( ) 1 Fonctions polynômes élémentaires Synthèse 4 : Fonctions usuelles β

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Synthèse 4 : Fonctions usuelles
1 Fonctions polynômes élémentaires
1.1
1.1.1
Fonctions polynômes de degré 1
Définition et propriétés
Définition :
Une fonction polynôme de degré 1 f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α
et β et définie pour tout x ∈ \ par f ( x ) = α x + β avec α ≠ 0 .
La représentation graphique d’un polynôme de degré 1 est une droite de pente α et
d’ordonnée à l’origine β .
1.2
1.2.1
Polynômes du second degré
Définition et propriétés
Définition :
Un polynôme du second degré est une fonction f dépendant de trois paramètres réels a, b, c
et définie par :
f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0
La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole.
1.3
1.3.1
Fonctions homographiques
Définition et propriétés
Définition :
Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions polynôme de degré 1s :
ax + b
h ( x) =
avec c ≠ 0
cx + d
Si c = 0 , on est ramené au cas d’une fonction polynôme de degré 1.
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour
d
a
asymptote les deux droites d’équation x = − et y = ; le point d’intersection des deux
c
c
asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe.
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2 Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses
2.1
Fonctions trigonométriques
Fonction sinus
Elle est définie sur \ par f ( x ) = sin x . Elle est impaire et 2π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec ( sin )′ ( x ) = cos x .
 π
π 
Elle est strictement croissante sur  0;  et strictement décroissante sur  ; π  .
 2
2 
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1 (puisqu’elle est 2π -périodique)
- les symétries de centres ( kπ , 0 ) (puisqu’elle est impaire)
- les symétries d’axes x =
π
2
+ kπ avec k ∈ ]
Fonction cosinus
Elle est définie sur \ par f ( x ) = cos x . Elle est paire et 2π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec ( cos )′ ( x ) = − sin x .
Elle est strictement croissante sur [ −π ;0] et strictement décroissante sur [ 0; π ] .
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1
π

- les symétries de centres  + kπ , 0 
2

- les symétries d’axes x = kπ avec k ∈ ]
Fonction tangente
sin x
π

Elle est définie sur \ \  + kπ , k ∈ ]  par f ( x ) =
= tan x . Elle est impaire et π cos x
2

1
π

périodique. Elle est dérivable sur \ \  + kπ , k ∈ ]  avec ( tan )′ ( x ) = 1 + tan 2 x =
.
cos 2 x
2

