Algèbre linéaire
Déterminant
Structure du groupe des permutations
Théorème
Pour n ≥2, l’ensemble des transpositions de Snengendre Sn, c’est-à-dire, toute
permutation peut s’écrire comme produit de transpositions.
Remarque. La décomposition d’une permutation en produit de transpositions n’est
pas unique en général. Remarquons également que pour n≥3, le groupe S3n’est pas
commutatif.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Signature d’une permutation
Définition
Soit σ∈ Sn. Le nombre (σ)défini par
(σ) = Q1≤i<j≤n(σ(i)−σ(j))
Q1≤i<j≤n(i−j)
s’appelle la signature de la permutation σ.
Théorème
Pour σ∈ Sn, la signature (σ)est égale (−1)Noù N est le nombre d’éléments de
l’ensemble {(i,j)∈N•
n×N•
n|i<j et σ(i)> σ(j)}(c’est-à-dire le nombre
d’inversions de σ).
La signature est un homomorphisme surjectif du groupe Snsur le groupe
multiplicatif Γ = {−1,1}.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Définition
Les permutations telles que (σ) = 1forment un sous-groupe de Snappelé le groupe
alterné et noté An. Les éléments de Ansont appelés permutations paires ; les élements
de Sn\ Ansont appelés permutations impaires.
Attention. Les permutations impaires ne forment pas un sous-groupe.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Formes multi-linéaires
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n.
Définition
Soit ϕune application de E × · · · × E
| {z }
p
(p exemplaires de E ) dans K.
IOn dit que l’application ϕest une forme p-linéaire sur E si, pour tout j tel que
1≤j≤p, et pour tous vecteurs y1,...,yp∈E, les applications partielles
x7→ ϕ(y1,...,yj−1,x,yj+1, . . . yp)
sont des formes linéaires de E dans K. Si p =2, on dira que ϕest bilinéaire. On
notera Lp(E,K)l’ensemble des formes p-linéaires sur E.
IÉtant donnés ϕ∈ Lp(E,K)une forme p-linéaire sur E et σ∈ Spune
permutation, on définit une forme p-linéaire sur E, notée σ∗ϕ, par la formule
σ∗ϕ(x1,...,xp) := ϕ(xσ(1),...,xσ(p)).
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Algèbre linéaire
Déterminant
Formes symétriques et anti-symétriques
Définition
IOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ∈ Lp(E,K), est symétrique si
σ∗ϕ=ϕpour tout σ∈ Sp.
On désigne par Sp(E,K)l’ensemble des formes p-linéaires symétriques sur E.
IOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ∈ Lp(E,K), est anti-symétrique si
σ∗ϕ=(σ)ϕpour tout σ∈ Sp.
On désigne par Ap(E,K)l’ensemble des formes p-linéaires anti-symétriques sur E.
IOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ∈ Lp(E,K), est alternée si ϕ(x1,...,xp) = 0
chaque fois qu’il existe deux indices distincts i et j tels que xi=xj.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Exemples
•Pour p=1, on retrouve les formes linéaires.
•Dans R2, l’application (x1,y1),(x2,y2)7→ x1x2+y1y2définit une application
bilinéaire symétrique.
•Dans R2, l’application (x1,y1),(x2,y2)7→ x1y2−x2y1définit une application
bilinéaire anti-symétrique.
•Si ϕ1,...,ϕpsont des formes linéaires sur E, l’application
(x1,...,xp)7→ ϕ1(x1)···ϕp(xp)définit une application p-linéaire que l’on note
ϕ1···ϕp.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Théorème
Soit E un K-espace vectoriel et soit p ∈N•.
1. Les ensembles Lp(E,K),Sp(E,K)et Ap(E,K), munis des opérations naturelles,
sont des espaces vectoriels sur K.
2. Pour qu’une p-forme linéaire ϕsur E soit symétrique, il faut et il suffit que
τ∗ϕ=ϕpour toute transposition τ∈ Sp.
3. Pour qu’une p-forme linéaire ϕsur E soit anti-symétrique, il faut et il suffit que
τ∗ϕ=−ϕpour toute transposition τ∈ Sp.
4. Si Kest Rou C, alors une p-forme linéaire ϕsur E est alternée si et seulement si
elle est anti-symétrique.
Remarques
•Si Eest de dimension finie n, on peut montrer que Lp(E,K)est de dimension finie.
•Si ϕ∈ Lp(E,K)alors ϕ(x1,...,xp) = 0 si l’un des xjest nul.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Symétrisation et anti-symétrisation
Proposition et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit ϕ∈ Lp(E,K)une forme
p-linéaire sur E. Alors
S(ϕ) := X
σ∈Sp
σ∗ϕet A(ϕ) := X
σ∈Sp
(σ)σ∗ϕ
sont des formes p-linéaires sur E. De plus,
1. la forme S(ϕ)est symétrique, on dit que c’est la symétrisée de ϕ;
2. la forme A(ϕ)est anti-symétrique, on dit que c’est l’anti-symétrisée de ϕ.
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