Parmi les équations suivantes (où x, y, z et t désignent les

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CHAPITRE 1 – RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES PAR LA MÉTHODE DU PIVOT
EXERCICE 1
Parmi les équations suivantes (où x, y, z et t désignent les inconnues et a, un paramètre),
lesquelles sont linéaires ?
[1] x² + 2y + z = 0,
[2] 2x – y + 3z = 2,
[3] xy = 4,
[4] – x + y – 3z + t = 7²,
[5] – x + ay – 3z + t = 7²,
[6] 3x – 
 = – 1.
CORRECTION
On qualifie de linéaires les équations de la forme :
où les nombres xi sont les inconnues et où les coefficients ai sont donnés. Il s’ensuit que
seules les équations [2], [4] et [5] sont linéaires.
EXERCICE 2
Résoudre en utilisant la méthode du pivot de Gauss les systèmes S1, S2 et S3 suivants :
S1        
        ,
S2        
        ,
S3        
        .

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CORRECTION
□ Résolution du système S1
En appliquant la méthode du pivot au système S1 :
       ,
on obtient tout d’abord, en gardant L1 comme pivot et en remplaçant L2 par L2 – L1 et L3
par 2L3 – L1 :
.
Puis, en gardant 
 comme pivot et en remplaçant   par  , on obtient le
système :        
.
A partir de la dernière équation de ce système on détermine z :
[
] z = 
 = 1,
puis y, en remplaçant z par 1 dans 
 :
[
 y = 
 = 1,
et enfin x, en remplaçant y et z par 1 dans L1 :
[L1] x = 
 = 0.
Le système S1 a ainsi pour solution :
x = 0, y = 1 et z = 1,
ce que l’on peut écrire : 
.
□ Résolution du système S2
En appliquant maintenant la méthode du pivot au système S2 :
S2        
       ,
on obtient, en gardant L1 comme pivot et en remplaçant L2 par L2 – L1 et L3 par – L3 + L1 :
     .

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Puis, en gardant 
 comme pivot et en remplaçant   par  , on obtient le
système :
ou, ce qui revient au même :
.
Ce système ayant plus d’inconnues que d’équations, il a une infinité de solutions. Pour les
déterminer, on se ramène à un système carré (voir 2nd cas de la résolution du système I.5 pages
23-24 du manuel) :
.
La dernière équation de ce dernier système permet de déterminer y :
y = 
,
puis, en remplaçant dans L1, on détermine x :
x = 
 =  .
Le système S2 a ainsi pour solutions :
x = 
, y =   et z quelconque.
□ Résolution du système S3
En appliquant, enfin, la méthode du pivot au système S3 :
       ,
on obtient, en gardant L1 comme pivot et en remplaçant L2 par L2 – L1 et L3 par – L3 + L1 :
     .
Puis, en gardant 
 comme pivot et en remplaçant   par  , on obtient le
système :        
.
La dernière équation de ce système étant impossible, le système S3 n’a pas de solution.

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EXERCICE 3
Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour donner les solutions du système S4 selon les
valeurs du paramètre a :
S4        
       .
CORRECTION
Si l’on applique au système S4 la méthode du pivot selon l’ordre habituel, on va faire
apparaître le paramètre a dans les coefficients de toutes les inconnues, et ce, dans toutes
les équations. Pour éviter cela (et simplifier en conséquence la résolution de S4), on
permute les équations L1 et L3 et on change l’ordre des inconnues (de façon à ce que x
soit en dernière position), ce qui donne :
S4        
       .
En appliquant à ce système la méthode du pivot, on obtient, en gardant L3 comme pivot
et en remplaçant L2 par – L2 + 2L3 et L1 par L1 – L3 :
     .
La deuxième équation, 
, de ce système ne comportant qu’une inconnue, z, on peut
s’arrêter là et déterminer cette dernière :
[
] z = 
 = 1.
En remplaçant z par 1 dans 
 , on obtient alors :
[
] (a – 3)x = 0.
Deux cas sont ici possibles :
 1er cas : a  3, x = 0 et y = 1 + 2(1) – 3(0) = 3.
Le système S4 a donc pour unique solution :
x = 0, y = 3 et z = 1.
 2nd cas : a = 3 et l’équation 
 « disparaît ». En remplaçant alors z par 1 dans L3,
on obtient :
y = 3 – 3x.
Le système S4 a donc pour solutions :
x quelconque, y = 3 – 3x et z = 1.

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EXERCICE 4
Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour donner les solutions du système S5 selon les
valeurs du paramètre b :
S5 .
CORRECTION
En appliquant au système S5 la méthode du pivot dans l’ordre habituel, on obtient, en
remplaçant L2 par L2 – L1, L3 par L3 – 2L1 et L4 par L4 – 3L1 :
.
Comme, à l’exclusion du pivot, seule la dernière équation de ce système, 
, contient
l’inconnue y, on permute ensuite cette équation avec 
, ce qui donne :
.
On garde alors 
 comme pivot et on remplace   par  . On obtient ainsi :
Deux cas sont ici possibles :
 1er cas : b  6, l’équation 
 est impossible et le système S5 n’a pas de solution.
 2nd cas : b = 6 et le système devient :
.
Ce système rectangulaire large a une infinité de solutions que l’on détermine en
commençant par la dernière équation. Celle-ci permet en effet de déterminer z en
fonction de t :
[
] z = 1 – t.
En remplaçant alors z par 1 – t dans l’équation 
, on détermine y :
[
] y = 2 – 2(1 – t) – 2t = 0.
Enfin, en remplaçant dans L1, on détermine x :
[L1] x = 2 – 0 – (1 – t) – t = 1.
Lorsque b = 6, le système S5 a donc pour solutions :
x = 1, y = 0, z = 1 – t et t quelconque.