5e matrices

Matrices et déterminants
5e LM-MS
2014-2015
ire
Table des matières
1 Calcul matriciel
1.2
1.3
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Définitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.2
Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Le groupe abélien ( Mm,n (R ), +) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
Addition dans Mm,n (R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2
Propriétés de l’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Multiplication d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1
1.3.2
1.4
G
ré
go
1.1
La loi · : R × Mm,n (R ) 7→ Mm,n (R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Propriétés de la multiplication d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
La multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Multiplication d’une matrice ligne par une matrice colonne . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ph
.
1.4.1
1.4.2
Multiplication d’une matrice m × n par une matrice n × p . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.3
Propriétés de la multiplication matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.4
Multiplication des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Les déterminants
2.1
2.2
Déterminant d’une matrice carrée n × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1
Mineurs et cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2
Définition du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3
Déterminant d’une matrice 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5
Déterminant d’une matrice 3 × 3 et règle de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Quelques remarques sur le calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Propriétés des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Exercices
3.1
22
Déterminant d’une matrice carrée 1 × 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4
2.3
3
Ex1
Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex1
3.1.1
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex1
3.1.2
Addition matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex2
3.1.3
Multiplication d’une matrice par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex4
3.1.4
Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex6
3.1.5
Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ex9
TABLE DES MATIÈRES
Ph
.
G
ré
go
ire
2
1. Calcul matriciel
1
3
Calcul matriciel
1.1 Matrices
1.1.1 Définitions et vocabulaire
Définition 1. On appelle matrice (réelle)
A = ( aij )
i = 1, . . . , m,
j = 1, . . . n
un tableau rectangulaire de m × n nombres (réels) constitué de m lignes et de n colonnes. L’élément aij se

···
···
a12
a22
..
.
ai2
..
.
am2

a1n
a2n 

.. 

. 
.
ain 

.. 

. 
···
···
a1j
a2j
..
.
aij
..
.
amj
G
ré
go
a11
a
 21
 .
 .
 .
A=
a
 i1
 .
 .
 .
am1
ire
trouve à l’intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne :
···
···
···
· · · amn
En abrégé, lorsque l’on a affaire à une matrice de m lignes et de n colonnes, on parle de matrice
Ph
.
m × n (lire : m fois n) ou plus simplement (et abusivement) d’une matrice m, n (lire : m n). On
appelle parfois les éléments aij d’une matrice A les termes de cette matrice.
◮ E XEMPLE 1. Soit la matrice 2 × 3 donnée par
Ç
A=
2
√
2
5
0
å
−1
π
.
Les termes a11 , a13 et a23 sont respectivement a11 = 2, a13 = −1 et a23 = π.
◭
Définition 2. Une matrice de la forme
Ä
L = x11
x12
· · · x1n
ä
est appelée matrice-ligne.
Ainsi, une matrice-ligne est une matrice 1 × n. Les lignes d’une matrice m × n sont souvent
notées L1 , L2 , . . . , Lm et peuvent être considérée comme des matrices-lignes.
◮ E XEMPLE 2. La matrice A de l’exemple 1 est constituée des 2 lignes
Ä
ä
L1 = 2 5 −1
Ä√
ä
L2 =
2 0 π .
On peut la noter
Ç å
A=
L1
L2
.
4
1.1 Matrices
Remarquons que, dans l’écriture matricielle, seules les parenthèses les plus extérieures sont conservées ; de
fait, elles ne jouent qu’un rôle secondaire en permettant simplement une meilleure lisibilité .
◭
Définition 3. Une matrice de la forme
à
C=
í
c11
c21
..
.
cm1
ire
est appelée matrice-colonne.
Une matrice-colonne est donc une matrice m × 1. Les colonnes d’une matrice m × n sont souvent notées C1 , C2 , . . . , vCn et peuvent être considérée elles-mêmes comme des matrices-colonnes.
G
ré
go
◮ E XEMPLE 3. La matrice A de l’exemple 1 est constituée des 3 colonnes
Ç
C1 =
2
√
2
Ç å
å
C2 =
Ç
5
C3 =
0
å
−1
π
.
On peut noter la matrice A de la manière suivante :
Ä
A = C1
ä
C3 .
C2
◭
Ph
.
Une rangée d’une matrice est soit une ligne, soit une colonne.
Définition 4. L’ensemble de toutes les matrices m × n est noté R m×n ou Mm,n (R ).
◮ E XEMPLE 4. Soit la matrice A ∈ M2,3 (R ) définie par
Ö
A=
1
2
√
3
−2
2
1
3
1
2
sin 37◦
2
−7
22, 1
è
0
Sa deuxième colonne est la matrice-colonne
Ö
C2 =
è
−2
2
1
3
et sa deuxième ligne est la matrice-ligne
Ä
L2 = 2
On a a33 = −7, a13 = 21 , . . .
2
2
ä
22, 1 .
◭
◮ E XEMPLE 5. Il est évident que R 1×1 = R. Ainsi, l’ensemble des réels peut être vu comme l’ensemble des
matrices réelles 1 × 1. ◭
1.1 Matrices
5
Définition 5. Une matrice dont tous les termes sont nuls est appelée matrice nulle ; on la note O.
Définition 6. Une matrice n × n est appelée matrice carrée d’ordre n.
La matrice T définie par
Ö
3
è
−2
−5
π
G
ré
go
1
ire
◮ E XEMPLE 6. L’espace M3,3 (R ) est celui des matrices carrées d’ordre 3. La matrice nulle de cet ensemble
est la matrice
è
Ö
0 0 0
O=
0 0 0 .
0 0 0
T=
0
2
0
0
est une matrice carrée d’ordre 3 et donc un élément de M3,3 (R ).
◮ E XEMPLE 7. Un réel est une matrice carrée d’ordre 1.
◭
◭
défini par
Ph
.
Définition 7. Soit A = ( aij ) une matrice carrée d’ordre n. On appelle diagonale de A le n-uple de réels
( a11 , a22 , . . . , ann ).
Dans la matrice carrée ci-dessous, les éléments diagonaux ont été surlignés.







A=





a11
a12
a21
..
.
a22
..
.
ai1
..
.
an1
ai2
..
.
an2
···
···
..
.
a1i
···
aii
..
.
ani
···
a2i
..
.
···
···
···
..
.
···
a1n








ain 

.. 
. 

ann
a2n
..
.
Les termes de la diagonale d’une matrice carrée d’ordre n sont donc les termes de cette matrice
dont les indices de colonne et de ligne coïncident : il s’agit des termes de la forme aii avec 1 6 i 6
n.
Définition 8. On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les termes sauf éventuellement
ceux de sa diagonale sont nuls. On appelle matrice triangulaire une matrice carrée dont les éléments
au-dessus ou en-dessous de la diagonale sont tous nuls.
6
1.1 Matrices
◮ E XEMPLE 8. Soit la matrice 3 × 3 définie par
Ö
A=
è
1
0
0
−1
2
1
0
−1
0
.
Cette matrice admet comme diagonale le triplet (1, 1, −1) et est triangulaire car tous les éléments au-dessus
de sa diagonale sont nuls.
◭
Définition 9. La matrice unité d’ordre n est la matrice carrée d’ordre n dont tous les éléments de la
diagonale sont égaux à 1 et tous les autres termes sont nuls :


··· 0 0


0 1 · · · 0 0 


. .
. .
I =  .. .. . . . .. .. 




0 0 · · · 1 0 
0 0 ··· 0 1
G
ré
go
ire
1 0
Le symbole de Kronecker δij , i, j = 1, . . . , n est défini par les relations
i=j
i 6= j,
Ph
.
de sorte que 1 = (δij ).

 1 si
δij =
 0 si
On voit que le symbole de Kronecker δij représente les termes de la matrice unité. Notons que
la matrice unité est un cas particulier de matrice triangulaire.
Définition 10. Les termes correspondants de deux matrices de même genre sont les termes ayant le
même indice de ligne et le même indice de colonne.
◮ E XEMPLE 9. Soient les deux matrices
Ö
1
0
−3
−1
4
− 71
è
Ö
et
5
3
π
è
−2
−4
√
3
.
Les termes correspondants de ces deux matrices sont respectivement 1 et 5, -1 et -2, 0 et 3, 4 et -4, -3 et π, et
√
finalement − 71 et 3. ◭
Définition 11. Soient A et B ∈ Mm,n (R ). On dit que A et B sont égales si et seulement si leurs termes
correspondants sont égaux et qu’elles sont opposées si et seulement leurs termes correspondants sont
opposés.
1.1 Matrices
7
R EMARQUE 1. Pour que deux matrices soient égales ou opposées, il est nécessaire qu’elle soient de même
genre. Lorsque deux matrices A et B sont égales, on note A = B et lorsqu’elles sont opposées, on note
A = − B.
◮ E XEMPLE 10. Soient les deux matrices
Ç
a
b
c
d
å
Ç
et
x
y
z
t
å
.
Ces deux matrices seront égales si et seulement si
a = x, b = y, c = z et d = t,
et opposées si et seulement si
◭
ire
a = − x, b = − y, c = − z et d = − t.
G
ré
go
1.1.2 Transposée d’une matrice
Définition 12. Soit A = ( aij ) une matrice m × n. Sa transposée, notée t A, est la matrice n × m obtenue
en prenant pour lignes les colonnes correspondantes de la matrice A
Si on a
A = ( aij ),
1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n.
Ph
.
et si l’on note
t
A = (t a ji ),
1 6 j 6 n, 1 6 i 6 m,
on peut alors écrire la relation
t
a ji = aij ,
1 6 j 6 n, 1 6 i 6 m.
◮ E XEMPLE 11. Se donnant la matrice 3 × 4
Ö
A=
−1
6
−2
è
3
4
1
2
−3
−6
5
8
,
7
on obtient sa transposée, qui est une matrice 4 × 3,
á
t
A=
−1
3
4
1
ë
6
2
−3
5
−2
8
−6
7
◭
R EMARQUE 2. La transposée d’une matrice-ligne 1 × n est une matrice-colonne n × 1 et la transposée de
la matrice-colonne m × 1 est une matrice-ligne 1 × m.
◮ E XEMPLE 12. On a
Ö
t
Ä
1
0
ä
−2 =
1
è
0
−2
◭
8
1.2 Le groupe abélien ( Mm,n (R ), +)
Proposition 1. L’opération de transposition t : Mm,n (R ) 7→ Mn,m (R ) : A 7→ t A est une involution.
Pour démontrer qu’une opération est une involution, il faut démontrer qu’elle est bijective et
que ∀ A ∈ Mm,n (R ), on a tt A = A.
Démonstration. La caractère bijectif de la transposition est évident : pour toute matrice m × n, il
existe une unique matrice n × m qui est sa transposée.
Pour démontrer que la transposée de la transposée d’une matrice est égale à cette matrice, il
suffit de remarquer que pour 1 6 i 6 m et 1 6 j 6 n, on a
ire
aij = t a ji = aij .
G
ré
go
tt
Définition 13. Soit A ∈ Mn,n (R ). On dit que A est symétrique si t A = A et qu’elle est antisymétrique
si t A = −A.
1.2 Le groupe abélien ( Mm,n (R ), +)
Ph
.
1.2.1 Addition dans Mm,n (R )
Définition 14. La somme de deux matrice m × n est la matrice m × n dont les termes sont les sommes
des termes correspondants des deux matrices : pour A et B ∈ Mm,n (R ), on a
A + B = ( aij + bij ),
i = 1, . . . m, j = 1, . . . , n.
Avant de donner quelques exemples, insistons sur la fait que l’addition de matrices n’est définie
que pour des matrices de même genre.
◮ E XEMPLE 13.
Ö
è
1
4
−2
6
3
−5
Ö
+
−1
4
−5
è
Ö
3
2
=
1
1−1
4+3
−2 + 4
6−5
3+2
−5 + 1
è
Ö
=
è
0
7
2
5
−4
1
.
◭
Comme dans le cas des nombres réels, la soustraction de deux matrices est définie en faisant
usage de l’addition de deux matrices et de l’opposée d’une matrice
◮ E XEMPLE 14.
Ö
1
4
−2
6
3
è
−5
Ö
−
−1
4
−5
è
Ö
3
2
1
=
1
4
−2
6
3
è
−5
Ö
+
1
−4
5
è
−3
−2
−1
Ö
=
2
1
−6
11
1
è
−6
.
◭
1.2 Le groupe abélien ( Mm,n (R ), +)
9
1.2.2 Propriétés de l’addition
Propriété 1. L’addition dans Mm,n (R ) est une opération interne et partout définie ; on note cela
+ : Mm,n (R ) × Mm,n (R ) 7→ Mm,n (R ) : (A, B) 7→ A + B.
On dit aussi que + est une loi de composition interne.
ire
Propriété 2. L’addition dans Mm,n (R ) est associative :
G
ré
go
∀ A, B et C ∈ Mm,n (R ) : (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C.
Démonstration. Cette propriété est une simple conséquence de l’associativité de l’addition dans
R. Posons
A = ( aij ),
Alors, on a
B = (bij )
et
C = (cij ).
Ä
ä
(A + B) + C = ( aij ) + (bij ) + (cij )
[définition de l’addition matricielle]
= ( aij + bij ) + cij )
[définition de l’addition matricielle]
= ( aij + (bij + cij ))
[associativité de l’addition dans R]
= ( aij ) + (bij + cij )
Ä
ä
= ( aij ) + (bij ) + (cij )
[définition de l’addition matricielle]
Ph
.
= ( aij + bij ) + (cij )
[définition de l’addition matricielle]
= A + (B + C) .
◮ E XEMPLE 15. Soient les matrices
Ö
A=
è
1
1
0
2
3
1
1
0
1
Ö
è
1
0
1
0
−1
1
0
0
−1
0
1
0
1
2
1
0
1
0
,
Ö
et
è
0
1
0
1
2
1
0
1
0
.
Calculons d’une part (A + B) + C : on a
Ö


