MPSI Orientation d’un R-espace vectoriel Orientation d’un R-espace vectoriel I Cas général Il existe deux types de matrices inversibles p × p : – celles à déterminant strictement possitif, – et celles à déterminant strictement négatif Définition 1 On définit GL+ p (R) comme l’ensemble des matrices p × p inversibles à déterminant strictement positif, et GL− (R) comme l’ensemble des matrices p × p inversibles à déterminant strictement négatif. p Proposition 1 GL+ p (R) est un sous-groupe de GLp (R) Attention: GL− p (R) n’est pas un sous-groupe de GLp (R) −1 Preuve : A, B ∈ GL+ , AB ∈ GL+ p (R) : A p (R). + −1 ∈ GL− A, B ∈ GL− p (R) mais AB ∈ GLp (R) p (R) : A Proposition 2 Soit E un R-espace vectoriel. Soient A et B deux bases de E. On dira que A et B sont de même orientation si, et seulement si P ∈ GL+ p (R) AB Ceci définit une relation d’équivalence entre les bases. Pour cette relation, il y a deux classes d’équivalence Orienter l’espace, c’est convenir d’appeler directes les bases de l’une des deux classes, et indirectes les bases de l’autre. Exemples: i Rp contient une base "canonique" E = (e1 , ..., ep ) où ei = (0, ...., 0, 1, 0, ..., 0). L’orientation canonique de Rp est alors celle pour laquelle E est directe. Dans Mp,1 (R) l’orientation canonique est celle pour laquelle 0 0 1 1 0 0 , 0 , ..., ... est directe. vdots 0 ... 0 0 1 0 Remarques: Soit B une base de E. On définit B ′ comme la base obtenue à partir de B en permutant deux vecteurs. B et B ′ ont alors des orientations différentes. (La matrice de passage a comme déterminant −1) Soit B = (b1 , ..., bp ) une base de E. On définit B ′ = (−b1 , −b2 , .; ., −bp ). Dans ce cas, P ′ = Ip et BB det P ′ = (−1)p . BB Si p est pair, alors B et B ′ sont de même orientation. Sinon, ils ont des orientations différentes. http://www.pikachuyann.fr/maths/ 1 orientation_Rev- 10 mai 2010. En cas d’erreur(s) vous pouvez me contacter: [email protected] MPSI Orientation d’un R-espace vectoriel II Cas euclidien Considérons deux bases orthonormées A et B. Elles peuvent être de même orientation ou d’orientations différentes. P est orthogonale (et appartient à Op (R) : son déterminant est alors égal à +1 ou −1. AB det = det B det : égalité entre formes p-linéaires alternées A A B Lorsque A et B sont des bases orthonormées : – Si A et B ont la même orientation : detA = detB – Si A et B ont des orientations différentes : detA = − detB . Dans un espace euclidien orienté, pour toutes les bases orthonormées directes A, les detA sont égaux entre eux. Cette forme p-linéaire est notée det ou vol On a alors, pour toute base orthonormée directe A : µ ¶ det(x1 , ..., xp ) = vol(x1 , ..., xp ) = det Mat(x1 , ..., xp ) A III Produit vectoriel Soit E un espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout couple (x, y) de E 2 on définit : ϕ: E 7→ R z → vol(x, y, z) À cause de la multilinéarité du déterminant, ϕ est une forme linéaire (et appartient donc à E ∗ , et, de par les propriétés du produit scalaire, il existe un unique vecteur u de E tel que : ϕ = (u/•) Cet unique vecteur est noté x ∧ y. Définition 2 Dans E euclidien de dimension 3, pour tout couple (x, y) de E 2 , x ∧ y est défini par : ∀z ∈ E : vol(x, y, z) = (x ∧ y/z) | {z } prend le nom de produit mixte http://www.pikachuyann.fr/maths/ 2 orientation_Rev- 10 mai 2010. En cas d’erreur(s) vous pouvez me contacter: [email protected]