logarithme neperien 6 exercices corri

4ème M
Série N°…
Logarithme népérien
Exercice 1
Soit
( Vrai-Faux)
1
, D son ensemble de définition et C sa courbe représentative.
ln( x )
n1
1
1
1
n non nul l’encadrement :
dx  .

n1
x
n
n
x
2
la fonction définie par f ( x )  
a. On a D =] 0, + [.
b. La courbe C admet une droite asymptote en +.

x
2
1
2
.
d. Pour tout x  D, on a : f '( x)  
2 x(ln x )2
c. Pour tout x  D, on a : f ( x)  .
Exercice 2
1. On considère la fonction f : x 
x
2
x  x 1
déterminer la fonction dérivée ′ de
2. On considère la fonction g : x 
est définie et dérivable sur  et
. Montrer que
.
ln x
 ln x 2  ln x  1
et on désigne par  sa courbe
représentative dans un repère orthonormal d’unités graphiques 1 cm.
a. Exprimer g en fonction de et préciser l’ensemble de définition de g.
b. Déterminer la fonction dérivée g ’ de g (on pourra utiliser la question 1.).
c. Etudier le signe de g ’.
d. Déterminer les limites de g en 0 et  .
e. Dresser le tableau des variations de g.
f. Construire la courbe  en précisant la tangente au point d’abscisse 1.
Exercice 3
 1
cos( x ²  ) 
3 2 ; calculer lim f ( x ) .
1. Soit f ( x ) 
x 1
x 1
 ex  3 
f ( x) .
2. f ( x )  ln 
 ; calculer xlim

 x5 
 x²  3 
3. f ( x )  ln  x  ; calculer lim f ( x ) .
x 
 e 
2ln x  1
4. lim
x 
2x
.
1

5. lim x ln  1   .
x 
x

Exercice 4
Soit (un) la suite définie sur  * par un 
PARTIE A
k 2 n
 1k  1n  n 1 1  ...  21n .
kn
1. Montrer que pour tout n de  * , un1  un 
3n  2
.
n  2n  2  2n  1 
2. En déduire le sens de variation de la suite (un).
3. Établir alors que (un) est une suite convergente.
PARTIE B (L’objectif de cette partie est de déterminer la valeur de la limite de la suite (un)).
1
 x 
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;  [ par : f  x    ln 
.
x
 x 1 
n1
1
1
1
1. a. Justifier pour tout entier naturel n non nul l’encadrement :
dx  .

n1
x
n
n

1
b. Vérifier que

n1
n
1
1
dx   f  n  .
x
n
c. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, 0  f  n  
1
.
n n  1 
2. On considère la suite (Sn) définie sur  * par
k 2 n
Sn 
 k  k1 1   n  n1 1    n  1 1 n  2   ...  2n  21n  1  .
k n
a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0  f  n   f  n  1   ...  f  2n   Sn .
b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x distinct de −1 et de 0, on ait
1
a
b
 
.
x
x

1
x
x
1


n1
.
c. En déduire l’égalité Sn 
n  2n  1 
d. En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers  de
k 2 n
 f  k   f  n   f  n  1   ...  f  2n  .
kn
1

e. Vérifier que pour tout entier n > 1, f  n   f  n  1   ...  f  2n   un  ln  2 
n

f. Déterminer la limite de la suite (un).

.

Exercice 5
Partie A
Le but de cette partie est d'étudier la fonction f définie sur ]0 ;  [ par
f ( x)  x 
2 ln x
.
x

(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i, j ) (unité graphique : 1 cm).
1. Étude de la fonction auxiliaire g définie sur ]0 ;  [ par g( x)  x 2  2  2 ln x .
a. Étudier le sens de variation de g et calculer g(1).
b. En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0 ;  [.
2. a. Calculer les limites de f en 0 et en  .
b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
c. Montrer que la droite  d'équation y = x est asymptote à (C) et étudier la position de (C) par rapport à  .
d. Déterminer les coordonnées du point A de (C) sachant que (C) admet en A une tangente T parallèle à  .

e. Tracer (C),  et T dans le repère (O ; i, j ) .
3. Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par  , la courbe (C) et les droites d'équations x = 1 et x = e.
1
4. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique x0. Prouver que  x0  1.
2
Partie B
Le but de cette partie est de déterminer une valeur approchée de x0.

