Alg`ebre 05 – Groupes finis. Exemples et applications.

Alg`ebre 05 – Groupes finis. Exemples et applications.
Soit Gd’´el´ement neutre eet d’ordre |G|=N.
1. G´ en´ eralit´ es
Ces deux r´esultats sont la motivation de ce qui suivra :
Th´eor`eme de Lagrange. L’ordre d’un sous-groupe de
Gdivise N.
Th´eor`eme de Cayley. Gest isomorphe `a un sous-
groupe de SN.
On suppose que Gagit sur un ensemble fini X.
´
Equation aux classes. Si Td´esigne une transversale
pour l’action de Gsur Xalors |X|=P
x∈T
[G: Stab(x)].
Formule de Burnside-Frobenius. Le nombre d’or-
bites de l’action de Gsur Xest 1
NP
g∈G|Fix(g)|.
Application. Si pest premier et divise Nalors Gad-
met un ´el´ement d’ordre p.
Application. Si Hest un sous-groupe de Gdont l’in-
dice est le plus petit diviseur premier de Nalors Hest
distingu´e dans G.
Application. Si N=pαalors |Z(G)| ≥ pet Gadmet
un sous-groupe de tout ordre divisant N.
De plus, si α= 2 alors Gest ab´elien.
Th´eor`emes de Sylow. Si N=pαmavec ppremier
ne divisant pas malors
(i)Gadmet un p-Sylow i.e. un s.-g. d’ordre pα,
(ii)tous les p-Sylow sont conjugu´es,
(iii)le nombre npde p-Sylow divise met est congru
`a 1modulo p.
Remarque. Si Hest un p-Sylow de Galors HGsi
et seulement si Hest l’unique p-Sylow de G.
Application. Classification des groupes d’ordre pq.
2. Groupes ab´ eliens finis
On suppose dans cette section que Gest ab´elien non
trivial et on note N=pα1
1···pαk
k.
2.1. Groupes cycliques.
Un groupe cyclique est un groupe monog`ene fini.
Exemples. Z/nZet Un={z∈C;zn= 1}sont des
groupes cycliques d’ordre n.
Remarque. Un groupe cyclique d’ordre nest iso-
morphe `a Z/nZ; en particulier, deux groupes cycliques
sont isomorphes si et seulement s’ils sont de mˆeme ordre.
Proposition. Si G=haialors pour tout k∈Z
–akest d’ordre N
N∧k,
–akengendre Gsi et seulement si k∧N= 1,
–Gaϕ(N)g´en´erateurs.
Exemple. Les g´en´erateurs de Z/12Zsont 1,5,7 et 11.
Proposition. L’image par un morphisme fd’un
groupe cyclique haiest le groupe cyclique hf(a)i.
Corollaire. Si Gest cyclique alors
Aut(G) = {x7→ xk; 0 ≤k≤N−1, k ∧N= 1}
est de cardinal ϕ(N).
Proposition. Si G=haialors
– tout sous-groupe de Gest cyclique,
– si ddivise Nalors il existe un unique sous-groupe Hd
de Gd’ordre d.
De plus, on a Hd={x∈G;xd=e}=han/di.
Application. ∀n≥1, n =P
d|n
ϕ(d).
Application. (Z/pZ)∗'Aut(Z/pZ)'Z/(p−1)Z.
Proposition. Le produit G=G1×···×Gkest cyclique
si et seulement si G1, . . . , Gksont cycliques d’ordres pre-
miers entre eux deux `a deux.
Application. Si m∧n= 1 alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
2.2. D´ecompositions en produits de p-groupes ou
de groupes cycliques.
Proposition. Si G6={e}est tel que x2=epour tout
x∈Galors G'(Z/2Z)N/2.
D´efinition. On dit que Gest un p-groupe si tout x∈G
est d’ordre une puissance de p.
Exemples. Z/8Zet (Z/3Z)Nsont des p-groupes.
Proposition. Il existe des sous-groupes G1, . . . , Gkde
G, avec Gipi-groupe, tels que G'G1× ··· × Gk.
Proposition. Pour tout 1≤i≤k, il existe des entiers
αi,1≤ ··· ≤ αi,nitels que
G'Z/pα1,1
1Z× ··· × Z/pα1,n1 1Z× ··· × Z/pαk,nk
kZ.
La famille (αi,j )est unique et est appel´ee le type de G.
Remarque. Puisque
ni
P
j=1
αi,j =αi, les groupes ab´eliens
d’ordre Ncorrespondent aux partitions des entiers αi.
Application. Pour tout diviseur dde N, il existe un
sous-groupe de Gd’ordre d.
Proposition. Si Galors il existe une unique suite
H1, . . . , Hkde sous-groupe cycliques de Gtelle que |Hi|
divise |Hi+1|et G'H1× ··· × Hk.
Exemples. Z/8Z×Z/12Z×Z/45Z'Z/360Z×Z/12Z
Z/aZ×Z/bZ'Z/(a∨b)Z×Z/(a∧b)Z
Corollaire. Ga un ´el´ement d’ordre le ppcm des ordres
des ´el´ements de G.
Application. Tout sous-groupe fini du groupe multi-
plicatif d’un corps est cyclique.
3. Exemples de groupes non ab´ eliens
3.1. Groupe sym´etrique Sn.
D´efinition et proposition. Il existe un unique mor-
phisme surjectif ε:Sn→ {−1,1}, appel´e signature, et
son noyau Anest appel´e groupe altern´e.

Corollaire. Anest le seul sous-groupe d’indice 2de Sn.
