complexes - mathsenligne

COMPLEXES
Sujets
septembre 2012 Antilles-Guyane
novembre 2012 Amérique du Sud
avril 2012 Pondichéry
mai 2012 Liban
Formulaire↓

COMPLEXES 1
Antilles-Guyane septembre 2012 . EXERCICE 2↑→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , −→ u , −→ v).
On considère les points Aet Cd’affixes respectives
zA=√3 + i zC=−1−3i
1. On note Ble point tel que zB=i zA
a) Calculer l’affixe du point Bsous forme algébrique.
b) Écrire les nombres zAet zBsous forme exponentielle.
c) Démontrer que le rectangle OAB est rectangle isocèle.
d) Faire une figure (unité : 2cm) où seront placés les points A,Bet C.
2. On note Dle point tel que zD=i zCet Ele point tel que zE=zB+zC.
a) Calculer l’affixe des points Det E.
Compléter la figure.
b) Montrer que les vecteurs −−→ OE et −−→ AD sont orthogonaux.
Montrer OE =AD
3. Dans cette question, on redémontre les deux résultats géométriques précédents par une autre
méthode.
a) Montrer : zD−zA
zE
=i
b) Interpréter géométriquement 
zD−zA
zE
et arg zD−zA
zEpuis conclure.

COMPLEXES 2
Amérique du Sud novembre 2012 . EXERCICE 2↑→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , −→ u , −→ v)(unité 2cm) .
Soit A,Bet Cles points d’affixes respectives
zA=i,zB= 2iet zC= 1
On considère la transformation fqui à tout point Md’affixe z6=iassocie le point M0d’affixe
z0=2iz
z−i
On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.
1. Un point Mest dit invariant lorsque M0=M.
Déterminer les points invariants en résolvant z0=z⇐⇒ 2iz
z−i=z
2. Déterminer sous forme algébrique les affixes des points B0et C0, images des points Bet C
par la transformation f.
3. Démontrer que pour tout point M6=A:z0−2i=−2
z−i
4. On suppose dans cette question que Mappartient au cercle Γde centre Aet de rayon 1
a) Justifier que l’on a : |z−i|= 1
b) En déduire la valeur de 
z0−2i .
Montrer que M0appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
5. On considère le point Dd’affixe zD=√3
2+3 2i.
a) Vérifier que Dappartient au cercle Γ.
b) Montrer que les points B,Det D0sont alignés.
c) En déduire une construction à la règle et au compas de D0

COMPLEXES 3
Pondichéry avril 2012 . EXERCICE 4↑→
Partie A . Restitution organisée de connaissances
Soit z,z1et z2des nombres complexes.
- on rappelle que zdésigne le conjugué de zet que |z|désigne le module de z
- on admet l’égalité |z|2=z z
- on admet la propriété z1z2=z1z2
Démontrer le résultat suivant : |z1z2|=|z1| |z2|
Partie B . Étude d’une transformation
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , −→ u , −→ v).
On considère les points Aet Bd’affixes respectives 1 et -1.
Soit fla transformation qui à tout point Md’affixe z6= 1 associe le point M0d’affixe
z0=1−z
z−1
Une figure est donnée en annexe et sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
1. Soit Cle point d’affixe zC=−2 + i.
a) Déterminer zC0l’affixe du point C0par la transformation f.
b) Montrer que C0appartient au cercle Cde centre O et de rayon 1 .
c) Montrer que les points A,Cet C0sont alignés.
2. On étudie dans cette question les points Mqui ont pour image par fle point A
a) Montrer que si Ma pour image A, alors z+z= 2
On pose z=x+iy où xet ysont réels : montrer que Mappartient à une droite ∆dont
on précisera une équation.
b) Compléter la figure avec la droite ∆
3. Montrer que dans tous les cas, z0−1
z−1est un nombre réel.
Que peut-on en déduire pour les points A,Met M0?
4. On a placé un point Dsur la figure donnée en annexe : construire géométriquement son
image en utilisant les questions précédentes .
Figure
D
−→
u
−→
v
O
C

COMPLEXES 4
Liban mai 2012 . EXERCICE 4↑→
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O , −→ u , −→ v).
1. Un triangle.
Soient A,Bet Cles points d’affixes respectives a= 2,b= 3 + i√3et c= 2i√3.
a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
b) En déduire que l’affixe ωdu point Ω, centre du cercle circonscrit au triangle ABC est
1 + i√3.
2. Une suite de points du plan.
On définit la suite de nombres complexes (zn)par z0= 0 et pour tout entier naturel n:
zn+1 =1 + i√3
2zn+ 2
On note Anle point d’affixe zn.
a) Vérifier que les points A1,A2,A3et A4ont pour affixes respectives :
2,3 + i√3,2+2i√3et 2i√3
b) Calculer la longueur des segments [A1A2],[A2A3]et [A3A4]
c) Démontrer que pour tout entier naturel n:zn+1 −ω
zn−ω=1 + i√3 2
En déduire que le triangle ΩAnAn+1 est équilatéral.
d) Démontrer que A6=A0.
3. Calculer 1 + i√3
22012
. En déduire A2012 =B