5e matrices

Ph. Grégoire
Matrices et déterminants
5eLM-MS
2014-2015
Table des matières
1 Calcul matriciel 3
1.1 Matrices .................................................. 3
1.1.1 Définitionsetvocabulaire.................................... 3
1.1.2 Transposéed’unematrice .................................... 7
1.2 Le groupe abélien (Mm,n(R),+) .................................... 8
1.2.1 Addition dans Mm,n(R)..................................... 8
1.2.2 Propriétésdel’addition ..................................... 9
1.3 Multiplication d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 La loi ·:R×Mm,n(R)7→ Mm,n(R).............................. 11
1.3.2 Propriétés de la multiplication d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 La multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1 Multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Multiplication d’une matrice m×npar une matrice n×p................. 15
1.4.3 Propriétés de la multiplication matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4 Multiplication des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Les déterminants 22
2.1 Déterminant d’une matrice carrée 1 ×1 ................................ 22
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n×n................................ 22
2.2.1 Mineursetcofacteurs ...................................... 22
2.2.2 Définitiondudéterminant.................................... 23
2.2.3 Déterminant d’une matrice 2 ×2................................ 24
2.2.4 Déterminant d’une matrice 3 ×3 et règle de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.5 Quelques remarques sur le calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Propriétésdesdéterminants....................................... 29
3 Exercices Ex1
3.1 Calculmatriciel ..............................................Ex1
3.1.1 Matrices ..............................................Ex1
3.1.2 Additionmatricielle .......................................Ex2
3.1.3 Multiplication d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex4
3.1.4 Produitmatriciel .........................................Ex6
3.1.5 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex9

Ph. Grégoire
2 TABLE DES MATIÈRES

Ph. Grégoire
1. Calcul matriciel 3
1 Calcul matriciel
1.1 Matrices
1.1.1 Définitions et vocabulaire
Définition 1. On appelle matrice (réelle)
A= (aij)i=1, . . . , m,j=1, . . . n
un tableau rectangulaire de m ×n nombres (réels) constitué de m lignes et de n colonnes. L’élément aij se
trouve à l’intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne :
A=
a11 a12 ··· a1j··· a1n
a21 a22 ··· a2j··· a2n
.
.
..
.
..
.
..
.
.
ai1ai2··· aij ··· ain
.
.
..
.
..
.
..
.
.
am1am2··· amj ··· amn
.
En abrégé, lorsque l’on a affaire à une matrice de mlignes et de ncolonnes, on parle de matrice
m×n(lire : mfois n) ou plus simplement (et abusivement) d’une matrice m, n (lire : m n). On
appelle parfois les éléments aij d’une matrice Ales termes de cette matrice.
◮EXEMPLE 1. Soit la matrice 2 ×3 donnée par
A=Ç2 5 −1
√2 0 πå.
Les termes a11,a13 et a23 sont respectivement a11 =2, a13 =−1 et a23 =π.◭
Définition 2. Une matrice de la forme
L=Äx11 x12 ··· x1nä
est appelée matrice-ligne.
Ainsi, une matrice-ligne est une matrice 1 ×n. Les lignes d’une matrice m×nsont souvent
notées L1,L2, . . . , Lmet peuvent être considérée comme des matrices-lignes.
◮EXEMPLE 2. La matrice Ade l’exemple 1 est constituée des 2 lignes
L1=Ä2 5 −1ä
L2=Ä√2 0 πä.
On peut la noter
A=ÇL1
L2å.

Ph. Grégoire
4 1.1 Matrices
Remarquons que, dans l’écriture matricielle, seules les parenthèses les plus extérieures sont conservées ; de
fait, elles ne jouent qu’un rôle secondaire en permettant simplement une meilleure lisibilité . ◭
Définition 3. Une matrice de la forme
C=àc11
c21
.
.
.
cm1í
est appelée matrice-colonne.
Une matrice-colonne est donc une matrice m×1. Les colonnes d’une matrice m×nsont sou-
vent notées C1,C2, . . . , vCnet peuvent être considérée elles-mêmes comme des matrices-colonnes.
◮EXEMPLE 3. La matrice Ade l’exemple 1 est constituée des 3 colonnes
C1=Ç2
√2åC2=Ç5
0åC3=Ç−1
πå.
On peut noter la matrice Ade la manière suivante :
A=ÄC1C2C3ä.◭
Une rangée d’une matrice est soit une ligne, soit une colonne.
Définition 4. L’ensemble de toutes les matrices m ×n est noté Rm×nou Mm,n(R).
◮EXEMPLE 4. Soit la matrice A∈M2,3(R)définie par
A=Ö1−21
2sin 37◦
2 2 2 22, 1
√31
3−7 0 è
Sa deuxième colonne est la matrice-colonne
C2=Ö−2
2
1
3è
et sa deuxième ligne est la matrice-ligne
L2=Ä2 2 2 22, 1ä.
On a a33 =−7, a13 =1
2, . . . ◭
◮EXEMPLE 5. Il est évident que R1×1=R. Ainsi, l’ensemble des réels peut être vu comme l’ensemble des
matrices réelles 1 ×1. ◭

Ph. Grégoire
1.1 Matrices 5
Définition 5. Une matrice dont tous les termes sont nuls est appelée matrice nulle ; on la note O.
Définition 6. Une matrice n ×n est appelée matrice carrée d’ordre n.
◮EXEMPLE 6. L’espace M3,3(R)est celui des matrices carrées d’ordre 3. La matrice nulle de cet ensemble
est la matrice
O=Ö0 0 0
0 0 0
0 0 0è.
La matrice Tdéfinie par
T=Ö1 3 −2
0 2 −5
0 0 πè
est une matrice carrée d’ordre 3 et donc un élément de M3,3(R).◭
◮EXEMPLE 7. Un réel est une matrice carrée d’ordre 1. ◭
Définition 7. Soit A= (aij)une matrice carrée d’ordre n. On appelle diagonale de Ale n-uple de réels
défini par
(a11,a22, . . . , ann).
Dans la matrice carrée ci-dessous, les éléments diagonaux ont été surlignés.
A=
a11 a12 ··· a1i··· a1n
a21 a22 ··· a2i··· a2n
.
.
..
.
.....
.
..
.
.
ai1ai2··· aii ··· ain
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
an1an2··· ani ··· ann
Les termes de la diagonale d’une matrice carrée d’ordre nsont donc les termes de cette matrice
dont les indices de colonne et de ligne coïncident : il s’agit des termes de la forme aii avec 1 6i6
n.
Définition 8. On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les termes sauf éventuellement
ceux de sa diagonale sont nuls. On appelle matrice triangulaire une matrice carrée dont les éléments
au-dessus ou en-dessous de la diagonale sont tous nuls.