Orientation d`un R

MPSI Orientation d’un R-espace vectoriel
Orientation d’un R-espace vectoriel
I Cas général
Il existe deux types de matrices inversibles p×p:
– celles à déterminant strictement possitif,
– et celles à déterminant strictement négatif
Définition 1
On définit GL+
p(R)comme l’ensemble des matrices p×pinversibles à déterminant strictement
positif, et GL−
p(R)comme l’ensemble des matrices p×pinversibles à déterminant strictement négatif.
Proposition 1
GL+
p(R)est un sous-groupe de GLp(R)
Attention: GL−
p(R)n’est pas un sous-groupe de GLp(R)
Preuve : A, B ∈GL+
p(R) : A−1, AB ∈GL+
p(R).
A, B ∈GL−
p(R) : A−1∈GL−
p(R)mais AB ∈GL+
p(R)
Proposition 2
Soit Eun R-espace vectoriel. Soient Aet Bdeux bases de E. On dira que Aet Bsont de même
orientation si, et seulement si
P
AB
∈GL+
p(R)
Ceci définit une relation d’équivalence entre les bases. Pour cette relation, il y a deux classes d’équi-
valence
Orienter l’espace, c’est convenir d’appeler directes les bases de l’une des deux classes, et indirectes
les bases de l’autre.
Exemples:
Rpcontient une base "canonique" E= (e1, ..., ep)où ei= (0, ...., 0,i 1,0, ..., 0). L’orientation canonique de
Rpest alors celle pour laquelle Eest directe.
Dans Mp,1(R)l’orientation canonique est celle pour laquelle
1
0
vdots
0
0
,
0
1
0
.
.
.
0
, ...,
0
0
.
.
.
0
1
est directe.
Remarques:
Soit Bune base de E. On définit B′comme la base obtenue à partir de Ben permutant deux vecteurs.
Bet B′ont alors des orientations différentes. (La matrice de passage a comme déterminant −1)
Soit B= (b1, ..., bp)une base de E. On définit B′= (−b1,−b2, .;., −bp). Dans ce cas, P
BB′=Ipet
det P
BB′= (−1)p.
Si pest pair, alors Bet B′sont de même orientation. Sinon, ils ont des orientations différentes.
http://www.pikachuyann.fr/maths/ 1orientation_Rev- 10 mai 2010.
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II Cas euclidien
Considérons deux bases orthonormées Aet B. Elles peuvent être de même orientation ou d’orientations
différentes. P
AB est orthogonale (et appartient à Op(R): son déterminant est alors égal à +1 ou −1.
det
A= det A
Bdet
B: égalité entre formes p-linéaires alternées
Lorsque Aet Bsont des bases orthonormées :
– Si Aet Bont la même orientation : detA= detB
– Si Aet Bont des orientations différentes : detA=−detB.
Dans un espace euclidien orienté, pour toutes les bases orthonormées directes A, les detAsont égaux
entre eux. Cette forme p-linéaire est notée
det ou vol
On a alors, pour toute base orthonormée directe A:
det(x1, ..., xp) = vol(x1, ..., xp) = det µMat
A(x1, ..., xp)¶
III Produit vectoriel
Soit Eun espace euclidien orienté de dimension 3. Pour tout couple (x, y)de E2on définit :
ϕ:E7→ R
z→vol(x, y, z)
À cause de la multilinéarité du déterminant, ϕest une forme linéaire (et appartient donc à E∗, et, de
par les propriétés du produit scalaire, il existe un unique vecteur ude Etel que :
ϕ= (u/•)
Cet unique vecteur est noté x∧y.
Définition 2
Dans Eeuclidien de dimension 3, pour tout couple (x, y)de E2,x∧yest défini par :
∀z∈E: vol(x, y, z) = (x∧y/z)
|{z }
prend le nom de produit mixte
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