chapitre 4

Fonction carré
et problèmes
du 2d degré
Chapitre
4
Ce chapitre est consacré aux fonctions polynômes du second degré
x 哫 ax2 + bx + c. L’accent est mis sur l’importance pour les élèves de
considérer, en priorité, le signe du coefficient « a » ; c’est lui qui donne le
sens de variation (ou géométriquement qui permet de savoir si la parabole
est tournée vers les ordonnées positives ou négatives). Ensuite, diverses
méthodes, autres que la mise sous forme canonique, sont mises en œuvre
pour déterminer le sommet.
Une autre propriété importante de ces fonctions est que leurs courbes
représentatives sont des paraboles. Les propriétés des paraboles ont été
étudiées par les mathématiciens grecs plus de deux siècles avant Jésus-Christ,
en particulier par Apollonius de Perge.
Ouverture
La propriété étonnante présentée dans l’ouverture peut être prouvée géométriquement
mais aussi par un calcul de dérivée ; elle peut
aussi s’énoncer par un résultat d’optique :
tout rayon issu du foyer d’une parabole se
réfléchit parallèlement à l’axe.
De nombreux dispositifs usuels, outre les fours
solaires, utilisent cette propriété de la parabole : évidemment les antennes de réception
dites « paraboliques », où le dispositif de
réception est placé au foyer, mais aussi les
phares où l’on place au foyer, les diodes.
© Éditions Belin 2010
Pour bien commencer
Exercice 1
a/ ; b/ ; c/.
Exercice 2
b/.
Exercice 3
a/ ; b/ ; e/ et f/.
Exercice 4
b/ et e/.
Exercice 5
b/ et c/.
44
n
Activités d’introductio
Commentaires
La première activité a pour objectif de prendre
un premier contact avec la fonction carré
(tableau de valeurs, courbe représentative),
et notamment de remarquer qu’il ne s’agit
pas d’une fonction linéaire étudiée en classe
de troisième.
La deuxième activité a pour objectif de
mettre en évidence la parité de la fonction
carré (et donc la symétrie d’un tableau de
valeurs par rapport à zéro).
La troisième activité permet de comparer deux
multiples simples de la fonction carré, autour
du thème classique de la chute d’un objet.
La quatrième et dernière activité permet de
mettre en évidence comment les constantes
α et β peuvent influer sur la courbe représentative d’une fonction du second degré
x 哫 α(x − α)2 + β et ainsi préparer le cours
à ce sujet. Si l’on souhaite passer du temps
sur cette activité, on conseillera d’utiliser un
logiciel traceur de courbe ou le tracé à la
main plutôt que la calculatrice.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
1. f(x) = x2.
Activité 1
2. a/
2. a/
x
f(x)
x
f(x)
0
5
10
15
20
25
0
25
100 225 400 625
30
35
40
45
50
900 1 225 1 600 2 025 2 500
b/ Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. En effet, en regardant par
exemple la colonne du tableau qui correspond à x = 5, on passe de la première ligne à
la seconde en multipliant par 5. En revanche,
dans la colonne suivante, on passe de la
première ligne à la seconde en multipliant
par 10.
3.
y
b/ Cette courbe est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
3. a/ La fonction f semble être décroissante
sur [−5 ; 0] et croissante sur [0 ; 5].
b/ La fonction f semble posséder un minimum égal à 0, atteint pour x = 0.
Activité 3
1. a/
y
Ꮿf
J
O
600
x
I
Ꮿg
4. La courbe obtenue dans la question 3.
n’est pas une droite, la fonction f n’est donc
ni une fonction linéaire, ni une fonction
affine.
J
O
Activité 2
I
7,75
b/ On constate que si x est une valeur de
la première ligne du tableau, la valeur correspondante de la seconde ligne est 10x2,
donc, le tableau de valeurs proposé est bien
celui de la fonction t 哫 10t2.
c/ Graphiquement, on trouve un temps proche
de 7,75 secondes.
2. a/
1. a/
t
g(t)
t
g(t)
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x
b/ Ce tableau est symétrique par rapport à
la colonne correspondant à x = 0.
1
5
6
180
2
20
7
245
3
45
8
320
4
80
9
405
5
125
10
500
b/
c/ Pour un même temps t, une goutte de
pluie parcourt une distance deux fois plus
grande sur la planète du petit homme vert
que sur Terre. L’affirmation du petit homme
vert était donc vraie.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
45
Activité 4
1. a/
es
Exercices et problèm
LA FONCTION CARRÉ
1 a/ Faux. b/ Faux. c/ Vrai. d/ Faux. e/ Vrai.
f/ Vrai.
b/ La fonction f semble être décroissante sur
[−5 ; 0] et croissante sur [0 ; 5].
c/ La fonction f semble posséder un minimum égal à 3, atteint en x = 0.
2. a/ voir question 1. a/.
b/ La fonction g semble être croissante sur
[−5 ; 0] et décroissante sur [0 ; 5].
c/ La fonction g semble posséder un maximum égal à 4, atteint en x = 0.
3. a/
2 Dans tout cet exercice, nous noterons f
la fonction carré.
a/ f(1+ 2 ) = 3 + 2 2 ; b/ f(1,1) = 1,21 ;
c/ f( 2 − 3 ) = 5 − 2 6 ;
d/ f(1− 5 ) = 6 − 2 5 ; e/ f( 32 ) = 9.
⎛ 1⎞ 1
f/ ⎜ ⎟ = .
⎝ 2⎠ 2
3 a/ et b/.
4 a/ 32 ⭐ 42 ;
c/
(−2)2
⭐
(−3)2
;
b/ 0,12 ⭐ 0,22 ;
d/ (−5)2 ⭐ (−6)2.
5 a/ Vrai. b/ Faux. c/ Faux. d/ Faux. e/ Vrai.
f/ Faux.
6 a/ (x + 1)2 ⭓ 0, donc x2 + 2x + 1 ⭓ 0 ;
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b/ (−3 + x)2 ⭓ 0, donc, −9 − x2 ⭐ −6x.
Remarque : pour plus de lisibilité, on peut
demander aux élèves de n’afficher que les
courbes correspondant aux fonctions f ou
au contraire aux fonctions g.
b/ On obtient la courbe représentative de la
fonction f1 en décalant de 4 unités vers le
bas la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f2 en décalant de 2 unités vers la
gauche la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f3 en décalant de 1 unité vers la
droite la courbe représentative de f.
c/ On obtient la courbe représentative de la
fonction g1 en décalant de 3 unités vers le
bas la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g2 en décalant de 1 unité vers la
gauche la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g3 en décalant de 3 unités vers la
droite la courbe représentative de g.
