MODELISATION HYDRODYNAMIQUE EN 3D D'UNE DECHARGE FILAMENTAIRE A HAUTE PRESSION - application/pdf
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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed Boudiaf Faculté de Génie Electrique Département d’Electrotechnique THESE En vue de l’obtention du diplôme de DOCTORAT EN SCIENCES Spécialité: Electrotechnique Option: Décharges Electriques et Haute Tension Présentée Par BENAIRED NOREDDINE MODELISATION HYDRODYNAMIQUE EN 3D D'UNE DECHARGE FILAMENTAIRE A HAUTE PRESSION Soutenue le / / 2013 devant le jury composé de: A. BELASRI Professeur à l’USTO-MB PRESIDENT A. HENNAD Professeur à l’USTO-MB ENCADREUR B. LIANI Professeur à l'Univ. Tlemcen EXAMINATEUR M. LEMERINI Professeur à l'Univ. Tlemcen EXAMINATEUR K. YANALLAH Maitre de Conférences A à l'Univ. Tiaret EXAMINATEUR B. KRALOUA Maître de Conférences A à l’USTO-MB EXAMINATEUR BENAIRED NOREDDINE: MODELISATION HYDRODYNAMIQUE EN 3D D'UNE DECHARGE FILAMENTAIRE A HAUTE PRESSION RESUME Ce travail de recherche est consacré à la modélisation numérique en trois dimensions de la propagation des décharges électriques à haute pression de type streamer établies entre deux électrodes planes et parallèles. Il s’agit de résoudre le modèle hydrodynamique en 3D issu du couplage auto-cohérent des deux premiers moments de l'équation de Boltzmann à l’équation de Poisson. La résolution des équations de conservation des particules chargées est effectuée par un schéma numérique amélioré de Scharffeter et Gummel SG d’ordre 0. L’équation de Poisson est résolue en 3D par la méthode de sur-relaxation. Vu la complexité du modèle hydrodynamique tridimensionnel développé dans ce travail, la résolution de l’équation Dérive-Diffusion en 3D des particules chargées soumises à des fortes variations de densité et du champ électrique, est faite par la méthode à pas fractionnaires (Time splitting). Cette méthode consiste à remplacer les équations en trois dimensions par des équations monodimensionnelles suivant les trois directions de l’espace. Les résultats issus de nos calculs nous ont permis de valider notre code tridimensionnel par la comparaison avec ceux de la littérature. Une étude paramétrique est effectuée pour mettre en évidence l'influence de la variation de la vitesse de propagation d’un streamer en fonction de la pression du gaz et de la tension appliquée. MOTS CLES Décharge filamentaire en 3D Streamer 3D Moments de l’équation de Boltzmann Modèle hydrodynamique Scharfetter et Gummel Time splitting BENAIRED NOREDDINE: 3D HYDRODYNAMIC MODELLING OF FILAMENTARY DISCHARGE AT HIGH PRESSURE. ABSTRACT These research works are devoted to the three-dimensional numerical modeling of the electrical discharges propagation at high pressure established between two electrodes plane parallel. It is to solve the 3D hydrodynamic model derived from the self-consistent coupling of the first two moments of the Boltzmann's equation to the Poisson's equation. Solving the equations of conservation of charged particles is performed by a numerical scheme and improved Scharffeter Gummel SG0. The Poisson's equation is solved by the method of over-relaxation. Given the complexity of three-dimensional hydrodynamic model developed in this work, the resolution of the drift-diffusion equation in 3D of the charged particles subject to strong variations in density and electric field, is made by the method of Time-splitting. This method consists in replacing the three-dimensional equations by equations in one dimension in each direction of space. The results of our calculations have allowed us to validate our three-dimensional code by comparison with those in the literature. A parametric study was performed to demonstrate the influence of the propagation velocity variation of streamer as a function of the gas pressure and the applied voltage. MOTS CLES 3D Filamentary discharge 3D Streamer Moments of the Boltzmann equation Hydrodynamic model Scharfetter et Gummel Time-splitting ﺑﻦ ﻋﻴﺮﺍﺩ ﻧﻮﺭ ﺍﻟﺪﻳﻦ: ﻭﺿﻊ ﻧﻤﻮﺫﺟﻴﺔ ﺭﻗﻤﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺍﻟﺜﻼﺛﻲ ﻟﻠﺘﻔﺮﻳﻐﺎﺕ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻀﻐﻂ ﺍﻟﻤﺮﺗﻔﻊ ﺍﻟﺨﻼﺻﺔ: ﺧﺼﺼﺖ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻤﺬﻛﺮﺓ ﻟﻮﺿﻊ ﻧﻤﻮﺫﺟﻴﺔ ﺭﻗﻤﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺒﻌﺪ ﺍﻟﺜﻼﺛﻲ ﻟﻠﺘﻔﺮﻳﻐﺎﺕ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻀﻐﻂ ﺍﻟﻤﺮﺗﻔﻊ ﻣﻦ ﻧﻮﻉ ﺳﺘﺮ ﻳﻤﺎﺭ ﻭ ﺫﻟﻚ ﻓﻲ ﻏﺎﺯ ﺍﻟﻨﻴﺘﺮﻭﺟﻴﻦ .ﺗﻤﺖ ﺩﺭﺍﺳﺔ ﻫﺬﻩ ﺍﻟﻨﻤﻮﺫﺟﻴﺔ ﺍﻟﺮﻗﻤﻴﺔ ،ﻓﻲ ﺑﻼﺯﻣﺎ ﻏﺎﺯﻳﺔ ﻏﻴﺮ ﺣﺮﺍﺭﻳﺔ ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﺒﺮ ﻣﻦ ﺃﻫﻢ ﺍﻟﻤﺠﺎﻻﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻟﻬﺎ ﺃﻫﻤﻴﺔ ﻓﻲ ﻋﺎﻟﻢ ﺍﻟﺼﻨﺎﻋﺔ. ﻣﻦ ﺍﺟﻞ ﺍﻟﻘﻴﺎﻡ ﺑﻬﺬﻩ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ،ﻳﺠﺐ ﺍﺳﺘﻌﻤﺎﻝ ﻃﺮﻳﻘﺘﻴﻦ ﺭﻗﻤﻴﺘﻴﻦ ﻗﺎﺩﺭﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﻌﺎﻟﺠﺔ ﺍﻟﻨﻤﻂ ﺍﻻﻳﺮﻭﺩﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﺍﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻦ ﺗﺮﺍﺑﻂ ﺍﻟﻌﺰﻣﻴﻦ ﺍﻷﻭﻟﻴﻦ ﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﻮﻟﺘﺰﻣﺎﻥ ﻭ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﻮﺍﺳﻮﻥ .ﻟﻬﺬﺍ ﻗﻤﻨﺎ ﺑﺎﺧﺘﻴﺎﺭ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺭﻗﻤﻴﺔ ﺩﻗﻴﻘﺔ ﻭ ﻓﻌﺎﻟﺔ ﺃﻻ ﻭ ﻫﻲ) (Scharfetter et Gummelﺷﺎﺭﻓﺘﺎﺭ ﻭ ﻗﻮﻣﻴﻞ ﻟﺤﻞ ﻣﻌﺎﺩﻻﺕ ﺗﻨﻘﻞ ﺍﻟﺠﺰﻳﺌﺎﺕ ﺍﻟﻤﺸﺤﻮﻧﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﺍﻟﺘﻐﻴﺮﺍﺕ ﺍﻟﻘﻮﻳﺔ ﻟﻠﻜﺜﺎﻓﺔ ﻭ ﺍﻟﺤﻘﻞ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ. ﻳﺘﻢ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﻮﺍﺳﻮﻥ ﻋﻠﻰ ﺛﻼﺛﺔ ﺃﺑﻌﺎﺩ ﺑﻮﺍﺳﻄﺔ ﻃﺮﻳﻔﺔ ) (Méthode de sur-relaxationﻟﻴﺘﻢ ﺍﻷﺧﺬ ﺑﻌﻴﻦ ﺍﻻﻋﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﺘﻮﺳﻊ ﺍﻟﻌﺮﺿﻲ ﻟﻠﺤﻘﻞ ﺍﻟﻜﻬﺮﺑﺎﺋﻲ ﺑﺴﺒﺐ ﺗﻮﺍﺟﺪ ﺍﻟﺸﺤﻨﺎﺕ ﺍﻟﻤﻮﻗﻌﻴﺔ. ﻛﻞ ﻣﻦ ﺍﻟﻀﻐﻂ ﺳﻤﺤﺖ ﻟﻨﺎ ﺍﻟﺪﺭﺍﺳﺔ ﺍﻟﻌﺪﺩﻳﺔ ،ﺍﻟﺘﻲ ﺗﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻨﻤﻂ ﺍﻟﺮﻗﻤﻲ ،ﺑﻤﻼﺣﻈﺔ ﺗﺄﺛﻴﺮﺍﺕ ﻭ ﺍﻟﺘﻮﺗﺮ ﺍﻟﻤﻄﺒﻖ ،ﻋﻠﻰ ﺗﺸﻜﻞ ﻭ ﺍﻧﺘﺸﺎﺭ ﻣﻮﺟﺎﺕ ﺍﻟﺘﺄﻳﻦ. ﺍﻟﻜﻠﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺣﻴﺔ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺑﻮﻟﺘﺰﻣﺎﻥ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻻﺳﺘﻤﺮﺍﺭﻳﺔ ﺳﺘﺮ ﻳﻤﺎﺭ ﺛﻼﺛﻲ ﺍﻷﺑﻌﺎﺩ ﺷﺎﺭﻓﺘﺎﺭ ﻭ ﻗﻮﻣﻴﻞ )(Scharfetter et Gummel ﻃﺮﻳﻔﺔ Méthode de sur-relaxation A la mémoire de ma mère A mon père A mes frères et sœurs A mon fils et mes nièces . REMERCIEMENTS Je remercie Allah de m’avoir guidé et donné la volonté et la patience pour pouvoir terminer cette thèse. Mes sincères remerciements sont adressés à Monsieur A. Hennad, Professeur à l’université d’USTO-MB. Je tiens à lui exprimer ma profonde reconnaissance pour son encadrement, son aide et ses lumineux conseils, notamment dans les moments difficiles. J'adresse mes remerciements à Monsieur A. Belasri. Professeur à l’USTO-MB pour avoir accepté de présider le jury de ma thèse. Mes remerciements s’adressent également à Messieurs les membres de jury pour l'honneur qu'ils m'ont fait en acceptant de juger ce travail et d’avoir sacrifié de leurs temps à cet égard: à Monsieur B. Liani, Professeur à l’université de Tlemcen, Monsieur M. Lemerini, Professeur à l’université de Tlemcen, Monsieur K. Yanallah, Maître de Conférences à l’université de Tiaret et Monsieur B. Kraloua, Maitre de Conférences à l’USTO-MB. Qu'ils trouvent ici l'expression de ma sincère reconnaissance et mes salutations les plus respectueuses. Je ne saurais oublier ma chère mère qui me soutenait et respectait mes choix. C’est grâce à elle que je suis arrivé jusque là, qu’elle trouve dans cette réussite le résultat de sa confiance et de son amour. Mes remerciements vont aussi vers mon père qui s’est toujours intéressé à mon travail et a su m’apporter ses encouragements. J’associe à ces remerciements Mokhtari, Nadér, Mohamed, Mouloud, Abdeldjalil, Rachid et Youcef pour leur soutien et leur encouragement. TABLE DES MATIERES INTRODUCTION ………………………………………………………………………..………………………... 1 CHAPITRE I : DECHARGES HAUTE PRESSION: GENERALITES ET APPLICATIONS INDUSTRIELLES I.1 Généralités ……………………………………………………………….…………………....……….. I.1.1 Processus d'excitation et d'ionisation 6 ………………..…………………………….. 7 …………………………………………..…….……………… 7 ……………………….………………………………..……….. 7 …………………………………….……………………...... 7 I.1.2 Processus de désexcitation ………………………………………………….……………… 7 I.1.3 Processus d’attachement et recombinaison ……………………….…………….. 8 I.1.4 Mobilité 8 I.1.1.1 Ionisation thermique I.1.1.2 Ionisation par choc I.1.1.3 Ionisation par photon ……………………………………………………………………………………………... TABLE DES MATIERES I.1.5 Diffusion V ……………………………………………………………………………………………. I.2 Avalanches électroniques dans les décharges électriques ……………….....… 8 ………………………………………………………………….... 8 ……………………………………………………………………….. 10 I.2.1 Décharge de Townsend I.2.2 Théorie de Townsend 8 I.2.3 Limites de la théorie de Townsend ………………………………………………..... 11 I.2.4 Théorie du streamer .……………………………………………………………………..….. 13 I.2.4.1 Théorie d’ionisation ……………………………………………………………….….. I.2.4.2 Expérience de Wagner …………..…………………………………………….…… I.2.1.3 Théorie de photo-ionisation 13 15 ………………………………………………….….. 16 I.3 Types de décharges électriques à pression atmosphérique ………....…………. 18 I.3.1 Décharges filamentaires (couronne) ………….………………………………….…... 19 I.3.2 Décharges contrôlées par barrière diélectrique (DBD) …….……………….. 19 I.4 Applications industrielles des décharges électriques à pression atmosphérique ………….…………………………………………………………....……………………….. 20 I.4.1 Traitement des effluents gazeux ………………………….....…………………………….. 21 I.4.2 Traitement des liquides ……………………………………....……………………………... 24 I.4.3 Traitement de surface ………………………………………………………....………………... 25 I.4.4 Stérilisation médicale …………………………………………....……………………………….. 27 I.4.4.1 Investigations sur les mécanismes microcides …………......……………... 27 I.4.4.2 Nouvelle décharge …………………....…………………………………………………. 28 I.4.5 Générateurs d’ozone …………………....……………………………………………………….. 29 I.5 Conclusion ……………………………………......……………………………………………………….. 30 CHAPITRE II : EQUATIONS DE BASE POUR MODELISER UNE DECHARGE ELECTRIQUE HAUTE PRESSION II.1 Modélisation des décharges électriques ………………….………………….…………….. 32 II.1.1 Introduction ………………..……………………………………………………….…………….. 32 II.1.2 Fonction de distribution …………………………………………..………..……………… 33 II.1.3 Équation de Boltzmann et ses moments ………………………………….……….. 33 II.1.4 Régime d'équilibre …………………………………………….…………………………....… 34 II.2 Différents Modèles ……………………………….………………………………….………………… 35 II.2.1 Modèles de type circuit ……………………………….…………………………………….. 35 II.2.2 Modèle électrique ………………………………………………………….…………………... 36 II.2.2.1 Modèle microscopique ………………………………………………..………………. 37 II.2.2.2 Modèle fluide: Approche macroscopique ……….………….….…………… 38 II.2.2.2.1 Equation de continuité ……………………………………….…………….... 39 TABLE DES MATIERES VI II.2.2.2.2 Équation de transfert de la quantité de mouvement …………. 40 II.2.2.2.3 Équation d'énergie …………………………………………………………..... 40 II.2.2.2.4 Fermeture du système des équations de transport …….……. 40 II.2.2.3 Modèle hybride ……………………………….…………………………………….……. 41 II.3 Équation de Poisson ………………………………………………………………….……………..… 41 II.4 Modèle hydrodynamique utilisé dans ce travail ………………………………………… 42 II.5 Conclusion …………………………………………………………………………..…………………….. 45 CHAPITRE III : RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT III.1 Historique sur l’évolution des travaux de modélisation numérique du streamer ……………………………………………………………….………………………………………….. 47 III.2 Méthodes numériques ………………………………………………………..……………........ 51 III.2.1 Choix de la méthode idéale pour résoudre les équations de transport ………………………………………………………………..........……………………………….. 51 III.2.2 Description des méthodes numériques ……………………………………………. 52 III.2.2.1 Schéma QUICKEST avec des différents limiteurs ……………………. 53 III.2.2.2 Méthode FCT Shasta Phoenical LPE ………………………………………….. 60 III.2.2.3 Schéma Scharfetter et Gummel (SG) ……………………………………... 62 III.2.3 Tests de validité des différents schémas numériques …………………….. 66 III.2.3.1 Test de l'impulsion rectangulaire, gaussienne et triangulaire …. 67 III.2.3.2 Calcul de l'erreur absolue moyenne …………………………………....….. 68 III.2.3.3 Test de validité proposé par Kulikovsky …………………………...…….. 72 III.2.3.4 Résumé …………………………………………………………………………………….. 75 III.3 Conclusion ……………………………………………………………………………………………….. 76 CHAPITRE IV : MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE DE LA DECHARGE FILAMENTAIRE IV.1 Introduction ……………………………………………………………………………………………….. 79 IV.2 Résolution de l’équation de Poisson ………………………………………………………….. 80 IV.2.1 Méthode de sur-relaxation ……………………………………………………………….. 80 IV.2.2 Test de validité de la méthode de sur-relaxation …………………………….. 82 IV.3 Modèle hydrodynamique tridimensionnel ……………………………………………….. 83 TABLE DES MATIERES VII IV.3.1 Discrétisation des équations Dérive-Diffusion ………………………………….. 84 IV.3.2 Résolution des équations de continuité en trois dimensions …....….. 85 IV.3.3 Organigramme du code numérique développé ……………………………….. 86 IV.3.4 Test de validité du modèle utilisé …………………………………………………….. 88 IV.3.5 Résumé …………………………………………………………………………………………….. 96 IV.4 Conclusion ……………………………………………………………………………………………….. 97 CHAPITRE V : MODELISATION NUMERIQUE EN 3D DE LA DECHARGE STREAMER DANS L'AZOTE MOLECULAIRE V.1 Test de validité selon Dhali et Williams ……………………………………………………… 99 V.2 Etude paramétrique sur la propagation du streamer négatif .................. 110 V.2.1 Influence de la pression ……………………….……………………………….…………… 110 V.2.2 Influence de la tension appliquée ……………………………………………………… 112 V.3 Conclusion ………………………………………………………………..........................…… 113 CONCLUSION ET PERSPECTIVE ……………………………………..…………………...……. 