81 Mouvement dans le plan ** EXERCICES Exercice 4.14 Une particule se déplace dans un plan XY selon la :14.4 XY loi : vx = 4t + 4t et v y = 4t . 3 Si le mobile se trouvait au point (1, 2 ) . v y = 4t à l’instant (1, 2 ) !t = 0 t = 0 , trouver l’équation de la trajectoire en . " coordonnées cartésiennes. Exercice 4.15 Une particule se déplace dans un plan loi : vx = 4 t = 0 on ait x = 0 ! y = 3 ! ! v = 0 y XY ) . a y = 3cos t ( 1/ l’équation de la trajectoire, quelle est son allure ? t= 4 ,( #- s. .t = Exercice 4.16 Soit le mouvement défini par sa trajectoire y = 3( x + 2) y = 3 ( x + 2 ) et son équation horaire s ( t ) = 2t 2 . Sachant que que x = 2 et y = 0 quand s ( 0 ) = 0 et s croit avec la croissance de y : 1/ trouver les équations paramétriques y ( t ) du mouvement, x ( t ) et 2/ déterminer l’accélération normale et l’accélération tangentielle du mouvement. x= 2 :y xOy d'origine O et de base ( i , j ). Les coordonnées x et y d'un point M mobile dans le plan ( O, i , j ) t=0 : /1 ! s 4 . /2 ) ' :16.4 # ). s ( t ) = 2t 2 " / " s x (t ) .# 2 # ! s ( 0) = 0 # 0 ' y=0 /1 !# /2 2 :17.4 4 3 . y = 4t 4t x = 2t :1 ' ' ,( #! /1 ! ) 5 /2 !$' % () / ' /3 2 '# /4 !$ .7 8 . 9: ; /5 2 2 Exercice 4.18 Le plan est rapporté à un repère orthonormé " 1 y (t ) Exercice 4.17 On donne les équations paramétriques de la trajectoire plane d'un point mobile par rapport à un référentiel : x = 2t et y = 4t 4t 1/ Déterminer l'équation de la trajectoire, Quelle est son allure ? 2/Calculer la vitesse du mobile, 3/Montrer que son accélération est constante, 4/Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet. 5/En déduire le rayon de courbure. &' ax = 4sin t vx = 4 ! y = 3 ! x = 0 v y = 0 ! trouver : 2/ la valeur de la vitesse à l’instant # $ % :15.4 XY selon la ax = 4sin t et a y = 3cos t . Sachant que pour vx = 4t 3 + 4t 6 :18.4 xOy 6789:; < =;8>:; ?@>; ABC DE:FGBH IFJK y < x S8:TUH=VWH XTY:P . ( i , j ) OP=Q8R < O LM=N; varient avec le temps suivant la loi: A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 82 Mouvement dans le plan x = 2 cos d;eBH f; ( O, i , j ) DE:FGBH `a ]bXc:; M ]^_JB t t et y = 2sin . 2 2 1/ Déterminer la nature de la trajectoire, 2/ Déterminer les composantes du vecteur vitesse v , ds , ainsi dt que celle de l'abscisse curviligne s du point M à l'instant t , en prenant comme condition initiale s = 0 quand t = 0 , 3/ Déterminer l'expression de la vitesse 4/ déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet, 5/ en déduire le rayon de courbure de la trajectoire. 6/ La trajectoire reste la même, mais maintenant le point M subit une accélération angulaire d2 = dt 2 = 0, 2t . A quelle date le point M 1 atteindra-t-il une vitesse de 10ms , sachant qu'il est parti du repos. Quelle distance a-t-il alors parcourue ? t t < x = 2 cos : SE78_BH IFV 2 2 .g8FGBH ]>TNh i=V /1 l v ]QXFBH j8>k `:NbX; i=V /2 ds s ]TUH=VWH mg8NQ Hnb < ]QXFBH mg8NQ i=V /3 dt `pH=:qWH rXsBH ntuq l t ]oc@BH `a M ]^_JB ]TJcJGBH l t = 0 8GB s = 0 ?@>; `a jg8F:@B ]TGv8JBH < ]Tw8GGBH dT:NbXGBH i=V /4 lxJKXa .y8Jc7zH X^R {|7 }:J:wC /5 jg8F:q M ]^_JBH XUu:P dTV `a OB8V A@Q •8q g8FGBH /6 d2 M ]^_JBH ‚@NP ]ocB €M `a . = = 0, 2t €<H• dt 2 `… 8; .SEƒFBH d; x_@^7H 8„7M 8G@Q l 10ms 1 ]QXw †8„:>^R `:BH ]a8FGBH . y = 2sin Exercice 4.19 Une particule soumise à des champs électriques et magnétiques complexes est en mouvement dans un référentiel galiléen. Les équations horaires sont, en :19.4 m=_>; ]TFTh8JY; < ]Tp8qX„b ‹E_cB ]>Œ8t ]GTF• Ž_:JP ]TN^_BH •8TUH=VW8q S8:TJ;eBH S8:Bi8>GBH .