46
7 a/ Oui ; b/ oui ; c/ oui ; d/ oui ; e/ oui ;
f/ non.
8 La courbe représentative de la fonction
carré est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées, donc, les courbes a/, d/ et e/ ne
sont pas celle de la fonction carré.
La fonction carré est positive sur ⺢, sa courbe
représentative est donc au-dessus de l’axe
des abscisses. La courbe c/ n’est donc pas
celle de la fonction carré.
b/ est la courbe représentative de la fonction carré.
f ( 2) − f ( 3 )
f (1) − f ( 0 )
10 a/
= 5 est différent de
= 1,
2− 3
1− 0
f n’est donc pas linéaire.
f ( 6 ) − f ( − 1)
f ( 7 ) − f (5)
= 5,
= 12 est différent de
b/
6 − ( − 1)
7−5
f n’est donc pas linéaire.
11 a/ f(2 + 1) = 9 est différent de
f(2) + f(1) = 5, f n’est donc pas linéaire.
b/ f(3 + (−1)) = 4 est différent de
f(3) + f(−1) = 10, f n’est donc pas linéaire.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
c/ f(−2 + (−2)) = 16 est différent de
f(−2) + f(−2) = 8, f n’est donc pas linéaire.
d/ f(1 + (−1)) = 0 est différent de
f(1) + f(−1) = 2, f n’est donc pas linéaire.
12 f(0 + 1) = −22 est différent de
f(0) + f(1) = −35, f n’est donc pas linéaire.
14 a/ (−0,9)2 = 0,92 ⬎ (0,8)2 ;
b/ (−1,1)2 ⬍ (1,2)2 ;
d/ (−2)2 ⬎ 02 ;
f/ (−5)2 ⬎ 42.
c/ (−4)2 ⬎ (0,4)2 ;
e/ ( − 2 )2 ⬍ ( 3 )2;
15 De l’inégalité a ⬍ b, on déduit a – 3 ⬍ b – 3.
Or, les deux réels a – 3 et b – 3 sont strictement
positifs, et la fonction carré est strictement
croissante sur [0 ; +∞[, donc (a − 3)2 ⬍ (b − 3)2.
En retranchant 6 à chaque membre, on déduit :
(a − 3)2 − 6 ⬍ (b − 3)2 − 6.
16 a/ 42 ⬍ x2 ⬍ 62, c’est-à-dire :
16 ⬍ x2 ⬍ 36 ;
b/ (−3)2 ⬎ x2 ⬎ (−2)2, c’est-à-dire :
4 ⬍ x2 ⬍ 9 ;
c/ (−1)2 ⬎ x2 ⬎ (−0,5)2, c’est-à-dire :
0,25 ⬍ x2 ⬍ 1 ;
d/ (0,1)2 ⬍ x2 ⬍ (0,2)2, c’est-à-dire :
0,01 ⬍ x2 ⬍ 0,04.
17 a/ x2 ⭓ 4 ;
c/ x2 ⬍ 16 ;
18 Puisque la fonction carré est strictement
décroissante sur ]−∞ ; 0], on peut déduire :
x2 ⬎ y2 ⬎ z2 ⬎ 0.
20 a/ (−1 ; 1). b/ (2 ; 4). c/ (−3 ; 9). d/ ( 6 ; 6).
0,2
0 0,2
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b/
c/
20
0
2 000
2
0 20
23 a/ a2 + b2 = 5x2 ≠ 9x2 = c2 ; donc, le
triangle n’est pas rectangle.
b/ a2 + b2 = 25x2 = c2 ; donc, le triangle est
rectangle.
c/ a2 + b2 = 98x2 ≠ 81x2 = c2 ; donc, le
triangle n’est pas rectangle.
d/ a2 + b2 = 169x2 = c2 ; donc, le triangle est
rectangle.
24 a/ I = [−4 ; 0] ;
c/ I = [−2 ; 3] ;
b/ x2 ⬎ 9 ;
d/ 16 ⭐ x2 ⬍ 36.
21 a/
22 Dans tout cet exercice, nous désignerons
par f la fonction carré.
a/ f(2) = 4 ≠ 2 ; donc, la courbe a/ n’est pas
la courbe représentative de la fonction carré.
b/ f(2) = 4 ≠ 8 ; donc, la courbe b/ n’est pas
la courbe représentative de la fonction carré.
c/ La courbe représentative de la fonction
carré est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées ; donc, la courbe c/ n’est pas
celle de la fonction carré.
d/ C’est la courbe représentative de la fonction carré.
e/ f(4) = 16 ≠ 1,6 ; donc, la courbe e/ n’est pas
la courbe représentative de la fonction carré.
f/ La courbe représentative de la fonction
carré est « arrondie » en (0 ; 0), et pas
« pointue » comme la courbe f/.
b/ I = [0 ; 9] ;
d/ I = [−1 ; 3].
25 a/ Le minimum vaut 1 et le maximum 225.
b/ Le minimum vaut 0 et le maximum 100.
c/ Le minimum vaut 0 et le maximum 2 500.
26 a/ a2 = 448 ⬎ 441 = b2 ; donc, puisque
a et b sont strictement positifs et que la
fonction carré est strictement croissante sur
[0 ; +∞[, on a : a > b.
b/ a2 = 72 ⬍ 80 = b2 ; donc, puisque a et b
sont strictement positifs et que la fonction
carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[,
on a : a < b.
c/ a2 = 72 ⬍ 96 = b2 ; donc, puisque a et b
sont strictement négatifs et que la fonction
carré est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0],
on a : a > b.
d/ a2 = 11− 2 10 ⬎ 7 − 2 10 = b2 ; donc
puisque a et b sont strictement négatifs et
que la fonction carré est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0], on a : a < b.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
47
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
27 a/ Vrai. b/ Faux. c/ Faux. d/ Vrai. e/ Faux.
f/ Faux. g/ Vrai. h/ Faux.
28 a/ Faux. b/ Faux. c/ Vrai. d/ Vrai.
29 a/ f(−1) = 2 ;
b/ f( 2) = 4 + 4 2 ;
c/ f(1+ 3) = 6 + 3 3 ; d/ f( 2 + 8 ) = −84.
30 a/ Décroissante puis croissante ;
b/ décroissante puis croissante ;
c/ croissante puis décroissante ;
d/ décroissante puis croissante ;
e/ croissante puis décroissante ;
f/ croissante puis décroissante.
31 a/ La fonction proposée est croissante puis
décroissante, puis croissante, puis décroissante,
ce qui ne peut pas être le cas d’une fonction
polynôme de degré 2.
b/ f(x) = x2 + 2.
c/ f(x) = −(x − 1)2.