Proposition. Snest engendr´e par (1 2) et (1 2 ··· n),
ou par les transpositions (i i + 1), ou par les transposi-
tions (1 i).
Anest engendr´e par les 3-cycles de la forme (i, i +1, i+
2).
Remarque. Si τ1, . . . , τksont des transpositions qui
engendrent Snalors k≥n−1.
Exemple. A4n’est pas simple mais n’admet pas de
groupe d’ordre 6 alors que 6 divise |A4|.
Proposition. A5est le seul (`a isomorphisme pr`es)
groupe simple d’ordre 60.
Proposition. Anest simple pour tout n≥5.
Application. Si n≥5 alors D(An) = An.
3.2. Groupes di´edraux.
On note Ple plan affine euclidien et O(2) le groupe des
isom´etries de P.
D´efinition. On appelle groupe di´edral Dn, le groupe
(d’ordre 2n) des isom´etries de Pconservant un polygˆone
r´egulier `a ncˆot´es.
Remarque. Dnest un sous-groupe de O(2) d’ordre 2n.
Application (collier de perles).Si on dispose d’un fil
circulaire, de 4 perles bleues, de 3 perles blanches et de
2 perles rouges, alors on peut faire 76 colliers diff´erents.
Proposition. Si Gest engendr´e par aet bavec |hai| =
n,|hbi| = 2 et |habi| = 2 alors G'Dn.
3.3. Groupes des quaternions.
D´efinition. H8est le sous-groupe de GL2(C) engendr´e
par 0i
i0et 0 1 −1 0 .
Remarque. Tout sous-groupe de H8est distingu´e mais
H8n’est pas ab´elien.
Remarque. |H8|= 8 mais H8n’est pas isomorphe `a
D4.
Proposition. Si Gest engendr´e par aet bavec a4=e,
a2=b2et b−1ab =a3alors G'H8.
3.4. Sous-groupes finis de GLn(C).
Proposition. Si Gest un sous-groupe fini de GLn(C)
alors il existe Pinversible telle que P GP −1⊂ U(n).
Th´eor`eme de Burnside-Schur. Si Gest un sous-
groupe de GLn(C)alors les assertions suivantes sont
´equivalentes :
(i)Gest fini
(ii)Gest d’exposant fini
(iii)Gest de torsion et de type fini
4. Applications
4.1. Factorisation dans un anneau d’entier de
corps de nombres A.On rappelle que :
–Aest un anneau de Dedekind
– le groupe des classes d’id´eaux C(A) est le quotient du
groupe ab´elien des id´eaux fractionnaires par le sous-
groupe des id´eaux fractionnaires principaux
– C(A) est fini et toute classe non nulle “contient” des
id´eaux premiers
Lemme. Soit p1, . . . , prdes id´eaux premiers de Atels
que p1···pr=Aπ alors πest irr´eductible si et seule-
ment s’il n’existe par de sous-produit strict pi1···pis
principal.
Lemme. Soit pun id´eal premier de Adont la classe
pest d’ordre rdans C(A)alors on a pr=Aπ avec π
irr´eductible dans A.
D´efinition. On dit que Aest un anneau semi-factoriel
si la longueur des factorisations d’un ´el´ement ne d´epend
que de l’´el´ement i.e. toute ´egalit´e du type π1···πr=
τ1···τs,o`u les πi, τjsont irr´eductibles dans A, implique
r=s.
Th´eor`eme de Carlitz. Aest semi-factoriel si et seule-
ment si |C(A)| ≤ 2.
4.2. Groupes d’isom´etries des poly`edres
r´eguliers.
Proposition. Les sous-groupes finis de SO(3) sont iso-
morphes `a Z/nZ,Dn/2,A4,S4ou A5.
Remarque. A4est le groupe du t´etra`edre.
S4est le groupe du cube et de l’octa`edre.
A5est le groupe de l’icosa`edre et du dod´eca`edre.
4.3. Caract`eres d’un groupe ab´elien G.Un ca-
ract`ere de Gest un morphisme de Gdans le groupe
des nombres complexes de module 1.
L’ensemble b Gdes caract`eres de Gest un groupe multi-
plicatif, d’´el´ement neutre χ0≡1 et χ−1=χ.
Exemple. Si G=Z/N Zalors b Gest compos´e des ca-
ract`eres χ0, . . . , χN−1o`u χj(k) = e2iπkj/N .
Proposition. Si Hest un sous-groupe de Get ψ∈b H
alors il existe χ∈b Gtel que ψ(h) = χ(h)pour tout
h∈H.
Corollaire. Soit g1, g2∈Gdistincts alors il existe
χ∈b Gtel que χ(g1)6=χ(g2).
Proposition. Si χ6=ψalors P
g∈G
χ(g)ψ(g) = 0.
Si g6=halors P
χ∈G
χ(g)χ(h) = 0.
Corollaire. |b G|=|G|
D´ eveloppements
Sous-groupes finis de SO(3).
A5est le seul groupe simple d’ordre 60.
Classification des groupes d’ordre pq.
Th´eor`eme de Carlitz.
R´ ef´ erences
[1] M. Alessandri, Th`emes de g´eom´etrie. Groupes en situation
g´eom´etrique, Dunod, 1999.
[2] J. Calais, ´ El´ements de th´eorie des groupes, P.U.F., 1996.
[3] F. Combes, Alg`ebre et g´eom´etrie, Br´eal, 1998.
[4] S. Francinou et H. Gianella, Exercices d’alg`ebre 1, Masson,
1993.
[5] R. Lidl and H. Niederreiter, Introduction to finite fields and
their applications, Cambridge University Press, 1997.