L2 -- MAT231 -- Chapitre 4 -- Algèbre linéaire

Algèbre linéaire
L2 – MAT231 – Chapitre 4 – Algèbre linéaire
Université Joseph Fourier – 2007-2008
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Algèbre linéaire
Principaux résultats vus en première année
Compléments sur les applications linéaires
Matrice associée à une application linéaire
Effets d’un changement de base
Réduction des endomorphismes (première approche)
Déterminant
Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
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Algèbre linéaire
Principaux résultats vus en première année
Principaux résultats vus en première année, I
Les résultats qui figurent dans les chapitres
IDimension finie
IEspaces vectoriels
ICalcul matriciel
ISystèmes linéaires
des notes de cours de première année, voir
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/
sont supposés connus.
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Algèbre linéaire
Principaux résultats vus en première année
Principaux résultats de première année, II
IUn résumé des principaux résultats vus en première année (voir également la
Feuille d’exercices no7) et
ILes transparents du cours
sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
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Algèbre linéaire
Principaux résultats vus en première année
Chapitre 4, Algèbre linéaire
Dans tout ce chapitre, Kdésigne un corps commutatif de caractéristique 0. On peut
supposer qu’il s’agit de Rou de C.
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Algèbre linéaire
Compléments sur les applications linéaires
Compléments sur les applications linéaires
Notations.
Soient Eet Fdeux Kespaces vectoriels.
IOn note LK(E,F)(ou, plus simplement, L(E,F)s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le
corps de base), l’ensemble des applications linéaires de Edans F.
IOn note LK(E)l’ensemble des applications linéaires de Edans lui-même
(endomorphismes de E).
IOn note E∗l’ensemble L(E,K)des applications linéaires de Edans K(formes
linéaires sur E). L’ensemble E∗s’appelle le dual de E.
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Algèbre linéaire
Compléments sur les applications linéaires
Proposition
Les ensembles LK(E,F),LK(E)et E∗, munis des opérations
(u,v)7→ u+v,définie par (u+v)(x) := u(x) + v(x),
(λ, v)7→ λv,définie par (λv)(x) := λv(x),
sont des espaces vectoriels sur K.
De plus, si G est un espace vectoriel sur K, la composition des applications,
(u,v)7→ v◦u, définit une application de LK(E,F)× LK(F,G)dans LK(E,G)et une
application de LK(E)× LK(E)dans LK(E).
Proposition
Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie sur K, n := dim(E)et
m:= dim(F), alors les espaces vectoriels LK(E,F),LK(E)et E∗sont également de
dimension finie sur Ket on a
dim(LK(E,F)) = n×m,dim(LK(E)) = n2,dim(E∗) = n.
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Algèbre linéaire
Compléments sur les applications linéaires
Plus précisément, soient E={e1, . . . en}une base de Eet F={f1, . . . fm}une base
de F.
•On définit les applications linéaires Eij, pour 1 ≤i≤met 1 ≤j≤n, par
Eij:E→F,par Eij(ej) = fiet Eij(ek) = 0 si k6=j.
Alors, la famille {Eij|1≤i≤m,1≤j≤n}est une base de LK(E,F).
•On définit les formes linéaires e∗
j, pour 1 ≤j≤n, par
e∗
j:E→K,par e∗ j(ej) = 1 et e∗ j(ek) = 0 si k6=i.
Alors, la famille {e∗
i|1≤i≤n}est une base de E∗, appelée base duale de la base E.
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Algèbre linéaire
Compléments sur les applications linéaires
Transposée d’une application linéaire
Proposition et Définition
Étant donnés des espaces vectoriels E et F et u une application linéaire de E dans F ,
on définit une application linéaire de F∗dans E∗, notée tu et appelée transposée de
l’application u, par tu(ϕ) := ϕ◦u
pour toute forme linéaire ϕ∈F∗.
On a, t(u+v) = tu+tv et t(λu) = λtu
pour tous u,v∈ L(E,F)et λ∈K.
De plus, si u ∈ L(E,F)et v ∈ L(F,G), alors
t(v◦u) = tu◦tv.