32 a/ Peut être la courbe représentative d’une
fonction polynôme de degré 2.
b/ Une fonction polynôme de degré 2 est soit
décroissante puis croissante, doit croissante
puis décroissante, ce qui n’est pas le cas de
la fonction proposée en b/.
c/ Une fonction polynôme du second degré
ne peut pas être croissante sur ⺢.
d/ Peut être la courbe représentative d’une
fonction polynôme de degré 2.
e/ La fonction proposée est constante sur
[−1 ; 0], ce qui ne peut pas être le cas pour
une fonction polynôme de degré 2.
f/ La fonction proposée est constante sur
[−1 ; 1], ce qui ne peut pas être le cas pour
une fonction polynôme de degré 2.
33 a/ S = {–10 ; 15} ;
c/ S = {−1} ;
⎧ 1
⎫
e/ S = ⎨− ; 12⎬ ;
⎩ 5
⎭
b/ S = {3 ; 8} ;
⎧ 8 3⎫
d/ S = ⎨− ; ⎬ ;
⎩ 3 2⎭
⎧ 1 2⎫
f/ S = ⎨ ; ⎬ .
⎩11 7⎭
© Éditions Belin 2010
34 a/ Faux. b/ Vrai. c/ Vrai. d/ Vrai. e/ Vrai.
35 a/ Vrai. b/ Faux. c/ Vrai. d/ Faux.
36 d/ et h/.
48
⎡
7 ⎡ ⎤5
⎢ ∪ ⎥ ; + ∞⎢ ;
6⎣ ⎦2
⎣
⎦
⎡
⎤
7 ⎤ ⎡5
b/ S = ⎥ −∞ ; − ⎥ ∪ ⎢ ; + ∞ ⎢ ;
6⎦ ⎣2
⎣
⎦
⎤ 7 5⎡
⎡ 7 5⎤
d/ S = ⎢− ; ⎥ .
c/ S = ⎥ − ; ⎢ ;
⎦ 6 2⎣
⎣ 6 2⎦
⎤
37 a/ S = ⎥ −∞ ; −
39 a/ f(−2) = 3 ; f(−1) = 1 ; f(1) = 3 ;
f est donc décroissante puis croissante.
b/ f(−3) = −9 ; f(−1) = 1 ; f(2) = −14 ;
f est donc croissante puis décroissante.
c/ f(−7) = −15 ; f(−5) = −7 ; f(−1) = −15 ;
f est donc croissante puis décroissante.
d/ f(0) = −78 ; f(4) = 1 522 ; f(12) = −78 ;
f est donc croissante puis décroissante.
e/ f(−10) = 1 100 ; f(0) = 1 000 ; f(10) = 1 100 ;
f est donc décroissante puis croissante.
40 a/ f est donc croissante puis décroissante.
b/ f est donc décroissante puis croissante.
c/ f est donc décroissante puis croissante.
d/ f est donc croissante puis décroissante.
⎛ 1⎞
42 a/ f ⎜ − ⎟ et f(1) = 7. Ainsi, f admet
⎝ ⎠
3
un extremum en x0 =
−
1
+1
1
3
= de valeur
2
3
⎛ 1⎞
17
f⎜ ⎟ =
. Il s’agit d’un minimum car le
⎝ 3⎠
3
coefficient devant x2 est strictement positif.
b/ f(0) = 0 et f(2) = 0. Ainsi, f admet un extre0+2
= 1 de valeur f(1) = 3.
mum en x0 =
2
Il s’agit d’un maximum car le coefficient
devant x2 est strictement négatif.
⎛ 2⎞
c/ f ⎜ − ⎟ = 1 et f(0) = 1. Ainsi, f admet un
⎝ 5⎠
2
− +0
1
extremum en x0 = 5
= − de valeur
2
5
⎛ 1⎞ 4
f ⎜ − ⎟ = . Il s’agit d’un minimum car le
⎝ 5⎠ 5
coefficient devant x2 est strictement positif.
d/ f(− 5) = 66 et f( 5) = 66. Ainsi, f admet
− 5+ 5
= 0 de valeur
un extremum en x0 =
2
f(0) = −9. Il s’agit d’un minimum car le coefficient devant x2 est strictement positif.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
b/ x
43
a/ x
−6
f(x) 101
1
x
f(x) 3
−5
75
2
5
−4
53
3
11
−3
35
4
21
−2
21
5
35
−1
11
6
53
0
5
On constate que f(0) = f(2), donc, f admet
0+2
= 1 de valeur
un extremum en x0 =
2
f(1) = 3. Il s’agit d’un minimum car le coefficient devant x2 est strictement positif.
b/ x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
0
f(x) −74 −57 −42 −29 −18
1
2
3
4
5
x
6
7
6
3
f(x) 3
−9
6
−2
−2
On constate que f(2) = f(4), donc, f admet un
2+ 4
= 3 de valeur f(3) = 7.
extremum en x0 =
2
Il s’agit d’un maximum car le coefficient
devant x2 est strictement négatif.
c/ x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
0
f(x)
x
f(x)
−5
1
−5
1
5
7
7
5
2
3
4
5
6
−13 −23 −35 −49 −65
1
On constate que f(−3) = f(−2), donc, f admet
− 3 + ( − 2)
= − 2,5 de
un extremum en x0 =
2
valeur f(−2,5) = 7,25. Il s’agit d’un maximum
car le coefficient devant x2 est strictement
négatif.
d/ x
−6 −5 −4 −3 −2 −1
0
f(x)
x
f(x)
94
1
10
64
2
22
40
3
40
22
4
64
10
5
94
4
6
130
4
On constate que f(−1) = f(0), donc, f admet
− 1+ 0
= −0,5 de valeur
un extremum en x0 =
2
f(−0,5) = 3,25. Il s’agit d’un minimum car le
coefficient devant x2 est strictement positif.
44
a/ x
© Éditions Belin 2010
f(x)
x
f(x)
−5
33
1
3
−4
23
2
5
−3
15
3
9
−2
9
4
15
−1
5
5
23
0
3
On constate que f(0) = f(1), donc, la courbe
représentative de f admet pour axe de symé0 +1
,
trie la droite verticale d’équation x =
2
c’est-à-dire, la droite d’équation x = 0,5.
f(x)
x
f(x)
−5
−70
1
2
−4
−48
2
0
−3
−30
3
−6
−2
−16
4
−16
−1
−6
5
−30
0
0
On constate que f(0) = f(2), donc, la courbe
représentative de f admet pour axe de symé0+2
trie la droite verticale d’équation x =
,
2
c’est-à-dire, la droite d’équation x = 1.
c/ x
−5
−4
−3
−2
−1
0
f(x)
x
f(x)
93
1
3
63
2
9
39
3
21
21
4
39
9
3
5
63
On constate que f(0) = f(1), donc, la courbe
représentative de f admet pour axe de symé0 +1
trie la droite verticale d’équation x =
,
2
c’est-à-dire, la droite d’équation x = 0,5.
d/ x
−5
−4
−3
−2
−1
0
f(x)
x
f(x)
55
1
7
27
2
27
7
3
55
−5
4
91
−9
5
135
−5
On constate que f(−2) = f(0), donc, la courbe
représentative de f admet pour axe de symé−2 + 0
trie la droite verticale d’équation x =
,
2
c’est-à-dire, la droite d’équation x = −1.