è
1
1
0
2
3
1
1
0
1
Ö
+
0
1
0
1
0
−1
0
−1
Calculon d’autre part A + (B + C) :
Ö
è
1
1
0
2
3
1
1
0
1
Ö
+

Ö
è
1

+
è
1
0
1
0
1
0
−1
0
−1
Ö
+
Les deux expressions coïncident bien.
è
0
1
0
1
2
1
0
1
0
◭
Ö
=
è

=
Ö
2
1
1
2
4
1
0
0
0
1
1
0
2
3
1
1
0
1
è
Ö
+
è
1
1
2
1
0
1
0
Ö
+
è
0
Ö
=
2
1
3
6
2
0
1
0
è
1
1
1
1
3
1
−1
1
−1
è
2
Ö
=
.
è
2
2
1
3
6
2
0
1
0
.
10
1.2 Le groupe abélien ( Mm,n (R ), +)
Propriété 3. L’addition dans Mm,n (R ) admet la matrice nulle O comme neutre :
∀ A ∈ Mm,n (R ) : A + O = A = O + A.
Démonstration. Soit une matrice A = ( aij ) ∈ Mm,n (R ). Montrons que la matrice nulle est neutre à
droite : on a
A + O = ( aij ) + (oij ) = ( aij + oij ).
Mais oij = 0, pour 1 6 i 6 m et 1 6 j 6 n et par ailleurs 0 est neutre pour l’addition dans R. On
peut donc écrire que aij + oij = aij + 0 = aij . On en déduit que
ire
A + O = ( aij ) = A.
G
ré
go
On démontre exactement de la même manière que O est neutre à gauche.
Propriété 4. L’addition dans Mm,n (R ) est symétrisable :
∀ A ∈ Mm,n (R ) : A + (−A) = O = (−A) + A.
R EMARQUE 3. On prouve très facilement qu’un élément x ne peut pas admettre plus d’un symétrique
pour une opération associative ⋆. En effet, supposons que x ′ et x ′′ soient tous les deux des symétriques de x
Ph
.
et que e soit le neutre pour l’opération ⋆. Alors, on peut écrire
x ′ = x ′ ⋆ e = x ′ ⋆ ( x ⋆ x ′′ ) = ( x ′ ⋆ x ) ⋆ x ′′ = e ⋆ x ′′ = x ′′ .
Démonstration de la propriété 4. Si A = ( aij ) ∈ Mm,n (R ), alors
A + (−A) = ( aij ) + (− aij ) = ( aij + (− aij )).
Or, aij + (− aij ) = aij − aij = 0 pour 1 6 i 6 m et 1 6 j 6 n. En en déduit bien que A + (−A) = O,
ce qui démontre bien que −A est le symétrique de A à droite. On démontre de la même manière
que −A est le symétrique à gauche de A.
Propriété 5. L’addition dans Mm,n (R ) est commutative :
∀ A, B ∈ Mm,n (R ) : A + B = B + A.
Démonstration. Si A = ( aij ) et B = (bij ), alors
A + B = ( aij ) + (bij )
= ( aij + bij )
[définition de l’addition matricielle]
= (bij + aij )
[commutativité de l’addition dans R ]
= (bij ) + ( aij )
[définition de l’addition matricielle]
= B + A,
ce qui prouve le caractère commutatif de l’addition matricielle.
1.3 Multiplication d’une matrice par un réel
11
On peut résumer les propriétés ci-dessus sous forme d’une unique proposition.
Proposition 2. Le couple ( Mm,n (R ), +) est un groupe commutatif ou groupe abélien.
Pour rappel, un groupe abélien est un couple constitué d’un ensemble et d’une loi de composition
interne associative, admettant un neutre, symétrisable et commutative.
Proposition 3. Soient A, B ∈ Mm,n (R ). Alors
(A + B) = t A + t B.
ire
t
1 6 i 6 m et 1 6 j 6 m,
G
ré
go
Démonstration. Posons A = ( aij ) et B = (bij ) avec 1 6 i 6 m et 1 6 j 6 m. On sait que, pour
1) t A = (t a ji ) et t B = (t b ji ) où t a ji = aij et t b ji = bij ;
2) A + B = (cij ) où cij = aij + bij .
Dès lors, on a, d’une part,
(1a)
t
(A + B) = (t c ji ),
t
où
c ji = cij = aij + bij = t a ji + t b ji
avec
1 6 i 6 m, 1 6 j 6 m
(1b)
t
Ph
.
et, d’autre part,
A + t B = (c′ji ),
c′ji = t a ji + t b ji = aij + bij = t c ji
où
avec
1 6 j 6 m, 1 6 i 6 m.
En comparant les expressions (1a) et (1b), on obtient bien que la transposée d’une somme est égale
à la somme des transposées.
1.3 Multiplication d’une matrice par un réel
1.3.1 La loi · : R × Mm,n (R ) 7→ Mm,n (R )
Définition 15. Soient λ ∈ R et A = ( aij ) ∈ Mm,n (R ). On définit le produit de A par λ de la manière
suivante :
λ · A = (λaij ).
◮ E XEMPLE 16. Soit la matrice
Ç
A=
1
2
0
0
−3
On a
Ç
−2 · A = −2 ·
å
1
1
2
0
0
−3
Ç
=
−2 · 1
−2 · 0
å
1
−2 · 1
−2 · 0
.
å
−2 · 2
−2 · (−3)
Ç
=
−2
0
−2
0
å
−4
6
.
◭
12
1.3 Multiplication d’une matrice par un réel
1.3.2 Propriétés de la multiplication d’une matrice par un réel
Propriété 6. La loi de multiplication d’une matrice par un réel est distributive sur l’addition des réels
(on dit aussi qu’elle est distributive à gauche) :
∀ λ, µ ∈ R, ∀ A ∈ Mm,n (R ) : (λ + µ) · A = λA + µA.
(λ + µ) · A = (λ + µ) · ( aij )
ire
Démonstration. Soient λ et µ ∈ R et A = ( aij ) ∈ Mm,n (R ). Alors, on a
[définition de la multiplication d’une matrice par un réel]
= (λaij + µaij )
[distributivité dans R ]
= (λaij ) + (µaij )
[définition de l’addition matricielle]
= λ · ( aij ) + µ · ( aij )
[définition de la multiplication d’une matrice par un réel]
G
ré
go
= ((λ + µ) aij )
= λ · A + µ · A.
Ph
.
Propriété 7. La loi de multiplication d’une matrice par un réel est distributive par rapport à l’addition
matricielle (on dit aussi qu’elle est distributive à droite) :
∀ λ ∈ R, ∀ A, B ∈ Mm,n (R ) : λ · (A + B) = λ · A + λ · B.
Démonstration. Soient λ ∈ R et A, B ∈ Mm,n (R ). Alors, on a
λ · (A + B) = λ · [( aij ) + (bij )]
= λ · ( aij + bij )
[définition de l’addition matricielle]
= (λ[ aij + bij ])
[définition de la multiplication d’une matrice par un réel]
= (λaij + λbij )
[distributivité dans R ]
= (λaij ) + (λbij )
[définition de l’addition matricielle]
= λ · ( aij ) + λ · (bij )
[définition de la multiplication d’une matrice par un réel]
= λ · A + λ · B.
Propriété 8. La loi de multiplication d’une matrice par un réel vérifie la propriété d’associativité mixte :
∀ λ, µ ∈ R, ∀ A ∈ Mm,n (R ) : (λµ) · A = λ · (µ · A).
1.4 La multiplication des matrices
13
Démonstration. Soient λ et µ ∈ R et A = ( aij ) ∈ Mm,n (R ). Alors, on a
(λµ) · A = [λµ] · ( aij )
= ([λµ] aij )
[définition de la multiplication d’une matrice par un réel]
= (λ[µaij ])
[associativité dans R]
= λ · (µaij )
[définition de la multiplication d’une matrice par un réel]
= λ · [µ · ( aij )]
[définition de la multiplication d’une matrice par un réel]
= λ · ( µ · A ).
R EMARQUE 4. Il est usuel de ne pas utiliser systématiquement le symbole «·» pour marquer le produit
ire
d’une matrice par un réel. On notera ainsi λA au lieu de λ · A. En particulier, la propriété 8 permet d’utiliser
sans équivoque l’écriture λµA au lieu de (λµ ) · A ou λ · (µ · A).
G
ré
go
Mentionnons sans démonstration la proposition suivante.
Propriété 9. La loi de multiplication d’une matrice par un réel vérifie les propriétés suivantes :
(i) ∀ A ∈ Mm,n (R ) : 1 · A = A (on dit que 1 est neutre à gauche) ;
(ii) ∀ A ∈ Mm,n (R ) : 0 · A = O ;
(iii) ∀ λ ∈ R : λ · O = O ;
Ph
.
(iv) ∀ λ ∈ R, ∀ A ∈ Mm,n (R ) : t (λ · A) = λ · t A.
Terminons ce paragraphe par une remarque importante. Les propriétés de la loi de multiplication d’une matrice par un réel font penser aux propriétés de la multiplication scalaire définie sur
les vecteurs dans le plan. Nous verrons un peu plus tard dans le chapitre consacré aux espaces vectoriels que l’on peut effectivement voir les matrices comme des vecteurs et parler de multiplication
scalaire pour désigner la loi de multiplication d’une matrice par un réel.
1.4 La multiplication des matrices
Les propriétés de l’addition matricielle qui font de ( Mm,n (R ), +) un groupe abélien sont directement héritées des propriétés correspondantes de l’addition dans R. Nous pourrions définir une
multiplication entre matrices de même genre en multipliant les termes correspondants entre eux :
une telle multiplication existe et s’appelle le produit de Hadamard mais présente peu d’intérêt
pour nous — mentionnons toutefois que ce produit est utilisé en compression des données.
Nous allons définir une autre multiplication, appelée produit de Cayley, sur les matrices qui
s’avérera être une opération plus complexe ; en particulier, elle n’héritera pas des propriétés de la
multiplication dans R0 .
14
1.4 La multiplication des matrices
1.4.1 Multiplication d’une matrice ligne 1 × n par une matrice colonne n × 1
Définition 16. Soient les matrices ligne et colonne
à
Ä
A = a11
· · · a1n
a12
ä
B=
et
b11
b21
..
.
í
.
bn1
Le produit de la matrice ligne A par la matrice colonne B est le réel A · B défini par
n
X
a1k bk1 .
ire
A · B = a11 b11 + a12 b21 + · · · + a1n bn1 =
G
ré
go
k =1