On désigne par h la fonction définie sur ]0 ;  [ par h( x )  e
x2
2 .
1. Montrer que x0 est l'unique solution de l'équation h(x) = x.
1

2. On note I l'intervalle  ; 1  . Montrer que, pour tout x appartenant à I, h(x) appartient aussi à I.
2

3. a. Calculer la dérivée h´ de h et la dérivée seconde h'' de h.
b. Étudier les variations de h´ sur I.

c. En déduire que, pour tout x de I, on a h '( x )  e
1
2
.
4. On considère la suite définie par u0 = 1 et un + 1 = h(un) pour tout entier naturel n de  .
1
a. Montrer par récurrence que, pour tout n de  :  un  1 .
2
b En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout n de  : un1    e1/ 2 un  
n
c. En déduire que, pour tout n de  : un  x0
1
 e2.
2
n
1
5. a. Déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que, pour tout entier n  n0, on ait : e 2  10 2.
2
b. Montrer que : un0  x0  10 2 . Que représente un0 relativement à x0 ? Calculer un0 à 10
2
2
près par défaut.
Exercice 6
 3 x 
1. Calculer la dérivée de la fonction f définie par f ( x )  ln 
 sur ]0 ; 3[.
 3x 
4x
.
2. a. Déterminer toutes les primitives de la fonction h définie par : h( x ) 
(3 x ²  2)3
b. Déterminer la primitive de h qui s’annule en 10.
4. Déterminer une primitive F de chacune des fonctions suivantes qui réponde à la condition posée :
x  0, 5
a. f ( x )  2
et F(1) = 0.
x  x 1
cos 2 x
b. f ( x ) 
et F(2) = 1.
sin x.cos x
 1 x 
4. Calculer la dérivée de la fonction définie par f ( x )  ln 
.
 x 1 
x 1
.
5. Trouver une primitive de la fonction définie par : f ( x ) 
 x ²  2 x 3
ln x
(ln x )2
est x 
. En déduire l'ensemble des primitives F de
x
2
qui s'annule pour x = 1.
6. a. Montrer qu'une primitive de x 
b. Déterminer la primitive de
3
Corrections
Exercice1
a. Faux : On doit avoir
b. Vrai : lim f ( x )   
x 
c. Faux : f ( x) 
x  1 et x>0 donc D= ]0, 1[]1,  [ .
1
x
x
  et lim f ( x )   0 donc y  est asymptote de C.

x

2
2
x
1
 0 , soit ln( x )  0 donc quand x  1  x  1 .
si 
2
ln( x )
'
x
2
1
u'
d. Vrai : Rappelons que     et remarquons que f ( x)  
; nous avons donc
2
ln
x
u
u
 
f '( x ) 
 1/ x  1


1
1
 2 
  2
.
2 
2 
2
 (ln x )  2
 x(ln x ) 
Exercice2
1. est un quotient de fonctions dérivables et le dénominateur ne s’annule pas, elle est donc
continue et dérivable sur  .
f ' x  
x2  x  1  x  2 x  1 
x
2. a. g  x  
2
 x 1

2
ln x
2
ln x  ln x  1

x2  1
x
2
 x 1

2
.
 f  ln x  donc, comme
est définie sur  , g est définie sur
0 ;   .


.
x ln 2 x  ln x  1 


1
1
b.  f  g  '  g '  f ' g  . g '  x   f '  ln x   

x
 ln 2 x  1


c. Le signe de g ’ dépend de celui de 1  ln 2 x   1  ln x  1  ln x  .
x
1  ln x
1  ln x
g’(x)
0
1/e
+
−
−
+
+
+
0
0
0
e
0

−
+
−
0
1
3
g(x)
0
−1
d. En  g se comporte comme les termes de plus haut degré en ln, soit
; en 0 c’est pareil car ln tend vers  , donc encore 0 comme limite.
f. Tangente au point d’abscisse 1 : y  x  1 .
4
ln x
2
ln x

1
1

0
ln x

Exercice3


 f ( x )  cos( x ²  3 )
avec 
.
 f (1)  cos(   )  cos( 2 )   1

3
3
2
 1
cos( x ²  ) 
3 2  lim f ( x )  f (1)  f '(1)
1. lim
x 1
x 1
x 1
x 1


2
2 3

  3 .
On calcule donc f '( x )  2 x sin( x ²  ) d'où f '(1)  2 sin(  )  2 sin
3
3
2
3
2. lim
x 
ex  3
 ex  3 
 e  lim ln 
  ln e  1 .

