Espaces analytiques banachiques

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
F ULBERT M IGNOT
Espaces analytiques banachiques
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 6, no 1 (1966-1967), exp. no 4, p. 1-12
<http://www.numdam.org/item?id=SC_1966-1967__6_1_A4_0>
© Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse
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4-01
Séminaire CROQUET
(Initiation à l’Analyse)
6e année, 1966/67, n° 4
1 décembre
1966
ESPACES ANALYTIQUES BANACHIQUES
par Fulbert MIGNOT
(d’après
[3])
la thèse d’Adrien DOUADY
(où X
analytique de dimension finie est un espace annelé (X,
est un espace topologique, et
0 X un faisceau d’anneaux sur 0 ~ ), localement isomorphe à un modèle (Y, 0 ) , où Y désigne l’ensemble des zéros d’une famille
C~) , et
f ) de fonctions analytiques définies sur un ouvert U
est égale à
où
O- est le faisceau d’anneaux défini sur Y, dont la fibre
anneau des gennes de fonctions analytiques en
y, et J
(avec
Un espace
(f ~
...
,
0idéal
/3 de
C)
Y
Si
y
est réduit
Qy
analytique
X
sur
ne
est
une
mine
des espaces de
analytiques à
analytique à
Banach,
valeurs
(a)
1~
est
Fonctions
les
f
n
désigne
2°
f
un
ouvert de
C" ,
ues.
On
a
et la donnée
la
avec
immédiatement
de OX
déter-
valeurs dans
un
composantes.
Il n’en est pas de même dans le
cas
les faisceaux des fonctions
Définitions.
analytiques.
désignent des
analytique en xe U ,
sur
est
X
fonction
une
Cette notion coïncide
0.
qui nécessite de considérer
dans un Banach quelconque.
E, F
que,
aux
où
fi ,
f ).
... ,
niipotents),
pas d’éléments
ce
Modèles d’espaces analyti
1.
cas
fonctions par passage
ces
possède
section du faisceau
définition habituelle dans le
la notion de fonction
des fonctions
par les germes en° y
engendre
Banach
sur
s’il existe
C,
une
U
un
ouvert de
boule
B(x, r)
E ~
f :
U -> F .
f
U y telle
contenue dans
B,
étant des fonctions polynomiales de degré
la fonction multilinéaire associée à
n
en
(y - x) ,
et si,
În
fn ,
est
analytique
sur
U , si elle est analytique
en
tout
point
x
(x E U) .
équivalentes :
3~ Les propositions suivantes sont
U ;9
f
est
f
est
f
est continue, et, pour tout
analytique
sur
C-différentiable
U9
sur
(v
v
e
(v o f)
F’ ) ,
analytique [3].
est
q.a Définition d’un modèle.
U
f :
~- --~ F
une
(V c U) ,
analytiques définies
f init
un
f aisceau
G)
Soit
sur
on
~(V , G) ,
associe
port
de
ce
E
V -~
F
=
=
3 ~
G ,
Cn ,
nant à
le faisceau associe
faisceau est
x0 ~ X ,
Soient
E ,
espace vectoriel des fonctions
(X(V ,
dé-
défini par
U
sur
E
x(v , f(F , G)), g(x); B(x).f(x)~ .
G; e .
.
Alors
est donc le faisceau d’idéaux associe
$(c)
ouvert de
noté (G) .
G) =
Soit
un
G . La donnée des
V, à valeurs dans
le faisceau
Remarque. - Si
U
=
V
tout ouvert
A
désignent des Banach complexes,
application analytique, X f-1(0) .
G
E , F ,
Notations. -
g ~
=
( î , ... , f ) ,
fonctions
f ,
... ~
et
f .
G) .
préfaisceau quotient
Le sup-
X ~
K o (fibre
de ?
0 . Soit 03BD
en
Alors, il existe
0 .
F’ ,
au
aux
f
un
voisinage
v(x.J
tel que,
appartesur
V(x,) ,
désignera
On
encore
par
~(G~
Etant donnés deux Banach
on
définit, grâce
au
lemme
1. - Soient Q
et ~
une
x
appartienne à
E
un
G’ , et
et
suivant,
U
de
03A9
voisinage ouvert
U0 , et
U
que la fonction
G’) .
x
F
dans
de
g ~ R(U0 ,
X .
application analytique
une
morphisme
un
ouvert de
application analytique
Il existe alors
pour tout
un
G
la restriction du faisceau à
x
G -~
G’,
de ~ ( G~ dans ~ ( G’ ~ .
point ( x , 0) (x..
