroissante sur
[−5 ; 0[ et décroissante sur ]0 ; 5].
2. a/
b/ La fonction g semble croissante sur [−5 ; 0[
et croissante sur ]0 ; 5].
3. a/ f1 est définie sur [−5 ; 5] privé de 1.
f2 est définie sur [−5 ; 5] privé de 0.
f3 est définie sur [−5 ; 5] privé de 1.
g1 est définie sur [−5 ; 5] privé de −3.
g2 est définie sur [−5 ; 5] privé de 0.
g3 est définie sur [−5 ; 5] privé de 2.
b/
f
y
1
1
f2
x
1
c/ La fonction f semble être décroissante sur
[5 ; 15].
d/ Lorsque x = 5, on trouve y = 5, donc le
périmètre vaut 40 m.
Lorsque x = 10, on trouve y ≈ 1,67, donc le
périmètre est voisin de 43 m.
C’est donc la valeur x2 qui donne à l’aire de
jeu le plus grand périmètre.
60
1. a/
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
f3
2
2 a/ 2 ; b/ 10 ; c/ 0,01 ; d/
g1
2
f/ 4.
; e/ 0,04 ;
3 c/ et f/.
4 Seuls les points proposés en a/, e/ et f/
appartiennent à la courbe représentative de
la fonction inverse.
g2
5 a/ La courbe a/ n’est pas la courbe
représentative de la fonction inverse car la
fonction inverse est positive sur ]0 ; + ∞[.
b/ La courbe b/ n’est pas la courbe représentative de la fonction inverse car le point
(0 ; 0) n’appartient pas à la courbe représentative de la fonction inverse.
c/ C’est la courbe représentative de la fonction inverse.
g3
7
a/
c/ On obtient la courbe représentative de la
fonction f1 en décalant de 1 unité vers la
droite la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f2 en décalant de 2 unités vers le
bas la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f3 en décalant de 1 unité vers la
droite et 3 unités vers le haut la courbe représentative de f.
d/ On obtient la courbe représentative de la
fonction g1 en décalant de 3 unités vers la
gauche la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g2 en décalant de 3 unités vers le
haut la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g3 en décalant de 2 unités vers la
droite et 1 unité vers le bas la courbe représentative de g.
es
Exercices et problèm
1
⬍
; b/
1
⬍
1
− 3, 1 0 , 4
− 1, 5 3, 2
1
1
1
1
d/
⬍ ; e/
⬍
.
−5 5
− 2
− 3
; c/
1
−2
⬍
1
0, 2
;
8 La fonction inverse est strictement dé-
croissante sur ]− ∞ ; 0[, donc :
1
x
⬎
1
y
⬎
1
z
.
10 a/ Erratum : il faut lire « ]0 ; + ∞[ » et non
« ]0 ; + ∞] ».
y
1
0
b/
x
1
y
1
LA FONCTION INVERSE
© Éditions Belin 2010
1
0
x
1
1 a/ Faux ; b/ vrai ; c/ faux ; d/ faux ; e/ vrai ;
f/ faux.
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
61
y
c/
1
0
x
1
11 Erratum : il faut lire « g(x) = −
« f(x) = −
2
x
».
2
x
» et non
a/
1
.
R
b/ Si 3 ⬍ R ⬍ 5, alors, par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0 ; + ∞[, on
1 1 1
peut écrire ⬎ ⬎ , donc l’intensité est
3 R 5
comprise entre 0,2 et 0,33 A.
12 a/ I =
La fonction f semble être décroissante sur
]− ∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; + ∞[.
b/ Soient x et y deux réels tels que x ⬍ y.
• Si x ⬍ y ⬍ 0, alors, par stricte décroissance
de la fonction inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut
1
1
écrire ⬎ , puis, en multipliant chaque
x
y
membre par 4, on trouve : f(x) ⬎ f(y). La
fonction f est donc strictement décroissante
sur ]− ∞ ; 0[.