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Algèbre linéaire
Compléments sur les applications linéaires
Bi-dual d’un espace vectoriel
Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. On note E∗∗ l’espace dual de l’espace
E∗. Cet espace vectoriel est appelé le bi-dual de E. Si E:= {e1,...,en}est une base
de E, on note E∗:= {e∗
1,...,e∗
n}la base duale de Eet on note E∗∗ := {e∗∗
1,...,e∗∗
n}
la base duale de E∗.
Proposition et Définition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. L’application c :E→E∗∗ définie par
c(x)(ϕ) := ϕ(x)pour tous x ∈E, ϕ ∈E∗
est un isomorphisme linéaire de E sur E∗∗ . On l’appelle l’isomorphisme canonique de
E avec son bi-dual E ∗∗ .
Étant donnée une base Ede E et E∗∗ la base associée de E∗∗ , on a c(ej) = e∗∗
j.
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Algèbre linéaire
Matrice associée à une application linéaire
Notations
IOn désigne par Mm,n(K)l’ensemble des matrices à mlignes et ncolonnes et à
coefficients dans K. C’est un K-espace vectoriel de dimension mn dont une base
est donnée par la famille {Mij|1≤i≤m,1≤j≤n}des matrices élémentaires
où Mijest la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de la
i-ième ligne, j-ième colonne qui vaut 1.
IOn désigne par Mn(K)l’ensemble des matrices carrées à nlignes et ncolonnes.
On rappelle que c’est à la fois un K-espace vectoriel et un anneau (non
commutatif) pour la multiplication des matrices.
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Algèbre linéaire
Matrice associée à une application linéaire
Matrice associée à une application linéaire
•Soient Eet Fdeux espaces vectoriels, de dimensions respectives net m, munis
respectivement des bases E={e1,...,en}et F={f1,...,fm}. On définit l’application
ME
F:LK(E,F)→ Mm,n(K)
ME
F:u7→ ME F(u)
où ME
F(u)est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs
u(ej),1≤j≤n, dans la base F,
c’est-à-dire ME
F(u) = mij1≤i≤m,1≤j≤noù les coefficients mijsont définis par
u(ej) =
m
X
i=1
mijfipour tout j,1≤j≤n.
•Avec les notations précédentes, on a
ME
F(Eij) = Mij.
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Algèbre linéaire
Matrice associée à une application linéaire
Théorème
Avec les notations précédentes, l’application ME
Fest une application linéaire bijective
(un isomorphisme linéaire) de LK(E,F)dans Mm,n(K).
Soit x ∈E un vecteur qui s’écrit x =x1e1+···+xnendans la base E; on note XEle
vecteur colonne des coordonnées de x dans la base E. Le vecteur u(x)s’écrit
u(x) = y1f1+...+ymfmdans la base F; on note YFle vecteur colonne des
coordonnées de u(x)dans la base F.
On peut alors écrire
y1
.
.
.
ym
=ME
F(u)
x1
.
.
.
xn
,càd YF=ME
F(u)XE.
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Algèbre linéaire
Matrice associée à une application linéaire
Suite du théorème
Si u:E→Fest une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension
finie, et si tu:F∗→E∗est sa transposée, alors
MF∗
E∗(tu) = tME F(u).
Soient E,Fet Gtrois K-espaces vectoriels de dimension finie et E,Fet Gdes bases
de E,Fet Grespectivement. Soient u:E→Fet v:F→Gdes applications
linéaires. Alors
ME
G(v◦u) = MF G(v)ME F(u)
où le produit dans le second membre est le produit des matrices.
En particulier, ME
Eest un isomorphisme de l’anneau LK(E)des endomorphismes de E
dans l’anneau Mn(K)des matrices carrées d’ordre n=dim(E).
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Algèbre linéaire
Effets d’un changement de base
Changements de bases
Définition
On appelle matrice de passage de la base Eà la base E0et on note PE0
Ela matrice
PE0
E:= ME0 E(iE), c’est-à-dire la matrice de l’application identité iE,
(E,E0)→(E,E),x7→ x
de E dans lui-même. Les colonnes de la matrice PE0
Esont les coordonnées des vecteurs
de la base E0dans la base E.
Proposition
La matrice PE0
Eest inversible et (PE0 E)−1=PE
E0.
Proposition
Soit x ∈E un vecteur dont les coordonnées dans la base Esont données par le vecteur
colonne XEet dont les coordonnées dans la base E0sont données par le vecteur
colonne XE0. Alors, XE=PE0
EXE0et XE0=PE
E0XE.