R EMARQUE 5. Pour définir le produit d’une matrice ligne par une matrice colonne, il est absolument nécessaire que le nombre de colonnes de la matrice ligne soit égal au nombre de lignes de la matrice colonne.
Dans la définition ci-dessus, nous aurions pu écrire que le produit d’une matrice ligne 1 × n par une
matrice colonne n × 1 est une matrice carrée d’ordre 1 plutôt qu’un réel.
◮ E XEMPLE 17. Considérons la matrice ligne
Ä
Ph
.
A= 1
ä
2
3
et la matrice colonne
Ö è
4
B=
5
.
6
Alors
Ö è
4
Ä
A·B = 1
2
ä
3 ·
5
6
= 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 23.
◭
→
→
◮ E XEMPLE 18. Considérons deux vecteurs −
v et −
w du plan, équipé d’un repère orthonormé. Soient (v1 , v2 )
et (w1 , w2 ) les coordonnées de ces deux vecteurs dans le repère donné.
Convenons de représenter les vecteurs par des matrices colonnes :
Ç å
v=
v1
v2
Ç
w=
et
w1
w2
å
.
→
→
Le produit scalaire des vecteurs −
v et −
w est très facile à calculer dans un repère orthonormé, en effet, on a
→
−
→
v ·−
w = v1 w 1 + v2 w 2 .
On voit de suite le produit scalaire peut s’exprimer comme un produit matriciel :
Ç
→
−
→
v ·−
w = t v · w = v1
Ä
ä
v2 ·
w1
w2
å
= v1 w 1 + v2 w 2 .
◭
1.4 La multiplication des matrices
15
1.4.2 Multiplication d’une matrice m × n par une matrice n × p
Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que la multiplication d’une matrice ligne par
une matrice colonne n’avait de sens que si le nombre de colonnes de la matrice ligne et le nombre
de lignes de la matrice colonne étaient égaux.
Pour généraliser la notion de produit matricielle aux cas des matrices rectangulaires, il est
nécessaire d’imposer ce même genre de contrainte.
Pour pouvoir multiplier la matrice A par la matrice B, il faut que le nombre de colonnes de A soit
identique au nombre de lignes de B.
A=
et
à
a12
a22
..
.
am2
b11
b21
..
.
b12
b22
..
.
···
···
bn1
bn2
· · · bnp
Ph
.
B=
···
···
a11
a21
..
.
am1
a1n
a2n
..
.
amn
í
à
L1
L2
..
.
Lm
í
G
ré
go
à
ire
Définition 17. Soient les matrices A ∈ Mm,n (R ) et B ∈ Mn,p (R ) :
···
b1p
b2p
..
.
=
í
Ä
= C1
C2
ä
· · · Cp ,
Le produit de A par B est la matrice A · B ∈ Mm,p (R ) définie par
à
A·B =
L1 · C1
L2 · C1
..
.
C m · C1
L1 · C2
L2 · C2
..
.
L m · C2
···
···
···
L1 · C p
í
L2 · C p
..
.
Lm · C p
On voit que les termes cij de la matrice A · B s’obtiennent en effectuant le produit de la i-ième
ligne de matrice A par la j-ième colonne de la matrice B. De manière plus explicite, on a, pour
1 6 i 6 m et 1 6 j 6 p,
(2)
cij =
n
X
aik bkj ,
k =1
de sorte que la matrice produit peut également s’écrire
(3)
A·B =
n
X
k =1
aik bkj ,
1 6 i 6 m, 1 6 j 6 p
La matrice produit a le même nombre de lignes que la matrice A et le même nombre de colonnes
que la matrice B, ce qui se traduit, dans les expressions (2) et (3), par les contraintes 1 6 i 6 m et
1 6 j 6 p.
16
1.4 La multiplication des matrices
◮ E XEMPLE 19. Soient les matrices
Ö
Ç
A=
å
2
0
1
−1
−2
3
B=
et
è
1
0
3
0
5
−1
1
4
−2
3
0
.
2
Le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B de sorte que le produit A · B est bien défini :
il s’agit d’une matrice ayant le même nombre de lignes que A et le même nombre de colonnes que B, c’est-
Ç
A·B =
2
0
1
−1
−2
3
Ç
=
Ç
=
Ö
å
·
1
0
3
0
5
−1
1
4
2
−2
3
0
2·1+0·5+1·0
2·0−0·1+1·1
−1 · 1 − 2 · 5 + 3 · 0
2
−11
1
−1 · 0 + 2 · 1 + 3 · 1
å
4
−17
5
3
.
5
è
◭
−1 · 3 − 2 · 4 − 3 · 2
G
ré
go
◮ E XEMPLE 20. Soient les matrices
2·3+0·4−1·2
Ö
Ä
A= 1
2
3
ä
2·0+0·2+1·3
å
−1 · 0 − 2 · 2 + 3 · 3
ire
à-dire une matrice 2 × 4. On a
et
B=
è
4
7
5
8
6
9
.
Le nombre de colonnes de la première matrice et le nombre de lignes de la deuxième sont égaux, ce qui
rend possible le calcul du produit de la première matrice par la deuxième. Par ailleurs, la première matrice
admettant une ligne et la deuxième deux colonnes, ce produit est une matrice 1 × 2. On a
Ö
Ä
2
ä
3 ·
7
5
8
6
9
è
Ä
= 1·4+2·5+3·6
Ph
.
A·B = 1
4
ä
Ä
1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 9 = 32
ä
50
◭
1.4.3 Propriétés de la multiplication matricielle
Propriété 10. La multiplication matricielle est associative :
∀ A ∈ Mm,n (R ), ∀ B ∈ Mn,p (R ), ∀ C ∈ M p,q (R ) : (A · B) · C = A · B · C = A · (B · C).
Démonstration[
A]. Posons A = (a ), B = (b
ij
jk )
et C = (ckl ) avec 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n, 1 6 k 6 p,
1 6 l 6 q. On doit démontrer que
( A · B) · C = A · ( B · C)
(4)
On a, d’une part,
( A · B) · C =
=
n
X
j =1
p h n
X
X
k =1
=
aij b jk · C
j =1
p
n
X
X
k =1 j =1
[définition du produit matriciel]
i aij b jk ckl
aij b jk ckl
[définition du produit matriciel]
[distributivité dans R ],
1.4 La multiplication des matrices
17
et d’autre part,
A · (B · C) = A ·
=
p
X
k =1
n
X
j =1
=
b jk ckl
aij
p
hX
[définition du produit matriciel]
b jk ckl
k =1
p
n X
X
p
n
X
X
[définition du produit matriciel]
aij b jk ckl
[distributivité dans R]
aij b jk ckl
[associativité et commutativité de l’addition dans R ].
j =1 k =1
=
i
k =1 j =1
ire
On en déduit bien que l’égalité (4) est vérifiée.
G
ré
go
Propriété 11. La multiplication matricielle est distributive par rapport l’addition matricielle :
∀ A ∈ Mm,n (R ), ∀ B, C ∈ Mn,p (R ) : A · (B + C) = A · B + A · C.
Démonstration. Posons A = ( aij ), B = (b jk ) et C = (c jk ) avec 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n, 1 6 k 6 p. On
a
A · (B + C) = A · (b jk + c jk )
n
h
X
i
aij b jk + c jk
=
Ph
.
[définition de l’addition matricielle]
[définition du produit matriciel]
j =1
=
n h
X
aij b jk + aij c jk
j =1
=
n
h X
j =1
=
n
X
j =1
i
aij b jk +
i
n
hX
j =1
aij c jk
[distributivité dans R ]
i
n
X
aij b jk +
aij c jk
[associativité et commutativité de l’addition dans R]
[définition de l’addition matricielle]
j =1
= A·B+A·C
[définition du produit matriciel].
1.4.4 Multiplication des matrices carrées
Dans Mn,n (R ), la multiplication matricielle devient une loi de composition interne et partout
définie. Il est par ailleurs évident que la matrice unité n × n
à
1
0
I=
..
.
0
1
..
.
··· 0
··· 0
0
0
··· 1
í
0
est neutre pour la multiplication des matrices carrées. En résumé, nous avons la proposition suivante :
18
1.4 La multiplication des matrices
Proposition 4. La loi de composition interne · : Mn,n (R ) × Mn,n (R ) 7→ Mn,n (R ) possède les propriétés suivantes :
(i) elle est associative : ∀ A, B et C ∈ Mn,n (R ) : (A · B) · C = A · B · C = A · (B · C).
(ii) elle admet la matrice unité I comme neutre : ∀ A ∈ Mn,n (R ) : I · A = A = A · I.
(iii) elle admet la matrice nulle O comme absorbant : ∀ A ∈ Mn,n (R ) : O · A = O = A · O.
Par contre, nous allons voir au travers de quelques exemples que certaines propriétés que l’on
s’attend à rencontrer lorsque l’on parle de multiplication ne sont pas vérifiées par la multiplication
matricielle.
ire
1) La multiplication dans Mn,n (R ) n’est pas commutative.
◮ C ONTRE - EXEMPLE 1. Soient les matrices carrée d’ordre 2
Ç
å
1
2
1
−1
Ç
1
2
1
−1
Ç
1
2
1
−1
et
B=
3
0
1
2
G
ré
go
A=
Ç
On a, d’une part,
A·B =
et, d’autre part,
B·A =
ce qui montre bien que A · B 6= B · A.
å
Ç
·B =
å
0
1
2
Ç
·B =
å
3
Ç
=
å
3
0
1
2
.
å
5
4
2
−2
Ç
=
å
å
3
6
3
0
;
Ph
.
◭
2) Le principe de disjonction n’est pas valable pour la multiplication dans Mn,n (R ) ; autrement
écrit, le produit de deux matrices peut être nul sans que qu’aucune des deux matrices ne soit
nulle.
◮ C ONTRE - EXEMPLE 2. On a
Ö
0
−1
0
−1
1
2
è Ö
1
2
1
·
2
4
2
−1
−2
−1
−2
1
0
è
Ö
=
è
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.
◭
3) La multiplication dans Mn,n (R ) ne vérifie pas le principe de neutralisation des facteurs communs ; autrement écrit, si A, B et C sont des matrices carrées d’ordre n, alors A · B = A · C
n’implique pas que B = C.
◮ C ONTRE - EXEMPLE 3. On a
Ö
è Ö
2
2
2
2
2
2
2
2
2
·
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
è
Ö
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
è
Ö
=
è Ö
2
2
2
2
2
2
2
2
2
·
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
