Nombres premiers et théorème de Fermat 1. 2 5 13 2 3 5 2 5 200 et 2 3 5 13 93600 2 3 5 2. 3 5 11 3 5 et 2 3 5 11 3. Trouver les entiers qui s’écrivent 9 10 3 2 5 et qui ont moins de 30 diviseurs. Un nombre a 3 1 diviseurs : on doit donc avoir : 3 1 30 ou encore 1 10, c'est-à-dire : 0, 1 ou 2 Les nombres possibles sont donc : 9 qui a 3 diviseurs : 1, 3, 9 90 3 2 5 qui a 12 diviseurs : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 et 90. 900 3 2 5 qui a 27 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30. 900, 450, 300, 225, 180, 150, 100, 90, 75, 60, 50, 45, 36, 30 4. p est un nombre premier. On suppose qu’il existe a et b, entiers naturels, tels que : Etudier alors la parité de l’exposant de dans les décompositions en facteurs premiers de et de . Que peut-on en conclure ? 5. et sont deux entiers naturels tels que : • 162 2 3 • et ont 6 diviseurs communs Les diviseurs communs à a et b sont des diviseurs de 162. 162 a 10 diviseurs : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162. Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD ; le PGCD a donc 6 diviseurs, et ce ne peut être que 18. On aura alors 18 et 18 avec a’ et b’ premiers entre eux. De plus 18 162, ce qui donne 9. 1 8 , donne 18 144 2 7 , donne 36 126 3 6 , donne 54 108 4 5 , donne 72 90 Les solutions sont donc : 18 et 144, 36 et 126, 54 et 108, 72 et 90. 6. Résoudre l’équation 35! 21" # 5 où les inconnues ! et " sont des entiers. L’équation s’écrit aussi : 5! 3" # 5 ; - Si ! et " sont des entiers solutions, alors 3 divise 5!, et 3 est premier avec 5 ; d’après le th de Gauss, 3 divise ! : ! 3$. On obtient ainsi 5 3$ 3" # 5, c'est-à-dire 5$ " # 5 ou encore " 5$ 5. - Réciproquement, si ! 3$ et " 5$ 5, alors 5! 5 3$, 3" # 5 3 5$ et donc 5! 3" # 5 - Les nombres ! 3$ et " 5$ 5, avec $ entier, sont les solutions de l’équation. 7. Résoudre l’équation 13! 17" 5 où les inconnues ! et " sont des entiers. 8. Théorème de Fermat sur un cas particulier : 18 et 11. Dresser le tableau des congruences, modulo , des nombres , 2, 3, … , jusqu’à # 1 ; on considère le nombre 2 3 … # 1 Montrer que ' 10 ( En déduire que 10 )*+ ' 10 ( , puis que )*+ ' 1 ( . 9. Application du théorème de Fermat : Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel a, + # ' 0 ( 13. + # + # 1 - Ou bien ' 0 ( 13, et alors + # 1 ' 0( 13, c'est-à-dire + # ' 0 ( 13. - Ou bien 13 ne divise pas , et alors, 13 étant premier, on a : + # 1 ' 0 ( 13, d’après le théorème de Fermat ; dans ce cas, on aura aussi : + # ' 0 ( 13 Pour tout entier , on a donc + # ' 0 ( 13. Montrer que, pour tout entier naturel a, + # est divisible par 2. + # + # 1 - Ou bien est pair, et alors + # 1 ' 0( 2, c'est-à-dire + # ' 0 ( 2. - Ou bien est impair, et alors : ' 1 ( 2 + ' 1 ( 2, et + # 1 ' 0( 2, On aura donc aussi + # ' 0 ( 2. Pour tout entier , on a donc + # ' 0 ( 2. En déduire que, pour tout entier naturel a, + # est divisible par 26. Pour tout entier naturel , + # est divisible par 13 et par 2. Comme 2 et 13 sont premiers entre eux, + # est divisible par 2 13 26. 10. Trouver le PGCD des entiers 3, # 3 et 1221 1221 3 11 37 3, # 3 33- # 1 37 est premier et 37 ne divise pas 3, donc 3- # 1 ' 0 ( 37, d’après le th de Fermat. 3 et 37 sont donc des diviseurs de 3, # 3. Examinons le tableau de congruences, modulo 11, de 3 # 3, suivant n : n 3 3 # 3 0 1 -2 1 3 0 2 -2 -5 3 5 2 4 4 1 5 1 -2 6 3 0 7 -2 -5 8 5 2 … … … 35 1 -2 36 3 0 37 -2 -5 38 5 2 39 4 1 40 1 -2 De façon plus simple : 3 243 ' 1 ( 11, et 3. ' 1 (11 pour tout entier naturel $. Donc 3 3, ' 1 ( 11, 3, ' 3 3 ' 9 ( 11 et 3, # 3 ' 6 ( 11. Finalement 11 ne divise pas 3, # 3. Les diviseurs communs à 1221 et 3, # 3 s’écrivent donc avec les nombres premiers 3 et 37. Le PGCD de 1221 et 3, # 3 est donc 3 37 111. 41 3 0