46 a/ On trouve en développant :
f(x) = −4x2 − 2x + 5, donc, f est une fonction
polynôme de degré 2.
b/ On trouve en développant : f(x) = 4x2,
donc, f est une fonction polynôme de degré 2.
c/ On trouve en développant : f(x) = 12x2 + 3x,
donc, f est une fonction polynôme de degré 2.
48 a/ Un tableau de signe permet d’obtenir
S = ]−∞ ; 2[ ∪ ]4 ; + ∞[.
b/ Un tableau de signe permet d’obtenir
⎡ 3 7⎤
S = ⎢ ; ⎥.
⎣4 6 ⎦
c/ Un tableau de signe permet d’obtenir
S = ]−∞ ; − 3] ∪ [4 ; + ∞[.
d/ On remarque que (3x − 7)(7 − 3x) = −(3x − 7)2
qui est inférieur ou égal à 0 pour tout réel x.
Ainsi : S = ⺢.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
49
49 • La fonction dont la courbe représen-
53 a/ x2 = 20 ⇔ x2 − ( 20)2 = 0
tative est à gauche admet un minimum au
point d’abscisse x ≈ 2,3 et ce minimum est
voisin de 1,8.
• La fonction dont la courbe représentative
est à droite admet un maximum au point
d’abscisse x ≈ −1,5 et ce minimum est voisin
de 0,7.
⇔ ( x − 20)(x + 20) = 0,
donc, S = {− 20 ; 20 } ;
b/ x2 = 12,8 ⇔ x2 − ( 12, 8 )2 = 0
⇔ ( x − 12, 8 )( x + 12, 8 ) = 0,
donc, S = {− 12, 8 ; 12, 8 } ;
c/ un carré est toujours positif, donc, S = ∅ ;
d/ x2 = 5,76 ⇔ x2 − ( 5, 76 )2 = 0
⇔ ( x − 5, 76 )( x + 5, 76 ) = 0,
donc, S = {− 5, 76 ; 5, 76 } ;
e/ x2 = 0 ⇔ x = 0, donc : S = {0} ;
2
⎛ 5⎞
5
⇔ x2 − ⎜
=0
f/ x2 =
⎝ 11⎟⎠
11
⎛
5⎞ ⎛
5⎞
⇔⎜x−
x+
⎟
⎜
⎟ = 0,
⎝
11⎠ ⎝
11⎠
⎧
5
5⎫
;
donc, S = ⎨ −
⎬;
11
11
⎭
⎩
g/ Un carré est toujours positif, donc, S = ∅ ;
50 a/ En utilisant l’égalité f(−1) = −4, on
trouve α(−1)2 + (−1) − 1 = −4 d’où α = −2.
b/ L’expression de la fonction est donc
f : x 哫 − 2x2 + x − 1, et on trouve :
−2
−11
x
f(x)
−1
−4
0
−1
1
−2
2
−7
c/ On vérifie qu’on a bien f(−2) = −11,
f(−1) = −4 et f(2) = −7.
51 a/
y
h/ x2 = 7 ⇔ x2 − (
⇔ (x −
7 )( x +
donc, S = {−
1 000
0
x
25
b/ Le nombre d’arbustes cultivés doit appartenir approximativement à [20 ; 180].
c/ On constate que f(140) = 2 100. Ainsi, s’il
produit au moins 140 arbustes, son coût de
production est supérieur ou égal à 2 100 €.
d/ On a f(0) = f(200) = 10 500, donc, la
fonction f admet un extremum en l’abscisse
0 + 200
x0 =
= 100. Il s’agit d’un minimum
2
puisque le coefficient devant x2 est strictement positif. Le coût de production est donc
minimal pour 100 arbustes produits.
⎧
52 a/ S = ⎨ − 3 ;
© Éditions Belin 2010
⎩
3⎫
⎬;
2 ⎭
⎧7 ⎫
c/ S = ⎨ ; 2⎬ ;
⎩6 ⎭
⎧ 1
1⎫
e/ S = ⎨ −
;− ⎬ ;
12
15
⎩
⎭
50
b/ S = {1 ; 20} ;
d/ S = {10} ;
f/ S = {3}.
7;
7 )2 = 0
7 ) = 0,
7} ;
54 a/ x(x + 6) = 3(x + 6)
⇔ x(x + 6 ) − 3(x + 6) = 0
⇔ (x + 6)(x − 3) = 0, donc, S = {−6 ; 3} ;
b/ 2x(x − 3) + 3x − 9 = 6x − 18
⇔ 2x(x − 3) + 3(x − 3) − 6(x − 3) = 0
⎧3 ⎫
⇔ (x − 3)(2x − 3) = 0, donc, S = ⎨ ; 3⎬ ;
⎩2 ⎭
c/ x2(1 − 3x) + 4(6x − 2) = 0
⇔ x2(1 − 3x) − 8 (1 − 3x) = 0 ⇔ (1 − 3x)(x2 − 8) = 0
⇔ (1 − 3x)( x − 8) ( x + 8) = 0
⎧
⎫
1
donc, S = ⎨ − 8 ; ; 8 ⎬ ;
3
⎩
⎭
d/ (1 − 2x)x − 4x(x + 6) = 0
⇔ x(1 − 2x − 4x − 24) = 0,
⎧ 23 ⎫
⇔ x(−6x − 23) = 0, donc, S = ⎨ −
; 0⎬ ;
⎩ 6
⎭
e/ 7 − x2 = 2x − 2 7
⇔ ( 7 − x )( 7 + x) − 2( x − 7 ) = 0
⇔ ( x − 7 )(− 7 − x − 2) = 0,
donc, S = {− 2 − 7 ; 7 } ;
f/ (x2 − 1) + 2x − 2 = 6x − 6
⇔ (x − 1)(x + 1) + 2 (x − 1) − 6(x − 1) = 0
⇔ (x − 1)(x − 3) = 0, donc, S = {1 ; 3}.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
55 a/ x2 ⭐ 16 ⇔ x2 − 42 ⭐ 0
⇔ (x − 4)(x + 4) ⭐ 0, donc, S = [−4 ; 4] ;
b/ x2 ⭐ 10 ⇔ x2 − ( 10 )2 ⭐ 0
⇔ (x − 10)(x + 10) ⭐ 0,
donc, S = [− 10 ; 10 ] ;
c/ x2 ⬎ 16 ⇔ x2 − 42 ⬎ 0 ⇔ (x − 4)(x + 4) ⬎ 0,
donc, S = ]−∞ ; −4[ ∪ ]4 ; +∞[ ;
d/ x2 ⭐ 0 ⇔ x x ⭐ 0, donc, S = {0} ;
e/ x2 ⬍ 8 ⇔ x2 − ( 8)2 ⬍ 0
⇔ (x − 8)(x + 8) ⭐ 0, donc, S = ]− 8 ; 8 [ ;
f/ x2 ⭐ 144 ⇔ x2 − 122 ⭐ 0
⇔ (x − 12)(x + 12) ⭐ 0, donc, S = [−12 ; 12] ;
g/ x2 ⬍ 6 ⇔ x2 − ( 6 )2 ⬍ 0
⇔ (x − 6)(x + 6) ⬍ 0, donc, S = ]− 6 ; 6 [ ;
h/ x2 ⭐ 20 ⇔ x2 − ( 20)2 ⭐ 0
⇔ ( x − 20)(x + 20) ⭐ 0,
donc, S = [− 20 ; 20 ] ;
c/ (x + a)2 = b ⇔ (x + a)2 − ( b)2 = 0
⇔ ( x + a + b )( x + a − b ) = 0, donc, l’ensemble des solutions de l’équation proposée
est S = {− a − b ; − a + b }.