0
0
0
è
.
4) La multiplication dans Mn,n (R ) \ {O} n’est pas symétrisable : il existe (au moins) une matrice
non nulle n’admettant pas de symétrique.
◮ C ONTRE - EXEMPLE 4. Considérons la matrice
Ç
A=
2
−4
å
−1
2
.
1.4 La multiplication des matrices
19
Montrons qu’il n’existe aucune matrice carrée B = (bij ) d’ordre 2 telle que
Ç
(5)
å Ç
2
−1
2
−4
·
b11
b12
b21
b22
å
= I.
En effet, on a
Ç
å Ç
2
−1
2
−4
®
·
b11
b12
b21
b22
å
m
2b11
−4b11
−
+
=
=
b21
2b21
1
Ç
=
®
0
0
1
2b12
et
0
å
1
−
+
−4b12
b22
2b22
0
=
=
1
.
Les deux systèmes ci-dessus sont indépendants mais tous les deux impossibles, ce qui montre que l’égalité (5) ne peut jamais être réalisée.
ire
◭
Insistons sur le fait qu’il existe des matrices admettant une matrice inverse (à droite et à gauche).
G
ré
go
◮ E XEMPLE 21. Considérons la matrice
Ç
A=
å
2
1
0
1
.
Déterminons sa matrice inverse à droite : on cherche une matrice carrée B = (bi j) d’ordre 2 telle que
Ç
2
1
0
1
å
Ç
··
b11
b12
b21
b22
å
Ç
=
å
1
0
0
1
.
Cette égalité ne peut être vérifiée que si les deux systèmes suivants sont vérifiés :
2b11
+
b21
Ph
.
®
b21
=
=
®
1
et
0
2b12
+
b22
b22
=
=
0
1
.
On obtient facilement que l’on doit avoir b11 = 21 , b12 = − 21 , b21 = 0 et b22 = 1, c’est-à-dire que l’inverse
à droite de A est la matrice
Ç
B=
1
2
0
− 21
1
å
.
On peut facilement vérifier que B est également l’inverse à gauche de A. Il s’agit là d’un résultat général :
une matrice inverse à droite ou à gauche est une matrice inverse des deux côtés.
◭
Définition 18. On dit que la matrice B ∈ Mn,n (R ) est inverse à droite de la matrice A ∈ Mn,n (R ) si
A · B = I.
On dit que la matrice B ∈ Mn,n (R ) est inverse à gauche de la matrice A ∈ Mn,n (R ) si
B · A = I.
On dit que la matrice B ∈ Mn,n (R ) est inverse de la matrice A ∈ Mn,n (R ) si elle est à la fois inverse à
droite et inverse à gauche.
On peut démontrer le résultat suivant.
20
1.4 La multiplication des matrices
Proposition 5. Tout inverse à droite (resp. à gauche) d’une matrice est inverse à gauche (resp. à droite) de
celle-ci.
Cette proposition nous permet de parler d’inverse d’une matrice sans préciser s’il s’agit d’un
inverse à gauche ou à droite. Par ailleurs, cette même proposition nous permet de démontrer
l’unicité de l’inverse.
Proposition 6. Si une matrice carrée admet une matrice inverse, celle-ci est unique.
ire
Démonstration. Soit une matrice A carrée d’ordre n. Soit B un inverse de A. Supposons que B′ soit
aussi un inverse de A. Alors, on peut écrire
G
ré
go
A · B′ = I
m
B · ( A · B′ ) = B · I
m
( B · A ) · B′ = B
[associativité et I est neutre]
m
I · B′ = B
[B est inverse de A]
Ph
.
m
B′ = B.
[I est neutre]
Cette dernière proposition nous permet de donner la définition suivante.
Définition 19. Soit vA ∈ Mn,n (R ). On dit que A est inversible ou régulière ou encore non singulière
si et seulement elle admet un inverse, que l’on note alors A−1 .
Si A n’admet pas d’inverse, on dit qu’elle est non inversible ou singulière.
◮ E XEMPLE 22. On a vu dans l’exemple 21 que la matrice
Ç
A=
å
2
1
0
1
− 21
1
å
.
est inversible et que son inverse est
Ç
A −1 =
1
2
0
.
◭
Proposition 7. Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n inversibles. Alors A · B est inversible et de
plus
( A · B ) −1 = B −1 · A −1 .
1.4 La multiplication des matrices
21
Démonstration. On a
( B −1 · A −1 ) · ( A · B ) = B −1 · ( A −1 · A ) · B
=B
−1
[associativité]
·I·B
[définition de l’inverse de A]
= B −1 · B
[associativité et I est neutre]
=I
[définition de l’inverse de B].
Ainsi, la matrice B−1 · A−1 est inverse à gauche de A · B. En vertu de la proposition 5, elle est
donc une matrice inverse (à gauche et à droite) de A · B. La proposition 6 permet alors d’affirmer
que B−1 · A−1 est la matrice inverse de A · B.
G
ré
go
ire
Proposition 8. Soit A une matrice carrée d’ordre n inversible. Alors A−1 est également inversible et de
−1
plus A−1
= A.
Démonstration. Par définition, A−1 est inversible si et seulement s’il existe une matrice B telle que
B · A−1 = I. Il est évident que l’on peut prendre A = B. Par unicité de l’inverse, ceci signifie
−1
exactement que A−1
= A.
Terminons ce paragraphe par une proposition.
Ph
.
Proposition 9. Soient A ∈ Mm,n (R ) et B ∈ Mn,p (R ). Alors, on a
Démonstration[
A]. Posons A = (a
A · B = (cij ) =
n
X
k =1
ik )
t
(A · B) = t B · t A.
et B = (bkj ). Alors, on peut écrire
aik bkj ,
avec
1 6 i 6 m, 1 6 j 6 p,
et
t
(A · B) = (t c ji )
t
où
c ji = cij =
n
X
aik bkj ,
avec
1 6 j 6 p, 1 6 i 6 m.
k =1
Dès lors, on a
t
B · t A = (c′ji ) =
n
X
t
b jk t aki ,
avec
Puisque t aki = aik et t b jk = bkj , on peut écrire c′ji =
multiplication dans R, on a finalement
t
1 6 j 6 p, 1 6 i 6 m.
k =1
c′ji
t
Pn
k =1 bkj a ik
= cij = c ji , d’où l’on tire
B · t A = (c′ji ) = (t c ji ) = t (A · B).
et, par commutativité de la
22
2
2. Les déterminants
Les déterminants
Le déterminant d’une matrice carrée est un nombre réel qu’on associe à cette matrice en suivant une procédure particulière qu’il est très difficile de motiver a priori. Nous adopterons donc
une approche formelle pour définir le déterminant d’une matrice n × n ; cette approche repose sur
un raisonnement inductif qui, bien que très puissant, reste une manipulation logique fort délicate.
Si A est une matrice carrée n × n, son déterminant est noté det A ou | A|.
G
ré
go
ire
2.1 Déterminant d’une matrice carrée 1 × 1
Définition 20. Soit une matrice A = ( a) carrée d’ordre 1. Le déterminant de A est le réel det A = a.
Il est évident que cette définition ne présente en soi que peu d’intérêt, d’autant plus que précédemment nous n’avons pas hésité à identifier l’ensemble des matrices carrées d’ordre 1 au corps
des réels.
Ph
.
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n × n
2.2.1 Mineurs et cofacteurs
Définition 21. Soit A = ( aij ) une matrice carrée d’ordre n. On appelle mineur de aij le déterminant de
la matrice (n − 1) × (n − 1) obtenue en supprimant dans A la i-ième ligne et la j-ième colonne. On note
le mineur de aij par Mij .
◮ E XEMPLE 23. Soit la matrice
á
4
3
A=
5
7
−3
0
1
−2
2
8
−7
−1
ë
−5
0
−9
9
Considérons le mineur M23 associé au terme a23 = 8. Celui-ci est égal au déterminant de la matrice A dont
á
A=
4
3
5
7
−3
0
1
−2
2
8
−7
−1
ë
−5
0
−9
9
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n × n
23
on a éliminé la deuxième ligne et la troisième colonne. Autrement écrit, on a
Ö
M23 = det
4
5
7
−3
1
−2
è
−5
−9
9
Nous verrons plus bas comment calculer un tel déterminant, mais notons que le mineur est le déterminant
d’une matrice d’ordre inférieur à celui de la matrice de départ.
◭
Définition 22. Soit A = ( aij ) une matrice carrée d’ordre n. On dit que aij est de classe paire si i + j est
pair et de classe impaire dans le cas contraire.
ire
Cette définition admet une représentation graphique extrêmement simple pour autant que
G
ré
go
l’on associe le symbole + à la classe paire et le symbole − à la classe impaire :
à
í
+ − + − + ···
− + − + − ···
.
+ − + − + ···
..
..
..
..
.. . .
.
.
.
.
.
.
Définition 23. Soit A = ( aij ) une matrice carrée d’ordre n. Le cofacteur de aij , noté Cij ou Aij , est défini
par la relation
Ph
.
Aij = (−1)i+ j Mij .
Le cofacteur d’un terme est égal au mineur lorsque ce terme est de classe paire et à l’opposé
du mineur lorsque ce terme est de classe impaire. Il s’agit donc du déterminant d’une matrice
d’ordre inférieur à celui de la matrice de départ.
◮ E XEMPLE 24. Reprenons la matrice A de l’exemple 23. Le cofacteur de a23 est le réel
Ö
4
A23 = (−1)2+3 M23 = − M23 = − det
−3
1
−2
5
7
è
−5
−9
9
.
◭
2.2.2 Définition du déterminant
Définition 24. Soit A = ( aij ) une matrice carrée d’ordre n. Le déterminant de A est égal à la somme
des produit des termes d’une rangée (ligne ou colonne) par leur cofacteurs. On peut démontrer que
cette somme ne dépend pas du choix de la rangée.
