Parmi les équations suivantes (où x, y, z et t désignent les

CHAPITRE 1 – RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES PAR LA MÉTHODE DU PIVOT
EXERCICE 1
Parmi les équations suivantes (où x, y, z et t désignent les inconnues et a, un paramètre),
lesquelles sont linéaires ?
[1] x² + 2y + z = 0,
[2] 2x – y + 3z = 2,
[3] xy = 4,
[4] – x + y – 3z + t = 7²,
[5] – x + ay – 3z + t = 7²,
[6] 3x –
= – 1.
CORRECTION
On qualifie de linéaires les équations de la forme :
où les nombres xi sont les inconnues et où les coefficients ai sont donnés. Il s’ensuit que
seules les équations [2], [4] et [5] sont linéaires.
EXERCICE 2
Résoudre en utilisant la méthode du pivot de Gauss les systèmes S1, S2 et S3 suivants :
S1
S2
S3
{
,
{
,
{
.
1
CORRECTION
□ Résolution du
système S1
En appliquant la méthode du pivot au système S1 :
{
,
on obtient tout d’abord, en gardant L1 comme pivot et en remplaçant L2 par L2 – L1 et L3
par 2L3 – L1 :
{
Puis, en gardant
système :
.
comme pivot et en remplaçant
par
, on obtient le
{
.
A partir de la dernière équation de ce système on détermine z :
[ ] z = = 1,
puis y, en remplaçant z par 1 dans :
[
y=
= 1,
et enfin x, en remplaçant y et z par 1 dans L1 :
[L1] x =
= 0.
Le système S1 a ainsi pour solution :
x = 0, y = 1 et z = 1,
ce que l’on peut écrire :
( ).
□ Résolution du système S2
En appliquant maintenant la méthode du pivot au système S2 :
S2
{
,
on obtient, en gardant L1 comme pivot et en remplaçant L2 par L2 – L1 et L3 par – L3 + L1 :
{
.
2
Puis, en gardant
système :
comme pivot et en remplaçant
par
, on obtient le
{
ou, ce qui revient au même :
.
{
Ce système ayant plus d’inconnues que d’équations, il a une infinité de solutions. Pour les
déterminer, on se ramène à un système carré (voir 2nd cas de la résolution du système I.5 pages
23-24 du manuel) :
.
{
La dernière équation de ce dernier système permet de déterminer y :
,
y=
puis, en remplaçant dans L1, on détermine x :
x=
Le système S2 a ainsi pour solutions :
x=
,y=
=
.
et z quelconque.
□ Résolution du système S3
En appliquant, enfin, la méthode du pivot au système S3 :
{
,
on obtient, en gardant L1 comme pivot et en remplaçant L2 par L2 – L1 et L3 par – L3 + L1 :
{
Puis, en gardant
système :
.
comme pivot et en remplaçant
{
par
, on obtient le
.
La dernière équation de ce système étant impossible, le système S3 n’a pas de solution.
3
EXERCICE 3
Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour donner les solutions du système S4 selon les
valeurs du paramètre a :
S4
{
.
CORRECTION
Si l’on applique au système S4 la méthode du pivot selon l’ordre habituel, on va faire
apparaître le paramètre a dans les coefficients de toutes les inconnues, et ce, dans toutes
les équations. Pour éviter cela (et simplifier en conséquence la résolution de S 4), on
permute les équations L1 et L3 et on change l’ordre des inconnues (de façon à ce que x
soit en dernière position), ce qui donne :
S4 {
.
En appliquant à ce système la méthode du pivot, on obtient, en gardant L3 comme pivot
et en remplaçant L2 par – L2 + 2L3 et L1 par L1 – L3 :
{
.
La deuxième équation, , de ce système ne comportant qu’une inconnue, z, on peut
s’arrêter là et déterminer cette dernière :
[ ]
En remplaçant z par 1 dans
z=
= 1.
, on obtient alors :
[ ] (a – 3)x = 0.
Deux cas sont ici possibles :
 1er cas : a 3, x = 0 et y = 1 + 2(1) – 3(0) = 3.
Le système S4 a donc pour unique solution :
x = 0, y = 3 et z = 1.
 2nd cas : a = 3 et l’équation « disparaît ». En remplaçant alors z par 1 dans L3,
on obtient :
y = 3 – 3x.
Le système S4 a donc pour solutions :
x quelconque, y = 3 – 3x et z = 1.
4
EXERCICE 4
Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour donner les solutions du système S5 selon les
valeurs du paramètre b :
S5
.
{
CORRECTION
En appliquant au système S5 la méthode du pivot dans l’ordre habituel, on obtient, en
remplaçant L2 par L2 – L1, L3 par L3 – 2L1 et L4 par L4 – 3L1 :
.
{
Comme, à l’exclusion du pivot, seule la dernière équation de ce système,
l’inconnue y, on permute ensuite cette équation avec , ce qui donne :
, contient
.
{
On garde alors
comme pivot et on remplace
par
. On obtient ainsi :
{
Deux cas sont ici possibles :
 1er cas : b 6, l’équation est impossible et le système S5 n’a pas de solution.
 2nd cas : b = 6 et le système devient :
{
.
Ce
système rectangulaire large a une infinité de solutions que l’on détermine en
commençant par la dernière équation. Celle-ci permet en effet de déterminer z en
fonction de t :
[ ] z = 1 – t.
En remplaçant alors z par 1 – t dans l’équation , on détermine y :
[ ] y = 2 – 2(1 – t) – 2t = 0.
Enfin, en remplaçant dans L1, on détermine x :
[L1] x = 2 – 0 – (1 – t) – t = 1.
Lorsque b = 6, le système S5 a donc pour solutions :
x = 1, y = 0, z = 1 – t et t quelconque.
5
EXERCICE 5
Utiliser la méthode du pivot de Gauss pour donner les solutions du système S6 selon les
valeurs des paramètres a et b :
S6
.
{
CORRECTION
En appliquant au système S6 la méthode du pivot dans l’ordre habituel, on obtient, en
remplaçant L2 par L2 – L1, L3 par L3 – L1 et L4 par L4 – 3L1 :
.
{
En gardant alors
vient :
comme pivot et en remplaçant
par
et
par
, il
,
{
ou encore, en permutant les deux dernières équations :
.
{
Etant donnée l’équation


, deux cas sont possibles :
1er cas : a – 2, l’équation est impossible et le système S6 n’a pas de solution.
2nd cas : a = – 2 et le système devient :
{
.
Au regard de l’équation , deux cas sont alors possibles :
▪ Cas 21 : b 5, le système est carré et a une unique solution que l’on détermine,
comme d’habitude, en commençant par la dernière équation :
[ ]z=
= 0,
puis :
[ ]y=
= – 2,
6
et enfin :
[L1] x = 2 – (– 2) – 0 = 4.
5, le système S6 a donc pour unique solution :
x = 4, y = – 2 et z = 0.
▪ Cas 22 : b = 5, l’équation devient « 0 = 0 » et le système,
Lorsque a = – 2 et b
{
.
Ce système triangulaire large a une infinité de solutions que l’on détermine en
commençant par qui permet d’exprimer y en fonction de z :
[ ] y=
=–2+ .
Puis, en remplaçant dans L1, on exprime x en fonction de z :
[L1]
x = 2 – (– 2 + ) – z = 4 –
.
Ainsi, lorsque a = – 2 et b = 5, le système S6 a pour solutions :
x= 4–
, y = – 2 + et z quelconque.
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