Banach G’ , nulle sur (U x 0)
dans U, tel que (x , f(x)) e Q
contenant
un
h :
un
G’ ) ,
définie par
g(x) = ~(x , f(x))
de la forme
De plus, si 03A9 est
Démonstration. - Soit
U’
( U’
F
x
U, défini
l’ouvert de
U..
U ),
ouvert de
par
~
~
~1
B(x)
~’2(x , tf(x)) dt ( ~’2 dérivée partielle de ~
seconde variable). Alors, pour tout
x0 ~ U0 ,
Soit
la
U0 = U’ .
alors
=
~10
rapport à
par
C. Q. F.D.
(b)
$(&)
Construction d’un morphisme de
$(&’) ,
dans
associé à
h
analytique,
C->. G’ .
U’
Soit
Si y
et
eu ,
sont deux éléments de
-y’
$(U’ , G) ,
de
Pour
est
~x , y)
analytique
E U’
sur
(c)
U’
h~ :
F , nulle
Ceci
permet
de considérer le
~(G~ ,
~’ , constitue
->
U’
sur
x
(0) ; d’après
même élément
le lemme 1 ~1
définissent le même élément par passage
sections du faisceau
Si
x
Définition des faisceaux
leurs dans
un
y) ,
F , la fonction
x
et
donc
~(G’~(Uf~ .
~(U’ , G) , représentant
’
est
~(W) ..~ ~ ( ~~~’ ) .
un
~(W~. -
morphisme
Soit
W
un
de faisceau :
ouvert de
dont la fonction ensembliste
sous-faisceau
analytique,
on
(d’ensembles)
peut définir
un
de
au
quotient
dans
.
G . L’ensemble des
sous-jacente
~( G~ ,
morphisme
noté
est à
va-
~(l~~ .
de faisceau
Soient
~
(w) (fibre
cy
K(U’ , G) ( U’
voisinage de
t
~
~(w)
de
et
en
x~ ) ;
un
y
représentant
et
représentants ~
deux
de
a,y
-y’
sont tels que
~(x , y)
Soit
0)
(x
il existe
Il
en
(d)
c
E 0
un
ouvert 03A9 ,
sur un
(hoy)
définissent le même germe de $
et
le foncteur défini
la
sur
catégorie
d’espaces de Banach (flèches : les applications analytiques)
la catégorie des faisceaux d’ensembles sur X , qui :
-
à
,
à
va-
$(w) ;
associe
W
associe le
W -~
h :
~(~~
de
morphisme, défini précédemment,
dans
(noté ~(h~ ~.
~(W’~
(U,
triplet
f ,
c~~
constitue
un
modèle.
Soit X
Définition des espaces
1° Un espace
foncté
un
espace
$
est
un
foncteur de la
catégorie K
dans la
catégorie.
où :
catégorie
des faisceaux d’ensem-
X .
sur
une
(X , ~~
une
topologique,
est
2~ Un
couple
sera un
X
est
est défini
G’~(U .
Û0
à tout ouvert
bles
03BB(x) y) - h(03B3’(x)) . ~
x
-
(e)
+
Définition du foncteur w . - Soit $
leurs dans
Le
h(03B3’(x)
F ; de plus, ’~ s’annule sur Q n U x (0) . D’après le lemme 1,
à 9~ (f ,
de
voisinage
x~ tel que ’~(x , f(x)) appartienne
U
résulte que
des ouverts
.
=
morphisme de (X , ~~ dans
application continue de X
dans $
( f# :
foncteur image
( Y , Y)
est
Y , et
dans
réciproque
couple
un
fl
un
morphisme
Remarque 2. - Si
( j désignant
(X , 03A6)
l’injection
est
un
f~~ sont
dans
f0* 03A6.
et
espace
canonique),
On dira que cette structure est induite
Remarque 3. - Les modèles
fonctés
(
lytiques).
