chapitre 4

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Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
© Éditions Belin 2010
Ce chapitre est consacré aux fonctions polynômes du second degré
x 哫 ax2 + bx + c. L’accent est mis sur l’importance pour les élèves de
considérer, en priorité, le signe du coeffi cient « a » ; c’est lui qui donne le
sens de variation (ou géométriquement qui permet de savoir si la parabole
est tournée vers les ordonnées positives ou négatives). Ensuite, diverses
méthodes, autres que la mise sous forme canonique, sont mises en œuvre
pour déterminer le sommet.
Une autre propriété importante de ces fonctions est que leurs courbes
représentatives sont des paraboles. Les propriétés des paraboles ont été
étudiées par les mathématiciens grecs plus de deux siècles avant Jésus-Christ,
en particulier par Apollonius de Perge.
Fonction carré
et problèmes
du 2d degré Chapitre 4
Ouverture
La propriété étonnante présentée dans l’ou-
verture peut être prouvée géométriquement
mais aussi par un calcul de dérivée ; elle peut
aussi s’énoncer par un résultat d’optique :
tout rayon issu du foyer d’une parabole se
réfl échit parallèlement à l’axe.
De nombreux dispositifs usuels, outre les fours
solaires, utilisent cette propriété de la para-
bole : évidemment les antennes de réception
dites « paraboliques », où le dispositif de
réception est placé au foyer, mais aussi les
phares où l’on place au foyer, les diodes.
Pour bien commencer
Exercice 1 a/ ; b/ ; c/.
Exercice 2 b/.
Exercice 3 a/ ; b/ ; e/ et f/.
Exercice 4 b/ et e/.
Exercice 5 b/ et c/.
Activités d’introduction
Commentaires
La première activité a pour objectif de prendre
un premier contact avec la fonction carré
(tableau de valeurs, courbe représentative),
et notamment de remarquer qu’il ne s’agit
pas d’une fonction linéaire étudiée en classe
de troisième.
La deuxième activité a pour objectif de
mettre en évidence la parité de la fonction
carré (et donc la symétrie d’un tableau de
valeurs par rapport à zéro).
La troisième activité permet de comparer deux
multiples simples de la fonction carré, autour
du thème classique de la chute d’un objet.
La quatrième et dernière activité permet de
mettre en évidence comment les constantes
α et β peuvent infl uer sur la courbe repré-
sentative d’une fonction du second degré
x 哫 α(x − α)2 + β et ainsi préparer le cours
à ce sujet. Si l’on souhaite passer du temps
sur cette activité, on conseillera d’utiliser un
logiciel traceur de courbe ou le tracé à la
main plutôt que la calculatrice.

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Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
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© Éditions Belin 2010
Activité 1 1. f(x) = x2.
2. a/
x0 5 10 15 20 25
f(x)0 25 100 225 400 625
x30 35 40 45 50
f(x)900 1 225 1 600 2 025 2 500
b/ Ce tableau n’est pas un tableau de pro-
portionnalité. En effet, en regardant par
exemple la colonne du tableau qui corres-
pond à x = 5, on passe de la première ligne à
la seconde en multipliant par 5. En revanche,
dans la colonne suivante, on passe de la
première ligne à la seconde en multipliant
par 10.
3.
OI
x
y
J
4. La courbe obtenue dans la question 3.
n’est pas une droite, la fonction f n’est donc
ni une fonction linéaire, ni une fonction
affi ne.
Activité 2 1. a/
b/ Ce tableau est symétrique par rapport à
la colonne correspondant à x = 0.
2. a/
b/ Cette courbe est symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
3. a/ La fonction f semble être décroissante
sur [−5 ; 0] et croissante sur [0 ; 5].
b/ La fonction f semble posséder un mini-
mum égal à 0, atteint pour x = 0.
Activité 3 1. a/
OI
x
Ꮿf
Ꮿg
y
J
600
7,75
b/ On constate que si x est une valeur de
la première ligne du tableau, la valeur cor-
respondante de la seconde ligne est 10x2,
donc, le tableau de valeurs proposé est bien
celui de la fonction t 哫 10t2.
c/ Graphiquement, on trouve un temps proche
de 7,75 secondes.
2. a/
t12345
g(t)5 20 45 80 125
t678910
g(t)180 245 320 405 500
b/
c/ Pour un même temps t, une goutte de
pluie parcourt une distance deux fois plus
grande sur la planète du petit homme vert
que sur Terre. L’affi rmation du petit homme
vert était donc vraie.

