Chapitre9 : K-algèbres

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Chapitre 9 : K-algèbres
Kdésigne ici toujours un corps (commutatif).
IDénition
Soit Eun ensemble, muni de deux lois internes ‘et b, et d’une loi externe à opérateurs dans K,¨.
Alors (E, ‘,b,¨)est une K-algèbre lorsque :
‚(E, ‘,¨)est un K-ev.
‚La loi best associative et admet un élément neutre (qu’on note 1E)
‚La loi best distributive sur la loi ‘.
‚Pour tous u, v PE, et tout λPK,(λu)bv=ub(λv) = λ(ubv).
Notation :
Les lois ‘et bsont généralement notées +et ˆ.
Exemple :
Rest une R-algèbre (pour les lois usuelles), et Caussi. (Cest aussi une C-algèbre).
(F(X, K),+,ˆ,¨)est une K-algèbre, Xétant un ensemble quelconque.
II Sous-algèbres
Dénition :
Une sous-algèbre d’une K-algèbre (E, +,ˆ,¨), c’est une partie Fde Equi contient 1Eet qui est stable
pour chacune des trois lois, c’est-à-dire :
‚1EPF,
‚ @(u, v)PF2, u +vPFet uˆvPF,
‚ @uPF, @λPK, λu PF.
Proposition :
Une sous-algèbre d’une K-algèbre est une K-algèbre.
Exemple :
L’ensemble des fonctions polynomiales de Kdans Kconstitue une sous-algèbre de l’algèbre (F(K,K),+,ˆ,¨).
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Algèbre et géométrie
1 Ismaël Bouya

III. MORPHISME DE K-ALGÈBRES CHAPITRE 9. K-ALGÈBRES
III Morphisme de K-algèbres
Dénition :
Soient (E, +,ˆ,¨),(F, +,ˆ,¨)deux K-algèbres. Soit φ:EÑF. Alors φest un morphisme de K-algèbres
lorsque :
‚ @(u, v)PE2, φ(u+v) = φ(u) + φ(v),
‚ @(u, v)PE2, φ(uˆv) = φ(u)ˆφ(v),
‚ @uPE, @λPK, φ(λu) = λφ(u),
‚φ(1E) = 1F.
Exemple :
L’ensemble des suites convergentes est une sous algèbre de la R-algèbre des suites réelles, et l’application
qui à une suite convergente associe sa limite est un morphisme d’algèbres.
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