Université A. Mira de Béjaia Année 2008/2009 Faculté de la Technologie

Université A. Mira de Béjaia Année 2008/2009
Faculté de la Technologie 17 juin 2009
Département des Sciences et Techniques (ST) 1èreannée Durée : 02 heures (08h30-10h30)
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Département des Sciences et Techniques (ST) 1èreannée Durée : 02 heures (08h30-10h30)
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~ Corrigé de l’Examen final ~
Physique 2 : Electricité et Magnétisme
Exercice n°1 (06 pts)
I. Champs électriques créés par les charges q et q' au point M (milieu de la droite OA) .
i
)2/d( q
K)M(E 2
1
r
r
=
1
22
2Ei
)2/d( q
K)i(
)2/d( 'q
K)M(E
r
r
r
r
==−=
Potentiel V(M)
au point M
0
2/d 'q
K
2/d q
K)M(V =+=
II.
1. a ). Signes des charges q
1
et q
2
Pour que le champ total s’annule en un point entre les deux charges, les deux champs créés par les deux
charges doivent être égaux et opposés, c’est-à-dire
les charges q1 et q2 doivent être de même signe .
b ). Relation entre q1 et q2
0)i(
AB
q
Ki
OB
q
K0)B(E 2
2
2
1r
rr
r
r=−+⇒= → 2
2
2
1AB
q
K
OB
q
K=
→ 2
2
2
1
3
d2
q
3
d
q
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ →12 q4q
=
2. a). Potentiel V(B) au point B .
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+=
3
d2
q
K
3
d
q
K
AB
q
K
OB
q
K)B(V 2121 →d
q9
K)B(V 1
=
A.N : volts10135)B(V 3
=
b). Energie potentielle de q3
on a : )B(VqE 3p =. A.N : J135.0Ep=
c). Nature de l’équilibre de q
3
D’après le sens de 3
F
r
(schéma ci-contre), la charge q3 a
tendance à revenir à sa position d’équilibre si on la déplace
légèrement de part et d’autre de
B sur la droite OA.
→ Donc, la charge q3 est en
équilibre stable .
Exercice n°2 (07 pts)
1. a). Champ )M(Ed r créé au point M par un élément de charge du fil
Chaque élément de charge dq
(figure ci-contre) crée en M le champ :
u
r
dq
K)M(Ed 2
r
=
avec : dldq
λ
= et 22 Rzr += ; (z=OM)
→ u
Rz dl
K)M(Ed 22
r
+
=
λ
b ). Calcul du champ )M(E
r
créé par le fil chargé au point M en fonction de Q, R, ε
0 et z
.
Symétrie → )M(E
r
est porté par l’axe OZ
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
0,5 point
O
A
M
q q'=-q
i
r
1
E
r
2
E
r
0,25 point
0,25 point
Représentation des champs électriques
créés par les charges q et q' au point M.
0,5 point
0,5 point
λ
M
O
k
r
Z
X
Y
u
r
Ed r
α
r
dq
z
R
O
A
B
q1 q3 q2
droite3
F
r
gauche3
F
r
Représentation des forces agissant sur q3 si
on la déplace légèrement à droite puis à
gauche sur la droite OA.
0,5 point

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Donc : kcos)M(dE)M(Ed)M(E z
r
rr
α
∫∫ ==
avec : 22 Rz
z
r
z
cos + ==
α
)M(E
r
s'écrit alors :
()
kdl
Rz
z
Kk
Rz
z
Rz dl
K)M(E 2/3
2222
22
r
r
r∫∫ +
=
+
+
=
λ
λ
avec : R2ldl fil
π ==
∫= longueur du fil et Qlfil
=
λ
.
D’où:
() ()
k
Rz
zQ
41
k
Rz
zQ
K)M(E 2/3
22
0
2/3
22
r
r
r
+
=
+
=
πε
c). )M(E0
r
quand z devient très grand devant le rayon R du fil
on a : Rz >> → 222 zRz
≈
+
)M(E
r
devient : k
z
Q
K)M(E 2
0
r
r
≈
→ Quand z devient très grand devant R, le fil serait vu comme une charge ponctuelle Q placée au point O.
3. Energie potentielle du dipôle dans le champ )M(E
r
on a : E.pEp
r
r
−= →
()
2/3
22
pRz
zQ
.K.pE + −=
Force f
v
subie par le dipôle :
on a : k
dz
dE
Egradf p
p
r
v−=−= →
()
k
Rz
z2R
.Q.K.pf 2/5
22
22 r
v
+
−
=
Exercice n°3 (04 pts)
Calcul du champ électrique créé en tout point M de l’espace :
Théorème de Gauss : ∫∫ ∑
==
S0
Gaus.Sint
Q
Sd.E
ε
Φ
r
r
Symétrie : le champ électrique créé par le fil infini est radial ⊥ zz', il ne dépend que de
r (distance fil-point M).
le champ électrique créé par le cylindre infini est radial ⊥ zz', il ne dépend que de
r .
→ Surface fermée de Gauss ≡ cylindre de rayon r et de hauteur h, passant par M.
1. r < R (intérieur du cylindre de rayon R) :
Surface de Gauss considérée : cylindre de rayon r (r=OM)
Flux du champ électrique : rh2).r(ES).r(E intintlatéraleSurface
π
Φ
Φ
=
=
=l
0
Bases =
Φ
Charge intérieure à la surface de Gauss :
∑= Gauss.Sint
QCharge du fil de longueur h h
λ
=
Théorème de Gauss : ∫∫ ∑
==
S0
Gaus.Sint
Q
Sd.E
ε
Φ
r
r
→
0
int h
rh2).r(E
ε
λ
πΦ == → r2
)r(E
0
int
πε
λ
=
2. r>R (Extérieur du cylindre de rayon R) :
Surface de Gauss considérée : cylindre de rayon r
Flux du champ électrique : rh2).r(ES).r(E extextlatéraleSurface
π
Φ
Φ
=
=
=l
0,5 point
01,5 poin
t
0,5 point
01 point 0,5 point
0,5 point
0.5 point
0,5 point
0,5 point
r
S. Gauss
h
Fil infini chargé (
λ
)
Cylindre infini chargé (
σ
)
M
0.5 point
0.5 point
0.5 point
0.5 point