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Algèbre linéaire
Effets d’un changement de base
Changements de bases et matrices d’applications linéaires
Proposition
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et soit u ∈ L(E,F)une
application linéaire. On se donne deux bases Eet E0de l’espace vectoriel E et deux
bases Fet F0de l’espace vectoriel F. Alors
ME0
F(u) = ME F(u)PE0 Eet ME
F0(u) = PF F0ME
F(u).
Corollaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et u ∈ L(E)un endomorphisme de
E. Si Eet E0sont deux bases de E, il existe une matrice P ∈ Mn(K), inversible, telle
que
ME0
E0(u) = P−1ME
EP.
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Algèbre linéaire
Effets d’un changement de base
Les diagrammes
(E,E0)iE −−−−−→ (E,E)u −−−−−→ (F,F)et (E,E)u −−−−−→ (F,F)iF −−−−−→ (F,F0)
traduisent les égalités
ME0
F(u) = ME F(u)PE0 Eet ME
F0(u) = PF F0ME
F(u).
Le diagramme commutatif
(E,E0)u −−−−−→
ME0
E0(u)
(E,E0)
iE
yPE0
EPE0 E
yiEx (PE0
E)−1
(E,E)u −−−−−→
ME
E(u)
(E,E)
traduit les égalités
u=iE◦u◦iEet ME0
E0(u) = (PE0
E)−1ME E(u)PE0 E.
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Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes (première approche)
Réduction des endomorphismes (première approche
Rationale. Étant donné un endomorphisme ud’un espace vectoriel de dimension finie
Esur un corps K, il s’agit de trouver une base de Edans laquelle la matrice de
l’endomorphisme soit la plus simple possible, c’est-à-dire une matrice diagonale ou une
matrice triangulaire supérieure (ou inférieure), formes qui permettent de résoudre
simplement des systèmes linéaires ou des équations différentielles linéaires par exemple.
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Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes (première approche)
Valeurs propres – Vecteurs propres
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension n.
Définition
Soit u ∈ L(E). Le scalaire λ∈Kest appelé valeur propre de l’endomorphisme u s’il
existe un vecteur x ∈E tel que x 6=0et u(x) = λx. Le vecteur x est dit vecteur
propre de u associé à la valeur propre λ.
Remarques
ILe scalaire λ∈Kest valeur propre de usi et seulement si Ker(u−λiE)6={0}.
ILe vecteur xest vecteur propre de uassocié à la valeur propre λsi et seulement
si x∈Ker(u−λiE)\ {0}.
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Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes (première approche)
Définition
Si λest valeur propre de u, le sous-espace vectoriel Eλ:= Ker(u−λiE)de E s’appelle
l’espace propre de u associé à la valeur propre λ(il est, par définition, non réduit à
{0}).
Proposition
Soit u ∈ L(E). Si λ1,...,λpsont des valeurs propres de u, deux à deux distinctes,
alors les espaces propres associés, Eλ1,...,Eλp, sont en somme directe, c’est-à-dire,
pour tout j,1≤j≤p,
Eλj\Eλ1+···+Eλj−1+Eλj+1+···+Eλp={0}.
Corollaire
Si u ∈ L(E)et si dim(E) = n alors u possède au plus n valeurs propres distinctes dans
K.
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Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes (première approche)
Endomorphismes diagonalisables
Théorème et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit u ∈ L(E)un endomorphisme de
E, de matrice M dans une base B. Les trois assertions suivantes sont équivalentes.
1. Il existe une base de E formée de vecteurs propres de u.
2. Les espaces propres Eλ1,...,Eλpde u correspondant à des valeurs propres
distinctes vérifient E =Eλ1⊕ · · · ⊕ Eλp.
3. Il existe une base Ede E telle que la matrice ME
E(u)de u dans cette base soit
diagonale.
Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u (resp. la matrice M) est diagonalisable.
Corollaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit u un endomorphisme de E qui
adment n valeurs propres distinctes dans K. Alors l’endomorphisme u est
diagonalisable.
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Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes (première approche)
Endomorphismes trigonalisables
Théorème et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit u ∈ L(E)un endomorphisme de
E, de matrice M dans une base B. Les deux assertions suivantes sont équivalentes.
