c2 synthese 1

Synthèse 2 : Limites – Continuité
N’hésitez pas à consulter le formulaire des limites disponible sur le site web.
1 Limites
1.1 Définitions
1.1.1 Limite en un point
Définitions :
Soient et :fI→\0
x
I∈ ( 0
x
peut être une des extrémités de I).
• Soit . On dit que est ∈A\ Alimite de f en 0
x
, ou bien que
()
f
x tend vers lorsque x A
tend vers 0
x
( 0
x
x→), si :
tel que 0, 0 εα ∀> ∃ >
x
I∈ et
()
0
xx fx αε −<⇒−≤A
On note ou li ou
()
0
lim
xxfx →=A
()
0
m
xfx=A
()
0
xx
fx → →A
• On dit que est limite de f en +∞ 0
x
( ) si :
()
0
lim
xxfx →=+∞
, tel que 0A α ∀∈ ∃ >\
x
I∈ et
()
0
x
xfx α −<⇒≥A
1.1.2 Limites en +∞ et −∞
Définition
Soit . On suppose que :fI→\
[
[
;Ia=+∞.
• Soit A. On dit que est limite de f en si : ∈\A+∞
tel que 0, B ε ∀> ∃∈\
()
xB fx ε ≥⇒−≤A
On note ou li ou
()
lim
xfx →+∞ =A
()
mfx
+∞ =A
()
x
fx →+∞ →A
• On dit que est limite de f en +∞ si : +∞
, tel que AB∀∈ ∃∈\\
()
x
Bfx≥⇒≥A
Définition (limite en −∞ ) :
Soit . On suppose que :fI→\
]]
;
I
a=−∞ .
• Soit A. On dit que est limite de f en si : ∈\A−∞
tel que 0, B ε ∀> ∃∈\
()
xB fx ε ≤⇒−≤A
On note ou li ou
()
lim
xfx →−∞ =A
()
mfx
−∞ =A
()
x
fx →−∞ →A
• On dit que est limite de f en −∞ si : +∞
, tel que AB∀∈ ∃∈\\
()
x
Bfx≤⇒≥A
Proposition :
Si , alors . ∈A\
() ()
()
00
lim lim 0
xx xx
fx fx
→→
=⇔ − =AA

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1.1.3 Limite par valeurs supérieures ou inférieures
Définition :
Soit telle que (:fI→\
()
0
lim
xxfx →=A0
x∈\). Quand x tend vers 0
x
, on dit que
()
f
x tend
vers par Avaleurs supérieures (resp. inférieures) si, au voisinage de 0
x
, (resp.
()
fx≥A
()
≤Afx ).
On note alors (resp. ).
()
0
lim
xxfx +
→=A
()
0
lim
xxfx −
→=A
1.1.4 Limites à gauche et à droite
Voir le site web.
1.2 Limites par opération
1.2.1 Limite d’une somme
()
0
lim
xx
f
x
→= A A A +∞ −∞ +∞
()
0
lim
xx
gx
→= ′
A +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
()()
0
lim
xx
f
gx
→+= ′
+AA
+∞ −∞ +∞ −∞ ?
? on parle alors de forme indéterminée
1.2.2 Limite d’un produit
()
0
lim
xx
f
x
→= A 0≠A 0 +∞ ou −∞
()
0
lim
xx
gx
→= ′
A +∞ ou −∞ +∞ ou −∞ +∞ ou −∞
()()
0
lim
xx
f
gx
→= ′
AA +∞ ou −∞ ? +∞ ou −∞
ou : on décide de suivant le signe de , en appliquant la règle des signes. ±∞ A
1.2.3 Limite d’un quotient
()
0
lim
xx
f
x
→= A 0≠A A +∞ ou −∞ 0 +∞ ou −∞
()
0
lim
xx
gx
→= 0
′≠
A 0 +∞ ou −∞ ′
A 0 +∞ ou −∞
()()
0
lim
xx
f
gx
→= ′
AA +∞ ou −∞ 0 +∞ ou −∞ ? ?
ou : on décide de suivant le signe de , en appliquant la règle des signes. ±∞ A
ou : on décide de suivant le signe de A, en appliquant la règle des signes. ±∞ ′
Remarques :
• Lorsque le numérateur tend vers zéro et le dénominateur vers l’infini, le quotient tend vers
zéro : ou selon la règle des signes. 0+0−
• Lorsque le numérateur tend vers l’infini et le dénominateur vers zéro, le quotient tend vers
l’infini : ou selon la règle des signes. +∞ −∞
- Synthèse 2, p2/5 -

