Fonctions 4-carre-polynome (PDF

Fonctions 4 : fonction carré et polynôme du second degré
2nd
Objectifs : Connaître les variations des fonctions carré et polynômes de degré 2. (monotonie, extremum) et la propriété de
symétrie de leurs courbes. Représenter graphiquement la fonction carré.
Equations, inéquations tableau de signe des produits.
Travail sur le sens de variation.
1) La fonction carré :
Définition : La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel x , associe son carré x 2 .
L’ensemble de définition de f est : Df = !
Si on note f la fonction, on a : f : x → x 2 , c’est-à-dire pour tout réel x , f ( x ) = x 2
Exemples :
f (2) = 4
f ( −5) = ( −5)² = 25
Remarque : 3 a pour image : 9
mais 9 a pour antécédents : 3 et aussi -3.
]− ∞ ;0]
Sens de variation : La fonction carré est strictement décroissante sur
et est strictement
croissante sur [0;+∞[ .
Exercice 1 : Démontrer la propriété précédente.
Tableau de variation :
x
-∞
0
+∞
f ( x ) = x²
0
Exercice 2 : Ecrire un tableau de valeurs de la fonction carré sur [-4 ;4] avec un pas de 0,5.
Ecrire un tableau de valeurs de la fonction carré sur [-1 ;1] avec un pas de 0,1.
Tracer la courbe représentative de la fonction carré sur papier millimétré.
Définition et propriété : La courbe de la fonction carré, dans un repère orthogonal, s’appelle une
parabole. Le sommet de cette parabole est O, l’origine du repère. Cette parabole est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
2) Fonction polynôme du second degré :
Définitions : On appelle fonction monômes, toute fonction s’écrivant sous la forme axn avec : a ∈ !
et n ∈ ! . On appelle fonction polynômes, toute fonction définie sur ! par
P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 où tous les ai sont des réels.
On appelle degré de la fonction polynôme l’exposant le plus élevés de x. Notation deg (p) = n
Définition : La fonction f définie sur ! par f(x) = ax² + bx + c , avec (a,b,c) ∈ !* ! ! ! ! est appelée
fonction polynôme de degré 2.
Remarque : f(x) = ax²+bx+c est l’écriture développée et réduite d’un polynôme de degré 2.
Exercice 3 : a) Montrer que 3x²-6x-9 = 3(x-1)²-12 = 3(x-3)(x+1).
b) En déduire la résolution de 3x²-6x-9 = 0.
c) Résoudre graphiquement puis algébriquement l’inéquation 3x²-6x-9 > 0
Inéquation Produit : Signe d’un produit
• On dresse un tableau ayant autant de lignes que de facteurs
• On cherche les valeurs qui annulent chaque facteur
• On place ces valeurs dans l’ordre croissant sur la 1ère ligne du tableau
• On étudie le signe de chaque facteur
• On applique la règle des signes
Propriété : La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2, f(x) = ax² + bx + c
est une
parabole.
Si a > 0
Si a < 0
La fonction est d’abord strictement décroissante La fonction est d’abord strictement croissante puis
puis croissante et admet donc un minimum.
décroissante et admet donc un maximum.
De plus, la courbe admet un axe de symétrie De plus, la courbe admet un axe de symétrie
b
b
vertical d’équation x = −
vertical d’équation x = −
2a
2a
f(x) = x² -4x +1
f(x) = -2x²-4x+3
Exercice 4 : Décrire les variations des fonctions définies sur ! par f(x) = -5x²+2x et g(x) = 3x²+3x-9.
Exercice 5 : On considère la fonction polynôme de degré 2 : f(x) = -x² -4x +1
1. Déterminer les antécédents de 1 par la fonction f.
2. Montrer que f(x) = 5 –(x+2)²
3. En déduire que f admet un maximum dont vous préciserez la valeur.
4. Donner le tableau de variations de la fonction f.
5. Tracer la courbe représentative de f sur [-6 ; 1]