x
x5
 x5 
3. lim ln 
x 

x²  3 
3 
3 




 ln ( x ²  3)  ln ex   lim  ln( x ²  1 
ln x ²  ln  1 
  xlim
)  x   xlim
 x  ,

x


x



x² 
x² 


e 




3 
ln x

 ln x

0
 1    car lim
or lim ln  1    ln 1  0 et lim (ln x ²  x )  lim (2ln x  x)  lim x  2
x 



x
x
x
x

x
²
x
x




.
2 ln x  1
ln x
1
ln x
1
4. lim
0
 0 et lim
 lim
 lim
 0 car lim
x 
x  x
x  2 x
x  2 x
x  x
2x
1

5. lim x ln  1 
x 
x

1

ln  1  
ln(1  X )
x


 lim
1.
  xlim
1
X 0 
X
 
x
Exercice4
k 2 n
un 
1
1
1
1
 k  n  n  1  ...  2n .
kn
PARTIE A
1
1
1
 1
1. un1  un  
 ... 


1
2
2
1
2
n

n
n

n
2

3n  2
un1  un 
.
n  2n  2  2n  1 
1
1 
1
1
1
 1
 ... 

 d’où
 

1
2
2
1
2
2
n
n

n
n

n

n
 

2. La suite (un) est décroissante puisque 3 n  2  0 .
3. La suite est positive puisque somme de termes positifs ; elle est décroissante et minorée, elle converge bien.
PARTIE B
n1
1
1 1
1
1
1
  

dx  .
1. a. n  x  n  1 
n1 x n
n1
x
n
n

b.

n1
n
1
n1
 n1 
dx   ln x  n  ln  n  1   ln n  ln 
 ;
x
 n 
5
1
1 1
a
b
 n 
 n1 
 f  n     ln 
  ln 
 car ln   ln .
n
n n
b
a
 n1 
 n 
par ailleurs
c. Comme
1

n1

n1
n
1
1
dx  , on a :
x
n
1
1
1
1
1
1
1
1
  f  n  
  f  n   0  0  f  n   

.
n1 n
n
n1 n
n n  1 n n  1 
2. a. Comme
0  f  n 
1
,
n n  1 
0  f  n1 
1
,

n
1

 n  2 
...,
0  f  2n  
1
,
2n  2n  1 
On somme toutes ces inégalités et on obtient :
0  f  n   f  n  1   ...  f  2n  
b. On a déjà le résultat au 1.c. :
1
1
1


…
n n  1 n n  1 
k 2 n
c. On remplace donc dans Sn 
1
1
1

 ... 
 Sn .
2n  2n  1 
n  n  1   n  1  n  2 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
 k  k  1   n  n  1  n  1  n  2  ...  2n  2n  1  n  2n  1 car tous
k n
les termes intermédiaires s’éliminent ; Sn 
n1
1
1
2n  1  n



.
n 2n  1 n  2n  1  n  2n  1 
d. Sn tend vers 0 en  ; grâce aux « gendarmes » f  n   f  n  1   ...  f  2n  tend également vers 0.
k 2 n
e. un 
1
1
1
1
 k  n  n  1  ...  2n ;
kn
1
1
1
 n 
 n1 
 2n 
 ln 
 ln 
 ln 

  ... 

n
2n
 n1  n1
 n2 
 2n  1 
1
1
1
  n   n  1   2n  
 
 ... 
 ln  

 ... 

n n1
2n
  n  1   n  2   2n  1  
1
 n 
 2n  1 

 un  ln 
 un  ln 
 un  ln  2   .


n
 2n  1 
 n 

f  n   f  n  1   ...  f  2n  
Les logarithmes se simplifient car tous les termes du produit à l’intérieur du crochet s’éliminent.
f. On sait déjà que f  n   f  n  1   ...  f  2n  tend vers 0 ; le logarithme tend vers ln2 donc un tend vers ln2.
Exercice5
Partie A
1. a. g '( x )  2 x 
2 2( x ²  1)


x
x
x
g’(x)
2
( x  1)( x  1) .
x
−1
0
−
− 0 +
−
g(x)
1
0
3
g(1) = 1² + 2 – 2  0 = 3.
6
+
+
b. 3 est un minimum de la fonction g sur ]0 ;  [ donc la fonction g est positive quel que soit x.
2 ln x
ln x
)  lim x  2 lim
  car
2. a. lim f ( x )  lim ( x 




x
x
x 0
x 0
x 0
x 0
1
ln
ln x
X
lim
 lim
 lim (  X ln X )   .
X  1
X 
x 0  x
X
2 ln x
ln x
ln x
  car lim
0.
lim f ( x )  lim ( x 
)  lim x  2 lim
x 
x 
x 
x  x
x  x
x
1
2   x  2 ln x  1
x ²  2  2ln x g( x )
x