K :
catégorie
Y
sur
(U , f , $)
des ouverts
K-foncté,
(Y , j*
03A6)
f~
du foncteur
adjoints,
et si
est alors
Y
il revient
ex, j:i
un
espace
au
mène
Y -> X
K-foncté.
par $ .
d’espaces Kapplications ana-
constituent des exemples
d’espaces
où
f.. ).
par
*
Remarque 1. - Comme les foncteurs f 0
de se donner
f1 ou un morphisme de Y
f),
(f~ ,
de Banach
avec
les
Un modèle
Remarque 4. -
un
ensemble des fonctions
analytique banachique (80
Un espace
est dit lisse si
f = 0 . Le
foncteur ~ ,
analytiques définies
dans
W .
à valeurs dans
phe à
~~
f ,
W , associe
à tout ouvert
U
~,(U ,
modèle lisse : cette notion
a,
se
b.)
est
confond
lisse, s’il
avec
est localement isomor-
celle de variété
analytique
banachique.
(f)
Déf inition des espaces
e.
b.
a.
b., sauf si l’e.
a.
(dû
Contre-exemple
2.
Considérons
cie à
En
à A.
p :
j~-~~~/c~ ~
Dans le
cas
où
E
n’est
détermine pas nécessairement la struc-
DOUADY).
on
le
vers
0
à l’infini,
comme
e.
a.
b.
asso-
note ~ ~
£(l~)n , C)
médiat que
un
b. est lisse.
est facteur direct dans
(co)!
effet,
0
modèle lisse d’une part, et d’autre part
comme
c0
a.
ne
~(Ç~ .
de Banach des suites tendant
l’espace
Soit
sous-jacent :
cet espace annelé
finie,
point admet
modèle.
un
espace annelé
a un
pas de dimension
ture d’e.
dont tout
analytique banachique est un espace
voisinage ouvert isomorphe à
Tout
catégorie
précédentes.
que dans les remarques
Un espace
la même
analytiques banachiqueso - Soit X
C)
(~~ ~’ ,
comme
et par
il est im-
récurrence,
facteur direct. Ceci
permet
d’i-
dentifier les deux espaces annelés.
En effet,
Idc0
prolongerait
Pour
un
c0)
e
localement
x~
projecteur
c
de
direct dans l~.
et
~
Idc0 03A6(c0 , c0) ,
application 03C6-analytique définie
en une
et
y
l~
sur
c..
sinon l’identité
y
ce
qui
ne
peut être
o
sur un
cp’(~) =cp’(x) .
car
de c0
se
ouvert de
serait
n’est pas facteur
$(w)(u) on peut asscier une fonction contiX )y appelée application ensembliste sous-jacen-
PROPOSITION 1. - A toute section de
nue
de
U
dans
(U
W
ouvert de
y
te.
Il suffit de démontrer le lemme suivant :
(X , $) et (Y , f) deux modèles d’e.
b., et
fj
a.
->
s
à
un morphisme :
(Y , 03A8) . Si
(X , $)
appartient
(f 03A8)(W)(U) ( U ouvert de X ), et si e(s) désigne la fonction.ensembliste sous-jacente, alors
LEMME 2. - Soient
En
effet, soient
voisinage
( F(W)
de
G U , et
x
E
x
(s)
la valeur de
s~ appartient
E x (s~ , ~ x (f 1 (~~J~
à
faisceau des fonctions continues dans X
s’
E
~)(i)s’ =
s
W , il existe
prend
~f ~~~W’ ~
;r~’ ,
W’ ,
Pour tout
x .
i ~>
avec
-~
à valeurs dans
W
W’
W ,
).
tel que
(en prenant
valeurs dans
ses
en
U
assez
donc
petit) ,
aussi
°
C. ~. F. D.
0
Une section de
U
par des
~(~rT~(U~
tel que
X.,
i
met de construire
une
tre que cette fonction
s’identifie à
(Xi1 , 03A6i)
1
fonction
ne
PROPOSITION 2. - Soient
Banach. L’ensemble des
étant donnée, il suffit de considérer
recouvrement de
isomorphe à un modèle. L’isomorphisme
ensembliste sous-jacente à
et le lemme 2
1
dépend
soit
pas des
(X , 03A6)
un
Xi
e.
a.
(X , ~~
~(X’~~ .
morphismes de
~(X , X’) =
un
choisis.
bo, et
X’
un
ouvert
dans le modèle lisse
d’espace
(X’ ,
de
Z~,)
X
permon-
Morphisme défini
X -~ X’ l’application
i~ : V ~>X’ ,
par
il existe
tel que
Soit ~
Cette
sv~ unique
une
continue
section. - Soient
sous-jacente.
s E
~~~ ,
V’
Soit
un
et
ouvert de
g
=
s :
X’ ;
ouvert d’un
application définit
A la section
s ,
on
un
morphisme
associe le
f~
du foncteur ?
(g ,
morphisme
f~.
Cette
dans g
.
application
est in-
jective.
Section définie par
détermine
En
Si
une
un
morphisme. -
Il
s’agit
de montrer que tout
section à laquelle il est associé par la construction
prenant 1~~ = V’ ,
,
E
morphisme
précédente ;
~(V ,V’) ,
9
V’=X’ ,
Il suffit de montrer que
coïncide
avec le
s~,
admet
morphisme associé à
gramme s commutatifs :
fa
sx’
comme
fonction
sous-jacente,
par la méthode du
(a).
et que
Soient les dia-
f~
On obtient
Ceci montre que les
s
~
donc
s~, ,
V’) . La
$(f"~(V’) D’autre
,
S
=
donc que le
fonction
part,
le
modèle lisse
tion associée
au
f
s
est
morphisme
associée à
coïncide
f.)
morphisme
(W’ , RW’) ,
analytique :
S
avec
les
avec
f0 (considéré
§(~ (V’))
w)h
C
(a)
V,
=
f ,
d’un modèle lisse
1~ injection canonique
définis dans
est telle que
s
est entièrement déterminé par
est
Sy, ,
diagramme suivant montre que
morphisme associé à
COROLLAIRE 1. - Tout
donc
définis ici, coïncident
(w~~)
l’application
~
dans
f0
qui est
et La
de
élément de
comme
un
sec-
03A6(W , W’) .
(X , 03A6) (f0 , f1) (x’ ,$’) (g0 , g1) (w ,?) ( (W , ?)
lisse). Si
g) est représente par s’ e ~’(X’,~) , le compose
est représente par f
(w)s’e $(X ~ w) ~
COROLLAIRE 2. -
modèle
go f
COROLLAIRE 3. - Soit le modèle
(X , 03A6) = (U ,
canonique :
‘~ -~ U . Pour tout ouvert
i 0 X(U , W)
-~
W ,
donc unmorphisme :
F ,
on a un
f),
et soit
morphisme
i0
l’injection
détermine par la section
Remarque. - Soit
sera
G
d’e.
v.). f 0
U)
y
espace de Banach. Un
un
dit nul,y si la section
(faisceau
~(X.. ,
o- E
s
~(X , G) , représentant
E
X
envoie alors
PROPOSITION 3. - Soient
E,y
morphisme
sur
le
morphisme~
est nulle
0 .
Banach, U un ouvert de
dans le modèle lisse
deux espaces de
F
E,
et
morphisme
(U , RU)
(F , RF) ( f
tout
b.
des morPour
e,
a.
l’ensemble
(X , 03A6)
application analytique associée).
g ) de (X , 03A6) dans le modèle (X0 , 03A6) = (U , F f )
f
du modèle lisse
un
,
,
s’identifie à l’ensemble des morphismes
(U , ~ ) ,
lisse
f o u
tels que
(X , ~)
de
dans le modèle
0 .
=
Soient G, G’ , G" trois espaces de Banach, ~AT un ouvert de G , et
£(G’ , GU)) qui définisdesapplications analytiques cP E R(W , G’ ) et v E
sent
(Y
c~’
=
ouvert de
La
G" ) .
E
X)
propriété étant
(U,
modèle
F ,
f)
vérifie
(X , ~)
Si
~(cp) (s)
de caractère
=
Démonstration de la proposition 3. ~
En
effet, d’après
G)
( U’
le corollaire
Soit le carré commutatif
(h
on
se
e.
se
b. , et si
a.
~(~’ ) (s) -
ramène
fait alors
(f ou = 0)
ouvert de
2,
un
0 ,alors
local,
o La démonstration
est
au
cas
sans
est
G) :
est
E
~( Y , W)
0 .
où
(X ~)
y
difficulté.
équivalent
U ),
f o u = 0
s
G)(h)
équivalent
à :
à :i
= 0 .
est
un
On
applique
ceci à
s = ul(U’ ,
si
D’autre
Il suffit
=
La
U’)
d’appliquer
0 ,
=
le lemme
G)(h)
i
le
Y
avec
=
W
et
=
=
U’ , pour obtenir
0 .
prendre
h
=
f~ .
morphisme canonique
E
F) ;
si
fou = 0,
f0
car
3,
0 , donc
est évidente :t il suffit de
Réciproquement,
si
u
se
factorise à travers
i,
u 1 (U’ ,
G)
se
factorise à travers
i 1 (U’ ,
donc,
G) j(G) =0 ).