d/
Si b < 0 alors
Afficher(Il n’y a pas de solution) ;
sinon si b = 0 alors
Afficher(La seule solution est −a) ;
sinon
Afficher(Les solutions sont
−a −
FinSi
58 b/
y
4
2
x
0
⇔ (x − 2)(x + 2) + (x + 2)(2x + 5) ⬍ 0
⇔ (x + 2) (3x + 3) ⬍ 0, donc, S = ]−2 ; −1[ ;
b/ (x + 1)(x − 3) ⭓ x2 − 9
⇔ (x + 1)(x − 3) − (x − 3)(x + 3) ⭓ 0
⇔ (x − 3)(−2) ⭓ 0
⇔ x − 3 ⭐ 0, donc : S = ]−∞ ; 3] ;
c/ 4x − 4 + (x − 1)(x − 4) + x2 − 1 ⬎ 0
⇔ 4(x − 1) + (x − 1)(x − 4) + (x − 1)(x + 1) ⬎ 0
⇔ (x − 1)(2x + 1) ⬎ 0, donc,
1
S = ]−∞ ; − [ ∪ ] 1 ; +∞[ ;
2
d/ (x + 5)2 ⭐ (x + 5)(x + 3)
⇔ (x + 5)2 − (x + 5)(x + 3) ⭐ 0
⇔ (x + 5)(2) ⭐ 0, donc, S = ]−∞ ; − 5] ;
e/ x2 − 5 ⬍ (x + 5)(x − 2)
⇔ ( x + 5)( x − 5 ) − ( x + 5 )(x − 2) ⬍ 0
⇔ (x + 5)(2 − 5) ⬍ 0 ⇔ x + 5 ⬎ 0,
donc, S = ]− 5 ; +∞[ ;
1
f/ (2x − 1)(x + 3) ⭓ ( x − )(x + 6)
2
1
1
⇔ 2( x − )(x + 3) − ( x − )(x + 6) ⭓ 0
2
2
1
1
⇔ ( x − )x ⭓ 0,donc, S = ]−∞ ; 0] ∪ [ ; +∞[.
2
2
57 a/ Un carré est toujours positif, donc, si
b ⬍ 0, le carré (x + a)2 ne peut pas être égal à b.
b/ (x + a)2 = 0 ⇔ x + a = 0, donc, S = {−a}.
b) ;
FinSi
56 a/ x2 − 4 + (x + 2)(2x + 5) ⬍ 0
© Éditions Belin 2010
b et −a +
−2
−2
2
4
−4
c/ On trouve S = [−2 ; 4].
d/ Pour tout réel x, on peut écrire :
(x − 1)2 − 4 = x2 − 2x + 1 − 4 = f(x).
e/ L’inéquation f(x) ⭐ 5 est équivalente à
(x − 1)2 − 4 ⭐ 5, soit encore à (x − 1)2 − 32 ⭐ 0.
En utilisant une identité remarquable, elle
équivaut à (x − 1 − 3)(x − 1 + 3) ⭐ 0, dont
l’ensemble des solutions est S = [−2 ; 4] en
utilisant un tableau de signes.
59 a/
b/ On trouve : S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.
c/ On trouve d’une part f(x) − g(x) = x2 − x − 6
et d’autre part (x − 3)(x + 2) = x2 − x − 6,
d’où l’égalité souhaitée.
d/ On a g(x) ⬍ f(x) ⇔ f(x) − g(x) ⬎ 0
⇔ (x − 3)(x + 2) ⬎ 0 et l’ensemble solution de
cette inéquation est S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
51
SUR L’ENSEMBLE DU CHAPITRE
62 On trouve f(x) = x2 + 6x + 9.
b/ On a f(x) = x2 + 2 × 3 × x + 32, donc :
f(x) = (x + 3)2.
c/ • Grâce à l’expression initiale : f(−5) = 4.
• Grâce à l’expression factorisée obtenue
en b/ : f(−3) = 0.
• Grâce à l’expression initiale : f(x) = 4
⇔ (x + 5)((x + 5) − 4) = 0, d’où S = {−5 ; −1}.
• Grâce à l’expression factorisée : f(x) = 0
⇔ (x + 3)2 = 0 ⇔ x + 3 = 0, d’où S = {−3}.
• Grâce à l’expression développée obtenue
en a/ : f(0) = 9 et f(x) = 9 ⇔ x(x + 6) = 0,
d’où S = {−6 ; 0}.
64 a/ Dire que la courbe passe par le point
(0 ; 2) signifie que f(0) = 2, donc, que c = 2.
b/ L’expression de f est donc donnée par :
f : x 哫 ax2 + bx + 2. Puisque la courbe représentative de f passe par les points N et P, on
peut écrire : f(1) = 0 et f(−1) = 10, ce qui
nous conduit au système :
⎧a + b + 2 = 0
⎧a + b + 2 = 0
⇔⎨
⎨
⎩a − b + 2 = 10
⎩2 a + 4 = 10
⎧3 + b + 2 = 0
⎧a = 3
⇔⎨
⇔⎨
.