1. Il existe une base E={e1,...,en}de E telle que les sous-espaces vectoriels
V1:= Vect(e1),V2:= Vect(e1,e2), . . . , Vn:= Vect(e1,...,en)
soient stables par u, c’est-à-dire u(Vj)⊂Vjpour 1≤j≤n.
2. Il existe une base Ede E telle que la matrice ME
E(u)de u dans cette base soit
triangulaire supérieure, c’est-à-dire de la forme
a11 a12 ··· a1n
0a22 ··· a2n
.
.
..
.
..
.
.
0 0 ··· ann
.
Dans ce cas, on dit que l’endomorphisme u (resp. la matrice) est trigonalisable. Les
coefficients diagonaux de la matrice ME
E(u)sont valeurs propres de u dans K.
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Algèbre linéaire
Réduction des endomorphismes (première approche)
Hypothèse (T)
On dira que le corps Kpossède la propriété (T) si, pour tout K-espace vectoriel E, de
dimension finie, tout endomorphisme ude Epossède au moins une valeur propre,
c’est-à-dire qu’il existe au moins un élément λ∈Ktel que Ker(u−λiE)6={0}.
Théorème
Soit Kun corps possédant la propriété (T), et soit E un espace vectoriel de dimension
finie sur K. Alors, tout endomorphisme u de E est trigonalisable.
Remarque. On montrera ultérieurement que Cpossède la propriété (T). Le corps R
ne possède pas la propriété (T).
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Algèbre linéaire
Déterminant
Groupe des permutations
Notations
IPour n∈N•, on désigne par N•
nl’ensemble {1,2,...,n}.
IOn désigne par Snle groupe des permutations, c’est-à-dire le groupe des
bijections de N•
ndans lui-même. Notons que le groupe Snan!éléments.
IOn peut expliciter une permutation σ∈ Snpar un tableau
σ=1 2 ··· n
σ(1)σ(2)··· σ(n).
IOn note σ◦τou στ la composition des deux permutations σet τ; on note ιla
permutation identité.
IOn appelle transposition une permutation τqui échange deux indices et qui laisse
les autres inchangés. Ainsi, une permutation τest de la forme τ=τijoù
τij(i) = j, τij(j) = i,et τij(k) = k,pour k6=i,k6=j.
Pour une permutation τ, on a τ2=τ.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Structure du groupe des permutations
Théorème
Pour n ≥2, l’ensemble des transpositions de Snengendre Sn, c’est-à-dire, toute
permutation peut s’écrire comme produit de transpositions.
Remarque. La décomposition d’une permutation en produit de transpositions n’est
pas unique en général. Remarquons également que pour n≥3, le groupe S3n’est pas
commutatif.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Signature d’une permutation
Définition
Soit σ∈ Sn. Le nombre (σ)défini par
(σ) = Q1≤i<j≤n(σ(i)−σ(j))
Q1≤i<j≤n(i−j)
s’appelle la signature de la permutation σ.
Théorème
Pour σ∈ Sn, la signature (σ)est égale (−1)Noù N est le nombre d’éléments de
l’ensemble {(i,j)∈N•
n×N• n|i<j et σ(i)> σ(j)}(c’est-à-dire le nombre
d’inversions de σ).
La signature est un homomorphisme surjectif du groupe Snsur le groupe
multiplicatif Γ = {−1,1}.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Définition
Les permutations telles que (σ) = 1forment un sous-groupe de Snappelé le groupe
alterné et noté An. Les éléments de Ansont appelés permutations paires ; les élements
de Sn\ Ansont appelés permutations impaires.
Attention. Les permutations impaires ne forment pas un sous-groupe.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Formes multi-linéaires
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n.
Définition
Soit ϕune application de E × · · · × E
| {z }
p
(p exemplaires de E ) dans K.
IOn dit que l’application ϕest une forme p-linéaire sur E si, pour tout j tel que
1≤j≤p, et pour tous vecteurs y1,...,yp∈E, les applications partielles
x7→ ϕ(y1,...,yj−1,x,yj+1, . . . yp)
sont des formes linéaires de E dans K. Si p =2, on dira que ϕest bilinéaire. On
notera Lp(E,K)l’ensemble des formes p-linéaires sur E.
