** EXERCICES ( )

Mouvement dans le plan  
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
81
** EXERCICES
 4.41:
XY
3
44
x
vtt
=+
4
y
vt
=
.   
(
)
1, 2
0
t
=
   !
"# $%&' .
Exercice 4.14
Une particule se déplace dans un plan
XY
selon la
loi : 3
44
x
vtt
=+
et
4
y
vt
=
.
Si le mobile se trouvait au point
(
)
1, 2
àl’instant
0
t
=
,trouver l’équation de la trajectoire en
coordonnées cartésiennes.
 5.41:
XY
4sin
x
at
=
3cos
y
at
=.  ( )
0
t
=
0
x
=
!
3
y
=
!
4
x
v
=
0
y
v
=
!
 :
1/,(#-  ! 
2/ ) .
4
ts
=.
Exercice 4.15
Une particule se déplace dans un plan
XY
selon la
loi :
4sin
x
at
=et
3cos
y
at
=.
Sachant que pour
0
t
=
on ait
0
x
=
!
3
y
=
!
4
x
v
=
0
y
v
=
!trouver :
1/ l’équation de la trajectoire, quelle est son allure ?
2/ la valeur de la vitesse à l’instant
4
ts
=.
 6.41:
/'  # #
(
)
32
yx
=+
" 0'
(
)
2
2
st t
=. )
2
x
=
0
y
=
(
)
00
s
=
 # !
s
" 1 "
y
:
1/  
(
)
xt
(
)
yt
!#
2/ 2  2  #
.
Exercice 4.16
Soit le mouvement défini par sa trajectoire
(
)
32
yx
=+
et son équation horaire
(
)
2
2
st t
=.
Sachant que
2
x
=
et
0
y
=
quand
(
)
00
s
=
et
que
s
croit avec la croissance de
y
:
1/ trouver les équations paramétriques
(
)
xt
et
(
)
yt
du mouvement,
2/ déterminer l’accélération normale et l’accélération
tangentielle du mouvement.
 7.41:
 3  4  
1 '':
2
xt
=
2
44
yt t
=
.
1/!   ,(#- 
2/! ) 5
3/!$'% ()  /'
4/ 6  2   '# 
!$
5/78 . 9: ;.
Exercice 4.17
On donne les équations paramétriques de la
trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un
référentiel :
2
xt
=
et 2
44
yt t
=
1/ Déterminer l'équation de la trajectoire, Quelle est
son allure ?
2/Calculer la vitesse du mobile,
3/Montrer que son accélération est constante,
4/Déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
5/En déduire le rayon de courbure.
 8.41:
6789:; <=;8>:; ?@>; ABC DE:FGBH IFJK
xOy
LM=N;
O
OP=Q8R <
(
)
,
ij
.S8:TUH=VWH XTY:P
x
<
y
Exercice 4.18
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
xOy
d'origine O et de base (
,
ij
). Les coordonnées
x
et
y
d'un point
M
mobile dans le plan (
,,
Oi j
)
varient avec le temps suivant la loi:

Mouvement dans le plan  
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
82
]^_JB
M
DE:FGBH `a ]bXc:;
(
)
,,
Oi j
d;eBH f;
IFVSE78_BH :
2cos
2
t
x=<
2sin
2
t
y=.
1/g8FGBH ]>TNh i=V.
2/]QXFBH j8>k `:NbX; i=V
v
l
3/8NQ i=V ]QXFBH mg
ds
dt
]TUH=VWH mg8NQ Hnb <
s
]^_JB ]TJcJGBH
M
]oc@BH `a
t
`pH=:qWH rXsBH ntuq l
0
s
=
8GB
0
t
=
l
4/?@>; `a jg8F:@B ]TGv8JBH <]Tw8GGBH dT:NbXGBH i=V
lxJKXa
5/y8Jc7zH X^R {|7 }:J:wC.
6/]^_JBH XUu:P dTV `a OB8V A@Q •8q g8FGBH
M
jg8F:q
€<H•
2
2
0, 2
d
t
dt
== . ]^_JBH ‚@NP ]ocB €M `a
M
]QXw
1
10
ms
SEƒFBH d; x_@^7H 8„7M 8G@Q l.`… 8;
†8„:>^R `:BH ]a8FGBH
2cos
2
t
x=et
2sin
2
t
y=.
1/ Déterminer la nature de la trajectoire,
2/ Déterminer les composantes du vecteur vitesse
v
,
3/ Déterminer l'expression de la vitesse
ds
dt
,ainsi
que celle de l'abscisse curviligne
s
du point
M
à
l'instant
t
,en prenant comme condition
initiale
0
s
=
quand
0
t
=
,
4/déterminer les composantes normale et
tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet,
5/ en déduire le rayon de courbure de la trajectoire.
6/ La trajectoire reste la même, mais maintenant le
point
M
subit une accélération angulaire
2
2
0, 2
d
t
dt
==
 . A quelle date le point
M
atteindra-t-il une vitesse de
1
10
ms
,sachant qu'il est
parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcourue ?
 19.4:
m=_>; ]TFTh8JY; <]Tp8qX„b ‹E_cB ]>Œ8t ]GTF• Ž_:JP
`@T@• f•X; `a.HS8:Bi8>GBH ]TN^_BH •8TUH=VW8q S8:TJ;eB
8G…
0
t
b
rre
=<
t
b
=
l
0
<
b
S8N•E; S8:q8U .
1/l]bXc@B ]QXFBH j8>k IFVM
2/]K<HeBH SM d‘Tq
(
)
,
vu
]:q8U .P?b †]K<HeBH Ln… €<8F
3/l]bXc@B jg8F:BH j8>k IFVM
4/]K<HeBH SM d‘Tq
(
)
,
N
au
]:q8U .Ln… €<8FP ?b
†]K<HeBH)‹H’FB8q dT>:F72(l
5/g8FGBH y8Jc7H X^R {|7 IFVM.
Exercice 4.19
Une particule soumise à des champs électriques et
magnétiques complexes est en mouvement dans un
référentiel galiléen. Les équations horaires sont, en
coordonnées polaires : 0
t
b
rre
=et
t
b
=
,
0
et
b
sont des constantes positives.
1/ Calculer le vecteur vitesse de la particule,
2/ Montrer que l’angle
(
)
,
vu
est constant. Que
vaut cet angle ?
3/ Calculer le vecteur accélération de la particule,
4/ Montrer que l’angle
(
)
,
N
au
est constant. Que
vaut cet angle ? (On se servira de la question2),
5/ Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.
x
u
u
T
u
N
u
O
M
 20.4:
OA
'% " )' 
Exercice 4.20
Un bras
OA
tournant avec une vitesse autour