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Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
© Éditions Belin 2010
Activité 4 1. a/
b/ La fonction f semble être décroissante sur
[−5 ; 0] et croissante sur [0 ; 5].
c/ La fonction f semble posséder un mini-
mum égal à 3, atteint en x = 0.
2. a/ voir question 1. a/.
b/ La fonction g semble être croissante sur
[−5 ; 0] et décroissante sur [0 ; 5].
c/ La fonction g semble posséder un maxi-
mum égal à 4, atteint en x = 0.
3. a/
Remarque : pour plus de lisibilité, on peut
demander aux élèves de n’affi cher que les
courbes correspondant aux fonctions f ou
au contraire aux fonctions g.
b/ On obtient la courbe représentative de la
fonction f1 en décalant de 4 unités vers le
bas la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f2 en décalant de 2 unités vers la
gauche la courbe représentative de f.
On obtient la courbe représentative de la
fonction f3 en décalant de 1 unité vers la
droite la courbe représentative de f.
c/ On obtient la courbe représentative de la
fonction g1 en décalant de 3 unités vers le
bas la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g2 en décalant de 1 unité vers la
gauche la courbe représentative de g.
On obtient la courbe représentative de la
fonction g3 en décalant de 3 unités vers la
droite la courbe représentative de g.
Exercices et problèmes
LA FONCTION CARRÉ
1
1
a/ Faux. b/ Faux. c/ Vrai. d/ Faux. e/ Vrai.
f/ Vrai.
2
2
Dans tout cet exercice, nous noterons f
la fonction carré.
a/ f(12+) = 3 + 22
; b/ f(1,1) = 1,21 ;
c/ f(23−) = 5 − 26 ;
d/ f(15−) = 6 − 25
; e/ f(32) = 9.
f/ 1
2
1
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=.
3
3
a/ et b/.
4
4
a/ 32 ⭐ 42 ; b/ 0,12 ⭐ 0,22 ;
c/ (−2)2 ⭐ (−3)2 ; d/ (−5)2 ⭐ (−6)2.
5
5
a/ Vrai. b/ Faux. c/ Faux. d/ Faux. e/ Vrai.
f/ Faux.
6
6
a/ (x + 1)2 ⭓ 0, donc x2 + 2x + 1 ⭓ 0 ;
b/ (−3 + x)2 ⭓ 0, donc, −9 − x2 ⭐ −6x.
7
7
a/ Oui ; b/ oui ; c/ oui ; d/ oui ; e/ oui ;
f/ non.
8
8
La courbe représentative de la fonction
carré est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées, donc, les courbes a/, d/ et e/ ne
sont pas celle de la fonction carré.
La fonction carré est positive sur ⺢, sa courbe
représentative est donc au-dessus de l’axe
des abscisses. La courbe c/ n’est donc pas
celle de la fonction carré.
b/ est la courbe représentative de la fonc-
tion carré.
10
10
a/
ff() ()23
23 5
−
−=
est différent de
ff() ( )10
10 1
−
−=
,
f n’est donc pas linéaire.
b/
ff() ()75
75 12
−
−=
est différent de
ff() ( )
()
61
61 5
−−
−− =
,
f n’est donc pas linéaire.
11
11
a/ f(2 + 1) = 9 est différent de
f(2) + f(1) = 5, f n’est donc pas linéaire.
b/ f(3 + (−1)) = 4 est différent de
f(3) + f(−1) = 10, f n’est donc pas linéaire.

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Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
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© Éditions Belin 2010
c/ f(−2 + (−2)) = 16 est différent de
f(−2) + f(−2) = 8, f n’est donc pas linéaire.
d/ f(1 + (−1)) = 0 est différent de
f(1) + f(−1) = 2, f n’est donc pas linéaire.
12
12
f(0 + 1) = −22 est différent de
f(0) + f(1) = −35, f n’est donc pas linéaire.
14
14
a/ (−0,9)2 = 0,92 ⬎ (0,8)2 ;
b/ (−1,1)2 ⬍ (1,2)2 ; c/ (−4)2 ⬎ (0,4)2 ;
d/ (−2)2 ⬎ 02 ; e/ (−2)2 ⬍ ( 3)2;
f/ (−5)2 ⬎ 42.