IÉtant donnés ϕ∈ Lp(E,K)une forme p-linéaire sur E et σ∈ Spune
permutation, on définit une forme p-linéaire sur E, notée σ∗ϕ, par la formule
σ∗ϕ(x1,...,xp) := ϕ(xσ(1),...,xσ(p)).
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Algèbre linéaire
Déterminant
Formes symétriques et anti-symétriques
Définition
IOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ∈ Lp(E,K), est symétrique si
σ∗ϕ=ϕpour tout σ∈ Sp.
On désigne par Sp(E,K)l’ensemble des formes p-linéaires symétriques sur E.
IOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ∈ Lp(E,K), est anti-symétrique si
σ∗ϕ=(σ)ϕpour tout σ∈ Sp.
On désigne par Ap(E,K)l’ensemble des formes p-linéaires anti-symétriques sur E.
IOn dit qu’une forme p-linéaire, ϕ∈ Lp(E,K), est alternée si ϕ(x1,...,xp) = 0
chaque fois qu’il existe deux indices distincts i et j tels que xi=xj.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Exemples
•Pour p=1, on retrouve les formes linéaires.
•Dans R2, l’application (x1,y1),(x2,y2)7→ x1x2+y1y2définit une application
bilinéaire symétrique.
•Dans R2, l’application (x1,y1),(x2,y2)7→ x1y2−x2y1définit une application
bilinéaire anti-symétrique.
•Si ϕ1,...,ϕpsont des formes linéaires sur E, l’application
(x1,...,xp)7→ ϕ1(x1)···ϕp(xp)définit une application p-linéaire que l’on note
ϕ1···ϕp.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Théorème
Soit E un K-espace vectoriel et soit p ∈N•.
1. Les ensembles Lp(E,K),Sp(E,K)et Ap(E,K), munis des opérations naturelles,
sont des espaces vectoriels sur K.
2. Pour qu’une p-forme linéaire ϕsur E soit symétrique, il faut et il suffit que
τ∗ϕ=ϕpour toute transposition τ∈ Sp.
3. Pour qu’une p-forme linéaire ϕsur E soit anti-symétrique, il faut et il suffit que
τ∗ϕ=−ϕpour toute transposition τ∈ Sp.
4. Si Kest Rou C, alors une p-forme linéaire ϕsur E est alternée si et seulement si
elle est anti-symétrique.
Remarques
•Si Eest de dimension finie n, on peut montrer que Lp(E,K)est de dimension finie.
•Si ϕ∈ Lp(E,K)alors ϕ(x1,...,xp) = 0 si l’un des xjest nul.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Symétrisation et anti-symétrisation
Proposition et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et soit ϕ∈ Lp(E,K)une forme
p-linéaire sur E. Alors
S(ϕ) := X
σ∈Sp
σ∗ϕet A(ϕ) := X
σ∈Sp
(σ)σ∗ϕ
sont des formes p-linéaires sur E. De plus,
1. la forme S(ϕ)est symétrique, on dit que c’est la symétrisée de ϕ;
2. la forme A(ϕ)est anti-symétrique, on dit que c’est l’anti-symétrisée de ϕ.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Déterminant associé à une base d’un espace vectoriel
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie net soit E={e1,...,en}une base de
E. On désigne par E∗={e∗
1,...,e∗
n}la base duale de E∗.
Proposition et Définition
L’application
En→K,(x1,...,xn)7→
n
Y
j=1
e∗
j(xj)
est une forme n-linéaire sur E. Son anti-symétrisée est notée DetEet appelée le
déterminant associé à la base E. Il vérifie
DetE(e1,...,en) = 1.
Il en résulte en particulier que An(E,K)6={0}.
Exemples
•Dimension 2
•Dimension 3
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Algèbre linéaire
Déterminant
Théorème fondamental
Théorème et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit p ∈N•. Soit E={e1,...,en}une
base de E et soit E∗={e∗
1,...,e∗
n}la base duale. Alors,
1. Si p >n, on a Ap(E,K) = {0}.
2. L’espace vectoriel An(E,K)est de dimension 1et admet pour base DetE. Si
ϕ∈ An(E,K), on a
ϕ=ϕ(e1,...,en)DetE.
De plus, DetEest le seul élément de An(E,K)qui prend la valeur 1sur le n-uplet
{e1,...,en}.