• Si 0 ⬍ x ⬍ y, alors, par stricte décroissance de la fonction inverse sur ]0 ; + ∞[,
1
1
on peut écrire ⬎ , puis, en multipliant
x
y
chaque membre par 4, on trouve : f(x) ⬎ f(y).
La fonction f est donc strictement décroissante sur ]0 ; + ∞[.
c/
© Éditions Belin 2010
La fonction g semble être croissante sur
]− ∞ ; 0[ et croissante sur ]0 ; + ∞[. Démontrons-le : soit x et y deux réels tels que x ⬍ y.
• Si x ⬍ y ⬍ 0, alors, par stricte décroissance
de la fonction inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut
1
1
écrire ⬎ , puis, en multipliant chaque
x
y
membre par −2 ⬍ 0, on trouve : g(x) ⬍ g( y).
La fonction g est donc strictement croissante sur ]− ∞ ; 0[.
• Si 0 ⬍ x ⬍ y, alors, par stricte décroissance
de la fonction inverse sur ]0 ; + ∞[, on peut
1
1
écrire ⬎ , puis, en multipliant chaque
x
y
membre par −2 ⬍ 0, on trouve : g(x) ⬍ g(y).
La fonction g est donc strictement croissante sur ]0 ; + ∞[.
13 1. a/ Par stricte décroissance de la fonc-
tion inverse sur ]0 ; + ∞[, on peut écrire :
1
1 1
⬍ ⬍ .
b
x
a
b/ Par stricte décroissance de la fonction
inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut écrire :
1
1 1
⬍ ⬍ .
b
x
a
2. a/ Par stricte décroissance de la fonction
1
1
inverse sur ]0 ; + ∞[, on peut écrire : ⬍ .
b
x
b/ Par stricte décroissance de la fonction
1 1
inverse sur ]− ∞ ; 0[, on peut écrire : ⬍ .
x
a
1 1
c/ Si x ∈ [a ; 0[, alors : ⬍ ; si x ∈ ]0 ; b[,
x
a
1
1
alors : ⬍ . On peut donc conclure que
b
x
⎡
⎤
1⎡ ⎤ 1
x ∈ ⎥ − ∞ ; ⎢ ∪ ⎥ ; + ∞ ⎢.
a⎣ ⎦b
⎣
⎦
62
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
3.
Saisir(a,b) ;
Si a * b > 0 alors
Afficher(1/x appartient à [1/b ;1/a]) ;
FinSi ;
Si a * b < 0 alors
Afficher(1/x appartient à
]-∞ ;1/a[ U ]1/b ;+∞[) ;
FinSi ;
Si a = 0 alors
Afficher(1/x > 1/b) ;
FinSi ;
Si b = 0 alors
Afficher(1/x < 1/a) ;
FinSi ;
Si (a = 0 et b = 0) alors
Afficher(a et b ne peuvent pas être tous
les deux nuls) ;
FinSi ;
a/ La fonction f semble être strictement
croissante sur ]− ∞ ; −2[ et strictement croissante sur ]−2 ; + ∞[.
b/ La fonction g semble être strictement
décroissante sur ]− ∞ ; − 4[ et strictement
décroissante sur ]− 4 ; + ∞[.
c/ La fonction h semble être strictement
⎤
4⎡
décroissante sur ⎥ − ∞ ; − ⎢ et strictement
3⎣
⎦
⎡
⎤ 4
décroissante sur ⎥ − ; + ∞ ⎢.
⎣
⎦ 3
d/ La fonction i semble être strictement
⎤
1⎡
croissante sur ⎥ − ∞ ; − ⎢ et strictement
3⎣
⎦
⎡
⎤ 1
croissante sur ⎥ − ; + ∞ ⎢.
⎣
⎦ 3
FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
17 Les fonctions f1, f2 et f4 ont le même
14 a/ Faux ; b/ faux ; c/ vrai ; d/ faux ; e/ faux.
15
f
g
h
© Éditions Belin 2010
i
⎧1⎫
ensemble de définition, à savoir ⺢\⎨ ⎬. En
⎩3⎭
revanche, la fonction f3 est définie sur ⺢\{1}.