⎩a = 3
⎩b = − 5
Finalement, l’expression de f est :
f : x 哫 3x2 − 5x + 2.
© Éditions Belin 2010
65 a/ x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0
⇔ x + 1 = 0, donc : S = {−1}.
b/ x2 − 4x + 4 = 5 ⇔ (x − 2)2 − ( 5)2 = 0
⇔ ( x − 2 − 5)(x − 2 + 5) = 0 ,
donc : S = {2 − 5 ; 2 + 5 }.
c/ x2 + 6x + 9 = 1 ⇔ (x + 3)2 = 1
⇔ (x + 3)2 − 12 = 0 ⇔ (x + 3 − 1)(x + 3 + 1) = 0,
donc : S = {−4 ; −2}.
d/ 4x2 + 4x + 1 = 9 ⇔ (2x + 1)2 = 9
⇔ (2x + 1)2 − 32 = 0 ⇔ (2x + 1 − 3)(2x + 1 + 3) = 0,
donc : S = {−2 ; 1}.
e/ 9x2 + 6x + 1 = 10 ⇔ (3x + 1)2 = 10
⇔ (3x + 1)2 −( 10 )2 = 0
⇔ (3 x + 1 − 10 )(3 x + 1 + 10 ) = 0,
⎧⎪− 1 − 10 − 1 + 10
;
donc : S = ⎨
3
3
⎪⎩
52
⎫⎪
⎬.
⎪⎭
f/ 4x2 + 8x + 4 = 7 ⇔ (2x + 2)2 = 7
⇔ (2x + 2)2 −( 7 )2 = 0
⇔ ( 2 x + 2 − 7 )( 2 x + 2 + 7 ) = 0,
⎪⎧− 2 − 7 − 2 + 7 ⎪⎫
;
donc : S = ⎨
⎬.
2
2
⎭⎪
⎩⎪
g/ x2 + 8x + 16 = 2 ⇔ (x + 4)2 = 2
⇔ (x + 4)2 − ( 2)2 = 0
⇔ ( x + 4 − 2)(x + 4 + 2) = 0,
donc : S = {− 4 − 2 ; − 4 + 2}.
h/ x2 + 10x + 25 = 16 ⇔ (x + 5)2 = 16
⇔ (x + 5)2 − 42 = 0 ⇔ (x + 5 − 4)(x + 5 + 4) = 0,
donc : S = {−9 ; −1}.
66 a/
2
0
1
b/ L’équation f(x) = 0 admet pour ensemble
solution S = {2 ; 4}.
L’équation f(x) = 16 admet pour ensemble
solution S = {0 ; 6}.
c/ f(x) = 16 ⇔ 2x2 − 12x = 0 ⇔ x(2x − 12) = 0,
donc : S = {0 ; 6}
d/ On a, pour tout réel x :
2[(x − 3)2 −1] = 2[x2 − 6x + 8] = f(x).
On obtient donc :
f(x) = 0 ⇔ 2[(x − 3)2 − 1] = 0
⇔ (x − 3)2 − 12 = 0
⇔ (x − 3 − 1)(x − 3 + 1) = 0,
donc, l’équation f(x) = 0 admet pour ensemble
solution S = {2 ; 4}.
67 a/ L’hameçon a commencé sa course
lorsque x = 0, donc, à une hauteur égale à
9
= 4,5 m.
2
b/ On trouve f(5) = 8 et f(7) = 8. Puisque f
est une fonction polynôme du second degré,
on en déduit qu’elle admet un extremum en
5+7
l’abscisse x0 =
= 6. Étant donné que
2
le coefficient devant x2 dans la fonction f est
strictement négatif, la fonction f admet en 6
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
81
= 8,1 m. Cela signifie
10
que l’hameçon atteint son point le plus haut
à 6 mètres du quai, et que l’altitude atteinte
est 8,1 mètres.
c/ Pour tout réel x, on peut écrire :
81
1
1
81
(x − 6)2 +
= − (x2 − 12x + 36) +
−
10
10
10
10
1 2 12
45
=− x +
= f(x).
x+
10
10
10
d/ L’hameçon percute la surface de la mer
lorsque f(x) = 0. D’après la question précédente, on peut écrire :
1
f(x) = 0 ⇔ − [(x − 6)2 − 92] = 0
10
⇔ (x − 6 − 9)(x − 6 + 9) = 0
⇔ x = 15 ou x = −3.
Puisque l’abscisse recherchée est positive,
elle est donc égale à 15 mètres.
un maximum égal à
POUR ALLER PLUS LOIN
68 a/ D’après le théorème de Pythagore, on
a AC2 = AB2 + BC2 = x2 + (5 − x)2
2
⎛
5⎞
25 ⎛ 2
25⎞ 25
= 2⎜ x − 5x + ⎟ +
On a : 2⎜ x − ⎟ +
⎝
⎝
2⎠
2
4⎠ 2
= 2x2 − 10x + 25.
Or, AC2 = x2 + (5 − x)2
= x2 + 25 + x2 − 10x
= 2x2 − 10x + 25,
d’où l’égalité annoncée.
b/ On a les équivalences :
2
⎛
29
25
29
5⎞
AC2 ⭓
⇔ 2⎜ x − ⎟ +
⭓
⎠
⎝
2
2
2
2
2
2
⎞
⎛
5
⎞
⎛
5
⇔ 2 ⎜ x − ⎟ ⭓ 2 ⇔ ⎜ x − ⎟ − 12 ⭓ 0
⎝
2⎠
⎝
2⎠
© Éditions Belin 2010
⎛
5 ⎞ ⎛
5 ⎞
⇔ ⎜ x − − 1⎟ ⎜ x − + 1⎟ ⭓ 0
⎠
⎝
⎝
2
2 ⎠
⎛
7⎞ ⎛
3⎞
⇔ ⎜ x − ⎟ ⎜ x − ⎟ ⭓ 0.
⎝
2⎠ ⎝
2⎠
Puisque x ∈ [0 ; 5], un tableau de signe permet alors d’obtenir que l’ensemble solution
⎡ 3⎤ ⎡7 ⎤
est : S = ⎢0 ; ⎥ ∪ ⎢ ; 5⎥.
⎣ 2⎦ ⎣2 ⎦
c/
14
12
0
1
Puisqu’un carré est toujours positif, on peut
2
⎛
25
5⎞
écrire 2⎜ x − ⎟ ⭓ 0, donc, f(x) ⭓
.
⎠
⎝
2
2
25
si et seulement si
On a l’égalité f(x) =
2
2
⎛
5⎞
2⎜ x − ⎟ = 0, ce qui revient à dire que
⎝
2⎠
5
5
x − = 0, soit encore : x = .
