I. Enroulement d`une droite sur le cercle trigonométrique

TR : Trigonométrie 2nde
La trigonométrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs, mais hélas
elle se limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipulés jusqu’à maintenant - appelés angles
géométriques - ne sont pas orientés ce qui pose un problème pour les phénomènes de rotation. Comment décrire
par exemple le mouvement d’une planète qui tourne autour de son orbite ?
Ce genre de questions a conduit les mathématiciens et physiciens à redéfinir et élargir la notion d’angle puis de
sinus et de cosinus. C’est ce que nous allons aborder avec ce chapitre.
I. Enroulement d’une droite sur le cercle trigonométrique
1
2
3
−1
−2
−3
3,14 −π
OO=⇒O
11
22
33
ππ
44
55
66
2π2π
2π+ 12π+ 1
11
22
33
ππ
44 55
66
2π2π
Remarque 1
• Le périmètre du cercle unité vaut 2πR= 2π.
Donc, le point d’abscisse 2πde la droite des réels vient se « coller » sur le 0 d’origine du cercle.
On peut donc définir une nouvelle unité de mesure : le radian.
Mesure en degrés 360 180 90 60 45 30
Mesure en radians 2π π
π
2
π
3
π
4
π
6
• À chaque point de la droite des réels correspond un unique point sur le cercle, mais inversement,
à tout point du cercle correspond une infinité de points sur la droite, tous distincts de k×2πoù kest un
nombre de tours.
Définition 1
➤Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens
direct ou indirect,
➤Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1orienté de telle sorte que le sens direct est
celui du sens inverse des aiguilles d’une montre.
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TR : Trigonométrie 2nde
Remarque 2
• Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Sens indirect : sens négatif, sens horaire .
II. Sinus et cosinus
Définition 2
Soit xun réel quelconque. Il lui correspond un unique point Mdu cercle trigonométrique tel que xsoit une
mesure en radians de (\ AOM ).
➤Le cosinus de x, noté cosx, est l’abscisse de Mdans le repère O,−→
ı , −→ .
➤Le sinus de x, noté sinx, est l’ordonnée de Mdans le repère O,−→
ı , −→ .
cosxet sinxsont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du
point Mdans le repère O,−→ ı , −→ .
On note : −−−→ OM 
cosx
sinx
M
x
cosx
sinx
0A
−→
−→
ı
Remarque 3
On retrouve les propriétés du cosinus et du sinus vues en troisième pour un angle aigu :
OO AA
MM
x
côté adjacent
hypoténuse = 1
côté opposé
• sinx=côté opposé
hypoténuse =AM OM =AM
• cosx=côté adjacent
hypoténuse =OA AM =OA
D’après le cercle trigonométrique, on peut « lire » les propriétés suivantes :
Propriété 1
♦cos2x+ sin2x= 1
♦−16cosx61 et −16sinx61
♦cos(x+ 2π) = cosxet sin(x+ 2π) = sinx
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Valeurs particulières importantes à connaitre ! ! !
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
−π
7π
6
5π
4
4π
33π
2
11π
6
7π
4
5π
3
1
2
√2
2
√3
2
0
−1
2
−√2
2
−√3
2
1
2
√2
2
√3
2
−1
2
−√2
2
−√3
2
On peut donc établir le tableau suivant :
valeur de xen radians 0 π
6
π
4
π
3
π
2π
valeur de xen degrés 0 30 45 60 90 180
sinx01
2
√2
2
√3
21 0
cosx1√3
2
√2
2
1
20−1
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