19 a/ La fonction f est définie sur ⺢\{5} et
la fonction g est définie sur ⺢\{8}.
b/ Pour tout x différent de 5, on peut écrire
2x − 7
f(x) =
. La fonction f est de la forme
x −5
ax + b
avec a = 2, b = −7, c = 1 et d = −5
x
cx + d
qui vérifient c ≠ 0 et ad − bc = −3 ≠ 0, donc f
est une fonction homographique.
Pour tout x différent de 8, on peut écrire
3 x − 40
g(x) =
. La fonction g est de la forme
x−8
ax + b
avec a = 3, b = − 40, c = 1 et d = −8
x
cx + d
qui vérifient c ≠ 0 et ad − bc = 16 ≠ 0, donc
g est une fonction homographique.
ax + b
20 a/ La fonction f est de la forme x cx + d
avec a = 0, b = 1, c = 1 et d = −1 qui vérifient
c ≠ 0 et ad − bc = −1 ≠ 0, donc f est une
fonction homographique.
ax + b
La fonction g est de la forme x cx + d
avec a = 1, b = 0, c = 2 et d = 4 qui vérifient
c ≠ 0 et ad − bc = 4 ≠ 0, donc g est une fonction homographique.
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
63
b/
f
g
c/ La fonction f semble être strictement
décroissante sur ]− ∞ ; 1[ et strictement
décroissante sur ]1 ; + ∞[. La fonction g semble
être strictement croissante sur ]− ∞ ; −2[ et
strictement croissante sur ]−2 ; + ∞[.
d/ On trouve deux valeurs proches de −1
et 4.
e/ On trouve
S = ]− ∞ ; −2[ ∪ [−1 ; 1[ ∪ [4 ; + ∞[.
21 a/ Ꮽ =
(5 + B ) × h
.
2
(5 + B ) × h
= 100, on déduit
2
200
(5 + B) × h = 200, d’où 5 + B =
puis
h
200
B=
− 5.
h
c/ Pour tout h différent de 0, on peut écrire
− 5 h + 200
f(h) =
. La fonction f est de la
h
ah + b
forme h avec a = −5, b = 200, c = 1
ch + d
et d = 0 qui vérifient c ≠ 0 et ad − bc = −200
≠ 0, donc f est une fonction homographique.
d/
b/ De l’égalité
B
e/ Ce trapèze sera un parallélogramme si
et seulement si B = 5. Graphiquement, on
trouve alors que h doit être voisin de 20 cm.
200
Par le calcul, comme B =
− 5 pour que
h
200
B = 5 on doit avoir
= 10,
h
200
= 20 cm.
d’où h =
10
SUR L’ENSEMBLE DU CHAPITRE
1
3
2
donc f n’est pas une fonction linéaire.
1
2
b/ f(x + y) = est différent de f(x) + f(y) = − ,
2
3
donc f n’est pas une fonction linéaire.
1
c/ f(x + y) = − est différent de f(x) + f(y) = − 1,
4
donc f n’est pas une fonction linéaire.
1
d/ f(x + y) = 1 est différent de f(x) + f(y) = − ,
2
donc f n’est pas une fonction linéaire.
26 a/ La fonction f est définie sur ⺢\{−1}.
© Éditions Belin 2010
h
0
64
5
ax + b
avec a = 1,
cx + d
b = 4, c = 1 et d = 1 qui vérifient c ≠ 0 et
ad − bc = − 3 ≠ 0, donc f est une fonction
homographique.
b/ Pour tout réel x différent de −1, on peut
écrire :
3
x +1
3
x+4
=
+
=
1+
= f(x).
x +1 x +1 x +1 x +1
c/ f(x) − f(y)
⎛
3 ⎞ ⎛
3 ⎞
3
3
= ⎜1+
=
−
− ⎜1+
⎟
⎟
⎝ x + 1⎠ ⎝
y + 1⎠ x + 1 y + 1
Elle est de la forme x =
20
3
23 a/ f(x + y) = est différent de f(x) + f(y) = ,
3( y + 1) − 3( x + 1)
( x + 1)( y + 1)
=
3( y − x )
.