2
2
25
2
,
La quantité AC est toujours supérieure à
2
25
5
et elle est égale à
si et seulement si x = .
2
2
Ainsi, la longueur AC est minimale lorsque
25
5
.
x = et elle vaut alors AC =
2
2
69 1. L’aire de la partie peinte est donnée
par (4 − 2x)(3 − 2x) = 4x2 − 14x + 12.
L’aire du contour vaut l’aire totale du
tableau moins l’aire de la partie peinte, soit
encore : 12 − (4x2 − 14x + 12) = −4x2 + 14x.
2. La condition proposée par le peintre sera
satisfaite si et seulement si
4x2 − 14x + 12 = −4x2 + 14x, ce qui revient
à écrire : 8x2 − 28x + 12 = 0, c’est-à-dire :
2x2 − 7x + 3 = 0.
3. a/
1
0
1
⎧1 ⎫
b/ On trouve : S = ⎨ ; 3⎬.
⎩2 ⎭
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
53
c/ On constate que lorsque x vaut 3, le
contour « ne rentre pas » dans le tableau,
1
donc, le peintre devra choisir x = .
2
4. On trouve (x − 3)(2x − 1) = 2x2 − 7x + 3 = f(x).
On a donc f(x) = 0 si et seulement si x = 3
1
ou x = , et on retrouve bien le résultat de
2
la question 3. c/.
c/
70 1.
On trouve graphiquement x ≈ 44 car x est
positif.
On constate que pour n = 44, on a S = 990
et pour n = 45, S = 1 035. L’entier n recherché
est donc n = 45.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
f(x) 15 24 31 36 39 40 39 36 31 24
2. y
x哫
x ( x + 1)
2
− 1000
72 a/ Il semblerait que le produit xy est tou-
jours inférieur à la quantité
5
0
x
1
3. On trouve S = [3 ; 9].
4. a/ On a f(x) ⭓ 31 ⇔ −x2 + 12x + 4 ⭓ 31
⇔ −x2 + 12x − 27 ⭓ 0 .
b/ (3 − x)(x − 9) = 3x − x2 − 27 + 9x
= −x2 + 12x − 27.
c/ Un tableau de signe permet d’obtenir :
• (3 − x)(x − 9) ⭓ 0 pour x ∈ [3 ; 9] ;
• (3 − x)(x − 9) ⭐ 0 pour x ∈ ]−∞ ; 3] ∪ [9 ; +∞[.
d/ L’inéquation f(x) ⭓ 31, qui est équivalente à (3 − x)(x − 9) ⭓ 0 admet donc pour
ensemble solution S = [3 ; 9].
PROBLÈMES OUVERTS
© Éditions Belin 2010
.
Travaux encadrés
Travaux pratiques 1
1. Le domaine de définition de f et g est
[0,1 ; 1].
2. S = [0,21 ; 0,58].
y
54
2
b/ On a les équivalences :
x2 + y2
⇔ 2xy ⭐ x2 + y2
xy ⭐
2
⇔ 0 ⭐ x2 − 2xy + y2 ⇔ 0⭐ (x − y)2, ce qui est
toujours vrai d’après la positivité de la fonction carré. Le résultat est donc démontré.
Ꮿg
71 a/ 1 + 2 = 3 ;
1+2+3=6;
1 + 2 + 3 + 4 = 10 ;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
On ne peut donc pas encore répondre à la
question initiale.
b/ On a : S = 1 + 2 + 3 + … + (n − 1) + n
S = n + (n − 1) + (n − 2) + … + 2 + 1
En sommant ces deux égalités, on obtient :
2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + …
+ (n + 1) + (n + 1) ,
c’est-à-dire : 2S = n (n + 1) .
x2 + y2
Ꮿf
Ꮿh
0,6
0,4
x
0 0,1
3. a/ h = g − f.
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
c/ Le bénéfice est minimal lorsque x ≈ 0,5.
4. a/ On a h(x) = x2 − x + 0,81.
La valeur de a est 1 en observant les termes en
x2. D’autre part, le minimum étant atteint en
1
x = 0,5, on a α = . Enfin, le développement
2
a(x − α)2 + β = ax2 − 2aαx + aα2 + β
permet d’obtenir aα2 + β = 0,81 en observant les termes constants de f, soit encore
1
1 × + β = 0,81 ⇔ β = 0,56.
4
2
⎛
1⎞
Finalement : h : x 哫 ⎜ x − ⎟ + 0,56.
⎝
2⎠
Travaux dirigés 1
1. a/ En appliquant le théorème de Pythagore
dans le triangle rectangle ACH, on obtient :
AC2 = CH2 + HA2 ⇔ AC2 = 9 + 16
⇔ AC2 = 25. Il en résulte AC = 5 cm.
b/ Le point M appartient à [AC],
donc : x ∈ [0 ; 5].
c/ CM = 5 – x.
2. a/ La droite (MN) est parallèle à la droite
(AH), donc, en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle ACH, on obtient :
CM MN
5 − x MN
, donc :
, donc :
=
=
CA
AH
5
4
4
4
MN = ( 5 − x ) = 4 − x.
5
5
b/ En raisonnant dans le même triangle, le
théorème de Thalès permet aussi d’écrire :
CM CN
5 − x CN
=
=
, donc :
,
CA
CH
5
3
3
3
donc : ( 5 − x ) = 3 − x = CN.
5
5
3. Le triangle MNB est rectangle en N, donc,
le théorème de Pythagore permet d’écrire :
⎛
4 ⎞2
MB2 = MN2 + NB2 = ⎜ 4 − x⎟ + (8 − CN)2
⎝
5 ⎠
© Éditions Belin 2010
2
2
⎛
⎛
4 ⎞
3 ⎞
= ⎜ 4 − x⎟ + ⎜5 + x⎟ .
⎝
⎝
5 ⎠
5 ⎠
Après développement, on obtient :
2
MB2 = x2 − x + 41.
5
4.
x
MB2
x
MB2
x
MB2
x
MB2
x
MB2
x
MB2
x
MB2
x
MB2
x
MB2
x
MB2
0
41
0,5
41,05
1
41,6
1,5
42,65
2
44,2
2,5
46,25
3
48,8
3,5
51,85
4
55,4
4,5
59,45
0,1
40,97
0,6
41,12
1,1
41,77
1,6
42,92
2,1
44,57
2,6
46,72
3,1
49,37
3,6
52,52
4,1
56,17
4,6
60,32
0,2
40,96
0,7
41,21
1,2
41,96
1,7
43,21
2,2
44,96
2,7
47,21
3,2
49,96
3,7
53,21
4,2
56,96
4,7
61,21
0,3
40,97
0,8
41,32
1,3
42,17
1,8
43,52
2,3
45,37
2,8
47,72
3,3
50,57
3,8
53,92
4,3
57,77
4,8
62,12
0,4
41
0,9
41,45
1,4
42,4
1,9
43,85
2,4
45,8
2,9
48,25
3,4
51,2
3,9
54,65
4,4
58,6
4,9
63,05
MB2 semble être minimal pour x = 0,2.
