Électromagnétisme - TD n˚8 Équations de Maxwell dans le vide

PSI - Lycée Bellevue
Physique
Électromagnétisme - TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Électromagnétisme - TD n˚8
Équations de Maxwell dans le vide
Exercice I : Courant de déplacement et courant de conduction
On considère un milieu de conductivité γpour lequel le courant de conduction −→ jest lié à −→ Epar
−→
j=γ−→ E. On suppose que γa la même valeur en régime alternatif qu’en régime permanent et le milieu
considéré a les mêmes constantes ǫ0et µ0que le vide.
Pour un champ électrique −→ Ealternatif de pulsation ω, calculer le rapport αdes amplitudes du courant
de conduction et du courant de déplacement ǫ0∂−→ E /∂t. Pour ω= 2π.106rad.s−1, chiffrer ce rapport dans
les différents cas suivants :
1. Pour le cuivre (γ= 6.107S.m−1).
2. Pour un sol argileux (γ≃10−4S.m−1).
3. Pour du verre (γ≃10−6S.m−1).
On donne ε0=1
36π.109F.m−1.
Exercice II : Claquage d’un condensateur sphérique
Deux sphères métalliques minces S1et S2de centre commun Oet de rayons r1et r2> r1sont séparées
par un gaz initialement isolant dont les propriétés électriques peuvent être confondues avec celles du vide.
S2est initialement non chargée et S1porte la charge Q. On suppose que, à l’instant t= 0, le gaz
devient instantanément un conducteur ohmique de conductivité σ(une telle opération est envisageable en
ionisant le gaz par un "flash" de photons de haute énergie).
1. Décrire qualitativement le phénomène qui se produit ainsi que l’état final du système.
2. En analysant les symétries du problème, montrer que le champ magnétique −→ B(M, t)ne peut être
qu’identiquement nul.
3. Montrer de même que le champ électrique est de la forme
−→
E(M, t) = E(r, t)~ur
où ~urest un vecteur unitaire radial.
4. Examiner toutes les équations de Maxwell et montrer que l’une d’elles fournit une équation diffé-
rentielle vérifiée par la fonction E(r, t)dans tout l’espace entre les sphères. Mettre en évidence un
temps de relaxation τet reconnaître sa signification physique.
5. En intégrant cette équation différentielle, déterminer E(r, t)pour r1< r < r2.
6. Montrer que la densité volumique de charge ρ(r, t)entre les sphères reste nulle tout au long de l’évo-
lution.
Que peut-on déduire de la comparaison de ce résultat avec le caractère non-nul de densité de cou-
rant −→ (M, t)?
7. Déterminer également E(r, t)dans les régions r < r1et r > r2.
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8. Donner l’expression de la puissance volumique p(r, t) = dP/dτdissipée par effet Joule dans l’espace
entre les sphères. En intégrant cette expression, calculer l’énergie WJdissipée au cours de l’évolution
du système.
9. Calculer les énergies W0et W1contenues dans l’ensemble du champ électromagnétique, respective-
ment dans l’état initial du système et dans son état final. Conclure en proposant un bilan énergétique.
Exercice III : Équations de propagation des potentiels
1. Rappeler les expressions des champs électrique et magnétique en fonction des potentiels scalaire V
et vecteur −→ A.
2. En utilisant les équations de Maxwell et la question précédente, en déduire les équations liant les
potentiels aux sources du champ électromagnétique ?
3. Que deviennent ces équations dans le vide, avec le choix de jauge de Lorentz
div−→ A+1
c2
∂V
∂t = 0 ?
Exercice IV : Vecteur de Poynting nul ou transfert d’énergie nul ?
⋆
Une charge ponctuelle constante qet un dipôle magnétique de moment dipolaire −→ M, indépendant du
temps, sont immobiles comme indiqué sur le schéma.
1. Le vecteur de Poynting est-il nul en un point quelconque de l’espace extérieur aux sources ?
2. Cette situation correspond-elle à un transfert d’énergie d’une zone de l’espace vers une autre ? Ces
deux résultats sont-ils incompatibles ?
