c3 synthese 1

Synthèse 3 : Dérivation – Etude de fonctions
Dans tout ce chapitre, on considèrera des fonctions définies sur où I est un ⊆I\
intervalle ouvert de . \
1 Définition
1.1 Dérivée en un point – Dérivée sur un intervalle
Définition 1 :
Soient et :fI→\0
x
I∈. On dit que f est dérivable au point 0
x
si et seulement si la
quantité
() ( )
0
0
f
xf
xx
−
−
x
admet une limite finie lorsque x tend vers .
0
x
On note alors
() () ( )
0
0
0
0
lim
xx
f
xfx
fx xx
→
−
′=− ;
()
0
f
x
′ est appelé nombre dérivé ou dérivée de f en 0
x
.
Définition 2 :
Soit . On dit que f est :fI→\dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
1.2 Dérivées à gauche et à droite
Définition 3 :
Soient et :fI→\0
x
I∈. On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point 0
x
si
et seulement si la quantité
() ( )
0
0
f
xfx
xx
−
− admet une limite finie lorsque x tend vers 0
x
par
valeurs supérieures (resp. inférieures) :
() () ( )
0
0
0
0
lim
dxx
f
xfx
fx xx
+
→
−
′=− : dérivée à droite de f en 0
x
, notée aussi
()
0
f
x
+
′.
() () ( )
0
0
0
0
lim
gxx
f
xfx
fx xx
−
→
−
′=− : dérivée à gauche de f en 0
x
, notée aussi
()
0
f
x
−
′.
Proposition :
Soient et :fI→\0
x
I∈. f est dérivable au point 0
x
si et seulement si f est dérivable à
droite et à gauche en 0
x
, et
() ()
00dg
f
xfx
′′
=.
1.3 Fonctions dérivées
Définition 4 :
Soit f une fonction dérivable sur I. La fonction dérivée ou dérivée de f sur I est la fonction
f
′
qui a tout x de I associe
()
f
x
′.

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1.4 Développement limité d’ordre 1
Définition :
Une fonction f admet un développement limité d’ordre 1 en 0
x
s’il existe et une α ∈\
fonction définie sur un voisinage V de ε
0
x
tels que :
x∀∈V,
()()()()(
00 0
)
f
xfx xx xx x α =+−+− ε avec et
()
0
lim 0
xx x
ε
→=
()
00x
ε =
Proposition :
f est dérivable en 0
x
si et seulement si f admet un développement limité d’ordre 1 en 0
x
. On
a alors :
()()()()()(
0000
)
f
xfxxxfxxx ε
′
=+− +−
x avec et .
()
0
lim 0
xx x
ε
→=
()
00x
ε =
1.5 Lien entre dérivabilité et continuité
Théorème :
Soit :fI→\. Si f est dérivable en 0
x
, alors f est continue en 0
x
.
La réciproque est fausse, c’est-à-dire que la continuité n’implique pas nécessairement la
dérivabilité.
2 Propriétés des fonctions dérivables
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de . \
2.1 Tangente à une courbe en un point
Définition :
Soit dérivable en :fI→\0
x
. Alors f admet un développement limité d’ordre 1 en 0
x
:
()()()()()(
0000
)
f
xfxxxfxxx ε
′
=+− +−
x avec et
()
0
lim 0
xx x
ε
→=
()
00x
ε =
L’équation est l’équation de la
()( ) (
00
yfx xxfx
′
=+−
)
0tangente désignée par (T) à la
courbe représentative de f, au point 0
x
.
Le nombre dérivé
()
0
f
x
′ est le coefficient directeur (ou pente) de la tangente.
Propriétés :
Soit dérivable en :fI→\0
x
. Soit courbe représentative de f.
()
Γ
()
0
f
x
′ est donc la pente de la tangente (T) à au point
()
Γ0
x
.
(i) Si fx , alors (T) est une droite parallèle à l’axe des x ;
()
00
′=
(ii) Si li , alors (T) est une droite parallèle à l’axe des y.
()
0
m
xxfx →′=∞
2.2 Interprétation géométrique
Voir le site web.
- Synthèse 3, p2/6 -

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3 Dérivées usuelles
Un formulaire récapitulatif des dérivées les plus usuelles vous est proposé sur le site web.
4 Opérations sur les dérivées
4.1 Somme, produit et quotient de fonctions dérivables
Proposition 1 :
La somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux foctions
dérivables en 0
x
est dérivable en 0
x
.
Par extension, la somme, le produit, le quotient (si le dénominateur ne s’annule pas) de deux
fonctions dérivables sur I est dérivable sur I.
Proposition 2 :
Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur . I⊆\
• la fonction est dérivable sur I et hf . , αβ ∀∈\hf αβ =+gg
′
αβ
′′
=+
• La fonction est dérivable sur I et hf . hfg=gfg
′′
=+
′
• Si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction 1
g
=h est dérivable sur I avec 2
g
g
′
′=−
h.
• Si g ne s’annule pas sur I, alors la fonction
f
hg = est dérivable sur I avec 2
f
gfg
hg
′′
−
′=.
4.2 Composition
Proposition 5 :
Soient et deux fonctions telles que :fI→\:gJ→\
()
f
IJ⊆.
Si f est dérivable en 0
x
et si g est dérivable en , alors est dérivable en
()
0
yfx=0gfD0
x
et
( )() )()
00
gf x fx g f x
′′′
=DD
()(
0
.
Par extension, si f est dérivable sur I et g dérivable sur J, alors est dérivable est gfD
dérivable sur I et
()
.
(
.gf f g f
′′′
=DD
)
4.3 Fonction réciproque
Proposition 6 :
Soit :
f
I→J une fonction strictement monotone et dérivable en 0
x
tel que .
()
00fx
′≠
f est donc bijective de I sur J, et admet une fonction réciproque 1:
f
JI
−→.
Alors 1
f
− est dérivable en et
()
00
yfx=
()
() ()
()
()
1
01
00
11
fy
fx
f
fy
−
−
′==
′′D.
Par extension, si
f
′ ne s’annule pas sur I, alors 1
f
− est dérivable sur J et
()
1
1
1
f
f
f
−
−
′=′D.
- Synthèse 3, p3/6 -

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4.4 Dérivées successives
4.4.1 Définitions
Définitions 1 :
Soit . On note :fI→\
()
0
f
f=.
On suppose que la fonction
(
1n
)
f
− existe et est dérivable de I dans . \
On définit alors la fonction .
() ( )
()
1nn
ff
−′
=
• Si la fonction existe, on dit que f est
()
:
n
fI→\n-fois dérivable sur I.
•
()
n
f
est appelée dérivée n-ième de f sur I.
()
n
f
est également notée ou
()
n
Df
n
n
df
dx .
Remarques :
1. On utilise souvent les notations suivantes :
()
2
f
f′′ = et
()
3
f
f′′′ =.
2. Si f(n) est continue sur I on dit que f est de classe Cn.
5 Théorème de Rolle
Théorème :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé
[
]
,ab ,
- f admet une dérivée pour toute valeur de l’intervalle ouvert
]
[
,ab ,
- f est telle que
() ()
f
afb= ;
Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert
]
[
,ab telle que .
()
0fc
′=
Il n’y a pas obligatoirement unicité du point c.
6 Théorème des accroissements finis
6.1 Théorème
Théorème des accroissements finis (Généralisation du théorème de Rolle) ou théorème de la
moyenne :
Soit f une fonction vérifiant les conditions suivantes :
- f est définie et continue sur un intervalle fermé
[
]
,ab ,
- f est dérivable sur
]
[
,ab ,
Alors il existe au moins une valeur c de l’intervalle ouvert
]
[
,ab telle que :
() () ( ) () () () ()
f
bfa
fb fa b af c f c ba
−
′′
−=− ⇔ =−
Comme pour le théorème de Rolle, il n’y a pas nécessairement unicité de c.
6.1.1 Sens de variations des fonctions
Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab et dérivable sur
]
[
,ab .
- Synthèse 3, p4/6 -

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Propriétés :
(i) f est constante sur
[
]
,ab ⇔
[
]
,
x
ab∀∈
()
0fx
′=
(ii) f est croissante sur
[
]
,ab ⇔
[
]
,
x
ab∀∈
()
0fx
′≥
(iii) f est décroissante sur
[
]
,ab ⇔
[
]
,
x
ab∀∈
()
0fx
′≤
(iv) f admet un extremum en 0
x
⇔
()
00fx
′=
Exemple 13
6.1.2 Inégalités des accroissements finis
Théorème 1 :
Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab et dérivable sur
]
[
,ab .
S’il existe deux réels m et M tels que
[
]
,
x
ab∀∈ , , alors
()
mfx M
′
≤≤
()()()()
mb a f b f a M b a−≤ − ≤ −
Théorème 2 :
Soit f une fonction continue sur
[
]
,ab et dérivable sur
]
[
,ab .
S’il existe un réel M tels que
[
]
,
x
ab∀∈ ,
()
f
xM
′≤, alors
() ()
f
bfa Mba−≤−
6.2 Théorème du point fixe
Théorème :
Soit f une fonction continue de
[
]
,ab dans
[
]
,ab , alors
[
]
,cab∃∈ tel que
()
f
cc=.
Si de plus f est dérivable sur
[
]
,ab et que
[
]
,
x
ab∀∈
()
1fx
′<, alors c est unique.
7 Convexité
On rappelle que dans ce chapitre I est un intervalle ouvert de . \
7.1 Définitions
Une fonction est dite convexe si son graphe à la forme suivante : courbe (C).
- Synthèse 3, p5/6 -