Chapitre 1 - Logamaths.fr

Classe de 5ème
Chapitre 3
Les nombres
en écriture fractionnaire
1. Vocabulaire
a) Quotient exact
Définition 1 : Le quotient exact de la division du nombre a par le nombre non nul b s’écrit
a
sous forme fractionnaire :
b
a
Définition 2 : Si a et b sont des entiers naturels (b non nul), alors on dit que
est une
b
fraction, a est le numérateur et b est le dénominateur de la fraction.
8
4
2,3
et
sont des fractions, mais
n’est pas une fraction, mais un nombre
5
7
6
en écriture fractionnaire.
Exemples :
b) Écriture décimale. Quotient approché
Lorsque la division de a par b s’arrête, le quotient exact a une écriture décimale
8
limitée ; c’est un nombre décimal. Par exemple, = 1, 6
5
– Lorsque la division de a par b ne s’arrête pas, le quotient exact a une écriture
décimale illimitée ; ce n’est pas un nombre décimal.
4
Par exemple, = 0,571428571428571... Donc le quotient exact n’a pas d’écriture
7
décimale (limitée). On garde l’écriture fractionnaire pour désigner le quotient exact.
4
– Le quotient approché de 4 par 7 arrondi au centième près est ≈ 0,57 .
7
– On obtient un encadrement du quotient approché de 4 par 7 au centième près :
4
0,57 < < 0,58
7
–
2. Egalité des quotients
a) Egalité des quotients
Règle fondamentale 1 : On ne change pas un quotient lorsqu’on multiplie (ou on divise)
son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Autrement dit, pour tout nombre relatif a et tous nombres relatifs b et k non nuls, on a :
a a×k
=
b b×k
et
a a÷k
=
b b÷k
© Abdelatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour. Les Ulis.
Chapitre N2
Classe de 5ème
2
Ceci nous permet d’obtenir beaucoup d’écritures fractionnaires différentes d’un même
nombre. On cherche alors la fraction la plus simple.
4
4 × 10
40 40 ÷ 5 8
Exemple : A =
=
=
=
= .
3,5 3,5 × 10 35 35 ÷ 5 7
8
On dit que est une fraction simple ou une fraction irréductible.
7
b) Cas particuliers très importants
Pour tout nombre a différent de 0, on a les égalités suivantes :
Exemple :
5
= 5 : 5 = 1 et
5
5=5:1=
a
a
= 1 et
=a
1
a
5
1
b) Conséquence : division par un nombre décimal
Pour effectuer à la main la division par un nombre décimal, on commence par transformer
le diviseur en un nombre entier : Pour cela, on multiplie le diviseur et le dividende par 10,
par 100 ou par 1000,…
Exemple : 15,68 : 2,4 =
15, 68 15, 68 ×10 156,8
=
= 6,533… qu’on peut tronquer au 100e.
=
2, 4
2, 4 × 10
24
b) Dénominateur commun
Pour trouver un dénominateur commun aux deux fractions
2
5
et
on cherche un nombre
3
12
entier multiple commun des deux dénominateurs. Or, 12 est déjà un multiple de 3. Donc
2 2× 4 8
5
=
=
est une fraction qui a le même dénominateur que
.
3 3 × 4 12
12
3. Comparaison des fractions
Avec un même dénominateur
5
3
Comparer
et .
8
8
5 3
>
On voit que :
8 8
Règle 2 : Si deux nombres fractionnaires ont le même dénominateur, alors le plus petit
des deux est celui qui a le plus petit numérateur.
Autrement dit : si deux nombres fractionnaires ont le même dénominateur, alors on peut
les ranger dans le même ordre que leurs numérateurs.
© Abdelatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour. Les Ulis.
Chapitre N2
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Donc, pour tous nombres décimaux a et b et tout nombre d ≠ 0, on a :
a b
<
d d
Exemple : Comparer
3
équivaut à a < b
5
3
et .
8
8
Ces deux fractions ont le même dénominateur. Comme 5 > 3, on a
5 3
>
8 8
b) Avec des dénominateurs différents
Règle 2bis : Si deux nombres fractionnaires n’ont pas le même dénominateur, alors on
commence par les écrire avec un dénominateur commun, puis on les range dans le même
ordre que leurs (nouveaux) numérateurs.
5
3
et .
8
4
8 est un multiple de 4. Donc 8 est un dénominateur commun possible.
Exemple : Comparer
5 3
3 3× 2 6
5 6
=
= . Comme 5 < 6, on a : < . Donc < .