D’ autre part,
On peut
F)
donc
(i.. , il) =
f a i = 0 ,y
(car
(Id.U,~ ,
ul(U’ ,
part,
réciproque
Soit
é
f o u = 0
donc écrire
entraîne
gl(U’ ,
G) =
f0
o
ua
gl(U’ ,
=
0 , donc
G) ,
et obtenir
un
morphisme
f o u
G)
=
0 .
Pour
un
ouvert
aussi à travers
me
K(G)
par
i (U* ,
W) .
de
faisceau
g.)
unique
$(w)
G, le faisceau
de
W
=
(G) ,
il
Les
o
en
résulte que
morphismes
w)
vérifiant
g
il
u
~(U ,
COROLLAIRE 4. - Tout modèle
étant l’image dans
$(&) du sousw) se factorise
caractérisent unmorphis-
i
=
f)
F ~
est
un
noyau de la double flèche
f
U
"""
F
dans la
catégorie
des
a.
e.
b.
"~
3.
Propriétés générales
(a)
des espaces
catégorie
de la
analytiques banachiques.
Sous-espaces analytiques banachiques.
analytique banachique de (X , $)
tel qu’il existe un morphisme j
(X’
soit 1~injection canonique d’un sous-espace X’ de
espace de Banach G ~ le morphisme
Un sous-espace
(j.. ?
=
fasse de
(b)
$’(c)
un
quotient
(j~) $(c)
de
(j
’
est
un
, $’)
X
est’alors
b.
X, et que , pour tout
un
monomorphisme).
o
Produits finis.
b,
a.
U’
x
Cas de deux modèles
f’
x
et
U’
U" ,
(X , ~~
un
y
quelconque :1
Ceci.montre que
x
f" ,
Mor(X ,
Cas
->
dans
Cas des modèles lisses. - Soient deux modèles lisses
e.
(X’ , $’) ?
(X , $) tel que jo
a.
e.
U"
a.
produit
des modèles lisses.
~(U’ , f , F’) et ~,(U" ,
F’ xp") . En effet,
f’
de deux e.
est le
x
f") ,
F’
b. quelconques
X
et
X.
i ~
étant isomorphes à des modèles
(~.1 -
structure d’eo
des modèles
b. du
produit
F") . -
Leur
produit
est
x
par des ouverts
a.
f" ,
Y . - Il suffit de considérer des
et
Y. , (X. , ~,)
ou
i :
X. --~
1
sur
Y.
1
X,
x
recou-
(Y , ~.)
X) . On transporte la
(les espaces sous-jacents
4-12
étant
homéomorphes).
Les structures d’e.
qui permet de définir
propriété du produit.
lent,
(c)
ce
(u , v)
e. a. b.
u
et
est
un
v
deux
morphismes
sous-espace
la
La
une
X
dans
structure d’e.
a.
b,
se
reccl-
qui vérifie
la
v
de
X .
Un noyau de la double flèche
X’
X, tel que, pour tout
de
Y,
prolongent
proposition 3,
Cas
Y
analytique banachique
Construction. - On suppose que
et
x
b. ainsi définies localement
Noyaux de doubl es flèches.
Soient
u
X
sur
a.
en
se
gênerai. catégorie
finis,y admet
a.
eo
F ,
f) , X
y
applications analytiques
X’
f.) ~
=~(U y
de
répond
On construit
des
des
des
X==p,(U ~
U
dans
à la
E..
et que
D’après
question.
localement.
b., admettant des noyaux de double flèche et des produits
produits fibres
et des limites
projectives
finies.
BIBLIOGRAPHIE
(Henri). - Some
London math.
J.
ces,
[1]
CARTAN
[2]
CARTAN (Henri).
16 p.
[3]
DOUADY
-
applications of the new theory of Banach analytic spaSoc., t. 41, 1966, p. 70-78.
Thèse de Douady, Séminaire Bourbaki, t. 18, 1965/66, n° 296,
(Adrien). -
Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques
d’un
espace analytique donné, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 16,
compacts
1966, fasc. 1, p. 1-95 (Thèse Sc. math. Paris, 1966).