3. Soit X := {x1,...,xn} ∈ Enun système de n vecteurs. On dit que
DetE(X) := DetE(x1,...,xn)est le déterminant du système X dans la base E.
On a,
DetE(X) = X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
j=1
e∗
j(xσ(j)) = X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
j=1
e∗
σ(j)(xj).
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Algèbre linéaire
Déterminant
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension n.
1. Si Eet Fsont des bases de E alors DetE(F)est inversible dans Ket
(DetE(F))−1=DetF(E).
2. Soit Eune base de E et soit Fun système de n vecteurs. Alors, Fest une base
de E si et seulement si DetE(F)6=0.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Déterminant d’un endomorphisme
Théorème et Définition
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n >0et soit u un endomorphisme de
E. Il existe un unique scalaire, appelé déterminant de u, et noté Det(u), tel que pour
tout ϕ∈ An(E,K), et tous x1,...,xn∈E, on ait
ϕ(u(x1),...,u(xn)) = Det(u)ϕ(x1,...,xn).(1)
Ce scalaire est donné, dans une base E={e1,...,en}de E, par
Det(u) = DetE(u(e1),...,u(en)).(2)
Remarque. La formule (1) ci-dessus montre que le déterminant d’un endomorphisme
ne dépend pas du choix d’une base particulière. La formule (2) donne elle un moyen de
calculer le déterminant.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Propriétés du déterminant d’un endomorphisme
Théorème
Soit E un espace vectoriel de dimension n >0.
1. On a Det(iE) = 1.
2. Pour λ∈Ket u ∈ L(E), on a Det(λu) = λnDet(u).
3. Pour u,v∈ L(E), on a Det(v◦u) = Det(v)Det(u)et Det(tu) = Det(u)où
tu∈ L(E∗)est l’endomorphisme transposé de u.
4. Un endomorphisme u de E est inversible si et seulement si son déterminant
Det(u)est non nul et alors Det(u−1) = (Det(u))−1.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Déterminant d’une matrice carrée
Définition
Soit A = (aij)∈ Mn(K)une matrice carrée sur le corps K. On appelle déterminant de
la matrice A, et on note Det(A)ou encore |aij|, le déterminant du système des
vecteurs colonnes de A dans la base canonique de Kn.
Proposition
Étant donnée une matrice carrée A = (aij)∈ Mn(K), on a
Det(A) = X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
j=1
ajσ(j)=X
σ∈Sn
(σ)
n
Y
j=1
aσ(j)j
et, en particulier,
Det(tA) = Det(A)
où tA désigne la matrice transposée.
Proposition
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et Eune base de E. Si u ∈ L(E)et si
A:= ME(u)est la matrice de u dans la base E, alors Det(u) = Det(A).
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Algèbre linéaire
Déterminant
Proposition
Soient A,B∈ Mn(K)et λ∈K. Le déterminant d’une matrice carrée possède les
propriétés suivantes.
ISi on effectue une permutation σsur les vecteurs colonnes de A et si on appelle
C la matrice ainsi obtenue, on a Det(C) = (σ)Det(A).
ILe déterminant de A dépend linéairement de chacun des vecteurs colonnes de A.
ILe déterminant de A ne change pas si on ajoute à l’un de ses vecteurs colonnes
une combinaison linéaire des autres vecteurs colonnes. Il est nul si un des vecteurs
colonnes est combinaison linéaire des autres vecteurs colonnes.
IComme Det(tA) = Det(A), les propriétés ci-dessus sont également valables pour
les vecteurs lignes.
IOn a Det(In) = 1(où Indésigne la matrice identité d’ordre n),
Det(λA) = λnDet(A)et Det(AB) = Det(A)Det(B).
ISi A est une matrice 1×1identifiée à un scalaire α, on a Det(A) = α.
ILa matrice A est inversible si et seulement si Det(A)6=0et alors
Det(A−1) = (Det(A))−1.
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Algèbre linéaire
Déterminant
Calcul des déterminants
Lemme
Soient n,p,q∈N•avec n =p+q. Soient A ∈ Mp, B ∈ Mqet C ∈ Mp,q. On
définit une matrice M ∈ Mnpar
M:= A C
0B.
Alors, Det(M) = Det(A)Det(B).
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