Mouvement dans le plan  
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
83
O
 !- ) :< '
A
5=. 1
AB
.
5=
AB
:< )
B
'. .8" '
 3) 8">
Ox
.'= #
OA
AB
:< 9? .8"       
O
.# 
AB L
=
OA R
=
:
1/# "  
B
 )
A
0
A
" )
0
t
=
!
2/,) 6 $ 4 
d’un axe
O
,est articulé en
A
avec une tige
AB
.
La tige
AB
est solidaire d’un curseur
B
pouvant
coulisser le long de l’axe
Ox
.le bras et la tige
peuvent se croiser lorsque la tige passe par derrière
l’articulation en
O
.Sachant que
AB L
=
et
OA R
=
:
1/ trouver l’équation horaire du mouvement de
B
,
sachant que B passe en
0
A
au temps
0
t
=
,
2/ à quel instants la vitesse s’annule-t-elle ?
t
X
B
A
O
Y
L
R
0
A
 21.4:
(
)
XOY
6
(
)
,,,
Oi jk
  !
P
/. 9: @A 3)
R
/"# 
(
)
,0,0
IR.
0
t
=
l
P
(
)
2 ,0,0
AR 
' ) 5#
(
)
0
0, , 0
v
0
v
.
B ' $%& 3 "
P
B'  .
1/0 ; !@A '  #
#.
2/' @) #- 3) C%
(
)
,
r
uu
B
P
.
8' 5  0- " ''
$%) )-
v
2
a
B
P
6
(
)
,,,
r
Ou u k
.
3/ :< #
s
B
P
) '
A
:( •@') )
s
8' !• @) #- 3) C%
(
)
,
TN
uu
B
P
.
•8' 5 " ''  0- 
$%
0
v
a
6 /  . •' '# 5
T
u
N
u
.•
' '# - F/    
B
0
v
a
.4/B' "
]QXF@B B "
P
 !
'% 1'  #  /'.•8' )
t
') ! 6% . •') ; 
v
a
' ) 
Exercice 4.21
Dans le plan
(
)
XOY
d’un repère
(
)
,,,
Oi jk
,un
point
P
se déplace sur un cercle de rayon
R
et de
centre
(
)
,0,0
IR .
Al’instant
0
t
=
,
P
se trouve en
(
)
2 ,0,0
AR et
possède la vitesse positive
0
v
(
)
0
0, , 0
v.
On désigne par et les coordonnées polaires de
P
.
1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son
équation cartésienne.
2/ Représenter sur la figure la base polaire
(
)
,
r
uu
de
P
.Calculer en fonction de et de ses dérivées
successives par rapport au temps les composantes
polaires des vecteurs vitesse
v
et
a
de
P
dans le
repère
(
)
,,,
r
Ou u k
.
3/ Soit
s
l’abscisse curviligne de
P
(l’origine est en
A).
•Donner l’expression de
s
en fonction de .
•Représenter sur la figure la base intrinsèque
(
)
,
TN
uu
de
P
.
•Calculer en fonction de et de ses dérivées
successives par rapport au temps les composantes de
0
v
et
a
dans cette base.
•Calculer les composantes polaires de
T
u
et de
N
u
.
Retrouver dans ces conditions les composantes
polaires de
0
v
et
a
.
4/ On désigne par la vitesse angulaire de
P
,dont
on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante.

Mouvement dans le plan  
A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST
84
@).$.
•Donner en fonction de
t
,les expressions de puis
de .
•En déduire les expressions de
v
et
a
en fonction
de
t
de
0
v
et
a
dans les bases polaire et de Frenet.