`@T@• f•X; `a t t t t b b .S8N•E; S8:q8U b < 0 l = < r = r0 e 8G… coordonnées polaires : r = r0 e et = , 0 et b b l]bXc@B ]QXFBH j8>k IFVM /1 b sont des constantes positives. 1/ Calculer le vecteur vitesse de la particule, †]K<HeBH Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( v , u ) ]K<HeBH SM d‘Tq /2 2/ Montrer que l’angle ( v , u ) est constant. Que l]bXc@B jg8F:BH j8>k IFVM /3 vaut cet angle ? Ln… €<8FP ?b .]:q8U ( a , uN ) ]K<HeBH SM d‘Tq /4 3/ Calculer le vecteur accélération de la particule, l(2‹H’FB8q dT>:F7)†]K<HeBH 4/ Montrer que l’angle ( a , u N ) est constant. Que .g8FGBH y8Jc7H X^R {|7 IFVM /5 vaut cet angle ? (On se servira de la question2), 5/ Calculer le rayon de courbure de la trajectoire. uT u M u uN O Exercice 4.20 Un bras OA tournant avec une vitesse A.FIZAZI x autour Univ-BECHAR '% " ) ' :20.4 OA LMD1/SM_ST 83 Mouvement dans le plan d’un axe O , est articulé en A avec une tige AB . La tige AB est solidaire d’un curseur B pouvant coulisser le long de l’axe Ox . le bras et la tige peuvent se croiser lorsque la tige passe par derrière . AB 5 =. 1 A ) :< ' - !O ' . .8" ' B ) :< AB 5 = OA ' = # . Ox 3 ) 8" > :< 9 ? .8" AB l’articulation en O . Sachant que AB = L : OA = R AB = L # . O et OA = R : A ) B # " /1 1/ trouver l’équation horaire du mouvement de B , ! t = 0 " ) A0 sachant que B passe en A0 au temps t = 0 , ,) 6 $ 4 /2 2/ à quel instants la vitesse s’annule-t-elle ? Y A L R t O Exercice 4.21 Dans le plan ( XOY ) d’un repère X ( O, i , j , k ) , un P se déplace sur un cercle de rayon R et de centre I ( R, 0, 0 ) . point A l’instant t = 0 , B A0 ( ! O, i , j , k . I ( R, 0, 0 ) /"# possède la vitesse positive v0 ( 0, v0 , 0 ) . On désigne par et les coordonnées polaires de P . 1/ Former l’équation polaire du cercle, en déduire son équation cartésienne. repère ; ( ur , u ) ( O, u , u , k ) . r 3/ Soit s l’abscisse curviligne de P (l’origine est en A). • Donner l’expression de s en fonction de . • Représenter sur la figure la base intrinsèque (u T, u N ) de P . • Calculer en fonction de et de ses dérivées successives par rapport au temps les composantes de v0 et a dans cette base. • Calculer les composantes polaires de . P B (u " ' ' ' uT et de u N . 4/ On désigne par la vitesse angulaire de P , dont on suppose dans tout ce qui suit qu’elle est constante. A.FIZAZI T, uN ) ' Univ-BECHAR ) 5 # & 3 " # /1 . # @) #- 3 ) C% /2 0 8' 5 v ) ) - $ % ( . O, u r , u , k . uN '# - F/ . ) )6 :< # /3 ! 8 ' s @ ') ) • @) #- 3 ) C% • 0 .6 / uT ' !P B Retrouver dans ces conditions les composantes polaires de v0 et a . lt = 0 ' ) PB s :( A . 9: @ A 3 ) P P . P B ( ur , u ) ' " ' ' de P . Calculer en fonction de et de ses dérivées P B a 2 successives par rapport au temps les composantes polaires des vecteurs vitesse v et a de P dans le 2/ Représenter sur la figure la base polaire ( XOY ) 6 . v0 ( 0, v0 , 0 ) ' B' P B ' $ % !@ A ' . 0 ) R / A ( 2 R, 0, 0 ) P se trouve en A ( 2 R, 0, 0 ) et :21.4 8' 5 • a v0 $ % '# 5 • • . a v0 B " ]QXF@B B' " /4 . ' % 1' # / ' 6% ') ! t 8 ' ) • a v ') ; • LMD1/SM_ST 84 Mouvement dans le plan • Donner en fonction de t , les expressions de puis de . • En déduire les expressions de v et a en fonction de t de .$ @ ). v0 et a dans les bases polaire et de Frenet. A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST