Alg`ebre 04 – Sous-groupes distingués, groupes quotients

Alg`ebre 04 – Sous-groupes distingu´es, groupes quotients. Exemples et
applications.
Soit Gun groupe not´e multiplicativement d’´el´ement
neutre eet Hun sous-groupe de G.
1. G´ en´ eralit´ es et exemples
D´efinition. On dit qu’une relation d’´equivalence Rsur
Gest compatible avec la loi du groupe si pour tous
x, y, a ∈G,xRyimplique axRay et xaRya.
Proposition. Une relation d’´equivalence Rsur Gest
compatible avec la loi du groupe si et seulement si G/R
est un groupe pour la loi x·y=xy.
On consid`ere les relations d’´equivalence Rget Rd
d´efinies par : xRgy⇐⇒ x−1y∈Het xRdy⇐⇒
xy−1∈H. On note respectivement (R/H)get (R/H)d
les quotients par ces relations.
D´efinition et proposition. L’indice de Hdans Gest
d´efini par [G:H] = Card(R/H)g= Card(R/H)d.
Lorsque Gest fini, on a [G:H] = |G|/|H|.
D´efinition et proposition. Les assertions suivantes
sont ´equivalentes :
(i)Rgest compatible avec la loi de G
(ii)Rdest compatible avec la loi de G
(iii)∀g∈G, gH =Hg i.e. gHg−1=H
(iv) les relations Rget Rdco¨ıncident.
Lorsque ces conditions sont v´erifi´ees, on dit que Hest
un sous-groupe distingu´e de Get on ´ecrit HG.
L’ensemble quotient est alors not´e G/H.
Exemple. {e}et Gsont distingu´es dans G.
Exemple. Si Gest ab´elien alors tous ses sous-groupes
sont distingu´es.
Exemple. Le groupe H8des quaternions n’est pas
ab´elien mais tous ses sous-groupes sont distingu´es.
Proposition. Si [G:H] = 2 alors HG.
Exemple. Si Dnest le groupe di´edral d’ordre 2nalors
le sous-groupe (cyclique) Γndes rotations de Dnest
distingu´e dans Dn.
Proposition. HGsi et seulement s’il existe un
groupe G0et un morphisme f:G→G0tels que
H= ker f.
Exemple. SLn(R)GLn(R)
Exemple. AnSn
Exemple. Z(G)G
Proposition. Si f:G→G0est un morphisme de
groupes alors Im f'G/ ker f.
Application. Si Gest monog`ene alors G'Zou Z/nZ.
Application. Si [G:H] est le plus petit facteur pre-
mier de |G|alors HG.
Application. Soit Het Kdeux sous-groupes de G.
(i) Si HGalors HK ≤G,H∩KK,HHK
et K/(H∩K)'HK/H.
(ii) Si K≤H,KGet HGalors H/K G/K
et G/H '(G/K)/(H/K).
D´efinition. Hest un sous-groupe caract´eristique de G
si ϕ(H)⊂Hpour tout ϕ∈Aut(G) ; on note H<G.
Un sous-groupe caract´eristique est donc distingu´e.
Exemple. Int(G) = {x7→ gxg−1;g∈G}<Aut(G).
2. D´ evissage et simplicit´ e
2.1. Sous-groupes remarquables.
D´efinition. Le normalisateur de Hdans Gest le sous-
groupe NG(H) = {x∈G;xHx−1=H}.
Remarque. HG⇐⇒ NG(H) = G.
Remarque. HNG(H) et NG(H) est le plus grand
sous-groupe de Gdans lequel Hsoit distingu´e.
D´efinition. Le groupe d´eriv´e de Gest le sous-groupe de
G, not´e D(G) ou [G, G], engendr´e par les commutateurs
[x, y] = xyx−1y−1o`u x, y ∈G.
Exemple. D(A4) = {id,(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)}
et D(A3) = {id}.
Exemple. D(Sn)⊂ Anpour tout n≥2.
D´efinition. La suite centrale descendante (∆n(G))n≥0
de Gest d´efinie par ∆0(G) = Get ∆n+1(G) =
[∆n(G), G] pour tout n≥1.
Remarque. La suite (∆n(G))nest d´ecroissante et on
a ∆n(G)Get ∆n(G)/∆n+1(G)⊂Z(G/∆n+1(G)).
D´efinition. On dit que Gest nilpotent s’il existe n≥0
tel que ∆n(G) = {e}. Le plus petit entier c≥0 tel que
∆c(G) = {e}est appel´e la classe de nilpotence de G.
Exemple. Gest nilpotent de classe 0 si et seulement si
G={e}et Gest nilpotent de classe 1 si et seulement
si Gest ab´elien non trivial.
Exemple. Soit UT3(R) le sous-groupe de GL3(R)
form´e des matrices 
1a b
0 1 c
001
. Si A, B, C ∈U T3(R)
alors [[A, B], C] = I or UT3(R) n’est pas ab´elien donc
UT3(R) est nilpotent de classe 2.
Exemple. Pour tout n≥1, on a ∆n(S3) = A3donc
S3n’est pas nilpotent.