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Charge intérieure à la surface de Gauss :
∑=
Gauss.Sint
Q(Charge du fil ) +(Charge du cylindre )
hR2hShQ Gauss.Sint πσλσλ +=+=
∑l
Théorème de Gauss : ∫∫ ∑
==
S0
Gaus.Sint
Q
Sd.E
ε
Φ
r
r
→
0
ext hR2h
rh2).r(E
ε
π
σ
λ
πΦ
+
==
→ r
R
r2
)r(E
00
ext
ε
σ
πε
λ
+=
Questions de Cours (03 pts) Choix d’une question parmi les trois ci-dessous
1.
Définitions et propriétés d’ une ligne de champs et d’ une surface équipotentielle .
Ligne de champ :
C’est une ligne de l’espace telle qu’en tout point M de cette ligne, la tangente et le champ
électrique
E
r
en ce point sont parallèles. Cette ligne est orientée dans le sens du champ.
Surface équipotentielle :
On appelle surface équipotentielle une surface (S) de l’espace sur laquelle le
potentiel électrostatique V est constant
. V(M)=V0 pour tout point M ∈ (S).
Deux propriétés qui relient les lignes de champ aux surfaces équipotentielles :
¾ En tout point M d’un domaine où existe un champ électrostatique,
la ligne de champ et la surface équipotentielle passant par ce
point sont perpendiculaires.
¾ Les surfaces équipotentielles se resserrent dans les régions où le
champ électrique est le plus intense.
! :………
l’étudiant peut donner d’autres propriétés liant les lignes de champ aux surfs. équi
lles
.
2. a.
Propriétés principales d’un conducteur en équilibre électrostatique
¾ Le champ électrique est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique.
¾ Le potentiel électrostatique est constant sur l’ensemble du conducteur.
¾ Les charges électriques sont localisées en surface (la densité de charge volumique est nulle).
¾ Le champ électrique externe au voisinage immédiat du conducteur est normal à la surface.
! :………
l’étudiant peut formuler et/ou donner d’autres propriétés.
b. Calcul de la capacité C3 pour que la capacité équivalente entre les bornes A et B soit égale à C1+C2 .
213
21
21
éqAB CCC
CC CC
C+=+
+
= →
21
21
22
21
21
213 CC
CCCC
CC CC
CCC 21
+
++
=
+
−+=
3. a. Densité de courant j et vitesse vd des électrons libres dans ce conducteur
On a : t
Q
dt
dQ
I== A.N : A5
3600
18000
I==
2
)2/d( I
S
I
dS
dI
j
π
=== . A.N : 26 m/A1042.4j =
On a : d
venj = → ne
j
vd= A.N : s/m102.1v 4
d−
=
b. Calcul de la Résistance R3 pour que la résistance équivalente entre les bornes A et B soit égale à 2
R1
.
()
2
R
RRR RRR
R1
321
132
éqAB =
++
+
= → 213 RRR
−
=
0,5 point
01 point
End
(
4 × 0,5
p
oint
)
02 points
0.5 point
0.5 point
0.5 point
0.5 point
0.5 point
0.5 point
0.5 point
M
Ligne de champ
Surface équipotentielle (S)
M'
)S('MM ∈
)M(E
r01
point
0.5 point
0.5 point
0.5 point
0.5 point
0.5 point
r
S. Gauss
h
Fil infini chargé (
λ
)
Cylindre infini chargé (
σ
)
M