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1.3 Limites par comparaison
Soit . :fI→\
Proposition 1 :
S’il existe une fonction g et un réel A tels que
() ()
,
x
Af x g x≥∀≥ et , alors :
()
lim
xgx →+∞ =+∞
()
lim
xfx →+∞ =+∞.
Théorème « des gendarmes » :
S’il existe deux fonctions g et h, un réel A tels que
() () ()
,
x
Ag x f x hx≤ ≤∀≥ et
()
lim
xgx →+∞ =A et
()
lim
xhx →+∞ =A, alors
()
lim
xfx →+∞ =A.
1.4 Limite d’une fonction composée
Théorème :
Soient 0
x
, et A des nombres réels (« éventuellement » égaux à ). A′±∞
Soient f et g deux fonctions dont la composée existe. gfD
Si et si , alors .
()
0
lim
xxfx →=A
()
lim
xgx →′
=
A
A
()()
0
lim
xx gf x →′
=DA
1.5 Limite à l’infini d’une fonction polynôme ou d’une fraction rationnelle
Méthode :
Pour déterminer une limite à l’infini d’une fonction polynôme ou rationnelle, dans le cas où
les théorèmes précédents ne s’appliquent pas, on transforme l’expression
()
f
x en factorisant
chaque polynôme par le terme de plus haut degré.
 Cas d’une fonction polynôme
D La limite à l’infini d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré
 Cas d’une fraction rationnelle
D La limite à l’infini d’une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient simplifié
de ses termes de plus haut degré
1.6 Limites et courbe représentative d’une fonction
1.6.1 Etude des branches infinies
Considérons une fonction f définie sur un domaine de . Soit sa courbe
représentative.
f
D\Γ
Proposition 1 :
Si , alors la droite
()
0
lim
xxfx →=±∞ 0
x
x= (& à l’axe des y) asymptote à la courbe . Γ
Proposition 2 :
Si , alors la droite est (& à l’axe des x)
()
lim
xfx →±∞ =Ay=Aasymptote à la courbe Γ.
- Synthèse 2, p3/5 -

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1.6.2 Direction asymptotique
On recherche une direction asymptotique lorsque .
()
lim
xfx →±∞ =±∞
S’il existe une direction asymptotique, alors
()
f
x
x
tend vers une limite finie . A
Si
()
fx
x→±∞ lorsque
x
→±∞, on dit que admet une branche parabolique dans la
direction Oy.
Γ
1.6.3 Asymptotes
La courbe Γ admet une asymptote oblique D d’équation , si : yaxb=+
()
lim
x
f
x
a
x
→±∞
=
Pour déterminer l’ordonnée à l’origine de D, on montre que
()
f
xa−x tend vers b lorsque
x
→±∞, ou bien alors que
()
f
xax−−b tend vers 0 lorsque
x
→±∞.
Si , on dit que admet une branche parabolique de pente a.
()
fx ax−→±∞ Γ
2 Quelques trucs…
Les opérations sur les limites ne permettent pas toujours de déterminer la limite d'une
fonction. Il faut alors changer de chemin et modifier l'écriture de cette fonction... afin de
pouvoir les appliquer !
Nous avons vu comment il est possible de connaître la limite à l'infini d'un polynôme ou d'une
fonction rationnelle. Voyons maintenant le cas particulier d’une fonction contenant une racine
carrée ou une valeur absolue.
2.1 La quantité conjuguée
Soit f une fonction définie sur \ par
+
()
4
f
xx=+−x
0
.
()
0f=. On cherche à déterminer
()
lim
x
f
x
→+∞ .
lim 4
xx →+∞ +=+∞
lim
xx →+∞ =+∞
Donc
()
lim
x
f
x
→+∞ est de la forme indéterminée « ». ∞−∞
L’astuce consiste ici à multiplier par la quantité conjuguée
2.2 Les valeurs absolues
Soit f une fonction définie sur
{
}
\1,1−\ par
()
12
1
x
fx
x
−
=−.
On cherche à déterminer les limites de
()
f
x aux bornes de son domaine de définition.
L’astuce consiste ici à écrire différemment la valeur absolue de x selon que x est négatif
ou positif
- Synthèse 2, p4/5 -

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- Synthèse 2, p5/5 -
3 Continuité
3.1 Continuité en un point - Continuité sur un intervalle
Définitions :
Soit f une fonction définie sur . Soit I⊆\0
x
I∈.
• On dit que f est continue en 0
x
si et seulement si
() ( )
0
0
lim
xx
f
xfx
→=, c’est-à-dire si :
tel que 0, 0 εα ∀> ∃ >
x
I∈ et
() ( )
00
x x fx fx αε −<⇒−≤
• f est continue à droite (resp. à gauche) si on rajoute la condition 0
x
x≥ (resp. 0 ≤
x
x), i.e.,
si
() ( )
0
0
lim
xx
f
xfx
+
→
= (resp.
() ( )
0
0
lim
xx
f
xfx
−
→
=).
Conséquences :
• f est continue en 0
x
si et seulement si f est continue à droite et à gauche en 0
x
.
• f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.
3.1.1 Opérations sur les fonctions continues : Voir le site web .
3.1.2 Prolongement par continuité
Si f est une fonction définie sur
{
}
0
\
I
x et si
()
0
lim
xx
f
x
→=a, on dit que g est un prolongement
par continuité de f en 0
x
si et seulement si
() ()
gx f x=0
x
x∀≠ et .
()
0
gx a=
3.2 Propriétés des fonctions continues
3.2.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème :
Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que . Alors, en supposant que ab<
() ()
f
afb<, pour tout y tel que
() ()
f
ayfb≤≤ , il existe au moins un élément
]
[
,
x
ab∈
tel que .
()
xyf=
Corollaire 1 :
Soit f continue sur
[
]
,ab . Si
() ()
0fafb≤, alors
]
[
,cab∃∈ tel que
()
0fc=.
Corollaire 2 :
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Si I a pour bornes a et b, celles de ne sont pas nécessairement et
()
f
b.
()
f
I
()
f
a
3.2.2 Théorème de la bijection réciproque
Théorème :
Si :
f
I→J est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur J.
De plus, la fonction réciproque 1
f
−, de J vers I, est continue et strictement monotone (avec la
même monotonie que f).
Remarque : Le théorème des valeurs intermédiaires montre l’existence d’une solution à l’équation
. Le théorème de la bijection réciproque en assure l’unicité.
()
=0fx