◮ E XEMPLE 25. Reprenons la matrice
á
A=
4
3
5
7
−3
0
1
−2
2
8
−7
−1
ë
−5
0
−9
9
24
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n × n
de l’exemple 23. Pour calculer le déterminant de A, nous devons choisir une ligne ou une colonne ; il semble
judicieux de choisir la deuxième ligne, car deux de ces termes sont nuls. D’après la définition, nous avons
det A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 + a24 A24
−3 2
= −3 1 −7
−2 −1
4
−5
−9 + 0 − 8 5
7
9 −3
1
−2
−5
−9 + 0.
9 Nous avons transformé le calcul du déterminant d’une matrice 4 × 4 en le calcul des déterminants de plu-
sieurs matrices 3 × 3. En appliquant une nouvelle fois la définition 24 à ces déterminants 3 × 3, nous serons
amenés à calculer des déterminants 2 × 2 qui eux-mêmes nécessitent le calcul de déterminants 1 × 1, . . . qui
se calculent aisément grâce à la définition 20.
◭
Grâce à l’exemple ci-dessus, on comprend aisément le caractère inductif des définitions 20 et
ire
24 : de manière générale, on ramène le calcul d’un déterminant n × n au calcul de n déterminants
(n − 1) × (n − 1), c’est-à-dire au calcul de n(n − 1) déterminants (n − 2) × (n − 2), ..., et finalement
au calcul de n(n − 1)(n − 2) · · · 2 déterminants 1 × 1.
G
ré
go
◮ E XEMPLE 26. Le calcul du déterminant d’une matrice 6 × 6 nécessite a priori le calcul de 6 · 5 · 4 · 3 · 2 =
6! = 720 déterminants 1 × 1. Voilà qui semble peu commode ! ◭
Afin de rendre plus accessible le calcul d’un déterminant n × n, il va manifestement être indispensable de développer des méthodes permettant simplifier la procédure de calcul du déterminant d’une matrice carrée d’ordre quelconque. C’est l’objet des paragraphes qui suivent.
Ph
.
2.2.3 Déterminant d’une matrice 2 × 2
Proposition 10. Soit la matrice
Alors
a
11
a21
a11
a21
A=
a12
a22
!
.
a12 = a11 a22 − a12 a21 .
a22 Démonstration. Développons le déterminant suivant la première ligne : on a
a
11 a12 = a11 det( a22 ) − a12 det( a21 ) = a11 a22 − a12 a21 .
a21 a22 Le calcul d’un déterminant 2 × 2 est très simple a mémoriser ; il suffit d’observer la représentation
a11
a12 det A = a
a 21
22
graphique ci-dessus. Dans la boucle, le croisement symbolise le signe «×» de la multiplication et
la partie horizontale le signe «−» de la soustraction.
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n × n
25
R EMARQUE 6. Il est facile de vérifier explicitement, dans le cas d’une matrice 2 × 2, que l’on obtient le
même résultat si l’on développe le calcul du déterminant suivant une autre rangée que la première ligne.
◮ E XEMPLE 27. Considérons le cofacteur A12 de l’exemple 25 : en
développant suivant la première ligne, on peut écrire
ire
A12
−3 2 −5
= (−1)1+2 · 1 −7 −9
−2 −1 9 ® 1 −7´
1 −9
−7 −9
= − −3 − 5
− 2
−2 −1
−2 9 −1 9 1 −7
1 −9
−7 −9
= 3
.
+ 5
+ 2
−2 −1
−2 9 −1 9 Ensuite, il vient que
−9
= −7 · 9 − (−1) · (−9) = −72,
9 G
ré
go
−7
−1
1
−2
et
de sorte que
1
2
−9
= 1 · 9 − (−2) · (−9) = −9
9 −7
= 1 · (−1) − (−2) · (−7) = −15,
−1
Ph
.
A12 = 3 · (−72) + 2 · (−9) + 5 · (−15) = −309.
Considérons la matrice
A=
a
b
c
d
◭
!
et supposons que
(6)
a
c
= .
b
d
Remarquons que, pour autant qu’il n’y ait aucun problème de division par zéro, la relation de
proportionnalité (6) est équivalente à la relation
(7)
a
b
= .
c
d
Au fond, les deux relations (6) et (7) expriment respectivement que les deux colonnes et les deux
lignes de la matrice A sont proportionnelles. Dans le langage de l’algèbre (linéaire), on dit que
les deux lignes (et les deux colonnes) sont linéairement dépendantes ou qu’elles ne sont pas
linéairement indépendantes.
Le déterminant de la matrice A est donné par det A = ad − bc et puisque (6) et (7) sont équiva-
lentes à l’égalité ad = bc (produit des moyens est égal au produit des extrêmes), on peut affirmer
que lorsque les lignes de la matrice A (et donc également ses colonnes) sont linéairement dépendantes, son déterminant est nul et réciproquement.
Ce résultat est tellement important qu’il fait l’objet d’une proposition, que nous ne manquerons pas de généraliser au cas des déterminant d’ordre quelconque.
26
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n × n
Proposition 11. Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2 est nul si et seulement si ses lignes (et
donc ses colonnes) sont linéairement dépendantes.
◮ E XEMPLE 28. Soit la matrice
Ç
A=
−6
10
å
−9
15
.
Son déterminant est nul : det A = −6 · 15 − 10 · (−9) = −90 + 90 = 0. L’annulation de ce déterminant est la
trace d’une relation de proportionnalité entre les lignes (et les colonnes) de la matrice A. En effet, on a
5 Ä
− · −6
3
Ç
å
−6
10
Ç
=
ä
15
å
−9
15
.
◭
Ph
.
G
ré
go
3
·
2
Ä
ire
et
ä
−9 = 10
F IGURE 1 – Mister D est un sniffeur de proportionnalité.
2.2.4 Déterminant d’une matrice 3 × 3 et règle de Sarrus
Proposition 12. Soit la matrice
Ö
A=
a11
a12
a13
a21
a31
a22
a32
a23
a33
è
,
alors
(8)
a11
a21
a
31
a12
a22
a32
a13 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 .
a 33
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n × n
27
A priori, retenir la formule (8) n’est pas la chose la plus simple qui soit. Heureusement, il existe
2
1
a1
a1
1
3
3
a2
a2
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a3
a12
−
a3
−
a11
ire
a1
−
3
2
a2
2
a3
1
un truc visuel, que l’on appelle la règle de Sarrus et que nous présentons à la figure 2.
+
+
+
a 13
a 12
a 11
a 23
a 22
a 21
a 31
a 33
a 32
G
ré
go
a32
Ph
.
F IGURE 2 – La règle de Sarrus.
◮ E XEMPLE 29. Soit le déterminant 3 × 3
En appliquant la règle de Sarrus, on obtient
2
∆ = 3
4
1
0
−2
−1
−1
2 ∆ = 0 + (−4) + 6 − 0 − 4 − 6 = −8.
◭
Démonstration de la proposition 12. Développons le déterminant de A suivant la première ligne :
a11
a21
a
31
a12
a22
a32
a13 a
22
a23 = a11 a32
a 33
a
a23 21
− a12 a31
a33 a
a23 21
+ a13 a31
a33 a22 a32 = a11 a22 a33 − a11 a32 a23 − a12 a21 a33 + a12 a31 a23 + a13 a21 a22 − a13 a31 a22
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a22 − a31 a22 a13 − a32 a23 a11 − a33 a21 a12 .
Nous verrons plus loin que le déterminant d’une matrice est nul si et seulement si ses lignes
(et ses colonnes) sont linéairement dépendantes, c’est-à-dire si l’on peut écrire une combinaison
linéaire de ses lignes (et de ses colonnes) qui soit égale à la matrice ligne nulle (à la matrice colonne
nulle). La dépendance linéaire est une généralisation de la notion de proportionnalité.
28
2.2 Déterminant d’une matrice carrée n × n
◮ E XEMPLE 30. Soit le déterminant 3 × 3
En appliquant la règle de Sarrus, on obtient
2
′
∆ = 2
4
1
−1
3 2 −3
−2
∆ ′ = −12 + 12 + 4 − 12 − (−12) − 4 = 0.
Remarquons que la somme de la première ligne et de la deuxième ligne est égale à la troisième ligne :
les lignes ne sont pas linéairement indépendantes. On remarque également que la deuxième colonne est
l’opposée de la troisième : les colonnes sont donc également linéairement dépendantes.
◭
ire
2.2.5 Quelques remarques sur le calcul des déterminants
1. Pour calculer le déterminant d’une matrice, on effectuera préférentiellement un développement suivant la rangée qui contient de le plus de 0.
G
ré
go
◮ E XEMPLE 31. Considérons la matrice La rangée contenant le plus de 0 est la 3e colonne
á
1
2
A=
1
3
−2
0
2
1
ë
0
5
1
−2
3
2
0
0
á ë
Ph
.
0
C3 =
1
0
.
0
En développant suivant cette colonne, on obtient
1
det A = −1 · 1
3
−2
2
1
5
3 = −1(4 − 18 + 5 − 30 − 3 + 4) = 38.
2
◭
En particulier, une matrice dont l’une des rangées est nulle admet un déterminant nul.
2. Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit de ses éléments diagonaux.
Démonstration. La démonstration se fait par induction.
Germe : Le résultat est clairement vrai pour les matrices triangulaires d’ordre 1.
Récurrence : Supposons le résultat vérifié pour les matrices triangulaires d’ordre n et montrons que le résultat est encore vrai pour les matrices triangulaires d’ordre n + 1.
Soit une matrice triangulaire d’ordre n + 1