15
15
De l’inégalité a ⬍ b, on déduit a – 3 ⬍ b – 3.
Or, les deux réels a – 3 et b – 3 sont strictement
positifs, et la fonction carré est strictement
croissante sur [0 ; +∞[, donc (a − 3)2 ⬍ (b − 3)2.
En retranchant 6 à chaque membre, on déduit :
(a − 3)2 − 6 ⬍ (b − 3)2 − 6.
16
16
a/ 42 ⬍ x2 ⬍ 62, c’est-à-dire :
16 ⬍ x2 ⬍ 36 ;
b/ (−3)2 ⬎ x2 ⬎ (−2)2, c’est-à-dire :
4 ⬍ x2 ⬍ 9 ;
c/ (−1)2 ⬎ x2 ⬎ (−0,5)2, c’est-à-dire :
0,25 ⬍ x2 ⬍ 1 ;
d/ (0,1)2 ⬍ x2 ⬍ (0,2)2, c’est-à-dire :
0,01 ⬍ x2 ⬍ 0,04.
17
17
a/ x2 ⭓ 4 ; b/ x2 ⬎ 9 ;
c/ x2 ⬍ 16 ; d/ 16 ⭐ x2 ⬍ 36.
18
18
Puisque la fonction carré est strictement
décroissante sur ]−∞ ; 0], on peut déduire :
x2 ⬎ y2 ⬎ z2 ⬎ 0.
20
20
a/ (−1 ; 1). b/ (2 ; 4). c/ (−3 ; 9). d/ ( 6 ; 6).
21
21
a/
00,2
0,2
b/ c/
02
20
020
2 000
22
22
Dans tout cet exercice, nous désignerons
par f la fonction carré.
a/ f(2) = 4 ≠ 2 ; donc, la courbe a/ n’est pas
la courbe représentative de la fonction carré.
b/ f(2) = 4 ≠ 8 ; donc, la courbe b/ n’est pas
la courbe représentative de la fonction carré.
c/ La courbe représentative de la fonction
carré est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées ; donc, la courbe c/ n’est pas
celle de la fonction carré.
d/ C’est la courbe représentative de la fonc-
tion carré.
e/ f(4) = 16 ≠ 1,6 ; donc, la courbe e/ n’est pas
la courbe représentative de la fonction carré.
f/ La courbe représentative de la fonction
carré est « arrondie » en (0 ; 0), et pas
« pointue » comme la courbe f/.
23
23
a/ a2 + b2 = 5x2 ≠ 9x2 = c2 ; donc, le
triangle n’est pas rectangle.
b/ a2 + b2 = 25x2 = c2 ; donc, le triangle est
rectangle.
c/ a2 + b2 = 98x2 ≠ 81x2 = c2 ; donc, le
triangle n’est pas rectangle.
d/ a2 + b2 = 169x2 = c2 ; donc, le triangle est
rectangle.
24
24
a/ I = [−4 ; 0] ; b/ I = [0 ; 9] ;
c/ I = [−2 ; 3] ; d/ I = [−1 ; 3].
25
25
a/ Le minimum vaut 1 et le maximum 225.
b/ Le minimum vaut 0 et le maximum 100.
c/ Le minimum vaut 0 et le maximum 2 500.
26
26
a/ a2 = 448 ⬎ 441 = b2 ; donc, puisque
a et b sont strictement positifs et que la
fonction carré est strictement croissante sur
[0 ; +∞[, on a : a > b.
b/ a2 = 72 ⬍ 80 = b2 ; donc, puisque a et b
sont strictement positifs et que la fonction
carré est strictement croissante sur [0 ; +∞[,
on a : a < b.
c/ a2 = 72 ⬍ 96 = b2 ; donc, puisque a et b
sont strictement négatifs et que la fonction
carré est strictement décroissante sur ]−∞ ; 0],
on a : a > b.
d/ a2 = 11 2 10− ⬎ 7210− = b2 ; donc
puisque a et b sont strictement négatifs et
que la fonction carré est strictement décrois-
sante sur ]−∞ ; 0], on a : a < b.

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Chapitre 4 ■ Fonction carré et problèmes du 2d degré
© Éditions Belin 2010
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
27
27
a/ Vrai. b/ Faux. c/ Faux. d/ Vrai. e/ Faux.
f/ Faux. g/ Vrai. h/ Faux.