Donnée : div−→
a∧−→ b=−→ b·−→ rot(−→ a)−−→ a·−→ rot(−→ b).
Exercice V : Champ électrique induit par un solénoïde
Un solénoïde très long comporte nspires jointives bobinées par unité de longueur sur un cylindre de
rayon aet d’axe (O, ~uz).
1. Déterminer le champ électrique induit par un courant i(t)variable circulant dans le solénoïde. Exa-
miner la limite des régimes sinusoïdaux de basse et haute fréquences.
2. Déterminer le vecteur de Poynting ainsi que la puissance rayonnée à travers une longueur Ldu
solénoïde.
3. Déterminer l’énergie électromagnétique stockée dans une longueur Lde solénoïde. Que vaut le rap-
port de l’énergie électrique Eel sur l’énergie magnétique Emdans l’approximation des régimes quasi-
stationnaires.
4. En déduire la puissance fournie par le champ aux porteur de charges.
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Exercice VI : Bilan énergétique de la charge d’un condensateur
⋆
On considère un condensateur plan intégré dans un circuit en régime variable, c’est-à-dire ayant une
charge fonction du temps. On se propose d’évaluer l’énergie électromagnétique totale stockée dans ce
condensateur dans un premier temps par intégration sur le volume entre armatures et dans un second
temps à l’aide du théorème de Poynting. Le condensateur est constitué de deux disques métalliques, d’axe
(O, ~uz)et de rayon a= 5 cm, distants de e= 100 µm . On négligera tout effet de bord.
1. Quelles sont les expressions des champs électrique et magnétique
à l’intérieur du condensateur ? On exprimera le résultat en fonc-
tion de Qet de I=˙ Q.
2. On suppose que le condensateur est soumis à une tension sinusoï-
dale de sorte que Q(t) = Q0cos(ωt). Déterminer les expressions
de −→ Eet −→ B.
3. Calculer l’énergie électrique moyenne hEeistockée dans l’espace
vide entre les armatures.
4. Calculer de même l’énergie magnétique moyenne hEmi.
5. Comparer ces deux énergies et commenter le comportement éner-
gétique du condensateur dans l’ARQS.
6. Déterminer le vecteur de Poynting −→ Πainsi que la puissance P
rayonnée à travers la surface comprise entre les armatures.
7. À l’aide de l’équation de Poynting, retrouver l’expression de l’éner-
gie électromagnétique stockée entre les armatures. Commentaire.
Exercice VII : Impulsion du champ électromagnétique
Le champ électrique d’une onde plane sinusoïdale qui se propage dans le vide dans la direction d’axe
(O, ~uz)a la forme suivante −→
E(−→ r , t) = E0cos (ωt −kz)~ux.
1. Exprimer le champ magnétique −→ Boscillant associé, dans cette onde, au champ électrique précédent.
2. Montrer que la compatibilité du champ de l’onde avec les équations de Maxwell dans le vide impose
une relation entre ket ω(on prendra k > 0pour une propagation dans le sens des zcroissants).
3. Quelle est la valeur moyenne temporelle de la densité d’énergie de cette onde ?
4. La grandeur −→ g=ǫ0
−→
E∧−→ Best appelée impulsion volumique du champ (ou quantité de mouvement
par unité de volume). L’unité de cette grandeur est-elle en accord avec cette définition ?
5. Dans un modèle corpusculaire, on associe à cette onde un faisceau de photons se déplaçant à la
vitesse cde l’onde.
Quelle densité particulaire nde photons peut-elle être associée à cette onde ?
On rappelle qu’un photon est une particule relativiste de masse nulle, d’énergie E=hν (où ν=ω/2πdésigne la fréquence de l’onde) et
d’impulsion, ou quantité de mouvement, p=E/c =hν/c.
6. En déduire l’expression de l’impulsion volumique associée à l’onde et vérifier qu’elle s’identifie bien
à la moyenne temporelle de la grandeur −→ gdéfinie à la question 3. .
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