a11 ∗
∗

 0 a22 ∗


0 a33
A= 0
 .
 .
 .
0
0
0
···
···
···
..
.
∗
∗
∗
..
.
· · · a n +1 n +1









2.3 Propriétés des déterminants
29
En développant suivant la dernière ligne, on obtient
a11
0
= a n +1 n +1 0
.
.
.
0
∗
a22
0
0
∗
a22
0
∗
∗
a33
0
0
∗ ∗ ∗ .. . · · · ann ···
···
···
..
.
ire
det A = an+1 n+1 · An+1 n+1
a11
0
( n+1)+( n+1)
= (−1)
a n +1 n +1 0
.
.
.
0
∗ · · · ∗ ∗ ··· ∗ a33 · · · ∗ .
.. ..
.
. 0 · · · ann Le déterminant apparaissant dans le membre de droite de la dernière égalité est celui
d’une matrice triangulaire n × n qui, par hypothèse d’induction, est égal au produit
G
ré
go
des éléments diagonaux. On a donc
det A = an+1 n+1 ·
n
Y
aii =
i =1
nY
+1
aii ,
i =1
ce qui prouve, que sous hypothèse d’induction, le déterminant d’une matrice triangulaire d’ordre n + 1 est le produit de ses éléments diagonaux.
On a donc bien démontré le résultat.
Ph
.
3. Dans le paragraphe suivant, nous allons présenter (avec ou sans démonstration) diverses
propriétés vérifiées par les déterminants. Il conviendra des les exploiter pour simplifier le
calcul des déterminants.
2.3 Propriétés des déterminants
Propriété 12. Le déterminant d’une matrice est égal au déterminant de sa transposée.
Idée de la démonstration. La démonstration se fait par récurrence.
Germe : la propriété est évidente pour les matrices carrées d’ordre 2.
Récurrence : supposons la propriété vérifiée pour les matrices carrées d’ordre n − 1. Par hypo-
thèse de récurrence, on peut voir que le cofacteur Aij d’une matrice A carrée d’ordre n est
égal au cofacteur t A ji de la transposée t A. On a dès lors
det A =
=
=
n
X
i =1
n
X
i =1
n
X
i =1
a1i A1i
t
ai1 A1i
t
ai1 t Ai1 = det t A.
30
2.3 Propriétés des déterminants
Propriété 13. Le déterminant d’une matrice dont tous les termes d’une rangée sont nuls est nul.
Démonstration. Soit une matrice carrée A d’ordre n. Sans perte de généralité, on peut supposer
que la rangée dont les termes sont tous nuls est la ligne Lk de cette matrice. En développant
suivant cette ligne, on a
det A =
n
X
akj Akj =
n
X
j =1
0 · Akj = 0.
ire
j =1
G
ré
go
Propriété 14. Lorsque l’on permute deux rangées (parallèles) d’une matrice carrée, son déterminant
change de signe.
Idée de la démonstration. Lorsque l’on permute deux rangées contiguës d’une matrice, son déterminant change de signe. En effet, considérons la matrice carrée d’ordre n
Ä
A = C1
· · · Ck
C k +1
ä
· · · Ln .
Alors,
(9a)
Ph
.
Notons, A′ la matrice obtenue en permutant les colonnes Ck et Ck+1 dans la matrice A :
Ä
ä
A ′ = C1 · · · C k +1 C k · · · L n .
det A =
n
X
aik Aik =
i =1
(9b)
det A′ =
n
X
n
X
aik (−1)i+k Mik ,
i =1
a′ik+1 A′ik+1 =
n
X
′
aik (−1)i+k+1 Mik
+1
i =1
i =1
′
Le mineur Mik
+1 est égal au mineur Mik , de sorte que l’égalité (9b) peut s’écrire
det A′ = −
n
X
i =1
aik (−1)i+k Mik = − det A.
On peut conclure la démonstration en remarquant 1 que permuter deux rangées (parallèles) d’une
matrice revient à permuter un nombre impair de fois deux rangées contiguës.
Corollaire 1. Le déterminant d’une matrice possédant deux rangées parallèles identiques est nul.
Démonstration. En effet, en permutant deux rangées identiques d’une matrice, on obtient que son
déterminant doit être égal à son opposé, ce qui n’est possible que s’il est nul.
1. Ce point nécessiterait une vraie démonstration.
2.3 Propriétés des déterminants
31
Propriété 15. Si on multiplie une rangée d’une matrice carrée A par un réel, le déterminant de la matrice
ainsi obtenue est égal au déterminant de la matrice A multiplié par ce réel.
Démonstration. Soient A une matrice carrée d’ordre n et λ un réel. Notons A′ la matrice obtenue
en multipliant la j-ième colonne de A par le réel λ. On a
det A =
n
X
aij Aij .
i =1
En utilisant la distributivité et l’associativité sur R, on obtient
n
X
λaij Aij =
(λaij ) Aij = det A′ .
i =1
G
ré
go
i =1
n
X
ire
λ det A =
Une conséquence importante cette propriété est le corollaire suivant, qui annonce le grand
retour de Mister D, le détecteur de proportionnalité.
Corollaire 2. Le déterminant d’une matrice dont deux rangées parallèles sont proportionnelles est nul.
Ph
.
Démonstration. Soit A une matrice carrée d’ordre n,
Ä
A = C1 · · · C k · · ·
Cl
· · · Cn
ä
où αCk = Cl pour un certain α ∈ R. Alors, on a
Ä
ä
det A = det C1 · · · Ck · · · Cl · · · Cn
Ä
ä
= det C1 · · · Ck · · · αCk · · · Cn
Ä
ä
= α det C1 · · · Ck · · · Ck · · · Cn = 0.
Voici une autre conséquence utile de la propriété 15 : pour calculer le déterminant d’une matrice dont tous les éléments d’une même rangée sont proportionnels à un même nombre, il peut
être utile de mettre celui-ci en évidence.
◮ E XEMPLE 32. On a
5 2
10 0
15 4
1
1 = 5 2
3
0
0
1
0 1 = 5 · 2 · 2
3
4 0
2
0
1
0
0
1 = 10 · 1 = 10.
2 0
◭
Propriété 16. Soient C1 , . . . , Ck , C′k , C′′k , . . . , Cn des matrices colonnes n × 1 telles que Ck = C′k + C′′k .
Alors
Ä
ä
Ä
ä
Ä
ä
det C1 · · · Ck . . . Cn = det C1 · · · C′k . . . Cn + det C1 · · · C′′k · · · Cn .
32
2.3 Propriétés des déterminants
Ä
ä
Ä
ä
Démonstration. Soient les matrices A = C1 · · · Ck · · · Cn , A′ = det C1 · · · C′k · · · Cn et A′′ =
Ä
ä
det C1 · · · C′′k · · · Cn telles que Ck = C′k + C′′k .
On a
Ä
ä
det A = det C1 · · · Ck · · · Cn =
(10)
Les matrices A,
A′
et
A′′
n
X
aik Aik =
n
X
i =1
i =1
a′ik + a′′ik Aik .
ne différent que par leurs k-ième colonnes. Leurs cofacteurs relatifs à ces
k-ième colonnes sont donc identiques : Aik = A′ik = A′′ik pour i = 1, . . . , n. On peut donc déduire
de la dernière égalité de (10) que
det A =
n
X
i =1
i =1
ire
i =1
n
n
X
X
a′′ik A′′ik = det A′ + det A′′ .
a′ik A′ik +
a′ik A′ik + a′′ik A′′ik =
On paraphrase souvent la propriété 16 de la manière suivante : un déterminant dont les éléments
déterminants.
G
ré
go
ei d’une rangée sont des sommes pi + qi est le somme des déterminants obtenus en remplaçant ces éléments respectivement par p i et qi . Le corollaire suivant établit un résultat essentiel pour le calcul des
Corollaire 3. Le déterminant d’une matrice ne change pas si l’on ajoute à une rangée une combinaison
linéaire de rangées parallèles.
Ph
.
Démonstration. Soit A = ( aij ) ∈ Mn,n (R ). On peut écrire
Ä
ä
A = C1 C2 · · · C n
Montrons que la matrice A′ obtenue en ajoutant à la première colonne de A une combinaison
linéaire des autres colonnes admet le même déterminant que A. Soient λ2 , λ3 , . . . , λn ∈ R et
Ä
ä
P
A′ = C1 + nk=2 λk Ck C2 · · · Cn .
En vertu de la propriété 16 et du corollaire 2, on a
Ä
ä
Ä
det A′ = det A + λ2 det C2 C2 · · · Cn + · · · + λn det Cn
C2
= det A + 0 + · · · + 0 = det A.
◮ E XEMPLE 33. Soit la matrice
á
A=
5
3
1
−2
5
3
7
−1
−2
1
−1
4
4
· · · Cn
ä
ë
0
2
.
−2
Utilisons le corollaire précédent pour faire apparaître des zéros afin de calculer son déterminant de manière
efficace. Ajoutons à la deuxième colonne deux fois la première et soustrayons à la troisième la deuxième :
5 3 + 10
1
2−2
det A = 7 5 + 14
−1 3 − 2
−2 − 5
1−1
−1 − 7
4+1
5 13
0 1
0
=
2
7 19
−2 −1 1
4 −7
0
−8
5
4 0 .
2 −2
2.3 Propriétés des déterminants
33
De cette dernière égalité, on tire que
13
2+1
det A = (−1)
· 1 · 19
1
−7
−8
5
4 2 .
−2
Pour calculer ce déterminant 3 × 3, on peut utiliser la règle de Sarrus pour obtenir det A = −210, ou exploiter
une nouvelle fois le corollaire 3 pour faire apparaître un ou plusieurs zéros : ajoutons à la deuxième ligne la
troisième et à la première deux fois la troisième :
15
2 − 2 = − 20
1
−2 14 3 = −(−1)3+3 · (−2) · 20 −3
−7 + 10
−8 + 5
5
4 − 4
3
−3
5
= 2 (−3 · 15 − 20 · 3) = 2 · (−105) = −210.