( x + 1)( y + 1)
d/ • Si −1 ⬍ x ⬍ y, alors, y − x ⬎ 0 et (x + 1)
(y + 1) ⬎ 0 (produit de deux nombres strictement positifs), donc f(x) − f( y) ⬎ 0, d’où
f( y) ⬍ f(x). La fonction f est donc strictement décroissante sur ]−1 ; + ∞[.
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
• Si x ⬍ y ⬍ −1, alors, y − x ⬎ 0 et
(x + 1)(y + 1) ⬎ 0 (produit de deux nombres
strictement négatifs), donc, f(x) − f(y) ⬎ 0,
d’où f( y) ⬍ f(x). La fonction f est donc
strictement décroissante sur ]− ∞ ; −1[.
e/
27 a/ La première partie du trajet dure
200
= 2 heures.
100
300
heures.
La seconde partie du trajet dure
x
b/ La distance totale parcourue vaut 500 km et
300
le temps total de parcours est 2 +
heures,
x
donc la vitesse moyenne du voyage est
500
500 x
donnée par : f(x) =
.
=
300 2 x + 300
2+
x
ax + b
c/ La fonction f est de la forme x cx + d
avec a = 500, b = 0, c = 2 et d = 300 qui vérifient c ≠ 0 et ad − bc = 150 000 ≠ 0, donc f
est une fonction homographique.
d/
e/ La vitesse x devra être supérieure à
85 km / h.
d’un certain nombre de chiffres, et réciproquement, si un développement décimal est
périodique à partir d’un certain nombre de
chiffres, le nombre représenté est un rationnel que l’on sait calculer.
Un sens n’est pas vraiment compréhensible
p
par les élèves : si l’on part d’un rationnel ,
q
comme la suite des valeurs approchées par
1
défaut à
près est obtenue par des restes
10n
de division par q, par le principe des tiroirs,
deux restes deviennent égaux et à partir
d’un certain nombre de chiffres et il apparaît une période.
En revanche, la réciproque, qui est utilisée
ici, est totalement à la portée des élèves.
On prend un développement décimal qui
à partir d’un certain nombre de chiffres
présente la période abc…x. On multiplie le
nombre par une puissance de 10 pour avoir
la première période juste après la virgule :
on a donc
10k y = …, abc…xabc…xabc…x… .
On prend le nombre de chiffres de la
période p et on multiplie cette fois par
10k + p, on obtient :
10k + p y = …abc…x, abc…xabc…x… .
Par différence 10k + p y – 10k y est entier
(tout ce qui est derrière la virgule disparaît).
Ici cela donne :
100 A = 8,333 333… et 1 000 A = 83,333 33…,
1
d’où 900 A = 75 et A = .
12
Ceci permet de comprendre le 0,75 miraculeux.
29 a/ On trouve
M=
PROBLÈMES OUVERTS
28 On trouve 10A − 0,75 = A, d’où 9A = 0,75,
© Éditions Belin 2010
puis A =
0, 75
=
1
, d’où x = 12.
9
12
Remarque : un nombre rationnel a un développement décimal périodique, à partir
2
1
1
=
2
x+y
=
2 xy
x+y
.
+
x y
xy
b/ On doit résoudre l’équation
1 1
2
1
1
2
7,5 =
⇔ + =
⇔ =
,
x 5 7, 5
x 15
1 1
+
x 5
donc le nombre x cherché vaut 15.
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
65
faut que 0 ⬍ d − 1 ⬍ 3, c’est-à-dire que
1 ⬍ d ⬍ 4. On doit donc avoir h ⬎ 3,24.
Travaux encadrés
Travaux dirigés
Travaux pratiques
A
a/
E
D
h
1m
B
d
C
En appliquant le théorème de Thalès dans le
triangle (ABC), on obtient :
DE AD
1 h − 2, 43
=
⇔ =
.