du signe de g(x), c’est à dire positif !
b. f '( x )  1 
x²
x²
x²
f est donc strictement croissante sur ]0 ;  [.
x
0
+
f ’(x)
+
+
f (x)
−
−
2ln x
 0  , donc la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe. Lorsque x < 1 la
c. lim ( f ( x )  x )  lim
x 
x 
x
courbe est en dessous de  , lorsque x > 1, la courbe est au-dessus.
d. (C) admet en A une tangente de coefficient directeur 1 ssi f '( x A )  1 :
f '( x A )  1 
g( x A )
 1  x A ²  2  2 ln x A  x A ²  2  2ln x A  0  2 ln x A  2  ln x A  1  x A  e ;
xA ²
f ( x A )  f ( e)  e 
2ln e
2
 e   3, 45 .
e
e
y



x





7

y


x


3. Il faut calculer

e
( f ( x )  x )dx  2
1
forme u '.u dont une primitive est


e ln
1
1 2
u :
2
x
dx ; or
x

1
est la dérivée de ln x, donc on a quelque chose de la
x
e


( f ( x )  x ) dx  2
1

e ln
1
x
e
1

1

dx  2  (ln x )2   2   0   1 .
x
2
1
2

4. La fonction f est continue, strictement croissante, sur ]0 ;  [, c’est donc une bijection de ]0 ;  [ sur  . Il
existe bien une valeur x0 appartenant à ]0 ;  [ telle que f(x0) = 0.
1
2 ln
1 1
2  1  4 ln 2  0 et f (1)  1  2ln 1  1  0 donc 1  x  1 .
f  
0
1
2
1
2
2 2
2
Exercice6
1. f ( x )  ln(u( x ))  f '( x )  u '( x )ln'(u( x )) 
avec u( x ) 
u '( x )
u( x )
3 x
1  (3  x)  ( 1)  (3  x) 3  x  3  x
6
u '( x ) 


(3  x )²
(3  x)²
(3  x)²
3 x
6
u '( x ) (3  x )²
6
3x
6




.
d’où f '( x ) 

x
3
u( x )
(3  x )² 3  x (3  x )(3  x )
3x
4x
4
6x
2 u '( x ) 2
 
 
 u '( x )u( x )3 avec u( x)  3 x 2  2 et n  1  3  n  2 .
2. a. h( x ) 
3
3
6 (3 x ²  2)
3 u( x)3 3
(3 x ²  2)
H( x) 
2 u( x )2
1
1

K 
K 
 K (K réel).
2
2
3
3 u( x )
3(3 x ²  2)2
b. H (10)  0  
1
1
1
1
1
K 0 K


.
d’où H ( x )  
2
2
3  302² 273612
3(3  10²  2)
3(3 x ²  2) 273612
 1 x 
4. f ( x )  ln 
 :
 x 1 
f ( x)  ln  u( x)  avec u( x ) 
1 x
1  ( x  1)  (1  x)  1  x  1  1  x
2


et u '( x ) 
;
( x  1)²
( x  1)²
( x  1)²
x 1
2
2
2
u '( x ) ( x  1)²
x 1
2
2
f '( x ) 






.
1 x
( x  1)² 1  x (1  x )(1  x ) (1  x )( x  1) x ²  1
u( x )
x 1
8
5. f ( x ) 
x 1
 x ²  2 x 3
.
Soit u(x) = x² + 2x, on a : u'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) et
1 2( x  1)
1 u '( x ) 1
x 1
 
  3
 u '( x )  u3 ( x )
f (x) 
3
3
 x ²  2 x  2 ( x²  2 x) 2 u ( x) 2
1
u '( x )  un1 ( x )
2
avec n − 1 = −3, ou n = −2.
Les primitives de telles fonctions sont de la forme :
qui est de la forme
F( x ) 
1 un ( x ) 1 ( x ²  2 x )2
1
1

 
 
(+ constante…).
2
2
2
4 ( x ²  2 x )2
n
(ln x )2
1 1
ln x
ln x
, u '( x )  .2. .ln x 
donc u est bien une primitive de
.
2
2 x
x
x
Toutes les primitives sont alors de la forme u(x)+K.
6. a. Dérivons u( x ) 
b. u(1)  K  0  K  u(1)  
(ln 1)2
0.
2
9