Factorisons ce déterminant :
0 −2
◭
G
ré
go
◮ E XEMPLE 34. Soit le déterminant
0 ire
13 + 2
det A = − 19 + 1
1
a
D = a
1
0
D
=
a
L1 → L1 − L2 1
1
b
b .
1
a
b
b−1
1
b
1 − b
b .
a La nouvelle première ligne de ce déterminant est multiple de b − 1, que nous pouvons donc mettre en
Ph
.
évidence grâce à la propriété 15 :
0 1
D = ( b − 1) a 1
1 b
−1
b =
a Le théorème suivant, admis sans démonstration, clarifie définitivement le statut de Mister D
en établissant une condition nécessaire et suffisante pour qu’un déterminant soit nul. Notons que
le caractère suffisant de cette condition est une conséquence de ce qui précède.
Théorème 1. Un déterminant est nul si et seulement ses lignes (et ses colonnes) ne sont pas linéairement
indépendantes.
La généralisation de la notion de proportionnalité est la notion de dépendance linéaire : des
rangées d’une matrice sont linéairement dépendantes si l’une d’entre elles peut s’écrire comme
combinaison linéaire des autres. De la même manière que le déterminant d’une matrice carrée
d’ordre 2 permet de détecter si les lignes (et les colonnes) de cette matrice sont proportionnelles, le
déterminant d’une matrice carrée d’ordre n permet de détecter la dépendance linéaire des rangées
qui la composent.
2.3 Propriétés des déterminants
Ph
.
G
ré
go
ire
34
3. Exercices
3
Ex1
Exercices
3.1 Calcul matriciel
3.1.1 Matrices
E XERCICE 1. Écrivez une matrice 3 × 4 et donnez la valeur des termes a23 , a32 et a34 .
E XERCICE 2. Écrivez une matrice carrée d’ordre 4, donnez sa diagonale, sa deuxième ligne et sa première
colonne.
E XERCICE 3. Écrivez deux matrices 4 × 3 opposées l’une de l’autre.
E XERCICE 5. Soit
Ö
A = ( aij ) =
2
0
1
−1
5
−4
6
9
è
7
8
−2
G
ré
go
3
ire
E XERCICE 4. Ecrivez la matrice nulle 2 × 5 et la matrice identité d’ordre 3.
1) Déterminez a32 , a14 , a23 et a33 ;
2) Déterminez a2j , j = 1, . . . , 4 ;
3) Déterminez ai3 , i = 1, . . . , 3.
E XERCICE 6. Déterminez les transposées des matrices suivantes.
â
A=
0
2
3
0
1
5
−2
0
−4
−2
−1
1
3
4
0
0
å
Ph
.
Ç
ì
0
B=
,
E XERCICE 7. Soit la matrice carrée
Ö
A=
−2
2
−3
0
1
a13
a21
0
a23
4
3
0
Ö
C=
,
0
0
1
2
0
−1
0
0
è
3
è
.
Déterminez les valeurs de a13 , a21 et a23 pour que A
1) soit symétrique ;
2) soit antisymétrique.
E XERCICE 8. Soit la matrice carrée
Ö
1
A=
0
1
2x − y + z
x−y−z
x+y−z
1
1
è
3
.
Déterminez les valeurs de x, y et z pour que A soit symétrique.
x = 1, y = 1 et z = −1
]
a = 0, b = 0 ∨ a = 2, b = 0
]
[
E XERCICE 9. Déterminez a et b afin que
Ö
a + 2b
4
2
a2 + ab
1
0
è
Ö
=
a
4
2
2a − b
1
è
.
0
[
Ex2
3.1 Calcul matriciel
E XERCICE 10. Déterminez x et y afin que
Ç
−6
−4
=
−6
3x + y
x
y2
å
.
]
x = 0, y = 2 ∨ x = 6, y = −10
å
− x + 2y
−y
x = −1, y = −1
Ç
]
[
E XERCICE 11. Déterminez l’opposée de la transposée de
Ç
1
2
8
−1
0
7
å
.
E XERCICE 12. Déterminez x et y afin que les matrices
Ç
A=
x2 + 3y − 8
0
−1
å
Ç
B=
et
x+y
0
1
x−2
ire
soient opposées l’une de l’autre.
å
y + 2x
E XERCICE 13. Vrai ou Faux ?
La matrice
G
ré
go
[
Ö
è
1
0
0
2
1
−1
2
4
0
F
2) triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
3) une matrice carrée d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
Ph
.
1) est diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
4) est symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
E XERCICE 14. Vrai ou Faux
1) Une matrice identité est toujours carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
2) Une matrice identité est triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
3) Une matrice identité est symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
4) La matrice nulle est symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
5) Une matrice identité est antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
6) L’ordre d’une matrice carrée est égal au nombre de ses lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
7) L’ordre d’une matrice carrée est égal au nombre de ses colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
8) La matrice nulle est antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
9) La matrice nulle d’ordre n est l’unique matrice carrée d’ordre n qui est à la fois symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
F
10) L’opposée de la transposée d’une matrice est égale à la transposée de l’opposée de cette matrice V
F
3.1.2 Addition matricielle
E XERCICE 15. Calculez la somme des matrices suivantes.
0
3
1
3
!
1
B=
1
−3
,
−2
1
−2
è
−1
0
−2
Ö
4
3
−1
1) A =
è
1
−3
Ö
3.1 Calcul matriciel
ire
G
ré
go
2
ã
è
2
10
8
1
10
!
−10
20
12
−4
2
−3
10
Ph
.
Å
2
21
−15
2
0
−11
2
7
2
4
2
!
−19
−6
0
17
0
!
7
0
21
B=
,
14
0
0
Ö
−1
0
è
4
−9
0
−7
−2
−7
3
2
−15
B=
,
C=
,
è
5
0
8
!
−5
!
−2
0
Ö
0
−5
è
−5
4
−2
−1
4
−9
0
−2
2
2
2
−2
B=
,
3
3
−1
Ö
−2
4
0
1
−1
è
−4
−2
0
3
−3
0
1
è
−6
1
1
0
3
1
B=
,
!
1
Ö
0
2
è
−3
2
1
1
3
0
10
3
−3
−1
1
è
1
0
10
−3
8) A =
B=
,
17
Ö
Ö
è
7) A =
è
1
3
−1
3
1
Ö
−1
7
1
2
0
2
−1
0
6) A =
2
1
2
−5
0
2
−1
B=
,
í
0
Ö
1
−2
3
5) A =
−1
1
−3
−2
à
!
0
−4
1
0
1
Ö
Ö
í
2
0
0
2
1
3) A =
1
0
à
1
−2
2
B=
,
−3
0
−1
−1
è
0
0
1
−2
3
1
Ö
2
3
2
0
2) A =
4) A =
è
0
−1
Ö
Ex3
E XERCICE 16. On se donne les trois matrices
Ö
A=
è
1
1
0
2
3
1
1
0
1
Ö
,
B=
è
1
0
1
0
1
0
−1
0
−1
Ö
et
C=
0
1
0
1
2
1
0
1
0
è
.
Vérifiez les propriétés de commutativité et d’associativité en validant les égalités suivantes :
1) A + B = B + A ;
2) B + C = C + B ;
3) (A + B) + C = A + (B + C).
E XERCICE 17. Soient les matrices
Ö
A=
è
2
7
3
4
−1
5
Ö
,
B=
è
1
0
1
−2
0
3
Ö
4
et
C=
5
8
è
−2
0
1
.
Calculez
−1
2
4
7
3
!
8
2) B + A
8
4
3
−1
2
7
!
1) A + B
3.1 Calcul matriciel
−2
−2
9
0
16
2
9
5
7
−3
!
4
−2
−2
9
0
!
!
4
−2
0
!
0
0
0
0
5) A + (− A)
4) A − C
−2
3) A + (− C)
−3
Ex4
6) B + A + C
E XERCICE 18. Soient les deux matrices
Ö
è
2
A=
Ö
−3
1
2
5
−6
et
B=
è
7
3
4
6
−9
6
Å− 6
Å
−5
1
−5
3
−6
6
7
0
9
1
−3
5
2
!
2
G
ré
go
4
7
ã
−9
(A − B)
6
t
3
6)
Å
B
0
t
9
ã11
−12
ã
7
Å0
9
9
Å
A + tB
4)
9
−7
t
9
5)
0
A
(A + B)
−7
t
t
7
3)
2)
0
1) A + B
ire
Calculez
−6
ã
−7
0
ã
3.1.3 Multiplication d’une matrice par un réel
E XERCICE 19. Effectuez les calculs suivants :
25
15
0
Ph
.
−24
−5
−10
−15
12
è
5
!
−10
20
−1
Ö
−6
1
−12
−5
2
−6
2
è
−4
−12
1
−6
1
−72
12
−6
4
−24
−2
4
12
1
−3
−2
−12
2
3
ã
í
2
0
0
2
E XERCICE 20. On se donne les matrices
Ö
A=
è
1
0
2
0
−1
1
−1
0
3
Ö
et
B=
−1
2
0
è
1
3
0
−1
−2
1
.
Calculez les expressions suivantes :
−4
3
4
1
1
1
−2
!
−4
−1
2) A − 2B
−1
2
0
4
1
1
−2
!
−2
5
1) A + B
Å
4) −5 ·
0
1
2
Ö
−1
3) −6 ·
0
0
−10
à
!
−2
1−
4
5
1
−2
−2
1
2) − ·
2
!
0
6
−2
è
0
2
6
1) 3 ·
2
−6
Ö
3.1 Calcul matriciel
Ex5
−4
3
−10
−3
−8
−2
5
9
−2
!
4) −3A + 5B
10
−2
7
2
1
!
−3
2
1
7
3) 2A + B
E XERCICE 21. On se donne les matrices
Ö
A=
0
è
1
2
3
2
0
1
−1
0
Ö
B=
,
−2
2
0
−1
0
1
0
è
−1
−2
Ö
et
C=
−1
−1
1
è
1
1
0
−1
−1
1
.
Calculez les expressions suivantes :
ire
!
G
ré
go
4
21
Å ã
!
è
!
13
2 + 22
√
2−2
−1
√
−2 −
√
√
2
2
2−3
ã
−18
ä
Å
!
−1
0
3 2
17
0
√ !
6
2
16
−3
46
1
√
−2 2
1
−5
2
·
2
è
5
7
24
−2
0
+4·
−4
0
−3
15
−1
Ö
0
0
è
15
−5
24
−5
13
1
11
0
8
−13
Ph
.
ã
−2
Å
9
−12
è
−3
2
2
−2
3
0
3
4
√
−13
!
−1
6
−1
−2 − 4 · 4
1
Ä
14
− 2
ä
0
1
+
−1
1
√
!
4
−3·
2
1
Ö
−5
5
−2
16
3
è
0
−2
!
1
0
3
2
√
−2·
0
1
1
1
−1
1
3
−3
1
−3
0
!
7) 5 · 3
4
−2
Ä
3
Ö
−5·
Ö
4
2·
−5
−2
è
1
5) 2 ·
!
è
1
5
Ö
4
4
2
4) 5 ·
4
2
Ö
+2·
−1
0
−3·
è
0
Ö
5
−4
−3
−3
3) 3 ·
1
3
−3
2
2
1
0
2
4
1
Ö
√
!
!
2
2) 2 ·
+3·
−1
−1
5
1
1) 2 ·
6)
!
2
E XERCICE 22. Calculez.
3
4) 2A + 3B − 4C
2
3) 3A + B − 3C
2) A − 2B + 2C
−3
1) A + B + C
E XERCICE 23. Déterminez les matrices inconnues X et Y vérifiant les systèmes suivants :
Åã
2
1
Åã
13
!
,Y =
5
1
0
3