BC AB
d
h
b/ En prenant l’inverse de chacun des membres
de l’égalité précédente, on obtient :
h
h
d=
, d’où f : h .
h − 2, 43
h − 2, 43
a h + b1
c/ La fonction f est de la forme h 1
a2 h + b2
avec a1 = 1, b1 = 0, a2 = 1 et b2 = −2,43 qui
vérifient a2 ≠ 0 et a1b2 − b1a2 = −2,43 ≠ 0,
donc f est une fonction homographique.
d/ Avec la contrainte de hauteur du filet, la
fonction f est définie sur Ᏸf = ]2 ; 43 ; +∞[.
f (h)
J
1
© Éditions Belin 2010
0
h
1
La fonction f semble être décroissante.
e/ • Pour que la balle adverse atterrisse dans
le camp adverse, il faut que 0 ⬍ d − 1 ⬍ 9,
c’est-à-dire que 1 ⬍ d ⬍ 10. On doit donc
avoir h ⬎ 2,7.
• Pour que la balle adverse atterrisse dans
la partie bleu foncé du camp adverse, il
66
a/ En se plaçant dans le triangle OIN,
+ INO
= 180°, d’où
on trouve : 90° + OIN
OIN = 90° − INO. Or, en travaillant dans le
+ OMI
triangle INM, on obtient : 90° + INO
= 90° − OMI
. On en déduit :
= 180° d’où : INO
= 90° − (90° − OMI
) = OMI
.
OIN
Dans le triangle rectangle ONI, on peut
) = ON = ON .
écrire : tan(OIN
OI
Dans le triangle rectangle OMI, on peut
) = OI = 1 .
écrire : tan(OMI
OM
x
b/ L’abscisse du point N vaut 0.
et OMI
D’autre part, les deux angles OIN
étant égaux, leurs tangentes sont égales et
1
on obtient donc ON = . Le point N a donc
x
⎛ 1⎞
pour coordonnées ⎜0 ; ⎟ .
⎝ x⎠
c/ À l’aide d’un compas, on peut construire
le point M’ de l’axe des abscisses d’abscisse x.
D’autre part, la question précédente fournit
1
le point N d’ordonnée . On a donc le point
x
⎛
1⎞
de coordonnées ⎜ x ; ⎟ .
⎝
x⎠
N
O
I
M’
M
e/ La « partie de gauche » de l’hyperbole
s’obtient en prenant le symétrique de « la
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
partie de droite » de l’hyperbole par rapport
à l’origine O du repère.
Aide individualisée
• Pour avoir 0,2 ⭐ x ⭐ 0,4, on doit avoir
0,5 ⭐ h ⭐ 1.
Communiquer
Objectif : cette aide individualisée permet
de manipuler une fonction homographique
simple, qui est un multiple de la fonction
inverse : détermination de l’expression de
cette fonction, courbe représentative associée, résolutions graphiques.
a/ Les réels x et h doivent vérifier la relation
x×h
= 0,1.
2
b/ Erratum : il faut lire « …l’égalité : h = f(x)
où… ».
0, 2
La fonction f est donnée par : f : x .
x
c/
2
a/
1
x
f(x) 38
17
x
f(x) 7
3
24
19
6
0
1
© Éditions Belin 2010
d/ • Pour avoir h ⭐ 1, on doit choisir x ⭓ 0,2.
7
14
23
5
9
12
25
5
11
10
27
5
13
9
29
4
15
8
31
4
b/
10
0
1
5
18
21
6
5
c/ Si x ⬍ y, alors, 6x ⬍ 6y d’où 6x + 15
⬍ 6y + 15, puis, par décroissance stricte de la
fonction inverse sur ]0 ; + ∞[, on déduit que
1
1
⬎
, c’est-à-dire : f(x) ⬎ f(y).
6 x + 15
6 y + 15
BILAN : les trois méthodes précédentes permettent de constater que le nombre d’erreurs
diminue au fur et à mesure que les jours du
mois passent. Le logiciel est donc de plus en
plus performant et fiable, ce qui justifie la
satisfaction du directeur de l’entreprise.
Chapitre 5 ■ Fonctions inverse et homographiques
67