8 4
4 4× 2 8
8 8
c) Avec le même numérateur
Règle 3 : Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même numérateur, alors ils
sont rangés dans l'ordre inverse de leurs dénominateurs.
Exemple : Comparer
5
5
et .
7
4
Ces deux fractions ont le même dénominateur et 7 > 4. Donc
5 5
< .
7 4
d) Comparaison à l’unité
a
a
= 1 et
=a
1
a
a
avec 1, il suffit d’écrire
Donc si on veut comparer un nombre en écriture fractionnaire
b
b
1 = . Ce qui revient à comparer le numérateur et le dénominateur.
b
On sait déjà que Pour tout nombre a ≠ 0, on a les égalités :
Règle 4 :
– Une fraction est plus petite que 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur.
– Une fraction est plus grande que 1 si son numérateur est plus grand que dénominateur.
Exemple : Comparer
51
63
et 1 puis
et 1.
57
48
© Abdelatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour. Les Ulis.
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4
57
51
48
63
1=
. Comme 51 < 57, on a :
< 1 . De même, 1 =
. Comme 63 > 48, on a :
> 1.
57
57
48
48
e) Sur une droite graduée. Règle de transitivité.
Règle 5 : Si a, b et c sont trois nombres tels que : a < b et b < c, alors a < c.
O
Exemple : Comparer
c
b
a
51 63
, .
57 48
51
63
63
< 1 et
> 1 qu’on peut aussi écrire 1 <
.
57
48
48
51 63
51
63
<
Donc, d’après la règle de transitivité :
.
< 1 < . Par conséquent :
57 48
57
48
On remarque que
f ) Comparaison à la calculatrice
51 63
, .
57 48
51
= 0,8947… et
A la calculatrice, on a :
57
Exemple : Comparer
63
= 1,3125.
48
51 63
<
En comparant les partie entières, on constate que :
.
57 48
4. Opérations sur les nombres fractionnaires
a) Addition et soustraction
1er cas : Avec un même dénominateur
Règle 6. Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de
même dénominateur :
–
On additionne (ou on soustrait) les numérateurs ;
–
On conserve le dénominateur commun ;
–
Puis on simplifie le résultat.
Pour tous nombres décimaux a et b et tout nombre d différent de 0, on a :
a b a+b
+ =
d d
d
et
a b a −b
− =
d d
d
© Abdelatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour. Les Ulis.
x
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5
2ème cas : Avec des dénominateurs différents
Règle 6bis. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents,
il faut chercher d’abord un dénominateur commun, puis appliquer le 1er cas.
Exemple 1 : Calculer A =
7 3
+
et donner le résultat sou la forme de fraction simple.
12 12
On est dans le 1er cas. Les deux fractions ont le même dénominateur 12. On a alors :
A=
5
7 3 7 + 3 10
10 10 ÷ 2
+ =
= . Puis, il faut simplifier le résultat : A =
=
=
6
12 12
12
12
12 12 ÷ 2
Exemple 2 : Calculer B =
7 1
− et donner le résultat sou la forme de fraction simple.
12 3
On est dans le 2ème cas. 12 est un multiple de 3. Donc 12 est un dénominateur commun.
On a alors
A=
1
7 1 7 1× 4 7 4 7 − 4 3
3
3÷3
− = −
= − =
= . Puis, on simplifie : A =
=
=
4
12 3 12 3 × 4 12 12
12
12
12 12 ÷ 3
49 9
+
et donner le résultat sou la forme de fraction simple.
35 15
Ici, aucun des deux dénominateurs n’est multiple de l’autre. Mais, je peux simplifier
Exemple 3 : Calculer C =
chaque fraction.
49 49 ÷ 7 7
9
9 ÷3 3
49 9 7 3 7 + 3 10
+ = + =
= =.2.
=
= et
=
= . Donc C =
35 35 ÷ 7 5
15 15 ÷ 3 5
35 15 5 5
5
5
b) Multiplication des fractions
Règle 7 : Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes.
a c ac
× =
b d bd
Remarque : Attention ! Il est vivement conseillé de décomposer le numérateur et le
dénominateur pour simplifier AVANT d’effectuer les calculs.
© Abdelatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour. Les Ulis.
Chapitre N2
Exemple 1 : Calculer A =
A=
Classe de 5ème
6
2 4
× et donner le résultat sous la forme d’une fraction simple.
3 7
8
2 4 2× 4
× =
=
est une fraction simple.
21
3 7 3× 7
5
× 9 et donner le résultat sous la forme d’une fraction simple.
12
9
Attention ! Ne pas oublier d’écrire 9 = . On a alors
1
5
5 9 5 × 9 5 × 3 × 3 5 × 3 15
×9 = × =
=
B=
=
=
.
4
12
12 1 12 ×1 4 × 3 ×1 4 × 1
Exemple 2 : Calculer B =
9 14
×
et donner le résultat sous la forme d’une fraction simple.
35 27
Attention, ici, il faut décomposer le numérateur et le dénominateur pour simplifier AVANT
d’effectuer les calculs !
Exemple 3 : Calculer C =
C=
9 14 9 ×14
9 × 7 ×2
2
2
=
Donc : C =
×
=
=
35 27 35 × 27 7 × 5 × 9 × 3 5 × 3
15
c) Règles de priorité des opérations et fractions
Rappel : Dans une suite de calculs sur les nombres en écriture fractionnaires, on applique
les mêmes règles de priorité des opérations. Autrement dit, on effectue dans l’ordre :
1°) Les opérations entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus
« intérieures » ;
2°) Les multiplications et les divisions dans l’ordre où elles se présentent ;
3°) Et enfin les additions et les soustractions dans l’ordre où elles se présentent.
7 4 3
⎛7 4 ⎞ 3
et donner les résultats sous la
+ × puis B = ⎜ + ⎟ ×
5 15 2
⎝ 5 15 ⎠ 2
forme de fractions simples.
Exemple : Calculer A =
Dans le calcul de A, la multiplication est prioritaire.
A=
7 4 3 7 4×3 7 2 × 2× 3 7 2 7 + 2 9
= + =
=
+ × = +
= +
5
5 15 2 5 15 × 2 5 3 × 5 × 2 5 5
5
Dans le calcul de B, l’opération entre parenthèses est prioritaire.
5
⎛ 7 4 ⎞ 3 ⎛ 7 × 3 4 ⎞ 3 ⎛ 21 4 ⎞ 3 25 3 25 × 3 5 × 5 × 3
+ ⎟× = ⎜ + ⎟× = × =
=
B = ⎜ + ⎟× = ⎜
=
⎝ 5 15 ⎠ 2 ⎝ 5 × 3 15 ⎠ 2 ⎝ 15 15 ⎠ 2 15 2 15 × 2 5 × 3 × 2 2
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Chapitre N2
Classe de 5ème
7
d) Fraction d’une quantité
Pour calculer une fraction
3
3
du nombre 350 , on multiplie 350 par .
5
5
3
3
3 350 3 350 3 × 350 3 × 5 × 70 210
=
de 350 = x 350 = x
= ×
= 210.
=
=
5 1
5 ×1
1
5
5
5 1
5 ×1
Plus généralement :
Règle 8 : Pour calculer une fraction
a
a
du nombre N , on multiplie N par .
b
b
N 1
a
a
a
de N =
xN=
x
b
b
b
d) Fraction d’une fraction
Exemple : Deux cents candidats se sont présentés à un examen qui se déroulait en deux
parties. Les trois-quarts des candidats étaient admissibles, c’est-à-dire ils ont réussi la
première partie (l’écrit) de cet examen. Le tiers de ceux-ci sont admis, c’est-à-dire ils ont
réussi la seconde partie (l’oral) de cet examen.
1°) Quelle fraction de l’ensemble des candidats représente ceux qui ont été
définitivement reçus ?
2°) Combien y a-t-il eu de candidats définitivement reçus ?
des candidats sont admissibles. Et le
1 3
3 4
1°) Les
des candidats admissibles sont admis.
Donc la fraction des candidats admis est :
=
×
=
×
1 5
3
x
5
1 3
3 5
=
1 3
1 3
3
de
4
Un cinquième des candidats sont admis.
2°) Je n’utilise pas la réponse à la 1ère question.
3
3
3 200 3 × 4 × 50
de 200 = × 200 = ×
= 3x50 = 150.
=
4
4
4 1
4 ×1
Donc, il y a 150 candidats admissibles.
Je calcule directement :
Puis je calcule :
1
1
1 150 1× 3 × 50
de 150 = ×150 = ×
= 50.
=
3
3
3 1
3 ×1
Conclusion : 50 candidats sont admis.
© Abdelatif ABOUHAZIM. Collège Mondétour. Les Ulis.