 π π
Elle est strictement croissante sur  − ; 
 2 2
G
Sa courbe est invariante par les translations de vecteur kπ e1 et les symétries de centres
( kπ , 0 ) .
- Synthèse 4, p2/6 -
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2.2
Fonctions trigonométriques inverses
Fonction arcsinus
 π π
arcsin : [ −1;1] →  − ;  . Elle est par construction définie, continue et impaire sur −1;1 .
[ ]
 2 2
x 6 y = arcsin x
Son graphe est symétrique de celui de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule selon la règle établie pour les fonctions réciproques :
1
1
1
1
=
=
=
( arcsin )′ ( x ) =
2
( cosD arcsin )( x ) cos y 1 − sin y 1 − x 2
Elle est donc strictement croissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .
Fonction arccosinus
arccos : [ −1;1] → [ 0;π ]
. Elle est définie et continue sur [ −1;1] .
x 6 y = arccos x
Son graphe se déduit de celui de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
1
Sa dérivée se calcule comme précédemment : ( arccos )′ ( x ) = −
1 − x2
Elle est donc strictement décroissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .
Fonction arctangente
 π π
arctan : ]−∞; +∞[ →  − ;  . Elle est définie, continue et impaire sur −∞; +∞ .
]
[
 2 2
x 6 y = arctan x
Son graphe se déduit de celui de la fonction tangente par symétrie par rapport à la première
bissectrice.
1
Sa dérivée se calcule comme précédemment : ( arctan )′ ( x ) =
1 + x2
La fonction arctangente est donc strictement croissante sur ]−∞; +∞[ .
Relation fondamentale : arcsin x + arccos x =
π
2
- Synthèse 4, p3/6 -
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3 Fonctions logarithme et exponentielle
3.1
La fonction logarithme népérien
Définition :
La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive de la fonction x 6
]0; +∞[
•
sur ]−∞; +∞[ et qui s’annule en x = 1 .
1
définit de
x
La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ : ∀x > 0 , ( ln )′ ( x ) = 1 x
•
La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[
•
lim+ ln x = −∞
x →0
lim ln x = +∞
lim
x →+∞
x →1
Propriétés : Pour tout a, b ∈ ]0; +∞[ et pour tout p ∈ \ , alors :
(i) ln ( ab ) = ln a + ln b
ln x
= 1 (par définition de la dérivée)
x −1
(ii) ln (1 b ) = − ln b
(iv) ln ( a p ) = p ln a
(iii) ln ( a b ) = ln a − ln b
Théorème :
La fonction ln réalise une bijection strictement croissante de ]0; +∞[ sur \ .
3.2
La fonction exponentielle
Définition :
La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln. On la note :
e : x 6 e x ou exp ( x )
•
•
La fonction exponentielle est définie sur \ . ∀x ∈ \ , e x > 0
∀x ∈ \ et ∀y ∈ ]0; +∞[ : e x = y ⇔ x = ln y
ln ( e x ) = x
•
La fonction exponentielle est dérivable sur \ : ( exp )′ ( x ) = exp ( x )
•
•
La fonction exponentielle est strictement croissante de \ sur ]0; +∞[
lim e x = 0+
x →−∞
lim e x = +∞
x →+∞
Propriétés :
Pour tout a, b ∈ \ et pour tout p ∈ \ ,
alors :
(i)
e a + b = e a eb
e − b = 1 eb
(ii)
(iii) ( e a −b = e a eb
(iv)
eln y = y
( ( e a ) = e ap
p
- Synthèse 4, p4/6 -
lim e x x = +∞
x →+∞
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4 Fonctions hyperboliques
4.1
Définition des fonctions hyperboliques
Par définition, on appelle cosinus hyperbolique de x, la quantité notée ch x :
e x + e− x
ch x =
2
De la même manière, on définit le sinus hyperbolique, notée sh x :
e x − e− x
sh x =
2
On constate que ch x + sh x = e x et que ch x − sh x = e − x . Il vient alors immédiatement :
ch 2 x − sh 2 x = 1
4.2
Etude des fonctions hyperboliques
Etude de la fonction f ( x ) = chx
4.2.1
e x + e− x
ch x =
D=\
ch ( − x ) = ch x
lim ch x = +∞
x →+∞
2
( ch x )′ = sh x : la fonction est strictement croissante sur \ +
Etude de la fonction f ( x ) = shx
4.2.2
sh x =
e x − e− x
2
( sh x )′ = ch x
D=\
sh ( − x ) = − sh x
: la fonction est strictement croissante sur \ + .
- Synthèse 4, p5/6 -
lim sh x = +∞
x →+∞
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5 Fonctions puissances
5.1
Définition
Définition :
Une fonction puissance est une fonction dépendant d’un paramètre réel quelconque m ≠ 0 et
définie sur \ +∗ par :
f m ( x ) = x m = e m ln x
L’étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition dépende du signe de m :
- Si m > 0 , alors lim+ x m = 0 et lim x m = +∞
x →+∞
x →0
-
Si m < 0 , alors lim+ x = +∞ et lim x m = 0
m
x →0
x →+∞
Une fonction puissance est définie, continue et dérivable pour tout x > 0 :
( f )′ ( x ) = mx m−1
m
Ainsi, les variations de la fonction puissance dépendent du signe de m :
5.2
Croissances comparées
Théorème :
•
•
ln x
ex
0
=
et
lim
= +∞
x →+∞ x m
x →+∞ x m
ln x
ex
Si m < 0 , alors lim m = +∞ et lim m = +∞
x →+∞ x
x →+∞ x
Si m > 0 , alors lim
- Synthèse 4, p6/6 -
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