2
1 024
⎛
1⎞
5. ⎜ x − ⎟ +
⎝
5⎠
25
1 024
2
1
= x2 − x +
= MB2.
+
5
25
25
⎡ 1⎤
6. a/ La fonction f est décroissante sur ⎢0 ; ⎥
⎣ 5⎦
⎡1 ⎤
et croissante sur ⎢ ; 5⎥ .
⎣5 ⎦
b/ La fonction f atteint son minimum en
1 024
1
x = et ce minimum vaut
.
5
25
c/ La distance MB est minimale lorsque M est
1
placé de telle sorte que x = . Cette distance
5
1 024
32
= 6,4.
25
5
d/ On peut conjecturer que le triangle AMB
est rectangle en M. Le théorème de Pythagore permet de vérifier que cette conjecture
est correcte. En effet :
AB2 = AH2 + HB2 = 16 + 25 = 41 et
minimale vaut alors
2
=
2
1 + 1 024
⎛ 1⎞
⎛ 32⎞
AM2 + MB2 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ =
= 41.
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
25
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
55
Travaux dirigés 2
1. 1,318 45 − 0,005(x − 8,7)2
= 1,318 45 − 0,005(x2 − 2 8,7x + 8,72)
= −0,005x2 + 0,087x + 0,94 = f(x).
2. a/ Le joueur frappe la balle à une abscisse
nulle, donc, à la hauteur f(0) = 0,94.
b/ D’après la question 1., on peut dire que la
fonction f admet un extremum en l’abscisse 8,7
et que cet extremum vaut 1,318 45. Vu que
le coefficient de x² est strictement négatif,
cet extremum est un maximum, et représente donc la hauteur maximale de la balle.
c/ Lorsque la balle passe à la verticale du filet,
son abscisse est égale à 13, et sa hauteur est
donc f(13) = 1,226. Cette hauteur est strictement supérieure à la hauteur 0,914 du filet,
donc, la balle passe au−dessus du filet.
d/ La balle touche le sol lorsque f(x) = 0, ce
qui équivaut, d’après la question 1., à :
0,005(x − 8,7)2 = 1,318 45 ⇔ (x − 8,7)2 = 263,69
⇔ ( x − 8, 7 − 263, 69 )(x − 8, 7 + 263, 69 ) = 0.
On obtient donc x ≈ −7,5 ou x ≈ 24,93.
Puisque x désigne une longueur, on trouve
donc x ≈ 24,93, donc, la balle touche le sol
à 24,93 − 13 = 11,93 m du filet.
e/ La longueur du terrain est égale à 23,77 m,
donc, la longueur d’un demi-court vaut
11,885 m. La balle tombe donc à l’extérieur
du court, et elle est donc « faute ».
Aide individualisée 1
1. a/ Le carré de 2 vaut 4, donc, 2 est bien
inférieur à son carré.
1
1
b/ b2 = ⬍ = b.
4
2
c/ C’est Pierre qui a raison.
2. a/
Ꮿg
3. a/ On trouve f(x) − g(x) = x(1 − x).
b/ La fonction f − g est positive sur [0,1] et
négative sur [1 ; +∞[.
c/ D’après la question précédente, on a
f(x) ⭐ g(x) si et seulement si x appartient à
[1 ; +∞[.
4. Pour tout réel x positif, on peut écrire :
• x ⭐ x2 ⇔ x ⭓ 1 ;
• x ⭓ x2 ⇔ x ⭐ 1 ; ;
• x = x2 ⇔ x = 0 ou x = 1.
Aide individualisée 2
1. Le troisième côté a pour longueur 100 − 2x.
2. a/ On trouve f(x) = x(100 − 2x).
b/ Puisque x est une longueur, on a f(x) ⭓ 0
si et seulement si 100 − 2x ⭓ 0, ce qui équivaut à x ⭐ 50.
c/ x
0
10
20
30
40
50
f(x)
0
800 1 200 1 200 800
d/ On peut même faire mieux qu’un encadrement ! En effet, f(20) = f(30), donc, la
fonction f admet un extremum en l’abscisse
20 + 30
x0 =
= 25. Puisque le coefficient
2
de x2 dans la fonction f est strictement
négatif, f atteint en 25 un maximum.
3. a/ Pour tout x appartenant à [0 ; 100], on
trouve :
1 250 − 2(x − 25)2 = 1 250 −2(x2 − 50x + 252)
= −2x2 + 100x = f(x).
b/ La fonction f admet donc son maximum
en x = 25.
c/ La zone rectangulaire a alors pour dimensions 25 mètres sur 50 mètres.
Aide individualisée 3
1. y
Ꮿf
Ꮿg
Ꮿf
2
© Éditions Belin 2010
0
1
b/ L’ensemble solution de l’inéquation
f(x) ⭐ g(x) est S = [1 ; +∞[.
56
0
10
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
0 10
x
2. a/ La distance de freinage sera inférieure
à 60 mètres si le véhicule évolue à une vitesse
inférieure à 78 km/h (sur route mouillée) et
inférieure à 110km/h (sur route sèche).
b/ Si le véhicule roule à plus de 100 km/h,
sa distance de freinage sera supérieure à
100 m (sur route mouillé) et supérieure à
50 m (sur route sèche).
3. a/ La distance de freinage vaut
1
× 1302 = 84,5 m.
200
b/ La distance de freinage vaut
1
× 1302 = 169 m, donc, 84,5 mètres
100
supplémentaires.
Communiquer
• 1re manière : courbe représentative de f
• 2e manière : étude des variations de f
La fonction f est une fonction polynôme de
degré 2, dont le terme devant x2 est strictement
négatif, donc, la fonction f est strictement
croissante puis strictement décroissante. On
constate que f(0) = f(40) = 42, donc, f atteint
0 + 40
un maximum en l’abscisse x0 =
= 20,
2
et ce maximum vaut 50.
• 3e manière : tableau de valeurs de f.
0
5
10 15 20 25
x
f(x) 42 45,5 48 49,5 50 49,5
35 40 45 50 55 60
x
f(x) 45,5 42 37,5 32 25,5 18
30
48
Les trois études prouvent bien que le rythme
du pâtissier est d’abord lent, atteint ensuite
un maximum, puis décroît à la fin de son
heure de travail. Les commentaires de l’habitué sont donc tout à fait fondés.
20
© Éditions Belin 2010
10
Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
57