Nombres premiers et théorème de Fermat

Nombres premiers et théorème de Fermat
1.   
  et   
2.   
     et   
3. Trouver les entiers  qui s’écrivent      et qui ont moins de 30 diviseurs.
Un nombre  a    diviseurs : on doit donc avoir :   
ou encore     , c'est-à-dire :   ,    ou   
Les nombres possibles sont donc :
   qui a 3 diviseurs : 1, 3, 9
    qui a 12 diviseurs : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 et 90.
qui a 27 diviseurs :
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30.
900, 450, 300, 225, 180, 150, 100, 90, 75, 60, 50, 45, 36, 30
4. p est un nombre premier.
On suppose qu’il existe a et b, entiers naturels, tels que : 
Etudier alors la parité de l’exposant de  dans les décompositions en facteurs premiers de  et
de . Que peut-on en conclure ?
5.  et  sont deux entiers naturels tels que :
•          •  et  ont 6 diviseurs communs
Les diviseurs communs à a et b sont des diviseurs de 162.
162 a 10 diviseurs : 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162.
Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD ; le PGCD a donc 6 diviseurs, et ce
ne peut être que 18.
On aura alors    et    avec a’ et b’ premiers entre eux.
De plus        , ce qui donne   .
  , donne         , donne     
  , donne         , donne     
Les solutions sont donc : 18 et 144, 36 et 126, 54 et 108, 72 et 90.
6. Résoudre l’équation      où les inconnues  et  sont des entiers.
L’équation s’écrit aussi :      ;
- Si  et  sont des entiers solutions,
alors 3 divise , et 3 est premier avec 5 ; d’après le th de Gauss, 3 divise  :   .
On obtient ainsi       , c'est-à-dire      ou encore     .
- Réciproquement, si    et     , alors     ,       et
donc     
- Les nombres    et     , avec  entier, sont les solutions de l’équation.
7. Résoudre l’équation      où les inconnues  et  sont des entiers.
8. Théorème de Fermat sur un cas particulier :    et  .
Dresser le tableau des congruences, modulo, des nombres     
jusqu’à    ; on considère le nombre             
Montrer que   
En déduire que     , puis que   .
9. Application du théorème de Fermat :
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel a,     .
- Ou bien   , et alors    , c'est-à-dire 
.
- Ou bien 13 ne divise pas , et alors, 13 étant premier, on a :     , d’après le
théorème de Fermat ; dans ce cas, on aura aussi : 
Pour tout entier , on a donc .

Montrer que, pour tout entier naturel a, est divisible par 2.
- Ou bien  est pair, et alors    , c'est-à-dire     .
- Ou bien  est impair, et alors :     , et     ,
On aura donc aussi     .
Pour tout entier , on a donc     .
En déduire que, pour tout entier naturel a,    est divisible par 26.
Pour tout entier naturel ,    est divisible par 13 et par 2.
Comme 2 et 13 sont premiers entre eux,    est divisible par     .
10. Trouver le PGCD des entiers    et 1221
37 est premier et 37 ne divise pas 3, donc     , d’après le th de Fermat.
3 et 37 sont donc des diviseurs de   .
Examinons le tableau de congruences, modulo 11, de   , suivant n :
De façon plus simple :     , et    pour tout entier naturel .
Donc   ,    et     .
Finalement 11 ne divise pas   .
Les diviseurs communs à 1221 et    s’écrivent donc avec les nombres premiers 3 et 37.
Le PGCD de 1221 et    est donc     .
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
35
36
37
38
39
40
41
1
3
-
2
5
4
1
3
-
2
5
…
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3
-
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3
-
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-
5
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2
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…
-
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