28
28
a/ Faux. b/ Faux. c/ Vrai. d/ Vrai.
29
29
a/ f(−1) = 2 ; b/ f(2) = 442+ ;
c/ f(13+) = 633+ ; d/ f(28+) = −84.
30
30
a/ Décroissante puis croissante ;
b/ décroissante puis croissante ;
c/ croissante puis décroissante ;
d/ décroissante puis croissante ;
e/ croissante puis décroissante ;
f/ croissante puis décroissante.
31
31
a/ La fonction proposée est croissante puis
décroissante, puis croissante, puis décroissante,
ce qui ne peut pas être le cas d’une fonction
polynôme de degré 2.
b/ f(x) = x2 + 2.
c/ f(x) = −(x − 1)2.
32
32
a/ Peut être la courbe représentative d’une
fonction polynôme de degré 2.
b/ Une fonction polynôme de degré 2 est soit
décroissante puis croissante, doit croissante
puis décroissante, ce qui n’est pas le cas de
la fonction proposée en b/.
c/ Une fonction polynôme du second degré
ne peut pas être croissante sur ⺢.
d/ Peut être la courbe représentative d’une
fonction polynôme de degré 2.
e/ La fonction proposée est constante sur
[−1 ; 0], ce qui ne peut pas être le cas pour
une fonction polynôme de degré 2.
f/ La fonction proposée est constante sur
[−1 ; 1], ce qui ne peut pas être le cas pour
une fonction polynôme de degré 2.
33
33
a/ S = {–10 ; 15} ; b/ S = {3 ; 8} ;
c/ S = {−1} ; d/ S = −
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
8
3
3
2
; ;
e/ S = −
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
1
512; ; f/ S = 1
11
2
7
;
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭.
34
34
a/ Faux. b/ Vrai. c/ Vrai. d/ Vrai. e/ Vrai.
35
35
a/ Vrai. b/ Faux. c/ Vrai. d/ Faux.
36
36
d/ et h/.
37
37
a/ S = −∞ −
⎤
⎦
⎥⎡
⎣
⎢
;7
6 ∪ 5
2;+∞
⎤
⎦
⎥⎡
⎣
⎢ ;
b/ S = −∞ −
⎤
⎦
⎥⎤
⎦
⎥
;7
6 ∪ 5
2;+∞
⎡
⎣
⎢⎡
⎣
⎢ ;
c/ S = −
⎤
⎦
⎥⎡
⎣
⎢
7
6
5
2
; ; d/ S = −
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
7
6
5
2
;.
39
39
a/ f(−2) = 3 ; f(−1) = 1 ; f(1) = 3 ;
f est donc décroissante puis croissante.
b/ f(−3) = −9 ; f(−1) = 1 ; f(2) = −14 ;
f est donc croissante puis décroissante.
c/ f(−7) = −15 ; f(−5) = −7 ; f(−1) = −15 ;
f est donc croissante puis décroissante.
d/ f(0) = −78 ; f(4) = 1 522 ; f(12) = −78 ;
f est donc croissante puis décroissante.
e/ f(−10) = 1 100 ; f(0) = 1 000 ; f(10) = 1 100 ;
f est donc décroissante puis croissante.
40
40
a/ f est donc croissante puis décroissante.
b/ f est donc décroissante puis croissante.
c/ f est donc décroissante puis croissante.
d/ f est donc croissante puis décroissante.
42
42
a/ f−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
1
3 et f(1) = 7. Ainsi, f admet
un extremum en x0 =
−+
=
1
31
2
1
3 de valeur
f1
3
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟ = 17
3. Il s’agit d’un minimum car le
coeffi cient devant x2 est strictement positif.
b/ f(0) = 0 et f(2) = 0. Ainsi, f admet un extre-
mum en x0 = 02
21
+= de valeur f(1) = 3.
Il s’agit d’un maximum car le coeffi cient
devant x2 est strictement négatif.
c/ f−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2
5 = 1 et f(0) = 1. Ainsi, f admet un
extremum en x0 =
−+
=−
2
50
2
1
5 de valeur
f−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=
1
5
4
5. Il s’agit d’un minimum car le
coeffi cient devant x2 est strictement positif.
d/ f(−5) = 66 et f(5) = 66. Ainsi, f admet
un extremum en x0 = −+=
55
20 de valeur
f(0) = −9. Il s’agit d’un minimum car le coef-
fi cient devant x2 est strictement positif.