Trigonométrie et argument à la sauce géométrique

Trigonométrie et argument à la sauce géométrique
Vue l’importance du cours de jeudi dernier et le nombre important d’absents, mon extrème
gentillesse m’a poussé à rédiger proprement ce bout de cours : on y introduit l’argument d’un
nombre complexe ou, ce qui revient au même, les fonctions sinus et cosinus, sans parler d’exponentielle complexe mais en en admettant le moins possible. Rappelons que si z ∈ C∗ alors on
z
peut écrire z = |z| |z|
car |z| 6= 0 et on observe que |z| est un réel strictement positif et que |z|z est
de module 1. Introduisons la notation suivante : U = {z ∈ C tel que |z| = 1}.
P ROPOSITION (écriture polaire) :
∀z ∈ C∗ , ∃!(r, u) ∈ R∗+ × U tel que z = ru.
Preuve :
L’existence vient d’être faite. Pour l’unicité supposons que ru = r0 u0 sont deux telles écritures,
0
alors rr0 = uu et le premier membre est dans R∗+ alors que le second est dans U. Ainsi ils sont tous
les deux dans R∗+ ∩ U = {1} et donc r = r0 et u = u0 ce qui prouve l’unicité.
Nous connaissons bien R∗+ et il nous reste à nous intéresser à U. En fait tout repose sur
l’intuition géométrique suivante : on parcourt U dans le sens inverse des aiguilles d’une montre
en partant du point d’affixe 1. On note ϕ(θ) ∈ U le point obtenu après avoir parcouru une distance
égale à θ ∈ R+ ce qu’on étend tout de suite au θ < 0 en parcourant le cercle dans l’autre sens et
ainsi obtenir pour tout θ ∈ R, ϕ(−θ) = ϕ(θ). Géométriquement, on voit déjà que ϕ : R → U est
surjective et que pour tout θ, θ0 ∈ R, ϕ(θ) = ϕ(θ0 ) ⇔ (∃k ∈ Z tel que θ0 = θ + 2kπ) car le cercle
est de rayon 1 donc de périmètre égal à 2π. On peut également placer les valeurs remarquables
suivantes : ϕ(0) = 1, ϕ( π2 ) = i, ϕ(−π) = −1, ϕ( 3π
2 ) = −i.
On définit alors pour tout θ ∈ R le couple de réel (cos θ, sin θ) comme étant l’unique vérifiant ϕ(θ) = cos θ + i sin θ. On obtient ainsi deux fonctions 2π-périodiques R → R vérifiant
cos2 + sin2 = 1 d’après P YTHAGORE.
Le théorème de T HALÈS, assure lui qu’on retrouve, éventuellement avec des nuances de
signes, les fonctions trigonométriques introduites au collège dans les triangles rectangles :
cos =
coté opposé
coté adjacent
et sin =
.
hypothénuse
hypothénuse
Par ailleurs, on remarque qu’il suffit de connaitre, par exemple, le cosinus sur l’intevalle [0, π2 ]
pour connaître le sinus et le cosinus sur R tout entier. En effet on a clairement :
1. ∀θ ∈ R, cos(−θ) = cos θ et on connaît alors le cosinus sur [− π2 , π2 ],
1
2. ∀θ ∈ R, cos(θ + π) = − cos θ et on connaît alors le cosinus sur [− π2 , 3π
2 ] et même sur R tout
entier,
3. ∀θ ∈ R, sin θ = − cos θ + π2 et on connaît alors le sinus sur R tout entier.
Ces trois points provenant de l’observation du dessin suivant :
Pour tracer les courbes représentatives de ces fonctions il serait bon de connaître les éventuelles
θ
tangentes dont les pentes sont données par les éventuelles nombres dérivés limh→0 cos(θ+h)−cos
h
θ
et limh→0 sin(θ+h)−sin
ce qui nous pousse à démontrer géométriquement les relations algébriques
h
suivantes :
P ROPOSITION (formules d’addition) :
Pour tout a, b ∈ R, cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b − cos a sin b.
Preuve :
Traitons le cas où a, b ∈ [0, π2 ] sont tels que a + b ∈ [0, π2 ]. Il suffit d’observer le dessin suivant :
2
a
b
a
On vous laisse alors placer cos(a + b) et sin(a + b) ainsi que :
– cos b, sin b sur les cotés bleus,
– cos b cos a, sin b sin a sur les cotés verts,
– cos b sin a, sin b cos a sur les cotés rouges,
Un dessin analogue, qu’on vous laisse esquisser, permet de traiter le cas où la somme est dans
l’intervalle [ π2 , π]. D’autres dessins pourraient traiter les autres cas, mais on peut aussi utiliser
π
les différentes symmétries : par exemple si (a, b) ∈ [ π2 , π] × [π, 3π
2 ] on les ramène dans [0, 2 ] en
considérant a − π2 et b − π ce qui justifie :
3π
cos(a + b) = sin a + b −
2
π
= sin (a − ) + (b − π)
2
π
π
= cos a −
sin (b − π) + sin a −
cos (b − π)
2
2
= − sin a sin b + cos a cos b.
On montre ainsi les deux formules dans tous les cas.
3
On observe alors que pour tout a, b ∈ R :
ϕ(a + b) = cos(a + b) + i sin(a + b)
= cos a cos b − sin a sin b + i(sin a cos b − cos a sin b)
= (cos a + i sin a) (cos b + i sin b)
= ϕ(a)ϕ(b).
Ceci motive en partie 1 la notation eiθ en lieu et place de ϕ(θ) car on a les règles usuelles sur
les puissances : ei(a+b) = eia eib valable pour tout a, b ∈ R. Revenons à l’application surjective
ϕ : R → U, θ 7→ eiθ qui transforme donc les sommes en produits. Remarquons que la relation
d’équivalence sur R — est-ce bien clair que c’en est une ? — définie par :
θ ∼ θ0 ⇔ ∃k ∈ Z tel que θ0 = θ + 2kπ
est compatible avec l’addition des réels et induit donc une addition sur l’ensemble quotient
qu’on note, à l’instar de Z/6Z par exemple, R/2πZ. L’application ϕ induit alors une bijection
R/2πZ → U qui autorise la définition suivante :
D ÉFINITION (Argument d’un nombre complexe) :
Tout nombre complexe z 6= 0 s’écrit d’une unique manière z = reiθ avec (r, θ) ∈ R∗+ × R/2πZ.
On dit alors que θ est un argument de z et que θ est l’argument de z.
P ROPOSITION (Formules d’E ULER et de DE M OIVRE) :
Soient θ ∈ R et n ∈ Z, alors on a la formule de DE M OIVRE
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
et les formules d’E ULER
cos θ =
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
et sin θ =
.
2
2i
Preuve :
n
La formule de DE M OIVRE n’est rien d’autre que eiθ = eniθ qui se démontre d’abord pour
n ∈ N par une récurrence immédiate, puis pour n < 0 en remarquant que
eniθ =
1
e−niθ
=
n
1
−n = eiθ .
eiθ
Les formules d’E ULER proviennent elles, juste du fait que R (z) =
tout z ∈ C et donc en particulier pour ϕ(θ).
La suite, au prochain cours. . .
z+z
2
et I (z) =
z−z
2i
vrai pour
1. Par contre rien n’explique pourquoi c’est ei qu’on élève à la puissance θ, à ce stade ce n’est qu’une notation.
Tout ceci s’interprète en terme d’exponnentielle complexe et je vous renvoie aux exercices 11 et 12 de ce chapitre. . .
4