D´efinition. On d´efinit (Dn(G))npar D0(G) = Get
Dn+1(G) = [Dn(G), Dn(G)] pour tout n≥0.
Remarque. La suite (Dn(G))nest d´ecroissante et,
pour tout n≥0, Dn+1(G)Dn(G) et Dn(G)/Dn+1(G)
est ab´elien.
D´efinition. On dit que Gest r´esoluble s’il existe n≥1
tel que Dn(G) = {e}.

Exemple. Si Gest nilpotent alors Gest r´esoluble.
Exemple. S2,S3et S4sont r´esolubles.
Exemple. Un p-groupe fini est r´esoluble.
2.2. Simplicit´e.
Lemme (th´eor`emes de Sylow).Si |G|=pαmavec p
premier ne divisant pas malors
(i)Gadmet un p-Sylow i.e. un sous-groupe d’ordre
pα,
(ii)les p-Sylow de Gsont conjugu´es,
(iii)le nombre npde p-Sylow divise met est congru
`a 1modulo p,
(iv)si np= 1 alors le p-Sylow est distingu´e dans G.
D´efinition. On dit que Gest simple si ses seuls sous-
groupes distingu´es sont {e}et G.
Exemple. Pour tout ppremier, Z/pZest simple.
Exemple. SO(3) est simple.
Exemple. A4n’est pas simple.
Proposition. A5est le seul (`a isomorphisme pr`es)
groupe simple d’ordre 60.
Proposition. Anest simple pour tout n≥5.
Application. Si n≥5 alors D(An) = An.
Application. Si n≥5 alors Snn’est pas r´esoluble.
2.3. Produit semi-direct.
Remarque. Si Ket Lsont des sous-groupes de Gtels
que HG,KG,H∩K={e}et G=HK, alors G
est isomorphe au produit direct H×K.
D´efinition et proposition. Soit ϕ:L→Aut(K) un
morphisme o`u Ket Lsont deux groupes. Alors le pro-
duit H×Kmuni de la loi (k, `)·(k0, `0) = (kϕ(`)(k0), ``0)
est un groupe appel´e produit semi-direct de Het Kre-
lativement `a ϕet est not´e HoϕK.
Proposition. Si HG,K≤G,H∩K={e}et
G=HK alors G'HoϕKo`u ϕ(k)est l’application
h7→ khk−1.
Application. Classification des groupes d’ordre 12.
Application. Classification des groupes d’ordre pq
avec pet qpremiers distincts.
3. Applications
3.1. Factorisation dans un anneau d’entier de
corps de nombres A.On rappelle que :
–Aest un anneau de Dedekind
– le groupe des classes d’id´eaux C(A) est le quotient du
groupe ab´elien des id´eaux fractionnaires par le sous-
groupe des id´eaux fractionnaires principaux
– C(A) est fini et toute classe non nulle “contient” des
id´eaux premiers
Lemme. Soit p1, . . . , prdes id´eaux premiers de Atels
que p1···pr=Aπ alors πest irr´eductible si et seule-
ment s’il n’existe par de sous-produit strict pi1···pis
principal.
Lemme. Soit pun id´eal premier de Adont la classe
pest d’ordre rdans C(A)alors on a pr=Aπ avec π
irr´eductible dans A.
D´efinition. On dit que Aest un anneau semi-factoriel
si la longueur des factorisations d’un ´el´ement ne d´epend
que de l’´el´ement i.e. toute ´egalit´e du type π1···πr=
τ1···τs,o`u les πi, τjsont irr´eductibles dans A, implique
r=s.
Th´eor`eme de Carlitz. Aest semi-factoriel si et seule-
ment si |C(A)| ≤ 2.
3.2. Action du groupe modulaire sur le demi-
plan de Poincar´e. On identifie le plan R2`a C, on
note Ple demi-plan {z∈C; Im z > 0}et on consid`re le
groupe modulaire P SL2(Z)'SL2(Z)/{±I2}.
Proposition. 0−1
1 0 et 1 1 0 1 engendrent
SL2(Z).
Proposition. L’action de P SL2(Z)sur Pd´efinie par
a b
c d ·z=az +b
cz +d
admet pour transversale le domaine D0d´efini par
– soit −1
2≤Re z < 1 2et |z|>1,
– soit −1
2≤Re z≤0et |z|= 1.
Proposition. ` AC∗-homoth´etie pr`es, les r´eseaux du
plan sont en bijection avec D0.
D´ eveloppements
A5est le seul groupe simple d’ordre 60.
Classification des groupes d’ordre pq.
Th´eor`eme de Carlitz.
R´ ef´ erences
[1] M. Alessandri, Th`emes de g´eom´etrie. Groupes en situation
g´eom´etrique, Dunod, 1999.
[2] J. Calais, ´ El´ements de th´eorie des groupes, P.U.F., 1996.
[3] F. Combes, Alg`ebre et g´eom´etrie, Br´eal, 1998.
[4] S. Francinou et H. Gianella, Exercices d’alg`ebre 1, Masson,
1993.
[5] S. Francinou, H. Gianella et S. Nicolas, Oraux X-ENS, alg`ebre
1, Cassini, 2001.
[6] D. Perrin, Cours d’alg`ebre, Ellipses, 1996.