I. Enroulement d`une droite sur le cercle trigonométrique

TR : Trigonométrie
2nde
La trigonométrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs, mais hélas
elle se limite aux angles aigus. De plus, les angles que nous avons manipulés jusqu’à maintenant - appelés angles
géométriques - ne sont pas orientés ce qui pose un problème pour les phénomènes de rotation. Comment décrire
par exemple le mouvement d’une planète qui tourne autour de son orbite ?
Ce genre de questions a conduit les mathématiciens et physiciens à redéfinir et élargir la notion d’angle puis de
sinus et de cosinus. C’est ce que nous allons aborder avec ce chapitre.
I. Enroulement d’une droite sur le cercle trigonométrique
3, 14 − π
3
b
2
2
π 3
b
1
b
2
4
O
b
b
b
b
5
b
1
b
b
=⇒
O
1
b
3
π
2π
6
O
b
b
b
b
4
b
5
b
b
−1
b
6
b
b
2π
−2
b
b
b
2π + 1
b
b
−3
Remarque 1
• Le périmètre du cercle unité vaut 2πR = 2π.
Donc, le point d’abscisse 2π de la droite des réels vient se « coller » sur le 0 d’origine du cercle.
On peut donc définir une nouvelle unité de mesure : le radian.
Mesure en degrés
360
180
90
60
45
30
π
π
π
π
Mesure en radians
2π
π
2
3
4
6
• À chaque point de la droite des réels correspond un unique point sur le cercle, mais inversement,
à tout point du cercle correspond une infinité de points sur la droite, tous distincts de k × 2π où k est un
nombre de tours.
Définition 1
➤ Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens
direct ou indirect,
➤ Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le sens direct est
celui du sens inverse des aiguilles d’une montre.
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Remarque 2
• Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Sens indirect : sens négatif, sens horaire .
II. Sinus et cosinus
Définition 2
Soit x un réel quelconque. Il lui correspond un unique point M du cercle trigonométrique tel que x soit une
\ ).
mesure en radians de (AOM
−
→ −
→
➤ Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M dans le repère O, ı ,  .
−
→ −
→
➤ Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M dans le repère O, ı ,  .
M
cos x et sin x sont donc respectivement
l’abscisse et l’ordonnée du
−
→ −
→
point M dans le repère O, ı ,  .


−−−→ cos x
On note : OM 

sin x
sin x
−
→

x
0
−
→
ı
A
cos x
Remarque 3
On retrouve les propriétés du cosinus et du sinus vues en troisième pour un angle aigu :
O
b
1
hy
x
côté adjacent
M
b
b
côté opposé AM
=
= AM
hypoténuse
OM
côté adjacent
OA
• cos x =
=
= OA
hypoténuse
AM
côté opposé
s
nu
é
t
po
e=
• sin x =
A
D’après le cercle trigonométrique, on peut « lire » les propriétés suivantes :
Propriété 1
♦ cos2 x + sin2 x = 1
♦ −1 6 cos x 6 1
et
♦ cos(x + 2π) = cos x
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−1 6 sin x 6 1
et
sin(x + 2π) = sin x
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Valeurs particulières importantes à connaitre ! ! !
π
2
2π
3
3π
4
√
3
2
√
2
2
5π
6
−π
π
3
π
4
π
6
1
2
−
√
3
2
−
√
2
2
− 21
7π
6
√
1
2
0
2
2
√
3
2
11π
6
− 12
√
2
2
√
− 23
−
5π
4
0
4π
3
7π
4
5π
3
3π
2
On peut donc établir le tableau suivant :
valeur de x en radians
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
valeur de x en degrés
0
30
45
60
90
180
1
2
√
3
2
√
√
3
2
1
0
1
2
0
−1
sin x
0
cos x
1
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2
2
√
2
2
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