Université A. Mira de Béjaia Année 2008/2009 Faculté de la Technologie

Université A. Mira de Béjaia
Faculté de la Technologie
Département des Sciences et Techniques (ST) 1èreannée
Année 2008/2009
17 juin 2009
Durée : 02 heures (08h30-10h30)
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Université A. Mira de Béjaia
Faculté de la Technologie
Département des Sciences et Techniques (ST) 1èreannée
Année 2008/2009
17 juin 2009
Durée : 02 heures (08h30-10h30)
~ Corrigé de l’Examen final ~
Physique 2 : Electricité et Magnétisme
Exercice n°1 (06 pts)
I. Champs électriques créés par les charges q et q' au point M (milieu de la droite OA).
r
E1( M ) = K
r
q
0,5 point
i
2
(d / 2)
r
r
r r
q'
q
E2 ( M ) = K
( −i ) = K
i = E1
2
2
(d / 2)
(d / 2)
Potentiel V(M) au point M
V( M ) = K
q
q'
+K
=0
d/2
d/2
0,5 point
r
E1
M r
E2
r
q i
O
0,25 point
q'=-q
A
0,25 point
0,5 point
Représentation des champs électriques
créés par les charges q et q' au point M.
II. 1. a). Signes des charges q1 et q2
Pour que le champ total s’annule en un point entre les deux charges, les deux champs créés par les deux
charges doivent être égaux et opposés, c’est-à-dire les charges q1 et q2 doivent être de même signe.
b). Relation entre q1 et q2
r
r
r
r
q
q
q r
q
E ( B ) = 0 ⇒ K 1 2 i + K 2 2 ( −i ) = 0 → K 1 2 = K 2 2
OB
AB
OB
AB
0,5 point
q1
q2
=
→
→ q2 = 4 q1
2
2
⎛d ⎞
⎛ 2d ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝3⎠
⎝ 3 ⎠
0,5 point
0,5 point
2. a). Potentiel V(B) au point B.
0,5 point
9 q1
q
q
q
q
V( B ) = K 1 + K 2 = K 1 + K 2
→V( B ) = K
d
OB
AB
⎛d ⎞
⎛ 2d ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝3⎠
⎝ 3 ⎠
3
A.N : V ( B ) = 135 10 volts
0,5 point
b). Energie potentielle de q3
on a : E p = q3 V ( B ) .
A.N :
E p = 0.135 J
0,5 point
c). Nature de l’équilibre de q3
r
D’après le sens de F3 (schéma ci-contre), la charge q3 a
tendance à revenir à sa position d’équilibre si on la déplace
légèrement de part et d’autre de B sur la droite OA. 0,5 point
→ Donc, la charge q3 est en équilibre stable.
O
B
q1
r q3
F3 gauche
Chaque élément de charge dq (figure ci-contre) crée en M le champ :
0,5 point
A
q2
0,5 point
Représentation des forces agissant sur q3 si
on la déplace légèrement à droite puis à
gauche sur la droite OA.
Exercice n°2 (07 pts)
r
1. a). Champ dE( M ) créé au point M par un élément de charge du fil
dq r
dE ( M ) = K 2 u
r
r
F3 droite
Z
r
dE
0,5 point
M
zr α r
k
λ
r
z 2 + R 2 ; (z=OM)
u
O
R
λ dl r
dq
→ dE ( M ) = K 2
u
2
X
rz + R
b). Calcul du champ E( M ) créé par le fil chargé au point M en fonction de Q, R, ε0 et z.
avec : dq = λ dl et r =
r
Symétrie → E( M ) est porté par l’axe OZ
Y
0,5 point
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r
∫
r
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Durée : 02 heures (08h30-10h30)
r
∫
Donc : E( M ) = dE z ( M ) = dE( M ) cos α k
0,5 point
z
z
=
r
z2 + R2
r
r
λ dl
E( M ) s'écrit alors : E( M ) = ∫ K 2
z + R2
avec : cos α =
∫
z2 + R2
r
(
Qz
)
2 3/ 2
(z
z
2
+R
λ l fil = Q .
r
r
1
Qz
k=
k
3
/
2
4πε 0 (z 2 + R 2 )
avec : dl = l fil = 2πR = longueur du fil
D’où: E( M ) = K
r
k =K
z
)
2 3/ 2
r
λ ∫ dl k
et
01,5 point
z2 + R
r
c). E0 ( M ) quand z devient très grand devant le rayon R du fil
on a : z >> R → z + R ≈ z
2
2
2
r
r
01 point
Q r
0,5 point
E( M ) devient : E0 ( M ) ≈ K 2 k
z
→ Quand z devient très grand devant R, le fil serait vu comme une charge ponctuelle Q placée au point O.
r
3. Energie potentielle du dipôle dans le champ E( M )
r r
on a : E p = − p .E
0.5 point
→ E p = − p .K .
v
(z
0.5 point
Qz
2
+ R2
)
3/ 2
Force f subie par le dipôle :
v
on a : f = − grad E p = −
dE p r
k
dz
0.5 point
v
→ f = p .K .Q .
R2 − 2z2
(z
2
+ R2
)
5/ 2
r
k
0.5 point
Exercice n°3 (04 pts)
Calcul du champ électrique créé en tout point M de l’espace :
Théorème de Gauss :
r
r
Φ = ∫∫ E .dS =
∑Q
int S .Gaus
0,5 point
ε0
S
Symétrie : le champ électrique créé par le fil infini est radial ⊥ zz', il ne dépend que de r (distance fil-point M).
le champ électrique créé par le cylindre infini est radial ⊥ zz', il ne dépend que de r .
→ Surface fermée de Gauss ≡ cylindre de rayon r et de hauteur h, passant par M.
0,5 point
1. r<R (intérieur du cylindre de rayon R) :
Surface de Gauss considérée : cylindre de rayon r (r=OM)
Φ = Φ Surface latérale = Eint ( r ).S l = Eint ( r ).2πrh
Φ Bases = 0
0,5 point
Fil infini chargé (λ)
Flux du champ électrique :
Charge intérieure à la surface de Gauss :
∑Q
int S .Gauss
Théorème de Gauss :
= Charge du fil de longueur h = λ h
r
r
Φ = ∫∫ E .dS =
S
→
Φ = Eint ( r ).2πrh =
Cylindre infini chargé (σ)
S. Gauss
0,5 point
∑Q
int S .Gaus
ε0
λh
λ
→ E int ( r ) =
2πε 0 r
ε0
r
M
h
0.5 point
2. r>R (Extérieur du cylindre de rayon R) :
Surface de Gauss considérée : cylindre de rayon r
Flux du champ électrique :
Φ = Φ Surface latérale = Eext ( r ).S l = Eext ( r ).2πrh
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Durée : 02 heures (08h30-10h30)
Charge intérieure à la surface de Gauss :
∑Q
int S .Gauss
Fil infini chargé (λ)
Cylindre infini chargé (σ)
= (Charge du fil) +(Charge du cylindre )
∑ Qint S .Gauss =λ h + σ S l = λ h + σ 2π R h
Théorème de Gauss :
r
r
Φ = ∫∫ E .dS =
0,5 point
S. Gauss
∑Q
int S .Gaus
ε0
λ h + σ 2π R h
→ Φ = Eext ( r ).2πrh =
ε0
λ
σ R
+
→ E ext ( r ) =
2πε 0 r ε 0 r
S
r
M h
01 point
Questions de Cours (03 pts) Choix d’une question parmi les trois ci-dessous
1. Définitions et propriétés d’une ligne de champs et d’une surface équipotentielle.
Ligne de champ :
0.5 point
C’est une ligne de l’espace telle qu’en tout point M de cette ligne, la tangente et le champ
r
électrique E en ce point sont parallèles. Cette ligne est orientée dans le sens du champ.
Surface équipotentielle :
0.5 point
Ligne de champ
On appelle surface équipotentielle une surface (S) de l’espace sur laquelle le
potentiel électrostatique V est constant. V(M)=V0 pour tout point M∈(S).
Deux propriétés qui relient les lignes de champ aux surfaces équipotentielles :
Surface équipotentielle (S)
r
E( M )
01 point
M
M'
¾ En tout point M d’un domaine où existe un champ électrostatique,
0.5 point
la ligne de champ et la surface équipotentielle passant par ce
MM ' ∈( S )
point sont perpendiculaires.
¾ Les surfaces équipotentielles se resserrent dans les régions où le 0.5 point
champ électrique est le plus intense.
! :……… l’étudiant peut donner d’autres propriétés liant les lignes de champ aux surfs. équilles.
2. a. Propriétés principales d’un conducteur en équilibre électrostatique
¾ Le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique.
¾ Le potentiel électrostatique est constant sur l’ensemble du conducteur.
¾ Les charges électriques sont localisées en surface (la densité de charge volumique est nulle).
¾ Le champ électrique externe au voisinage immédiat du conducteur est normal à la surface.
! :……… l’étudiant peut formuler et/ou donner d’autres propriétés.
02 points
(4×0,5 point)
b. Calcul de la capacité C3 pour que la capacité équivalente entre les bornes A et B soit égale à C1+C2.
0.5 point
C 12 + C 22 + C1 C2
C1 C2
C1 C 2
C
=
C
+
C
−
=
CéqAB =
+ C 3 = C1 + C 2
→ 3
1
2
C1 + C2
C1 + C2
C1 + C2
3. a. Densité de courant j et vitesse vd des électrons libres dans ce conducteur
0.5 point
dQ Q
18000
= 5A
A.N : I =
On a : I =
=
3600
dt
t
0.5 point
dI I
I
6
2
j=
= =
.
A.N : j = 4.42 10 A / m
dS S π ( d / 2 )2
On a : j = n e vd
0.5 point
j
→ vd =
ne
A.N : vd = 1.2 10
−4
0.5 point
0.5 point
m/ s
b. Calcul de la Résistance R3 pour que la résistance équivalente entre les bornes A et B soit égale à
RéqAB
(R2 + R3 )R1
R
=
= 1
R1 + R2 + R3
2
0.5 point
→ R3 = R1 − R2
End
0.5 point
R1
.
2
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