3X + 2Y =


!
−1
X=
1)





2X − 3Y =


1
0
0
1
1
0
−1
3
2
2
3
8
Å
ã
Å
2
0
ã
−8
0
13
!
0
1
5
1
−3
−1
10
,Y =
−1
1
5
!
0
0
1
4
−1
−1
ê
!
−3
ire
2
−5
0
9
−2
1
−2
,Y =
0
!
−7
2
1
3
G
ré
go
X=
!
0
3.1.4 Produit matriciel
1
−1
!
0
−1
ê
Ü


2 1
0





 X + Y = 4 · 0 1 −3




3 0
0
ê
Ü
4)

4
1
−
3






X−Y = 2·
2
0
1




−3
1
2
1


5 −3





5Y − 3X =
2
0





5 −3
ê
Ü
3)

2 −1






2Y − X =
1
0




,Y =
Ü
X=




 5X − 3Y =

3
0





4X + 3Y =


2
2)
3.1 Calcul matriciel
X=
Ex6
2
Ph
.
E XERCICE 24. Soient des matrices A ∈ M2,3 (R ), B ∈ M3,4 (R ), C ∈ M4,1 (R ), D ∈ M1,2 (R ), E ∈ M3,1 (R ),
F ∈ M5,2 (R ), M ∈ M2,2 (R ) et N ∈ M2,4 (R ).
Déterminez le genre des produits suivants, lorsque cela a un sens.
[
5) B · B
3) D · E
]
[ ]
6) M · N
[ ]
∄
5×3
]
2) C · D
[
2×4
2×4
[
]
4×2
4) F · A
[
∄
1) A · B
]
E XERCICE 25. Soient les matrices
Ö
Ç
A=
2
1
−1
0
å
0
−3
et
B=
1
2
4
−4
−1
0
è
0
1
3
−1
0
−2
1) Quel est le genre de la matrice C = A · B ?
2) Posons C = (cij ). Déterminez c2 3 , c1 4 et c2 1 .
2 × 4 | c2 3 = 6, c1 4 = 3 et c2 1 = −11
[
]
E XERCICE 26. Calculez.
sin(2a )
cos(2a )
Å
cos(2a )
− sin(2a )
ã
cos b
ã
cos a
sin b
!
Å
− sin a
·
− sin b
cos( a + b )
sin a
!2
cos a
cos b
− sin( a + b )
cos a
!
sin( a + b )
2)
sin a
− sin a
cos( a + b )
1)
cos a
3.1 Calcul matriciel
Ex7
E XERCICE 27. Calculez les produits suivants, lorsque cela a un sens.
Ä
2
0
3
ä
1
−3 ·
0
[
]
[
−4
1)
í
−1
−8
à
]
2
à
2)
Ä
1
3
í
−2
0
ä
2
−2 ·
1
2
Ö
ä
1 ·
−1
[]
2
3

2
0
3
ire
3

0
 
−1
ä 
 

−5 ·  1 

 
−2
−1
G
ré
go
Ä
3
[
−5
4)
Ä
6
3)
è
]
2
2
−1
4
ä
0
−3 ·
0
8
Ä
]
!
0
ä
[]
Ph
.
6)
[
2
0 ·
0
5)
Ä
í
cette opération n’est pas définie
à
1
E XERCICE 28. Calculez, lorsque cela est possible.
2
6
−1
10
−2
−4
6
8
1
!
11
−2
Å ã
1
0
2
3
6
2
è
1
27
−1
−6
−3
1
−7
1 ·
3
10
11
1
ä
6
7)
Ä
è
−1
·
Ö
3
0
6
0
è
3
1
2
1
Ö
!
−1
0
]
−6
−3
0
[
−7
7
−1
3
−10
0
·
è
cette opération n’est pas définie
1
1
!
9
1
0
1
1
3
4
2
1
0
3
2
−1
2
è Ö
6
13
2
−3
·
−2
−1
1
3
!
−1
10
2
13
0
6
3
1
è Ö
2
1
!
2
2
3
4
2
−2
·
3
0
0
6)
0
−2
5)
0
−1
−2
−1
−4
Ö
0
0
4)
1
2
0
2
ä
2
è
1
Ö
ã
Ä
· −1
0
3)
1
è
−2
Ö
3
Å
2)
2
·
1
Ö
1
1
−3
0
!
−1
3
1)
!
−1
−1
−2
Ex8
3.1 Calcul matriciel
E XERCICE 29. Soient les matrices
1) Calculez A · B
ã
2) Déduisez-en An pour n ∈ N0 . Justifiez.
na
1
1
0
å
Å
b
1
B=
et
1
Å0
1
Ç
1
0
å
a+b
a
0
A=
1
1
Ç
ã
E XERCICE 30. Soient les matrices
1
−5
2
,
ire
−2
5
å
−1
7
et
Ä
F= 5
2
ä
3 .
G
ré
go
0
1
è
2) (3A − 2B)C
4) EB2 C
ã
−29
−72
14
10
12
(−1) n
0
0
(−1) n
!
6) CEA
152
−17
−5
2
−14
7
11
!
39
−6
13
!
−23
8
200
Ph
.
!
6
−72
5) F (A + B)D
29
3) A · B
−81
1) (2A − 3B)C
−83
Calculez
−5
, E=
−1
2
3
−1
0
23
Ç
, C=
2
−99
0
5
Ö
−3
D=
4
5
è
è
89
Ö
4
2
Å
−3
, B=
−1
0
2
114
2
3
−304
−5
1
Ö
56
2
è
−38
4
29
2
1
A=
1
−104
Ö
E XERCICE 31. Calculez les puissances successives des matrices suivantes.
Å
− sin n π3
ã
Gn = I si n est pair et Gn = G; si n est impair
[
Fn =
1
2
!
sin n π3
3
2
cos n π3
cos n π3
−
ã
cos α
√
Å
1
√2
3
2
cos nα
Cn =
0
0
0
2n
Å
0
En =
Å
1
ã
1
n
ã
1
2√
− 23
√ !
− 23
− 21
6) F =
sin α
!
− sin nα
1
− sin α
sin nα
0
cos α
cos nα
1
4) D =
−1
Dn =
ã
1
0
!
Å
0
0
!
0
ã
0
2) B =
−1
Å
0
1
!
2
1
7) G =
1
0
5) E =
0
An =
3) C =
0
Bn =
1) A =
!
1
]
E XERCICE 32. Étudiez la factorisation de l’expression M2 − I, où M désigne une matrice carrée et I la matrice
unité de même ordre. Déduisez-en une matrice X telle que XY = YX dans les cas suivants
−3
1
0
!
−2
3
−1
3
−2
−2
0
3
5
3
−4
5
è
1
X=
−4
!
2) Y =
2
0
1
0
1
0
1
Ö
−1
0
−1
1
1
1
è
−1
0
1
0
1
1) Y =
1
X=
Ö
3.1 Calcul matriciel
Ex9
AA). On se donne l’équation X
2 − 4X + 3I
= O où X est une matrice carrée inconnue d’ordre
2 et I et O sont respectivement les matrices unité et nulle de même ordre.
E XERCICE 33 (
Ç
1. Montrez que M =
1
0
2
3
å
est une solution de l’équation.
2. Déduisez-en la matrice M −1 telle que MM −1 = I.
3. Démontrez que si une matrice M est solution, alors la matrice 4I − M est aussi solution.
4. Résolvez complètement l’équation.
AA). Quelles sont les matrices carrées d’ordre 2 qui sont égales à leur carré ?
35 (A). Démontrez que les ensembles structurés suivants sont des groupes.
å Ç
å Ç
å Ç
å´ å
E XERCICE 34 (
1)
Ç®Ç
2)
Ç®Ç
3)
Ç®Ç
4)
Ç®Ç
5)
1
0
0
1
1
0
0
1
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
d
0
,
1
å Ç
,
å
−1
0
− 21
√
3
2
,
−1
0
0
,
−1
√
√ å Ç
3
− 21
2
√
,
1
− 23
−2
0
1
−1
0
3
2
− 21
−
´ å
,·
ire
Ç®Ç
å´ å
,·
G
ré
go
E XERCICE
| ad − bc 6= 0 , ·
å
´ å
| ad − bc = 1 , ·
å
´ å
| ad − bc = ±1 , ·
3.1.5 Exercices supplémentaires
Ph
.
E XERCICE 36 (ULB examen d’entrée 1996). Soit la matrice
Ö
A=
è
0
0
1
1
0
3
0
1
0
.
Trouvez trois entiers a, b et c tels que l’on ait
A3 + aA2 + bA + cI = O.
a = 0, b − 3, c = −1
]
!
X=
]
a=1
]
[
E XERCICE 37 (ULB examen d’entrée 1996). Trouvez la matrice X telle que
A + X = B · A,
1
1
2
0
1
1
3
0
Ö
B=
et
è
1
0
1
2
1
0
1
0
1
.
[
0
2
1
A=
è
0
3
2
1
Ö
1
0
0
où
E XERCICE 38. On donne les matrices
Ç
A=
−15
0
3 − 3a
2
å
Ç
et
B=
−12
0
å
0
5
.
Sous quelle condition peut-on écrire (A + B)2 = A2 + B2 + 2A · B ?
[
Ex10
3.1 Calcul matriciel
E XERCICE 39 (ULg Examen d’entrée 2012). La suite f n et la matrice Φ de Fibonacci sont définies par les égalités
f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n−1 + f n−2 , . . . pour n = 2, 3, 4, . . .
Ç
Φ=
å
1
1
1
0
.
Démontrez que pour tout naturel n > 0, on a
Ç
n
Φ =
å
f n +1
fn
fn
f n −1
.
Déduisez-en l’égalité
f 2n+1 = f n2+1 + f n2 .
0
0
c
Ö
A=
Ph
.
Calculez A−1 et A3 .
,
ire
0
a, b, c ∈ R.
G
ré
go
b
[
]
A −1 ∄ et A3 = O
0
!
E XERCICE 41. Soit la matrice
0
0
2
c5
Calculez
A5 .
0
0
b5
0
A=
è
a
a5
0
0
Ö
A5 =
E XERCICE 40. Soit la matrice
]
è
0
1
6
0
0
4
0
0
0
.
[
E XERCICE 42. Considérons les matrices
Ç
å Ç
2
1
1
2
,
1
0
1
1
å
Ç
et
10
3
x
y
å
.
Déterminez x et y de telle sorte que la troisième matrice soit une combinaison linéaire des deux premières.
x = 7 et y = 10
]
x = −1, y = −5, z = −1
]
[
E XERCICE 43. Déterminez les nombres x, y et z sachant que
z−y
2
0
x + y ! −1
2
=
z − 2x
1
2
0
−
3
2
1
−
!
.
[
E XERCICE 44. Soient A une matrice carrée et I la matrice unité de même ordre. Supposons que A2 − kA + I =
O, où k ∈ R.
1) Montrez que A−1 = kI − A.
2) Calculez k si
A=
å
1
1
0
1
.
[
k=2
Ç
]
3.1 Calcul matriciel
Ex11
E XERCICE 45. Considérons la matrice
Ç
a
b
c
d
x
y
z
u
A=
On veut déterminer la matrice
Ç
X=
å
,
a, b, c, d ∈ R.
,
x, y, z, u ∈ R.
å
non nulle telle que AX + XA = O.
1) Trouvez les conditions que doivent satisfaire a, b, c et d pour qu’une telle matrice X existe.
2) Démontrez que si a + d = 0, il existe une double infinité de solutions.
3) Démontrez que si ad − bc = 0, il existe une simple infinité de solutions.
A = ( aij ) =
1
8
1) Tr(A) =
2) α =
3) β =
P3
i =1 a ii ;
P2
i =2 a ii −
i =1 a ii +1 ;
Ä
ä
P3
P3
j =1 a kj a j1 .
k =1
P3
2
−1
10
5
.
7
G
ré
go
3
Calculez
è
0
ire
Ö
[
]
Tr( A ) = 7, α = 1, β = 126
E XERCICE 46. Soit la matrice
E XERCICE 47. Soient les matrices
Ç
3
Ph
.
A=
å
2
Ç
−1
4
B=
et
å
1
b
a
2
.
Déterminez les valeurs de a et b pour que ces deux matrices commutent.
et b = − 21
a=
]
An =
]
x = 65 , y =
]
3
2
[
E XERCICE 48 (Mons Examen d’entrée 1992). Calculez la n-ième puissance de la matrice
è
2
1
0
3
2
1
[
!
0
0
0
1
0
0
1
2n
1
1
2n
n(2n + 1)
Ö
E XERCICE 49 (ERM Examen d’entrée 2003). On donne la matrice
A=
z−y
0
x + y!
2
,
z − 2x
−
où x, y et z sont des paramètres naturels. Sachant que
Ç
A −1 =
å
2
3
0
1
,
déterminez x, y et z.
13
6
et z =
8
3
[