114 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 117 …………………………………………………………… INTRODUCTION La modélisation et la simulation numérique considérées comme compléments indispensables à l’étude expérimentale, sont des moyens performants d'analyse et de compréhension des phénomènes physiques. Elles permettent d'approcher le problème posé par une étude paramétrique donnant la possibilité de faire varier des données afin de comprendre les phénomènes dans des conditions nouvelles et de trouver des conditions optimales de fonctionnement du procédé plasma. INTRODUCTION 2 La physique des plasmas est une branche particulière de la physique qui étudie les propriétés, la dynamique des plasmas et leurs applications. Le plasma, ce type de milieu gazeux, est composé d'un océan d'espèces neutres moléculaires et atomiques dans lequel se trouvent des particules chargées (électrons, ions) très mobiles. Il peut donc être caractérisé par : - Un faible degré d'ionisation (n e /N<10-4) avec n e densité électronique et N densité du gaz neutre. - Une température des particules chargées et en particulier celle des électrons (de quelques fractions d'électron-volt à quelques dizaines d'électron-volts) beaucoup plus élevée que la température des espèces neutres qui reste pratiquement à la température ambiante. Cette seconde propriété entraîne la production par impact électronique d'espèces excitées et ionisées. Ce sont les propriétés de ces nouvelles espèces qui sont exploitées dans les diverses applications de la technologie plasma: traitement de surface, systèmes de dépollution, etc. Le développement et l’amélioration des nouveaux outils informatiques dans les dernières décennies, permettant la résolution des problèmes multidimensionnels, sont soutenus par diverses actions de recherche sous le contexte industriel. En raison de la puissance actuelle de ces moyens de calculs et suite au développement des méthodes numériques devenues de plus en plus performantes, la modélisation et la simulation numérique tiennent une part importante dans l'étude des plasmas. Le travail de cette thèse porte sur la mise au point d’un code numérique pour la modélisation hydrodynamique tridimensionnelle des décharges hors-équilibre de type streamer et d’étudier leurs propagations spatiotemporelles dans des milieux gazeux non thermiques soumis à des pressions élevées. Nous pouvons distinguer, généralement pour l'étude théorique des plasmas, deux approches étroitement liées: une microscopique dite particulaire et une macroscopique appelée aussi hydrodynamique. A l’échelle microscopique, les phénomènes sont analysés selon le libre parcours ou du temps de vol libre des différentes particules. Il est alors nécessaire de résoudre directement l'équation de Boltzmann, relative à chaque espèce présente dans la décharge. Le formalisme macroscopique est basé sur la résolution de l’équation de continuité, l’équation de quantité de mouvement, l’équation de l'énergie, etc.… pour les espèces ionisées ou excitées présentes dans le plasma. Ces équations de conservation classiques de la densité sont en fait les premiers moments de l'équation de Boltzmann. Cette seconde approche nécessite la connaissance des coefficients de INTRODUCTION 3 transport et de réaction (c'est à dire de production et/ou de disparition des espèces présentes dans le plasma). Dans cette étude, nous nous sommes intéressés plus particulièrement à cette deuxième approche, en nous basant sur les méthodes de calcul numérique utilisées pour résoudre les équations de transport hydrodynamiques des particules chargées dans les décharges hors-équilibre. En effet, et à ce jour, aucune méthode numérique entièrement satisfaisante n'a été mise au point. L'idéal serait d'avoir une méthode adaptable à la résolution de ces équations. Les inconvénients majeurs des schémas numériques déjà développés dans la littérature sont liés soit aux temps de calcul qui peuvent être assez pénalisants, soit à l'existence de diffusion numérique trop importante, ce qui entraîne des résultats irréalistes et erronés. Notre principal objectif est de mettre au point un modèle numérique performant en 3D pour résoudre les équations macroscopiques de conservation des particules chargées au sein d'un gaz soumis à de fortes variations de densité et de champ électrique. Nous avons utilisé le schéma numérique Scharfetter et Gummel (SG0 d’ordre 0) capable de prendre en compte ces situations qui sont habituellement rencontrées dans les plasmas générés par les décharges hors-équilibre. L’algorithme numérique SG0 est ensuite appliqué à la décharge haute pression connue pour ses nombreuses applications dans le génie des procédés plasmas. Le premier chapitre de cette thèse est divisé en deux parties. La première s'attache à donner un aperçu sur le développement des décharges streamers à pression atmosphérique et les processus qui sont à l'origine de la formation des avalanches électroniques dans les décharges électriques et notamment celles à haute pression qui nous intéressent plus particulièrement dans ce travail. Dans la seconde partie, nous avons brièvement présenté des notions de base sur les plasmas ensuite nous avons mis l'accent sur quelques applications industrielles de la décharge électrique streamer à pression atmosphérique. Le deuxième chapitre est consacré à l’introduction des équations de transport des particules chargées (électrons, ions positifs). Ces équations de conservation de la densité et de la quantité de mouvement, obtenues à partir des deux premiers moments de l'équation de Boltzmann, sont couplées à l'équation de Poisson. La fermeture du système d'équations ainsi obtenue est réalisée en supposant connus les coefficients de transport et de réaction (vitesses de dérive, coefficients de diffusion, etc…). Dans le troisième chapitre, nous donnons un aperçu bibliographique sur les différents outils numériques utilisés pour résoudre le système d'équations de transport des particules chargées, couplées à l’équation de Poisson. Cet aperçu nous a permis d’adopter le schéma numérique Scharfetter et Gummel (SG0 d’ordre 0) pour la INTRODUCTION 4 résolution de ce système d’équations. Des tests de validités sont effectués sur cet algorithme et les différents schémas numériques tels que: ADBQuickest, QuickestSuperbee et la FCT dans des cas simples où la solution est connue, tels que la propagation d’un profil de densité multiforme: rectangulaire, triangulaire et gaussienne. Dans le quatrième chapitre nous allons présenter le modèle fluide tridimensionnel. Dans la première partie de ce chapitre, nous définissons la méthode de sur-relaxation pour la résolution de l’équation de Poisson. Dans la deuxième partie, nous décrivons le modèle fluide tridimensionnel basé sur le couplage des deux premiers moments de l’équation de Boltzmann à l'équation de Poisson. Pour faciliter la résolution des équations du modèle tridimensionnel, nous avons introduit une méthode dite "à pas fractionnaires (Time-Splitting)". Cette méthode consiste à remplacer l’équation de transport tridimensionnelle par une succession des équations monodimensionnelles. Pour mettre en évidence les performances de notre code tridimensionnel, nous l’avons testé dans des situations proches de celles qui caractérisent la propagation de la décharge streamer dans un gaz à pression atmosphérique. Le dernier chapitre est consacré à la simulation numérique de la propagation d’un streamer négatif dans l'azote moléculaire. Vu la complexité de notre modèle 3D nous allons comparer nos résultats avec ceux de la littérature. Une étude paramétrique à la fin de ce chapitre est effectuée pour montrer l'influence de la pression du gaz et de la tension appliquée sur la vitesse de propagation du streamer négatif. CHAPITRE I DECHARGES A HAUTE PRESSION: GENERALITES ET APPLICATIONS INDUSTRIELLES Les technologies plasma ont connu un essor considérable sous l’impulsion de l’industrie microélectronique. Pourtant, leur implantation dans le milieu industriel est contrariée par le fait qu’elles fonctionnent à basse pression. Le vide impose une augmentation importante des coûts et gêne l’intégration du procédé à une ligne de production en continu. D’où l’idée de transposer à la pression atmosphérique la technologie plasma sous vide. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 6 De ce fait, ces technologies trouvent leurs applications dans de nombreux domaines: traitements et revêtements de surfaces, nettoyage de fumée, destruction de déchets, traitements d'effluents gazeux, synthèse chimique, usinage, génération d’ozone, avec un énorme débouché dans l’industrie microélectronique. Les techniques des plasmas sont soumises à l’influence d’un grand nombre de paramètres qui rendent parfois leur contrôle et leur optimisation difficiles. La modélisation des réacteurs peut fournir une aide précieuse dans ce domaine [Yo-1]. Dans la première partie de ce chapitre, nous commençons par des généralités sur le plasma et par un rappel sur les notions théoriques des processus de formation d’avalanche électronique dans une décharge électrique, nous discuterons la formation et la propagation des ondes d'ionisation qui ne peuvent plus s'expliquer par la théorie de Townsend. La deuxième partie de ce chapitre est consacrée aux applications industrielles et à l’intérêt des décharges électriques dans des différents domaines et en particulier les décharges à pression atmosphérique qui feront l’objet de notre travail. I.1 Généralités Le plasma, ce quatrième état de la matière formant plus de 99% de l'univers connu à l'heure actuelle, est un milieu énergétique très actif chimiquement. Il peut contenir les diverses espèces suivantes : électrons, ions positifs et négatifs, photons, atomes, neutres (atomes ou molécules) excités ainsi que des fragments de molécules dissociées appelées radicaux [Ra-1] [Na-1]. Dans un plasma, les électrons et les ions sont animés d’une vitesse de dérive proportionnelle à un champ électrique engendré par une source électrique fournissant l’énergie nécessaire pour leurs déplacements. Le terme plasma a été introduit par le physicien Langmuir en 1928 pour décrire la région d’une décharge électrique produite dans un gaz et dans laquelle la quasi neutralité est vérifiée. Lorsque nous amorçons une décharge dans un gaz entre deux électrodes, la création de charges libres conduit à une élévation de la conductivité électrique qui accroît la puissance transférée au plasma, favorisant ainsi la création de nouvelles charges. Les particules du gaz peuvent se rencontrer et entrer en collision au cours de leurs mouvements pour donner lieu à un choc élastique (si les particules n'échangent que de l'énergie cinétique de translation) ou un choc non élastique (si les particules échangent une partie de leurs énergies internes). Quelque soit le résultat de la collision, nous ne pouvons définir que le comportement moyen d'une particule, et donc seulement de définir la probabilité qu'a CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 7 une particule pour donner lieu à une collision d'un type donné. Cela est exprimé, aussi, par le produit de la densité de particules du gaz et la section efficace de collision relative au type de collision considéré. Le libre parcours moyen, inverse de cette probabilité, est une autre grandeur moyenne fréquemment utilisée et qui est directement liée à la section efficace de collision. Il est défini par la distance moyenne parcourue par l'atome entre deux collisions successives. Il est donc important de savoir les mécanismes naissant à partir de ces collisions et régissant l'existence des électrons libres, d'une part les mécanismes d'ionisation tendant à faire croître leur densité et d'autre part les mécanismes de recombinaison et d'attachement tendant au contraire à réduire l'extension de la décharge. I.1.1 Processus d'excitation et d'ionisation L'existence d'une décharge électrique résulte du passage d'un courant dans le diélectrique gazeux. Ce courant est porté essentiellement par les électrons. L’ionisation résulte de plusieurs excitations successives ou si l’énergie acquise par la particule est supérieure à l’énergie de son ionisation. I.1.1.1 Ionisation thermique Une élévation de température est une agitation thermique croissante qui pourra rendre le processus d'ionisation thermique efficace, surtout si la pression est élevée. Dans ce cas l'ionisation ne se produit pas au cours d'un seul choc, mais c’est le résultat de plusieurs excitations successives. I.1.1.2 Ionisation par choc Un électron peut ioniser une particule neutre à condition qu'il ait une énergie supérieure à l'énergie d'ionisation de cette particule neutre. La probabilité d'ionisation croit assez rapidement dès que l'énergie d’excitation dépasse l’énergie d'ionisation. I.1.1.3 Ionisation par photon Un photon suffisamment énergétique peut exciter ou même ioniser une particule neutre. L'excédent d'énergie du photon par rapport au potentiel d'ionisation est alors fourni à l'électron libre sous forme d'énergie cinétique. I.1.2 Processus de désexcitation A tout processus d'excitation est associé un processus inverse tendant à ramener les particules à leur état fondamental. La désexcitation peut résulter lorsqu’un électron d’un atome excité revient sur son orbite initiale. La perte d’énergie est compensée par l’émission d’un photon ayant une énergie égale à celle de la désexcitation. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 8 I.1.3 Processus d’attachement et recombinaison L’attachement est la fixation d'un électron par une molécule ou un atome neutre, d'où la formation d'un ion négatif. La recombinaison résulte de la collision d’un ion positif avec un électron ou un ion négatif. Ces deux processus diminuent ainsi le nombre des électrons libres dans un gaz ionisé. I.1.4 Mobilité En l'absence de tout champ dû à une force extérieure, les particules neutres ou ionisées d'un gaz sont animées d'une vitesse moyenne qui est donnée par l'agitation thermique causée par la température du gaz à l'état d’équilibre. Dans les décharges électriques, le gaz se trouve soumis à un champ électrique appliqué qui, s'exerçant sur les particules chargées, ions ou électrons, leur fournit une énergie supplémentaire. Il en résulte un mouvement de dérive des particules chargées sous l’influence du champ appliqué. Nous définissons donc la mobilité d'une particule chargée par le rapport de la vitesse de dérive au champ électrique appliqué. A la pression atmosphérique, la mobilité des ions est variable suivant la nature des particules considérées, mais elle est toujours beaucoup plus faible que celle des électrons, et pour donner un ordre de grandeur, nous pouvons dire qu'elle est 100 fois plus faible. La formation d'un courant à l'intérieur d'une décharge dépend de l'existence des particules chargées et de leurs mobilités. Nous pouvons donc calculer la densité de courant en connaissant la mobilité de ces particules. I.1.5 Diffusion Le mécanisme de diffusion des particules d'un gaz apparaît dès qu'il existe une différence de concentration entre deux points voisins. Ce mécanisme tend à uniformiser la concentration dans le volume disponible pour établir l'équilibre thermodynamique d'un gaz où les particules sont distribuées de façon homogène quand l’équilibre est atteint. I.2 Avalanches électroniques dans les décharges électriques I.2.1 Décharge de Townsend Si nous considérons un diélectrique gazeux à basse pression (quelques torrs) contenu entre deux électrodes planes et parallèles, l’application d’une tension à l'espace inter-électrodes, d’où l’existence d’un champ électrique, va créer un courant de très faible intensité dans le circuit extérieur, et qui ira croissant avec la tension CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 9 jusqu'à rendre le gaz parfaitement conducteur. Cela se manifeste par l'apparition d'un canal ionisé qui relie l'anode à la cathode et provoque une chute de tension; c'est le claquage électrique du milieu gazeux. La compréhension de la formation de l'avalanche électronique et des phénomènes de claquage commence d'abord au niveau des processus fondamentaux cités ci-dessus et ce lors de l'interaction entre les différentes particules existant dans le gaz. Ces interactions entre les particules (électrons, ions et molécules formant un milieu électriquement neutre) du milieu gazeux étudié dépendent directement des paramètres extérieurs de la décharge. Le temps de transition et les étapes précédant le claquage sont influencés par des paramètres tels que la tension appliquée, la pression, la température, la géométrie des électrodes ainsi que l'état de pré-ionisation du gaz. De nombreuses études ont été faites pour trouver effectivement des lois qui régissent le développement de cette décharge sous l'influence de tel ou tel paramètre. Il était bien sûr préférable dans une première phase de recherche, d'avoir les paramètres de la décharge sous leur forme la plus simple pour faciliter l'interprétation des mécanismes. La plupart de ces études concernaient des dispositifs à champ uniforme alors que dans le cas réel ce n'est souvent pas le cas [Lo-1]. L'expérience la plus simple consiste à relever le courant résultant de l'application d'un champ uniforme aux deux électrodes planes et parallèles. La forme globale de ce courant est représentée sur la figure (I.1). La première partie de cette courbe (zone A), peut être expliquée par la théorie de Thomson, qui montre qu'une partie des électrons libérés à la cathode revient à celle ci. Dans la deuxième partie de la courbe (zone B), commence la saturation provoquée par l'ionisation dans le gaz et qui correspond à la collection aux électrodes de toutes les charges produites dans l'intervalle. Si nous continuons à augmenter la tension, nous constatons une croissance très rapide du courant au voisinage d'une tension Vs dite tension de claquage. La stabilité de la décharge dans cette région est principalement déterminée par les caractéristiques du circuit extérieur [Ha-1]. Dans la troisième partie (zone C), les phénomènes apparaissant ont été décrits par Townsend comme des phénomènes de multiplication électronique par collision. La pente de la courbe est différente selon l'ordre de grandeur du produit pression-distance inter-électrodes. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 10 Figure (I.1) : Caractéristique courant - tension en régime de pré décharge. L'inconvénient de la caractéristique courant tension (I, V) est dû au fait qu'il y a plusieurs paramètres qui influent cette courbe et plus particulièrement le rapport E/N (champ appliqué/densité du gaz). Ce rapport détermine l'énergie et la distribution d'énergie des particules chargées dont dépend directement le développement de la décharge électrique. C'est pourquoi d'autres travaux aboutissant à la théorie Townsend, ont été réalisés pour tenter d'expliquer la formation et le développement de la décharge à l'aide des paramètres plus simples et moins nombreux. I.2.2 Théorie de Townsend Un électron « germe » accéléré par le champ électrique appliqué, acquiert une énergie qui peut suffire, à partir d'une certaine valeur de champ électrique, à ioniser par collision une particule neutre du gaz. Les nouveaux électrons créés vont participer à leur tour au mécanisme d'ionisation des molécules neutres, produisant ainsi une multiplication ou avalanche électronique. Cette multiplication peut s'étudier quantitativement à partir de la connaissance d’un coefficient α, dit premier coefficient d'ionisation de Townsend. Le courant qui traverse l'anode doit être égal à celui qui traverse la cathode. Townsend a été le premier à mesurer le courant en fonction de la distance interélectrodes. Le résultat se présente ainsi, i = i0 e αd 1 − γ(e αd − 1) (I.1) CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 11 i 0 : est le courant initial. α : est le premier coefficient d'ionisation de Townsend (c'est le nombre de paires de particules chargées produit dans un libre parcours moyen). γ : est le second coefficient d'ionisation de Townsend résultant de processus secondaires qui se produisent à la cathode et dans le gaz. La relation précédente du courant (I.1) traduit la théorie de claquage électrique de Townsend qui est la conséquence d'une suite d'avalanches se succédant à l'avalanche primaire. Nous pouvons voir la signification du critère de Townsend sur la formule même du courant donnée ci dessus : - Lorsque γeαd<1, l'ionisation primaire et l'ionisation secondaire, ne sont pas assez importantes pour assurer l'auto entretien de la décharge (la décharge est dite « non autonome »). - L'expression γeαd-1 s’annule, cela peut être interprété physiquement par le fait que les processus secondaires résultant du passage d'une avalanche produite par un électron, sont suffisants pour créer un nouvel électron à la cathode et remplacer l'électron responsable de l'avalanche. - Et pour γeαd >1, les effets d'ionisation résultant des avalanches successives se superposent. Ils conduisent plus ou moins rapidement au claquage selon les conditions expérimentales et l'efficacité du coefficient d'ionisation α propre à chaque gaz. La théorie de Townsend suppose que le milieu gazeux est dans un état stationnaire, ce qui veut dire que les électrons subissent suffisamment de collisions pour avoir la même énergie ainsi que la même distribution d'énergie dans l'espace inter-électrodes, celle-ci ne dépendant que du rapport E/N. Cette supposition n'est pas complètement vraie car les électrons émis par la cathode ont une énergie plus basse que celle qu'ils auront à l'état stationnaire et il leur faut une certaine distance pour l'acquérir. Il existe alors une limite supérieure pour E/N au-delà de laquelle il serait imprudent d'appliquer la théorie de Townsend. I.2.3 Limites de la théorie de Townsend Le mécanisme d'avalanche décrit par Townsend ne conserve sa validité que pour des valeurs du produit pression-distance inter-électrodes (p.d) inférieures à 200 torrs.cm. Au-delà, l'expérimentation montre qu'il se produit des phénomènes peu compatibles avec le mécanisme d'avalanche de Townsend. A partir de l'instant où le critère de Townsend est satisfait, un temps minimum est nécessaire pour que puissent apparaître les mécanismes secondaires d'ionisation. Il est imposé par le transit des ions positifs vers la cathode sous l'effet du champ CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 12 électrique. Or, à des pressions voisines de 760 Torr, les temps mesurés sont de l'ordre du centième de ceux que nécessite le transit des ions positifs en raison de leur faible mobilité quand la pression augmente. A cet égard, le domaine de validité du modèle de Townsend pourrait être étendu par l'intervention d'autres mécanismes tels que le bombardement de la cathode par des photons émis au sein de l'avalanche primaire. La densité du courant de décharge croît avec la pression, la faible mobilité des ions positifs crée alors une concentration de la charge d'espace qui modifie le champ appliqué initialement et donc la valeur du coefficient α. Les résultats les plus importants concernant l'étude des avalanches électroniques ont été obtenus par l'équipe de Raether [Ra-2], et par le groupe Loeb et Meek [Lo-1]. Raether utilisait la chambre d'ionisation de Wilson. Un appareil dont le principe consiste à remplir cette chambre de vapeur d'eau et de gaz. L'application d'une tension entre des électrodes placées dans ce milieu, produit une condensation de vapeur d'eau sur les ions positifs et négatifs de l'avalanche. Les ions négatifs sont formés par l'attachement des électrons sur les molécules neutres. Il sera ainsi plus facile de suivre les particules chargées du milieu [Ed-1]. Il a été observé en effet dans ce cas que: • la tension de claquage est indépendante de la nature de la cathode, et sa valeur est plus faible que celle donnée par la théorie de Townsend. • le courant croît plus rapidement qu'une croissance exponentielle. Le temps de claquage est plus faible que celui déduit de la vitesse de dérive correspondant au champ appliqué. Avant le claquage, on observe la formation de canaux étroits et lumineux qui ne trouve pas d'explication dans la théorie de Townsend. La cathode, élément principal dans la théorie de Townsend, ne joue aucun rôle dans l'initiation des décharges positives se dirigeant vers la cathode. Toutes ces observations ne trouvèrent pas d'explication dans le cadre de la théorie de Townsend. C'est pourquoi, nous allons voir que ces phénomènes et parmi eux celui de la concentration de la charge d'espace sont à l'origine d'un nouveau mécanisme qui est décrit dans une autre théorie introduite par plusieurs auteurs Loeb et Meek [Lo-1], c’est la théorie des ondes d'ionisation, dite streamer ou dard. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 13 I.2.4 Théorie du streamer La constitution de la multiplication électronique caractérisée par le paramètre α résulte principalement du fait que l'avalanche représentée à la figure (I.2) se développe comme un nuage d'électrons laissant derrière lui des ions positifs quasi stationnaires. a b c Figure (I.2) : Etapes successives du développement d'un streamer positif. La charge d'espace à forte densité ainsi créée perturbe localement le champ électrique appliqué E . Entre la tête de l'avalanche et la cathode, elle renforce le champ appliqué, et crée également une composante radiale, par rapport à l'axe de l'intervalle. En même temps, et au sein de la tête de l'avalanche, la coexistence d'électrons et d'ions positifs conduit à la formation d'une zone intermédiaire où le champ total se trouve réduit. I.2.4.1 Théorie d’ionisation Partant d'un électron à la cathode, nous obtiendrons plus tard et plus loin des avalanches se dirigeant vers l'anode. Les ions positifs des avalanches restent en arrière, alors que les électrons plus légers, se déplacent plus vite vers l'anode, il se forme ainsi un dipôle qui ne cesse de grandir et qui donne naissance à un champ E esp (champ de charge d'espace) de plus en plus grand. Quand ce champ est faible par rapport au champ géométrique E g , on peut toujours se contenter de la théorie de Townsend mais quand E esp est comparable à E g , cela perturbe complètement le développement de la décharge et il devient nécessaire d'envisager une autre théorie pour expliquer le développement des avalanches électroniques. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 14 En effet, lorsque E esp est comparable à E g , le champ résultant entre le front de l'avalanche et le paquet d'ions qui revient vers la cathode, se trouve diminué. Ce même paquet d'ions produira avec les électrons émis par les avalanches suivantes, un champ dans le même sens que le champ géométrique et qui viendra s'ajouter à celuici. Cette augmentation du champ a pour effet d'accélérer encore le processus et il se crée ainsi un front positif qui se dirige vers la cathode appelé dard (ou streamer) cathodique. Figure (I.3) : Représentation schématique de la formation et la propagation d'un dard (a) et du profil du champ électrique E associé (b). Devant, sur le front négatif qui se dirige vers l'anode, il se produit le même phénomène. Dans ce cas la déformation du champ est causée par le dipôle formé par le front d'électrons et les ions positifs laissés par les avalanches à l'avant de ce front. Le résultat de ce phénomène de charge d'espace est présenté sur la figure (I.3) sur laquelle on voit que le champ réel (E=E g +E esp ) agissant le long de l'espace interélectrodes est la somme algébrique du champ géométrique et du champ de la charge d'espace. L'observation du développement de cette charge d'espace et les calculs effectués pour déterminer la condition pour laquelle le champ de charge d'espace comparable au champ appliqué, ont abouti au fait que le dard commence à se développer à la tête de l'avalanche quand le nombre de porteurs de charge atteint 108. Ce seuil critique de la densité des porteurs de charge à partir duquel il y a naissance du dard et qui est de 108 était confirmé par Chalmers et al. [Ch-1]. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 15 L'aspect extérieur du dard est caractérisé par une propagation très rapide et une extension radiale très réduite, ce qui explique que le terme décharge filamentaire est aussi utilisé pour nommer ce type de décharge partielle. I.2.4.2 Expérience de Wagner Wagner a été le premier à avoir l'idée de schématiser l'évolution temporelle et spatiale de la décharge. Ses expériences [Wa-1] ont fourni des données détaillées et des explications sur les fronts lumineux observés durant la propagation de la décharge, comme le montre la figure (I.4). Figure (I.4) : Evolution spatio-temporelle de la formation d'une onde d'ionisation. Sur cette figure, le point A indique le début de la formation des dards cathodique et anodique, correspondant à l'instant où la charge d'espace est suffisante pour déformer le champ appliqué. La dérive des dards est accélérée par la photoionisation et les électrons qui arrivent de la cathode. Les temps d'arrivée des dards aux électrodes dépendent de la pression du gaz et de la distance inter-électrodes. La modélisation et la simulation de la décharge commencent à donner leurs premiers résultats avec les travaux de Ward [Wa-2] suivis de ceux de Davies [Da-1]. Avec cela, une nouvelle façon d'envisager l'étude des décharges a vu le jour. La meilleure compréhension des mécanismes de la décharge qui en a résulté est due pour une large part aux efforts effectués dans le domaine de la modélisation envisagé comme complémentaire à l'approche expérimentale. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 16 I.2.4.3 Théorie de la photo-ionisation Le streamer apparaît sur une photographie statique comme un étroit filament lumineux. L'émission lumineuse provenant essentiellement des photons créés en tête du streamer, l'aspect filamentaire résulte de l'intégration de cette lumière au cours du temps. La formation d'un streamer s'explique par les mécanismes de photo-ionisation se produisant à l'intérieur de l'avalanche primaire. Les électrons accélérés par le champ électrique excitent par collision des molécules neutres qui reviennent à leur état fondamental avec émission d'un photon. La tête de l'avalanche est ainsi le siège d'une importante émission de photons qui sont absorbés par le gaz environnant. Le streamer avance approximativement dans la direction du champ appliqué. Cependant du fait de la nature aléatoire des mécanismes de photo-ionisation, les photoélectrons sont produits, non seulement en tête du streamer dans la direction du champ maximal, mais aussi dans une direction radiale par rapport à son avancement. Le streamer peut alors présenter une tortuosité ou même donner naissance à plusieurs branches secondaires, si des photoélectrons produits simultanément dans des directions opposées créent des avalanches de tailles comparables. La vitesse de propagation est de l'ordre de 108 à 109 cm/s ce qui excède notablement la vitesse des électrons (environ : 107 cm/s). En effet la vitesse de propagation du streamer et celle des électrons ne sont pas liées l'une à l'autre, puisque l'avancement du streamer résulte plutôt de l'efficacité du processus de multiplication électronique au sein d'une avalanche que de la vitesse des électrons eux-mêmes. De plus, un grand nombre d'avalanches peuvent contribuer simultanément à la propagation du streamer. Si l'électron ainsi produit est situé au voisinage de l'avalanche primaire, il va créer une nouvelle avalanche, dite avalanche secondaire, selon le même mécanisme de multiplication électronique, mais l'avalanche se développe maintenant dans un champ qui se trouve augmenté par la présence de la charge d'espace positive. Le schéma est donc celui d'une avalanche secondaire (en réalité de nombreuses avalanches secondaires), se dirigeant vers la région de champ maximum que représente la tête de l'avalanche primaire. Si l'on considère que les avalanches secondaires ne se développent qu'au moment où l'avalanche primaire a franchi tout l'intervalle, le nuage d'électrons qui constitue sa tête est alors absorbé par l'anode, et l'état de la décharge peut se représenter comme le montre la figure (I.3). La charge d'espace positive abandonnée par l'avalanche primaire est alors neutralisée par les électrons produits par les avalanches secondaires; ce phénomène conduit à la formation du streamer proprement dit, c'est-à-dire d'un partiellement ionisé où coexistent des charges positives et négatives. canal CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 17 Les avalanches secondaires déposent une nouvelle charge positive un peu plus en avant vers la cathode, et contribuent ainsi à l'avancement du streamer. La figure (I.2) section c, donne une représentation du streamer, à un instant où celui-ci a déjà parcouru une certaine distance de l'intervalle. A ce stade du développement, le streamer peut être décomposé en deux régions, l'une passive correspondant au canal partiellement ionisé, l'autre active, en tête du canal, où les mécanismes de photoionisation qui assurent la propagation du streamer ont lieu. Dans le cas où les électrodes sont des plans parallèles créant un champ uniforme, le streamer rencontre au cours de son développement des conditions de champ électrique toujours plus favorables, si bien que la formation d'un streamer conduit nécessairement à la création d'un canal ionisé reliant les deux électrodes. Un tel mécanisme est lié non seulement au nombre d'électrons et d'ions positifs créés par l'avalanche mais aussi, d'une part à la densité de la charge d'espace qui peut modifier localement la distribution du champ électrique, et d'autre part à l'efficacité du mécanisme de photo-ionisation. Cette efficacité dépend du nombre de photons émis par l'avalanche et de la probabilité qu'a chacun d'eux de créer un photoélectron suffisamment bien placé pour initier une nouvelle avalanche. La première condition a conduit à la proposition d’un critère suivant lequel une avalanche atteignant l'anode peut se transformer en un streamer si le champ E esp qu'elle crée devient égal au champ appliqué. Pour une géométrie pointe positive-plan présentant un haut degré de non uniformité, un streamer se développant à partir de la pointe positive se propage rapidement dans une zone où le champ appliqué est très faible. Une telle propagation n'est possible que sous l'effet du champ de charge d'espace qui est alors prédominant. Nous avons vu jusqu'ici le cas d'un streamer positif se propageant de l'anode vers la cathode. Si l'on considère maintenant un champ créé par un intervalle pointe négative plan, on observe également le développement d'un streamer partant de la pointe. La figure (I.5) représente schématiquement la propagation d'un streamer négatif. Une avalanche se forme à partir de la cathode et se développe dans un champ appliqué décroissant rapidement. La charge d'espace ainsi créée modifie localement le champ électrique, l'augmentant à la fois en tête et en queue de l'avalanche. En A, un streamer positif se développe alors en direction de la cathode en même temps qu'un photon crée en B une avalanche secondaire se développant sous l'effet du champ de charge d'espace de CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 18 l'avalanche primaire. Un streamer positif, analogue à celui qui s'est déjà formé en A, se crée en queue de l'avalanche secondaire et se propage vers la tête de l'avalanche primaire. Figure (I.5) : Représentation schématique du développement d'un streamer négatif. Le streamer négatif se propageant à partir de la cathode, les ions positifs créés par les avalanches successives viennent extraire des électrons de la cathode, qui neutralisent les ions positifs et donnent au streamer un excèdent de charges négatives. Il faut noter qu'à la différence du streamer positif, où les avalanches se développent vers la tête du streamer, c'est-à-dire dans le sens où le champ de charge d'espace croît, les avalanches secondaires se propagent maintenant vers l'anode dans le sens où l'effet de la charge d'espace décroît rapidement. Il s'ensuit d'une part que la propagation du streamer négatif dépend beaucoup plus des lignes de force du champ appliqué, et présente moins de ramifications que le streamer positif, d'autre part que le développement des avalanches secondaires est réduit par la décroissance rapide du champ électrique. Le dernier phénomène explique que la tension nécessaire au développement des streamers et à l'obtention de la décharge entre les électrodes soit plus grande en polarité négative qu'en polarité positive. I.3 Types des décharges électriques à pression atmosphérique Les décharges électriques à pression atmosphérique peuvent être selon la configuration des électrodes, soit couronne (lorsque l’électrode portée à la haute tension a une structure incurvée) ou à barrière diélectrique DBD (lorsqu’une ou les deux électrodes sont recouvertes d’un diélectrique). Les électrons énergétiques sont créés lors de leur accélération par le champ électrique au sein même du milieu gazeux contrairement aux procédés à faisceaux d’électrons, où les électrons énergétiques sont injectés dans le milieu à partir d’une source externe. Lorsque l’énergie gagnée par le champ est suffisante, ont lieu les collisions inélastiques qui forment le plasma réactif recherché. Comme à pression atmosphérique, la décharge électrique possède CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 19 généralement une structure filamentaire (le régime diffus relève plutôt d’une particularité de la source de tension ou de la composition du gaz ou encore de la nature du diélectrique dans le cas d’une décharge DBD), le plasma est donc spatialement inhomogène (filament lumineux très fins de quelques dizaine de micromètres) tout en étant dans un régime transitoire de courte durée (quelques dizaines de nanosecondes) [Ab-1]. I.3.1 Décharges filamentaires (couronne) Les décharges filamentaires sont caractérisées, généralement, par une dissymétrie géométrique des électrodes. Les configurations courantes utilisées dans les expériences sont de type pointe-plan, fil-plan et fil-cylindre. Lors de l’application d’une haute tension au niveau de l’électrode ayant le plus petit rayon de courbure, le champ électrique réduit produit dans l’espace inter-électrodes est fortement inhomogène. Il a une valeur élevée au voisinage de cette électrode puis décroit rapidement au fur et à mesure qu’on s’approche de la cathode plane. A proximité de la pointe anodique, l’amplitude importante du champ électrique réduit permet de générer des électrons avec des énergies suffisantes pour ioniser le gaz. C’est une zone où se développent les avalanches électroniques ce qui permet rapidement l’accumulation d’une charge d’espace à l’origine de la propagation de la décharge. Naturellement dans cette zone proche de la pointe les processus d’ionisation prédominent sur les processus d’attachement des électrons. En revanche, si on s’éloigne de la pointe, le champ électrique devient plus faible I.3.2 Décharges contrôlées par barrière diélectrique (DBD) La décharge par barrière diélectrique (DBD) est connue depuis plus d’un siècle. Elle a été introduite par Siemens en 1857 pour la génération d’ozone. Il s’agissait de la première décharge contrôlée par barrière diélectrique, un plasma présentant l’intérêt d’être obtenu à la pression atmosphérique. Le terme décharge contrôlée par barrière diélectrique (DBD) regroupe les configurations de décharges pour lesquelles un courant transite entre deux électrodes métalliques séparées par un gaz et par au moins une couche d’un matériau isolant. Pour transporter un courant autre que capacitif dans l’espacement de la décharge, le champ électrique se doit d’être assez intense pour causer l’effondrement du gaz. Or, comme on a pu le voir plus tôt, pour des valeurs élevées de pression (et de distance inter-électrodes), l’augmentation du courant entre deux électrodes métalliques entraîne généralement le passage vers un régime d’arc, synonyme de plasma à haute température et de dommages à la surface. La présence d’un diélectrique entre les électrodes peut être considérée comme une capacitance en série avec l’espace de gaz. Sa charge limite la tension appliqué au gaz CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 20 ce qui évite la transition vers un arc. L’accumulation de charges issues du plasma sur le diélectrique solide entraîne une chute du potentiel et du champ appliqués sur le gaz conduisant à l’extinction de la décharge. Le diélectrique étant un isolant sa constante diélectrique et son épaisseur déterminent la quantité de courant qui peut passer à travers le diélectrique. Il ne laisse pas passer le courant DC et les décharges DBD sont nécessairement pulsées et requièrent donc l’utilisation de tension alternative pour fonctionner. Les matériaux couramment utilisés comme barrière diélectrique sont le verre, le quartz, l’alumine, des couches de polymères et certaines céramiques particulières. Des différences de potentiel de l’ordre de dizaines de kV sont nécessaires pour allumer les décharges dans un espace inter-électrodes de quelques millimètres. [Ab-1]. I.4 Applications industrielles des décharges électriques à pression atmosphérique Selon son mode d'excitation et son énergie, le plasma peut générer des températures basses (plasma non thermique) ou des températures très élevées (plasma thermique). Un plasma est qualifié de non thermique si l’énergie est préférentiellement communiquée aux électrons sans que le milieu gazeux, dans lequel apparaît la décharge, subisse une élévation de température notable. L’obtention de tels plasmas nécessite le contrôle de la puissance injectée dans le milieu. Cela peut se faire, soit en limitant l’amplitude du courant, soit en contrôlant la durée de l’injection d’énergie. Donc, dans un plasma non thermique, la température électronique est beaucoup plus élevée que celle des particules lourdes (neutres et ions). Les plasmas non thermiques sont des milieux à haute densité d’énergie, puisqu’il est possible de casser toute molécule si on l’injecte dans un plasma adapté. En effet, bien que les plasmas thermiques puissent conduire à la dissociation des diverses molécules polluantes, leur usage implique une dépense en énergie importante, car celle-ci est transférée à l’ensemble des molécules du gaz dont la majorité n’est pas nocive. L’objectif à atteindre pour réaliser un traitement économique idéal des effluents gazeux, par exemple, serait de travailler avec un plasma susceptible d’induire la dissociation des molécules de polluant sans transférer l’énergie à l’ensemble du gaz : c’est ce qui est recherché à réaliser avec un plasma froid [Co-1]. Durant ces dernières années, de nombreux dispositifs expérimentaux ont été utilisés en laboratoire et proposés en vue des nouvelles applications industrielles des décharges électriques, notamment les travaux de la dépollution, concernant CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 21 l’élimination de SO 2 et des oxydes d’azote (NO x ) des effluents gazeux. Le fort besoin du procédé respectueux de l’environnement a conduit à une évolution des procédés couronne que l’on croyait invariable. Le changement le plus significatif est le contrôle de l’atmosphère de traitement qui permet de greffer à la surface du matériau des fonctions ne contenant pas d’oxygène. Les décharges filamentaires peuvent être employées pour le traitement chimique, tel que le traitement des effluents gazeux industriels et le nettoyage des gaz de combustion et la purification de l'eau. En micro-électronique, ces décharges peuvent être utilisées pour la commutation ultra rapide des circuits électriques de puissance élevée qui a des applications dans la technologie de radar [Ce-1]. Les décharges électriques à pression atmosphérique contrôlées par barrière diélectrique (DBD) et la décharge glissante de type Glidarc (considérée comme un plasma non thermique apparaît entre deux électrodes divergentes lorsque le générateur électrique utilisé permet l’amorçage par claquage à l’endroit où l’espace inter-électrodes est le plus faible) contribuent, d’une part, à l’optimisation et le traitement des surfaces polymères afin d’améliorer la fixation des encres d’impression sur ce type de surface [Ma-1], et d’autre part, comme milieu activateur pour l’oxydation de H 2 S ou CH 3 SH dilués dans l’air, le CO 2 ou la vapeur d’eau [Cz-1] [Cz2]. Dans ce qui suit, nous nous intéressons aux décharges filamentaires et aux leurs applications industrielles, à savoir: • Le traitement des effluents gazeux et réacteurs de dépollution des gaz d'échappement. • Le traitement de surface. • Les générateurs d’ozone. • La stérilisation par décharges à la pression atmosphérique. • Le traitement de surface de certains polymères. • Le photocopieur. • Laser à azote. • La séparation électrostatique de matières conductrices et non-conductrices. • Le refroidissement de composants électroniques (la migration des particules ionisées génère un flux qui expulse l'air chaud). I.4.1 Traitement des effluents gazeux L’évolution de la consommation d’énergie pose des problèmes fondamentaux car les activités industrielles produisent des rejets qui contiennent des produits nocifs. Les émissions d’effluents sont maintenant réglementées et les normes sont de plus en CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 22 plus contraignantes. Cependant, une nouvelle voie est apparue il y a quelques années, l’idée consiste à utiliser des plasmas froids pour détruire des molécules polluantes. Les différents procédés de dépollution sont comparés en terme de coût énergétique et de taux de conversion du polluant. Ils illustrent les questions soulevées en recherche fondamentale et les problèmes liés aux transferts de technologie. L'étude des décharges filamentaires est capitale pour les dispositifs de dépollution, car c'est dans ces canaux ionisés que se fera la réduction des oxydes polluants. Elles peuvent également avoir lieu entre des électrodes autre que plan-plan c'est à dire pointe-plan ou fil-plan ou fil-cylindre. Le contrôle et le traitement des rejets gazeux par des plasmas non thermiques, suscitent un intérêt grandissant pour la dépollution. Pour les industriels, les techniques classiques de dépollution (traitement des polluants au niveau de la ligne d’échappement, réduction de la quantité des polluants injectés dans l’atmosphère, …) ont permis de réduire avec succès les émissions nocives [Ar-1][Ja-1][Po-1][So-1]. La décharge couronne a été suggérée comme une source de plasma pour les polluants de décomposition d'air tels que le NO et SO. Elle est l’un des dispositifs les plus étudiés produisant les plasmas atmosphériques non équilibrés. Ces plasmas, à leur tour, produisent une espèce chimiquement active, par exemple N, O, et OH en air, par des collisions d'électrons avec les molécules ambiantes. L’espèce chimiquement active résultant détruit alors aisément les polluants dangereux, tels que les oxydes d'azote (NO) et les Organiques Volatils Composés par des réactions chimiques [Yo-2]. Le principal intérêt des décharges couronne semblait être alors l’élimination simultanée des substances nocives et des poussières mais un autre enjeu important apparut, c’est la destruction des Composés Organiques Volatils (COV) particules contenus dans l'atmosphère : (pesticide, solvant, …) [Li-1][Sa-1][Ro-1][Ya-1]. Les recherches dans ce domaine devinrent très actives à partir des années 1990. Bien que les dispositifs utilisés soient centenaires, les applications des décharges pour l’environnement sont encore un domaine de recherche très ouvert et ce, pour trois grandes raisons : • La complexité des phénomènes impliqués qui combine effets chimiques, physiques et électriques ; • Les aspects législatifs sur la pollution qui doivent inciter les industriels à investir dans de nouvelles technologies ; • Le coût énergétique associé au procédé [Co-1]. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 23 Les industries dont les rejets sont faibles peuvent être immédiatement intéressées par les techniques plasmas ; en revanche, lorsque les débits deviennent plus importants, le coût de l’énergie peut être rédhibitoire si l’on considère uniquement un traitement plasma [Co-1]. Le traitement des flux importants de rejets industriels gazeux reste cependant un domaine très ouvert et prometteur pour les plasmas. Les travaux récents ont montré que les techniques de plasmas froids pouvaient être performantes et conduire à la réduction des coûts énergétiques. Le traitement des effluents industriels gazeux par plasma est d’autant plus efficace que les polluants sont concentrés. Dans beaucoup d’industries, on applique des techniques de dilution afin de réduire les effets nocifs au niveau des postes de travail. Une réduction importante des coûts énergétiques serait obtenue par un traitement au niveau des sites avant dilution. Les réacteurs plasma sont peu volumineux et faciles à installer; ils sont donc très intéressants de ce point de vue. Il faut, d’autre part, considérer les investissements initiaux à réaliser. La simplicité technologique des dispositifs plasma les rend compétitifs. A propos des sous produits, il faut signaler que, des électrons hautement énergétiques peuvent induire des réactions chimiques inattendues et conduire à des composés nocifs. Ceux-ci sont, cependant, émis en très faible quantité et leur présence peut être, en général, annulée par ajouts de réactifs complémentaires ou par modification des conditions de fonctionnement de la décharge. Dans tous les cas, un contrôle très fin des produits en sortie est nécessaire. Les nouvelles technologies de destruction des polluants atmosphériques par plasmas hors équilibre ou par association plasma catalyseur suscitent, à l’heure actuelle une recherche très active. La maîtrise des procédés de dépollution par plasma nécessite la compréhension de problèmes technologiques et scientifiques qui vont de l’injection de l’énergie électrique dans le plasma jusqu’aux réactions chimiques [An-1]. Cette technologie fera le point sur les différents aspects de la dépollution par plasma froid tels que la destruction des composés organiques volatils et d’oxydes d’azote ou de suies, la pertinence des diagnostics ou des modèles ainsi que les potentialités d’association plasma catalyseur pour la destruction de polluants. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 24 L'objectif des réacteurs de dépollution des gaz d'échappement est de mieux comprendre la transformation, par décharges électriques, des oxydes d'azote et de soufre contenus dans les gaz d'échappement de l'industrie. Le gaz d'échappement est d'abord excité par une décharge électrique de type couronne durant quelques ns. Les électrons énergétiques générés dans les canaux ionisés filiformes (streamers étudiés par un modèle électrique) permettent de créer par dissociation des molécules majoritaires du gaz (N 2 , O 2 , H 2 O et CO 2 ) les radicaux primaires (O, N, OH, etc.) puis secondaires (O 3 , HO 2 , etc.). Grâce à ces radicaux qui ont une durée de vie assez grande, les oxydes soufrés et azotés sont, durant la phase post-décharge, d'abord transformés en acides (NO devient NO 2 puis HNO 3 et SO 2 devient H 2 SO 4 ) puis en sels minéraux (HNO 3 devient un nitrate et H 2 SO 4 un sulfate) par addition d'une base (NH 3 ). L'énergie déposée dans les canaux ionisés provoque, par chauffage Joule, une montée en température du gaz neutre. Le modèle de cinétique chimique est couplé au modèle de dynamique du gaz réactif afin de rendre compte des effets de changement de température du gaz et de la relaxation des états vibrationnels ainsi que du transport diffusif et convectif de matière sur les processus chimiques de transformation des oxydes toxiques. Ce paramètre température du gaz fait partie des grandeurs qu'il faut bien maîtriser pour bien comprendre le fonctionnement du réacteur plasma pour la dépollution des oxydes d’azote contenus dans les gaz d’échappement excités par décharge couronne pour une géométrie pointe-plan en polarité positive. L’objectif recherché est l’estimation la plus fiable possible du taux de production et de localisation des radicaux dans les canaux ionisés car cela constituerait un atout considérable pour l’optimisation des réacteurs plasma de dépollution dans les conditions réelles de fonctionnement ce qui n’a encore jamais été tenté à ce jour. Bien que les différents types de réacteurs soient connus depuis très longtemps, la dépollution par des techniques plasmas froids constitue un domaine de recherche et d’application très ouvert. Les connaissances actuelles permettent néanmoins de proposer des dispositifs de traitement des gaz dont certains sont déjà exploités par des industriels. I.4.2 Traitement des liquides Les nouvelles techniques d’oxydation pour le nettoyage de l’eau sont en plein essor actuellement. Or, les paramètres de performance d’un procédé, décisifs pour sa commercialisation, sont les coûts d’installation, la consommation d’énergie, la facilité d’exploitation et de maintenance. Pour toutes ces raisons, les procédés les plus avantageux semble être l’utilisation de l’ozone et des décharges électriques [Ho-1]. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 25 Ainsi, les décharges électriques dans les liquides permettent d’envisager de mettre en œuvre un grand nombre d’applications commerciales telles que: le traitement de boues, la dissociation de produits chimiques toxiques comme la dioxine, le nettoyage de l’eau contaminée, la stérilisation de lait et de jus de fruits, et la gestion de l’eau potable, etc… En ce qui concerne l’eau et les milieux aqueux, les espèces chimiques actives créées par les décharges électriques sont les radicaux H, OH, O, O 2 , HO 2 , O 3 et du peroxyde d’hydrogène H 2 O 2 . Parmi ces espèces, OH, O, O 3 et H 2 O 2 sont les plus importantes pour les réactions chimiques. Ces radicaux traitent les composés organiques par oxydation. Les radicaux hydroxyl OH et H 2 O 2 sont directement produits par la décharge dans l’eau [Ya-2]. Les nouvelles technologies de traitement de l’eau (eau potable et eaux usées) présentent toutes de puissantes propriétés anti-microbiennes (les champs électriques pulsés, le traitement par couronnes pulsées et par faisceaux d’électrons, le traitement par ultraviolets et ozone). Cependant, tous les micro-organismes ne répondent pas de la même manière à ces traitements. C’est pourquoi, en considérant les applications variées d’un tel système, Espie et al [Es-1] ont imaginé un nouveau procédé exploitant toutes ces propriétés dans le but d’optimiser l’efficacité du traitement sur une large variété de micro-organismes dans les liquides. I.4.3 Traitement de surface Les plasmas froids présentent un fort potentiel pour les traitements de surface. En effet, le domaine d’étude des surfaces s’est réellement développé depuis peu de temps. Seul un développement important des techniques d’analyse de surface lui a permis de connaître de formidables essors constatés actuellement. Les traitements par plasma connaissent désormais des applications variées aussi bien à l’échelle du laboratoire qu’au niveau industriel. Dans un plasma froid, contenant des espèces ionisées, seuls les électrons sont portés à haute température, les autres particules (ions, radicaux, molécules) restent à la température ambiante. Ce procédé est particulièrement adapté au traitement de matériaux thermosensibles tels que les polymères. Les principales actions du traitement de surface sont : la désorption des produits en surface, le nettoyage de la surface, l’érosion du matériau, le greffage de fonctions chimiques, le dépôt d’un matériau en couches minces, l’amélioration des propriétés d’adhésion ou d’imprimabilité, la biocompatibilité, la mouillabilité ou tout simplement le nettoyage des surfaces [La-1] [Pr-1] [We-1]. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 26 Un exemple de plasma froid couramment utilisé dans l’industrie est le traitement corona. Ce procédé permet de traiter le matériau directement sur la ligne de production. Cette technologie est utilisée depuis plus d’une trentaine d’années pour augmenter la mouillabilité et l’adhésion des polymères [Th-1]. Néanmoins, elle ne permet de traiter que des pièces en deux dimensions. Le traitement en enceinte fermée et avec une atmosphère contrôlée permet de traiter des pièces de forme plus complexe et d’apporter un plus grand nombre de fonctionnalités à la surface [Pé-1] [Ho-2] [Th-1]. Le procédé de traitement de surface est le plus répandu dans l’industrie des films et des fibres. L’avantage de cette technique est qu’elle fonctionne en continue et qu’elle peut être intégrée dans une ligne de production. Le matériau défile à des vitesses de l’ordre de centaines de mètres par minute entre deux électrodes entre lesquelles est appliquée une tension alternative. Une des électrodes est un rouleau et c’est généralement lui qui est recouvert d’un diélectrique solide. L’autre électrode est constituée d’une ou plusieurs barres dont la longueur est égale à la largeur du matériau à traiter. Ainsi parce que le film défile dans le plasma, de très grandes surfaces sont traitées sans que le volume du plasma soit très conséquent. En fait, cette technique est très utilisée pour modifier la mouillabilité ou l’adhérence sur la surface des matériaux mais elle ne convient pas pour faire des dépôts de couches minces [Ma-1]. Dans les cas où les conditions de traitement sont trop drastiques, par exemple lorsque la puissance délivrée par le générateur est très importante, des réactions d’ablation de la surface apparaissent [Na-1]. Lorsque cette ablation est involontaire, on parle de dégradation de la surface. Cependant, cette propriété peut également être utilisée volontairement pour, par exemple, enlever une couche de contamination ou des additifs de faible poids moléculaire qui ont migré en surface du matériau. On parlera dans ce cas de nettoyage de la surface. Enfin, lorsqu’il s’agit d’une ablation volontaire d’une partie du matériau, on parle généralement de gravure. A pression atmosphérique, mis à part pour les procédés d’activation de surface qui sont d’ores et déjà utilisés industriellement sous le nom de procédé couronne (Corona) dans l’air [Ma-2][Li-2][Ue-1] et d’Aldyne dans l’azote [Vi-1], les autres sont encore principalement en cours de développement en laboratoire [Ma-3][Fo-1][Ga-1] [Go-1] [Wa-3]. Des études récentes menées au sein du laboratoire concernant les dépôts de couches minces [Ma-4] par plasma froid à la pression atmosphérique, ont montré l’importance de la puissance dissipée dans la décharge. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 27 L’élaboration et l’étude de plasmas à pression atmosphérique pour les modifications de surface constituent des domaines d’étude relativement jeunes et pleins de promesses. Beaucoup de travail reste à faire pour mieux comprendre les phénomènes tant au niveau de la nature du plasma que des interactions avec les surfaces. I.4.4 Stérilisation médicale La stérilisation médicale et les étapes préliminaires à son obtention correspondent à une obligation de résultats pour les cliniques et les hôpitaux, elle joue un rôle fondamental dans la production du matériel stérile. Les méthodes actuelles dans ce domaine ont montré leur limite. Le nouveau défi est de développer un agent de stérilisation non toxique respectant le matériel thermosensible [De-1][Do-1][Od1][Ri-1][Tr-1]. Un plasma froid peut également être utilisé afin de décontaminer un matériau ou un aliment [La-2] [Na-1]. L’utilisation d’un plasma froid est intéressante par rapport aux méthodes traditionnelles dans le cas où le matériau à traiter ne supporte pas une température trop élevée ou un traitement chimique. Les espèces actives utilisées pour la stérilisation sont principalement les photons UV émis par le plasma qui peuvent pénétrer profondément dans le matériau et les radicaux qui réagissent avec la surface [Po-2]. Les travaux de recherche sur ce thème se poursuivent selon deux axes : le premier est lié à l’utilisation du plasma lui-même (phase décharge) et le second concernant l’utilisation des flux gazeux émanant de la phase de la post-décharge. I.4.4.1 Investigations sur les mécanismes microcides L'injection d'énergie électrique dans un volume gazeux s'effectue par accélération d'électrons jusqu'à acquisition d'une énergie cinétique suffisante pour initier des avalanches électroniques dans un régime de décharge auto-entretenu, conduisant ainsi à la production d'un plasma. Si l'on considère les différentes voies de conversion de l'énergie électrique, on peut identifier quatre types d'acteurs pouvant, suivant les conditions opératoires, être impliqués dans les mécanismes conduisant à l'inactivation de micro-organismes : les photons, les neutres, les ions et la chaleur. Des paramètres, tels que, la nature du gaz, sa densité (pression), la géométrie du réacteur et le type d'excitation mis en œuvre, vont permettre de sélectionner l’importance relative de l'énergie. Par ailleurs, la stérilisation est un traitement de surface; le mode d'exposition, par rapport à la source plasma, de la surface à traiter joue également un rôle important pour la sélection des espèces actives. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… A pression atmosphérique, 28 on obtient généralement des décharges filamentaires présentant des canaux dans lesquels existe transitoirement un plasma. Cette caractéristique physique limite les applications de l'interaction directe du plasma avec la surface à traiter à des surfaces simples et mobiles ; un exemple évident est le traitement des films polymères par défilement sous décharge couronne dans l'air ambiant à pression atmosphérique. Dans ces conditions de pression, la situation peut alors être résumée comme suit : • En exposition directe avec le plasma, les surfaces contaminées sont soumises à l'action simultanée des photons, des ions et des neutres ; dans le cas particulier de la pression atmosphérique, des températures élevées peuvent être observées. • En exposition limitée à la post-décharge, les surfaces contaminées sont soumises à l'action simultanée des photons et des neutres dans le cas de la basse pression. A la pression atmosphérique, les neutres seuls interviennent de façon effective. Après le traitement d'une surface donnée pendant de différentes durées d'exposition, la surface est contaminée par un nombre connu et constant de microorganismes revivifiables. On obtient ainsi des réductions exponentielles du nombre de micro-organismes revivifiables. Ainsi, pour un traitement à pression atmosphérique par décharge couronne, seul un type de mécanisme existe, ce qui met uniquement en jeu les neutres issus de la décharge [Od-1]. I.4.4.2 Nouvelle décharge Elle est établie dans de l’azote à une pression atmosphérique par une tension de quelques 10 kV. Elle est suivie par une post-décharge en écoulement dans un tuyau de diamètre d’environ 6 mm, débouchant à l’air ambiant. La post-décharge en écoulement, repérée par la fluorescence du tube qu’elle excite, se montre active sur plus de 10 m. Une analyse spectroscopique de l’émission interne de la post-décharge met en évidence des radicaux NH et CN produits localement par une espèce active de l’azote, interagissant avec les impuretés du gaz, qui reste à identifier. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 29 Un test préliminaire a été mené pour montrer l’efficacité antibactérienne de cette post-décharge dans sa configuration initiale. A 20 cm en aval de la décharge dans un tuyau, il a été interposé une chambre où des lames portant des spores de stearothermophilus ont été introduites. L’application de cette décharge à pression atmosphérique présente un grand intérêt dans le domaine médical, et particulièrement dans le domaine de la stérilisation de l’intérieur des tubes. Cependant, elle pourrait aussi concerner l’industrie alimentaire [An-1]. I.4.5 Générateurs d’ozone Les ozoneurs sont des générateurs d’ozone fonctionnant à base des décharges filamentaires qui permettent de fournir l’ozone nécessaire au traitement de l’eau et de l’isolation gazeuse. L’ozone est généré artificiellement par deux types de générateurs ; les générateurs à rayons ultraviolets et les générateurs par procédé des décharges électriques à pression atmosphérique. Dans ce dernier type, la décharge filamentaire est créée entre deux plaques métalliques séparées par l’air et d’un isolant de constante diélectrique élevée, tel que le mica ou le verre borosilicaté. L’application d’une tension élevée entre les deux électrodes, entraine la dissociation et la recombinaison des molécules d’oxygène dans l’intervalle inter-électrodes. En bref, la décharge couronne est également utilisée dans des applications autres que les générateurs d’ozone, telles que : • les applications électrostatiques (dépôt de charges électriques pour la neutralisation de charges, le dépoussiérage, le triage, le revêtement, la reproduction d'images (photocopieurs), etc…). • les applications d'analyse et de diagnostic, dans lesquelles la décharge est associée à un système de mesure. Par exemple, pour la détection et l'analyse de gaz ou de particules (ionisation par décharge couronne associée à une technique d'analyse spectroscopique, telle que la spectrométrie de masse ou d'émission optique) ou encore comme outil de diagnostic des surfaces (par mesure du potentiel de surface induit par dépôt de charges, la décharge servant de source d'ions) [La-3]. CHAPITRE I: DECHARGES A HAUTE PRESSION… 30 I.5 Conclusion La première partie de ce chapitre a été consacrée à l’explication de quelques notions fondamentales concernant les phénomènes liés aux avalanches électroniques et à la création des décharges électriques. Dans la deuxième partie, nous avons cité les différents types des décharges à pression atmosphériques et leurs applications dans des différents domaines, telles que le traitement des surfaces et l’élimination simultanée des substances nocives par un traitement des flux importants des rejets industriels gazeux. Le traitement des gaz, par exemple, reste un domaine important et ouvert pour les plasmas. Les connaissances actuelles permettent de proposer des dispositifs de dont certains sont déjà exploités par des industriels. Dans l’industrie, cette démarche ne représente qu’une faible valeur ajoutée. L’obstacle du coût global et du coût énergétique, en particulier, d’un procédé plasma peut rester toujours présent, il est considéré comme l’une des raisons qui stimulent actuellement la recherchedéveloppement sur des procédés plasmas à pression atmosphérique. Pour cela, la modélisation numérique et l’étude expérimentale, concernant un plasma sont essentielles pour comprendre le comportement de ces décharges électriques et de les exploiter dans les domaines industriel, alimentaire et sanitaire. Dans le chapitre suivant, nous allons présenter les équations de base utilisées pour la modélisation des décharges électriques. CHAPITRE II EQUATIONS DE BASE POUR MODELISER UNE DECHARGE ELECTRIQUE HAUTE PRESSION L’étude expérimentale des décharges électriques est souvent très couteuse. La modélisation peut fournir une aide précieuse pour mieux comprendre la physique de ces décharges et leurs propriétés. La simulation numérique, parallèle et complémentaire aux approches théoriques et expérimentales, est considérée comme un moyen puissant pour la compréhension des phénomènes physiques. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 32 Elle permet d’obtenir des informations détaillées sur des systèmes complexes, devant lesquels les méthodes de calcul analytiques sont impuissantes, et permet aussi d’accéder à des grandeurs souvent inaccessibles à l’expérience. Elle repose en premier lieu sur la description auto-cohérente du couplage entre les phénomènes de transport des particules chargées et le champ électrique, qui permet de constituer le modèle électrique. A partir de ce modèle décrivant l’interaction des espèces actives et l’évolution de leur concentration, les taux de production de ces espèces peuvent être déduits. Ce modèle cinétique doit inclure une représentation des écoulements du gaz. La chimie du plasma et les écoulements peuvent donc être regroupés dans un modèle cinétique et hydrodynamique [Bo-1]. Dans ce chapitre, nous présentons les équations de base utilisées d'une manière générale pour la modélisation des décharges partielles ou filamentaires qui nous intéressent. Ensuite, nous décrivons le modèle hydrodynamique et les approximations retenus dans cette thèse. II.1 Modélisation des décharges électriques II.1.1 Introduction La décharge électrique se crée dans un milieu constitué d’un ensemble de l'ordre 1020 particules neutres et particules chargées par unité de volume interagissant entre-elles. La modélisation de cette décharge est relativement complexe à cause des nombreux phénomènes mis en jeu et de leur fort couplage, par exemple celui entre la variation des densités de particules chargées et celle du champ électrique. Elle revient à rendre compte, de l'évolution spatio-temporelle de toutes ces particules à l'aide des équations du mouvement relatives à chaque particule. Nous aurons ainsi un modèle microscopique de ce milieu devant résoudre environ 1020 équations, et cela n'est pas possible malgré la puissance de l'outil informatique. Une autre méthode qui est une approche statistique du problème consiste à réduire le nombre d'entités à traiter en assimilant, un ensemble de particules d'un type donné à une seule entité décrite par une seule équation et dont la solution est la fonction de distribution de densité de ces particules. On attachera ainsi à ce milieu autant de fonction de distribution qu'il y a d'espèces différentes de particules. Dans ce qui suit, nous allons présenter la fonction de distribution qui constitue la base du formalisme microscopique ou particulaire. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 33 II.1.2 Fonction de distribution Chaque particule du gaz est définie par un vecteur de position r qui va de l'origine du système de coordonnées vers son centre de gravité et par un vecteur de vitesse v . On associe au vecteur de position et au vecteur de vitesse deux espaces de coordonnées que l'on regroupe pour former l'espace des phases. A un instant t, le nombre probable de particules dn(r, v, t) animées d'une vitesse v variant dans l'élément de vitesse dv et se trouvant dans l'élément de volume situé autour du point r , est défini par: (II.1) dn(r,v,t)=dr dv f(r,v,t) Où : f(r,v,t) est la fonction de distribution spatiale de densité des particules et (dr dv) est l'élément de volume de l'espace des phases centré sur r et v. A partir de la définition précédente, nous pouvons déduire la densité des particules en un point du plasma à un instant donné t : n (r,t)= ∫ f(r,v,t) dv (II.2) v II.1.3 Équation de Boltzmann et ses moments La modélisation d'une décharge électrique est relativement complexe. Dans les conditions de décharge transitoire, le degré d'ionisation est inférieur à 10-4. Pour ces faibles degrés d’ionisation, il est évidemment impossible de décrire dans une décharge transitoire le mouvement de chaque particule. L’équation de Boltzmann ne prend pas en compte les interactions à longue portée entre particules chargées, mais elle suppose que les collisions sont ponctuelles et instantanées. Cette équation est une bonne approximation pour décrire le transport des électrons et des ions, et leurs collisions avec les neutres par l’introduction de la fonction de distribution pour chaque espèce. L’évolution de cette fonction pour les différentes particules de la décharge est obtenue par la résolution de l'équation de Boltzmann : ∂f δf ∂f ∂f + v + γ =( ) ∂t ∂r ∂v δt coll (II.3) CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 34 Les différents termes de l'équation de Boltzmann (II.3) peuvent être explicités de la façon suivante : f(r,v,t) est la fonction de distribution dans l'espace des phases à l'instant t. ∂f : représente la variation temporelle de f au point (r, v) (terme de variation ∂t temporelle). ∂f v : représente la variation de f à cause de la diffusion des ions ou des électrons ∂r (terme de diffusion spatiale qui fait tendre le système vers son état homogène). ∂f γ : représente la variation de f sous l'action des forces extérieures, où γ est ∂v l'accélération des forces extérieures dues à l'effet des champs électrique et magnétique (terme traduisant l'action des forces extérieures sur les particules). ( δf )coll : représente la variation de f suite aux collisions (terme qui rend compte de la δt variation de la fonction de distribution sous l'effet des collisions avec les neutres). A partir de cette fonction de distribution, nous pouvons avoir accès à toutes les grandeurs macroscopiques comme la densité et la vitesse moyenne. Dans les décharges transitoires, les charges d'espace dues à la présence d'ions et d'électrons sont suffisantes pour distordre le champ électrique. Ces modifications dans le champ électrique vont évoluer la fonction de distribution par le terme lié à l'action des forces extérieures : pour décrire correctement la décharge, il est donc nécessaire de coupler l'équation de Boltzmann avec l'équation de Poisson qui donne les variations du champ électrique dues à la présence de la charge d'espace. Tout cela ne facilite pas l'utilisation de cette équation, c'est pourquoi des hypothèses simplificatrices ont été introduites au niveau de la dépendance spatiale et temporelle des paramètres permettant la description de l'évolution des particules. Parmi ces hypothèses simplificatrices, nous citons la supposition de l'existence d'un régime d'équilibre ; qui est l’hypothèse la plus courante. II.1.4 Régime d'équilibre Considérons le cas où le champ appliqué à un système est constant et uniforme. Nous admettons dans une telle situation que, les propriétés macroscopiques des particules chargées étudiées sont indépendantes de la position et du temps et sont uniquement fonction du champ appliqué. Nous disons alors que les particules sont en équilibre avec le champ électrique et que le système est en régime hydrodynamique. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 35 Dans un cas général, nous définissons le régime hydrodynamique (ou régime d'équilibre avec le champ local) autant qu’un état d'équilibre dans lequel les pertes d'énergie au cours des collisions sont compensées par le gain d'énergie suite aux collisions et aux forces extérieures. Les causes du non équilibre peuvent provenir, en dehors de la variation du champ, d'une source d'électrons de distribution quelconque ou des électrodes. Dans ce cas, la prise en compte de ces zones de non équilibre nécessite la résolution de l'équation de Boltzmann en milieu inhomogène. Ces considérations sont très importantes pour la fiabilité et la précision des résultats issus du modèle retenu, surtout pour une décharge comme la notre où effectivement la question des problèmes d'équilibre non hydrodynamique et également collisionnels se pose. Il est clair que les forts gradients de champ rencontrés dans ce type de décharge nécessitent des précautions particulières avant d'admettre l'hypothèse d'équilibre avec le champ local. II.2 Différents Modèles Un modèle permet de décrire les phénomènes de la nature à l’aide d’équations mathématiques validées. Les solutions du modèle permettent d’interpréter et d’analyser les résultats d’une expérience en modifiant par exemple des données opératoires et géométriques. Dans la plupart des cas, la solution analytique d’un modèle n’est accessible qu’après un nombre important de simplifications et hypothèses réductrices. Une solution complète demande le plus souvent l’utilisation d’un logiciel de simulation et l’emploi d’algorithmes spécifiques. Deux types de modèles sont généralement employés pour modéliser les caractéristiques d’une décharge électrique : le modèle circuit et le modèle électrique. Ces deux modèles ont des vocations différentes et ne sont pas concurrents mais complémentaires. Le premier type donne une vision macroscopique de la décharge et peut facilement se coupler à un modèle d’alimentation électrique, quand au deuxième type, il fournit de précieuses informations sur les densités et les flux des différentes espèces du plasma. II.2.1 Modèles de type circuit Dans les modèles de type circuit, le plasma n’est pas modélisé par un ensemble d’équations mais il est simulé par des éléments de type circuit (résistance, capacité, inductance, source de tension, diode, …). De par leur nature, ces modèles ne permettent pas d’avoir une vision microscopique du plasma mais au contraire une vision macroscopique, ce qui peut permettre de prendre du recul afin de se focaliser CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 36 sur les phénomènes physiques principaux. Dans la majorité des cas, ces modèles sont simplement ajustés sur un point de fonctionnement. Ils ne permettent donc pas de modéliser le comportement d’un plasma correctement si les paramètres varient. Cependant, grâce à leurs structures ils peuvent être directement implantés dans des logiciels de simulation de type circuit et utilisés par exemple dans le cadre de développement d’alimentation électrique. Ce type de modèle est souvent utilisé, en particulier dans le cas des décharges à barrière diélectrique, comme support pour le calcul de grandeurs électriques internes de décharges non directement mesurables. Nous ne pouvons plus parler dans ce cas de modèle mais plutôt de schéma électrique équivalent. Néanmoins, cela permet par exemple de calculer la tension réellement appliquée sur le gaz, et/ou le courant dû à la décharge dans le cas de ce type de décharge [Li-3] [Gh-1]. II.2.2 Modèle électrique Dans un plasma, les phénomènes de transport des particules chargées sont parfaitement décrits par l'équation de Boltzmann. Cette équation établit le bilan des variations de la fonction de distribution des particules chargées sous l'effet, d'une part, des forces extérieures (champ électrique) et d'autre part, des collisions électron neutre ou ion neutre. De cette distribution peuvent être déduites les variations spatiales à chaque instant de grandeurs moyennes telles que la densité n( r ,t), la vitesse moyenne dirigée v ( r ,t) ou l'énergie moyenne ξ (x,t). Dans une décharge, les équations de transport des particules chargées doivent être couplées à l'équation de Poisson déterminant le champ électrique (modèle autocohérent). La résolution numérique de l'équation de Boltzmann est délicate, son couplage à l'équation de Poisson rend le problème encore plus difficile. C'est pourquoi il existe une hiérarchie de modèles physiques correspondant à différents degrés d'approximation des phénomènes. Suivant les conditions et le niveau de détail ou de précision requis, l'un de ces modèles sera mieux adapté au problème. Les décharges couronne filamentaires de type streamers résultent du transfert d’énergie des électrons vers les molécules neutres lors d’un ensemble complexe de collisions microscopiques. Pour modéliser l’évolution des espèces dans un plasma, il existe principalement trois niveaux de description décrits ci-dessous : modèle microscopique, modèle fluide et modèle hybride. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 37 II.2.2.1 Modèle microscopique Le modèle microscopique consiste à résoudre les équations de Boltzmann électronique et ionique couplées à l’équation de Poisson. Il permet une description fine du problème car elle donne accès aux fonctions de distribution des vitesses des particules chargées. Cette approche microscopique est utilisée dans des conditions relativement peu collisionnelles (c’est à dire où les libres parcours des particules chargées ne sont pas très petits par rapport aux dimensions caractéristiques macroscopiques du problème). La description microscopique des phénomènes et des processus collisionnels est réalisée par des modèles particulaires [Mo-1]. L’inconvénient de ces modèles est la durée de calcul qui est très élevée ainsi que la taille mémoire nécessaire pour suivre un nombre représentatif de particules. A la pression atmosphérique, ce nombre doit être important pour décrire correctement les phénomènes et, dans le cas de l’étude des décharges électriques, il devient rapidement très grand à cause des avalanches électroniques qui multiplient le nombre d’espèces chargées [Me-2]. Dans un modèle microscopique, les phénomènes de transport électronique et ionique sont décrits de façon beaucoup plus détaillée que dans les autres modèles. Il s'agit donc de résoudre simultanément les équations de Boltzmann des électrons et des ions et l'équation de Poisson. L'équation de Boltzmann spatio-temporelle ne peut pas être résolue de façon pratique et rapide par des méthodes de différences finies ou des éléments finis. Nous avons donc recours à des méthodes particulaires dans lesquelles nous considérons un nombre fini de particules (quelques milliers) que nous le supposons représentatif de l'ensemble des électrons et des ions. Tout en procédant à la résolution de l'équation de Poisson à des intervalles de temps réguliers, nous suivons les trajectoires individuelles de chacune de ces particules dans l'espace des phases. Dans le cas des décharges électriques dans un gaz à haute pression (de l’ordre de la pression atmosphérique) les méthodes microscopiques sont moins justifiées et plus difficiles à mettre en œuvre en raison des temps de calcul très élevés qu’elles impliquent. Nous parlons donc d’une approche plus macroscopique des phénomènes dans laquelle les propriétés des particules chargées ne sont pas représentées par des fonctions de distribution, mais par des grandeurs macroscopiques (densités, vitesses moyennes, énergie moyenne, etc…) définies par des moments de ces fonctions de distribution dans l’espace des vitesses, CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 38 II.2.2.2 Modèle fluide: Approche macroscopique Un fluide est un milieu matériel continu, déformable et qui peut s'écouler. La continuité du milieu est vérifiée si le nombre de particules physiques contenues dans un volume élémentaire est suffisamment grand pour que nous puissions négliger toute fluctuation de ce nombre [Pé-2]. Le volume élémentaire est donc choisi suffisamment grand pour contenir un nombre représentatif de particules (permettant le calcul d’une moyenne) et suffisamment petit pour être traité d’un point de vue macroscopique. Selon les études de quelques chercheurs, la densité des électrons à pression atmosphérique, dans le canal d’un streamer est de l’ordre de 1018 à 1020 m-3 [Ei-1] [Ha-2] [Pa-1]. Ainsi, un volume élémentaire de 1μm3 renferme entre 10 et 103 électrons et contient plus de 107 molécules neutres. Ces valeurs valident la possibilité de moyenner les grandeurs physiques microscopiques et assurent que les grandeurs moyennes macroscopiques obtenues sont peu fluctuantes pour un instant et une position donnés [Du-1]. Nous pouvons considérer qu’un milieu est continu si toute distance caractéristique du fluide est très grande devant le libre parcours moyen des particules [Me-2]. Dans la description macroscopique, le transport des particules chargées et les différentes propriétés du plasma sont décrits par des grandeurs macroscopiques moyennées telles que la densité, la vitesse moyenne et l'énergie moyenne des particules. Le modèle mathématique est ainsi simplifié mais la description des phénomènes reste suffisamment fine avec des durées de calcul raisonnables. Dans un modèle fluide, les grandeurs microscopiques (vitesse des particules, section efficace, fonction de distribution) peuvent être remplacées par des grandeurs physiques moyennes (densité, fréquence de réaction, vitesse et énergie moyennes) si le concept de milieu continu est valide [Me-2]. L'équation de Boltzmann est alors remplacée par trois équations qui décrivent l’évolution spatio-temporelle de ces valeurs moyennes. Ce sont l'équation de continuité (II.8) pour les densités, l'équation de quantité de mouvement (II.9) pour les vitesses moyennes et l'équation de l'énergie (II.10) pour l'énergie moyenne des électrons. Souvent, dans les modèles de décharges hors-équilibre, la température des ions est supposée être égale à celle des neutres (300°K). La difficulté pour résoudre l'équation de Boltzmann a incité à trouver une approche plus facile consistant à étudier le transport des particules chargées en termes d'équations de conservation pour les grandeurs macroscopiques. Cette approche qui est celle que nous avons choisie dans notre modélisation, repose sur l'utilisation des équations macroscopiques couplées à l'équation de Poisson [Be-1]. Une description complète des phénomènes de transport serait obtenue par la CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 39 résolution de l’équation de Boltzmann. Pour simplifier la résolution de cette équation nous passons aux valeurs moyennes définissant l'état du système. Puisque le nombre de particules étudiées est important, nous utilisons des grandeurs moyennes basées sur la fonction de distribution. Donc, pour toute grandeur X , nous pouvons définir sa valeur moyenne par : 1 X f(r, v, t) dv ∫ n(r, t) v < X >= (II.4) Alors, nous pouvons définir la vitesse moyenne d'une particule comme suit : < v >= 1 v f(r, v, t) dv ∫ n(r, t) v (II.5) Nous rappelons que ces grandeurs sont des paramètres macroscopiques définis en chaque point et qui sont reliés par des équations dites les moments de l'équation de Boltzmann. Nous nous intéresserons seulement qu’aux deux premiers moments de l'équation définis par l'équation de continuité et l'équation de transfert de la quantité de mouvement. Nous obtenons les moments de l'équation de Boltzmann, en intégrant l'équation de Boltzmann dans l'espace des vitesses après l’avoir multipliée par une fonction X(v) . ∂f ∂f ∫ ( ∂t + v ∂r v ∂f δf ( )coll X(v) dv ) X(v) dv = ∫ ∂v δt v +γ (II.6) En tenant compte de l'indépendance des grandeurs considérées par rapport à l'espace et au temps, l'équation (II.6) peut s'écrire : δf ∂ ∂ ∂ (n < X(v) >) + (n < X(v) v >) + γ n < X(v) >=∫ ( )coll X(v) dv δt ∂t ∂r ∂v v (II.7) II.2.2.2.1 Equation de continuité Cette équation, permettant d'obtenir un modèle d'ordre 0, est obtenue par le remplacement de X(v) par m dans l'équation (II.7) : ∂n ∂n < v > δn (II.8) ( )coll + = ∂t ∂r δt n = f( r , v ,t) d v est la densité de particule. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 40 n< v >= v f( r , v ,t)d v est le flux de particules où < v > est la vitesse moyenne des particules. ( δn ) : est le terme source lié aux processus de création et de disparition des δ t coll particules considérées. II.2.2.2.2 Équation de transfert de la quantité de mouvement Cette équation qui est la base du modèle d'ordre 1 est obtenue en remplaçant X(v) par m v dans l'équation (II.7) : ∂ ∂ δ 1 ∂P (II.9) <v>+<v> <v>+ − γ >= ( < v >)coll ∂t ∂r δt n ∂r P : est le tenseur de pression cinétique qui représente la mesure des écarts désordonnés des vitesses des particules autour de leur vitesse moyenne : = P m(v − < v >) ⊗ (v − < v >)f.dv II.2.2.2.3 Équation d'énergie 1 En remplaçant X(v) dans l'équation (II.7) par mv 2 , on obtient l'équation 2 d'énergie scalaire qui est le troisième moment de l'équation de Boltzmann : 1 1 ∂nm < v2 > +∇r [ mn < ( v v ) v >] − n < F v >= 2 ∂t 2 1 2 ∫ 2 mv v δ f 3 d v δ t coll (II.10) II.2.2.2.4 Fermeture du système des équations de transport Le système formé par l'équation de continuité et l'équation de transfert de quantité de mouvement n'est pas équivalent à l'équation de Boltzmann devant décrire le mouvement de chaque particule du gaz. Pour cela, il faudrait un nombre infini d'équations de moments de Boltzmann. En effet, l'utilisation des deux ou trois premiers moments de l'équation de Boltzmann nous met en face d'un système dont le nombre d'inconnus et supérieur au nombre d'équations. Dans ce cas, l'avantage apporté par ces équations de transport est donc leur résolution plus facile que l'équation de Boltzmann. C’est pourquoi, nous avons recours à des approximations pour fermer le système des équations de transport. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 41 La première approximation utilisée est l’hypothèse du champ local, qui suppose que les coefficients de transport et de réaction soient uniquement fonction du champ électrique local réduit E/N où E est le champ électrique et N la densité du gaz [Ei-1] [Pa-2]. Elle consiste à considérer que la fonction de distribution atteint un état d’équilibre quasi instantanément en réponse à l’application d’un champ électrique. Cette hypothèse est valide si la durée de relaxation de la fonction de distribution en énergie et en quantité de mouvement des espèces chargées est faible devant toutes variations caractéristiques du champ électrique dans la décharge. Vitello et al. ont montré la validité de l’hypothèse par la résolution de l’équation de Boltzmann [Me-2] [Vi-2]. La deuxième approximation utilisée consiste à négliger les termes de gradients de densité d’ordre supérieur afin d’obtenir une équation de quantité de mouvement simplifiée [Ha-3]. II.2.2.3 Modèle hybride Ce modèle représente les propriétés de transport des électrons rapides non plus de façon fluide mais microscopique, tout en gardant une représentation fluide du corps de la distribution. Ce type de modèle est qualifié d'hybride puisqu'il est de type fluide pour les électrons froids du plasma et de type microscopique pour les électrons rapides. II.3 Équation de Poisson Nous avons vu que la formation ainsi que la propagation des ondes d'ionisation sont dues à la présence d'une charge d'espace. En effet, les particules chargées dans le milieu gazeux sont accélérées par le champ extérieur appliqué à la décharge. Celuici peut provoquer notamment l'ionisation qui va créer des nouvelles particules chargées. Lorsque la densité des particules chargées devient suffisamment grande, un champ de charge d'espace (dû à la présence d'espèces chargées positives et négatives) va s'ajouter au champ extérieur. L'évaluation de ce champ résultant est déduite du potentiel calculé par l'équation de Poisson suivante : ∇2 V = − e εr (np − ne ) (II.11) avec, ε r : qui représente la constante diélectrique. e : est la charge d'un électron n p et n e sont les densités des particules positives et des électrons. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 42 Le champ électrique E est ensuite obtenu à partir du gradient du potentiel V: E = − grad V II.4 Modèle hydrodynamique utilisé dans ce travail Le modèle utilisé dans ce travail pour suivre la propagation de la décharge streamer, dans l’approximation fluide, est le modèle hydrodynamique d’ordre 1. Nous rappelons qu’il est constitué des deux premiers moments de l'équation de Boltzmann (c'est-a-dire l’équation de continuité et l’équation de quantité de mouvement) pour chaque espèce chargée, couplés avec l’équation de Poisson pour le calcul du champ électrique. Ce modèle donne suffisamment d’informations sur la propagation et la morphologie des streamers. Il permet aussi de connaitre l’ensemble des paramètres importants (comme l’énergie et la densité des espèces chargées, la répartition du champ électrique dans l’espace inter-électrodes, etc.) pour calculer la production d’espèces actives et l’énergie déposée dans le gaz neutre [Dh-1] [Ei-1] [Ge-1] [Gr-1] [Ha-2] [Me-2] [Pa-3]. Dans ce modèle, l’équation de transport de la quantité de mouvement est simplifiée grâce à l’approximation Dérive-Diffusion, cela permet de calculer directement la vitesse moyenne des particules chargées sans avoir besoin de résoudre la totalité de l’équation [Du-1]. La vitesse moyenne obtenue par cette approximation est la somme d’une vitesse de dérive (proportionnelle à la mobilité des espèces chargées dans un champ) et d’une vitesse de diffusion (proportionnelle aux gradients de densité) [Me-2]. Pour pouvoir supprimer l'équation de l'énergie il est nécessaire d'utiliser l'approximation du champ local, qui consiste à supposer que la fonction de distribution des particules chargées à un instant et à une position donnés est la même que celle calculée pour un champ électrique uniforme, lequel correspond à la valeur du champ existant à cet instant et à cette position. Dans le cas d'un milieu continu, nous simplifions les équations dans un cas monodimensionnel, où les particules se déplacent suivant un axe. Deux types de particules seront prises en compte : les électrons (indices e), une espèce d'ions de charge positive (indices p). CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 43 Le second moment de l'équation de Boltzmann est calculé en prenant x(v) = mv / ν m où ν m représente la fréquence de transfert de la quantité de mouvement. Cela permet de faire apparaître le terme flux commun à l'équation de continuité. Si nous ajoutons les hypothèses du champ local, le flux peut s'écrire : ∂n nv nw(E/N) − D(E/N) = ∂r (II.12) Les paramètres w(E/N) et D(E/N) sont respectivement la vitesse de dérive et le coefficient de diffusion de la particule transportée qui dépend de la position et du temps à travers le champ local E( r ,t). D'ailleurs l'hypothèse du champ local se traduit par : w( r ,t) ≡ w(E( r ,t)) En remplaçant l'équation (II.12) dans l'équation de continuité (II.8), nous obtenons, ∂n ∂ ∂ ∂n + (nw(E/N)) − ((D(E/N)) ) = n(ν ion (E/N)-ν att (E/N)) ∂t ∂ r ∂r ∂r (II.13) ν ion et ν att : sont les valeurs moyennes des fréquences d'ionisation et d'attachement qui dépendent du champ électrique (hypothèse d'équilibre local). L'équation (II.13) couplée à l'équation de Poisson, constituent le modèle fluide continu d'ordre 1. Plusieurs auteurs ont utilisé ce modèle pour l'étude des décharges luminescentes et la propagation des streamers, alors que dans ces situations, l'hypothèse de l'équilibre avec le champ local n'est pas rigoureusement vérifiée surtout aux basses pressions. Cependant aux pressions plus élevées, les résultats obtenus à partir d'un tel modèle sont plus réalistes. Pour résoudre le système d'équation numériquement, nous regroupons les équations (II.11) et (II.13). Finalement, le système que nous considérerons est : ( ) ∂ne ∂ newe,r ∂n ∂ − − De,r e = Se ∂t ∂r ∂r ∂r ∂np ∂t + ( ∂ npwp,r ∂r )− e ∂Er = (n − ne ) ε0 p ∂r ∂np ∂ Sp Dp,r = ∂r ∂r (II.14) (II.15) (II.16) CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 44 Les termes sources S e , S p des équations (II.14) et (II.15) représentent la variation de la densité de particules sous l'effet des diverses collisions : ionisation, attachement et recombinaison. Ils peuvent également traduire l'effet d'une source extérieure de production de particules comme par exemple une ionisation induite par un faisceau de photons. Ils se composent donc d'un terme de création et d'un terme de disparition des espèces. Nous pouvons écrire dans un cas général : Où : S e = S + n e ν ion - n e ν att − α recnpn e (II.17) Sp = S′ + n e ν ion − α recnpn e (II.18) S et S' sont les termes de production extérieure de particules. α rec : est le coefficient de recombinaison des particules qui dépend également du champ électrique. Les équations (II.14) et (II.15) de type (Dérive-Diffusion) sont des équations aux dérivées partielles du premier ordre pour le terme de convection et du deuxième ordre pour le terme de diffusion. Elles sont de plus non-linéaires car les coefficients de transport dépendent du champ électrique et donc de la position et du temps. Cette dépendance est due en particulier à la présence d'une charge d'espace dans le milieu gazeux qui entraîne la formation d'un champ électrique inhomogène et implique un fort couplage des équations (II.14) et (II.15) à l'équation de Poisson (II.16). Nous pouvons noter que le système d’équations est très fortement couplé. En effet, chaque variation de la densité d’une espèce chargée est susceptible de modifier le champ électrique (par l’intermédiaire de la densité de charge d’espace dans l’équation de Poisson) et d’affecter l’évolution de toutes les autres espèces puisque tous les coefficients de transport et de réaction dépendent du champ électrique. La dynamique de la décharge s’en trouve donc modifiée. Toutes ces contraintes impliquent que la résolution numérique, des équations ci-dessous n'est pas aisée car, par exemple, toute instabilité numérique sur le calcul des densités n p et n e entraîne une instabilité sur le champ de charge d'espace qui se répercutera à nouveau sur les densités via le terme source et les coefficients de transport. Nous pouvons donc aisément imaginer les conséquences numériques sur les résultats qui peuvent être irréalistes d'un point de vue physique. Ce sont en partie les raisons pour lesquelles existent dans la littérature divers schémas numériques pas nécessairement valables pour tout type de décharge. CHAPITRE II: ÉQUATIONS DE BASE POUR MODÉLISER UNE DECHARGE… 45 Le modèle décrit précédemment permet d'étudier la décharge d'une façon globale à la manière d'un fluide continu. Les coefficients de transport au point ( r ,t) sont fonction seulement du champ local. Donc pour effectuer la modélisation et la simulation numérique des décharges hors-équilibre, il est nécessaire de connaître les coefficients de transport et de réaction qui prennent en compte ces phénomènes de non équilibre causés, soit, par des variations spatiales ou temporelles rapides du champ électrique, ou bien par des processus collisionnels liés à la pression élevée du gaz [Be-1]. II.5 Conclusion Dans ce chapitre nous avons décrit les équations et les différents types de modèles pour modéliser les décharges électriques. Parmi ces modèles, nous avons choisi le modèle hydrodynamique permettant de suivre la propagation du streamer. Ce modèle est basé sur l'utilisation des équations de transport des particules chargées couplées à l'équation de Poisson. Pour fermer le système des équations, nous avons utilisé l'hypothèse du champ local. Dans le chapitre suivant, nous allons présenter l’évolution chronologique des travaux de modélisation des décharges électriques et les méthodes numériques choisies pour la résolution des équations du modèle utilisé. CHAPITRE III RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT La modélisation de la décharge streamer pose des problèmes différents liés en particulier à sa structure très fine et à la rapidité de son développement. C'est pourquoi, une attention particulière doit être portée à la stabilité des schémas numériques utilisés pour le transport des particules durant des instants très courts avec des gradients de champ très importants. La connaissance des processus à l’origine de la propagation de la décharge filamentaire n’est pas clairement établie dans la littérature. Pour calculer correctement le champ électrique et pour rendre compte de la morphologie de la décharge, la structure filamentaire requiert une modélisation tridimensionnelle. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 47 Beaucoup d'auteurs se sont intéressés à la modélisation et à la simulation numérique des ondes d'ionisation. La synthèse de leurs travaux sera principalement axée sur les progrès réalisés sur le modèle hydrodynamique. Ces différents travaux sont présentés dans un ordre chronologique en commençant par ceux de Davies [Da-2] [Da-3], qui sont les précurseurs dans le domaine et dont la contribution est loin d’être négligeable, surtout pour le calcul du champ électrique [Da-3] [Da-4]. L'approche de Davies a été reprise par d'autres auteurs tels que Kline [Kl-1], Yoshida et Tagashira [Yo-3], Abbas et Bayle [Ab-2]. Mais la nécessité de méthodes numériques plus performantes a conduit à l'utilisation de la méthode du flux corrigé FCT (Flux Corrected Transport) pour résoudre les équations de transport notamment par Morrow [Mo-2]. Dans ce chapitre, nous allons choisir une technique numérique performante pour résoudre le modèle hydrodynamique de la décharge streamer. Cette méthode sera d'abord décrite puis des tests de validation et des comparaisons avec d'autres méthodes numériques seront proposés. III.1 Historique sur l’évolution des travaux de modélisation numérique du streamer Davies et Evans, [Da-2] sont les premiers à aborder la modélisation du streamer, en tenant compte de l’extension radiale finie de la décharge, les modèles qui ont précédé supposaient que la décharge était radialement infinie ce qui entraînait une estimation erronée du champ électrique. Les travaux de Davies consistent à la résolution des équations de transport par la méthode des caractéristiques qui admet l’intégration des équations de continuité de chaque espèce de particule selon les trajectoires du mouvement et qui dépend largement du degré de précision de la méthode d’interpolation utilisée. Le calcul du champ électrique a été effectué à l'aide de la méthode des disques. Davies a supposé que : • La décharge se développe dans un cylindre autour de l’axe de propagation et un rayon fini connu a priori (à partir de l’expérience). • La distribution des charges sous forme de disques est uniforme sur chaque section du cylindre. Le champ en chaque point de la décharge est calculé en tenant compte de l’influence des charges réparties sur tout le cylindre. Grâce à cette méthode où l'aspect multidimensionnel de la répartition des charges est pris en compte, le champ sera donc plus correctement estimé par rapport à l'utilisation de l'équation de Poisson en géométrie monodimensionnelle. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 48 Les travaux qui ont suivi utilisaient la même approche et les mêmes méthodes que Davies tout en introduisant des effets secondaires supplémentaires. Par exemple, Kline [Kl-1] décrit, dans le cas d'une décharge d'azote, les densités électronique et ionique et le champ électrique, en prenant en compte, la photoionisation du gaz. Yoshida et Tagashira [Yo-3] ont étudié de leur côté la même décharge d'azote et leur traitement de la photoionisation a été plus complet car ils ont pris en compte dans leur modèle l'évolution de la cinétique des particules excitées et des photons dans la décharge. Abbas et Bayle [Ab-2] ont fait une étude en deux dimensions concernant le transport d'énergie. Cette étude souligne l'importance du rôle joué par les processus créant les électrons en tête du streamer tel que la photo-ionisation. Pour valider leurs résultats, ces auteurs ont effectué des comparaisons avec les résultats des expériences comme celles de Wagner [Wa-3], Chalmers [Ch-1] et Koppitz [Ko-1]. Durant cette période, les modèles ont été limités par les modestes performances des schémas numériques en ce qui concerne la rapidité, la stabilité et la précision. En plus, l'outil informatique n'était pas encore bien développé pour diminuer les temps de calcul. Il était alors devenu indispensable de chercher d'autres schémas plus performants. Un peu plus tard, Morrow [Mo-2] a fait une étude comparative des schémas existants. Les solutions des équations de continuité, obtenues pour de forts gradients de champ électrique, à partir des méthodes de Lax-Wendroff, des caractéristiques et de FCT (Flux Corrected Transport), ont été analysées. Il est apparu que la méthode FCT développée initialement par Boris et Book [Bo-2] et améliorée par Zalesak [Za-1], est celle qui donne les meilleurs résultats pour la résolution des équations de transport en raison de sa rapidité et sa précision, comparées aux autres méthodes. Cette technique a été utilisée, ensuite, en géométrie cylindrique par Kunhardt et Williams [Ku-1][Ku-2]. Ces auteurs ont calculé le champ électrique axial par la FFT (Transforme de Fourrier Rapide) et le champ radial par une expansion polynomiale. Ceci a permis de réduire le temps de calcul. Kunhardt et al. [Ku-3] ont également effectué une étude de l’évolution stochastique d’une avalanche électronique en utilisant la méthode de Monte Carlo et en calculant la fonction de distribution électronique, pour différentes distances. En 1988, Wu et Kunhardt [Ku-4] ont publié les résultats issus de leur modèle 2D [Wu-1] Dhali et Williams [Dh-1] [Dh-2] ont utilisé le même algorithme et la même technique. Ils ont étudié, de façon plus détaillée, la propagation du streamer dans l’azote à la pression atmosphérique en géométrie bidimensionnelle. Les résultats présents sont très intéressants. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 49 Les modélisations citées ci-dessus utilisent une faible résolution spatiale qui ne permet pas de rendre compte des forts gradients de densité et de champ. Ce qui donne à cette échelle une structure et une morphologie du streamer peu précise et certainement irréaliste. Vitelo et al. [Vi-3] ont donné une description de la morphologie du streamer, mais l’inconvénient était le temps de calcul considérable que nécessite une telle étude. Ils ont utilisé une grande résolution de maillage, ce qui rend le modèle applicable pour différentes géométries (plan parallèle et pointe-plan). Guo et John Wu [Gu-1], utilisant un modèle bidimensionnel à symétrie cylindrique, ont montré que les effets de non-équilibre sont importants dans les régions de forte variation du champ électrique, telle que dans la propagation des décharges streamers. Ils ont effectué une comparaison entre les modèles de non-équilibre et d’équilibre. Le coefficient d’ionisation dans le modèle fluide incluant les effets de non-équilibre est plus élevé et se propage plus rapidement vers la cathode que celui du modèle fluide supposant l’équilibre avec le champ local. D’autre part, Aleksandrov et Bazelyan [Al-1] ont étudié la propagation de long streamer dans l’air à la pression atmosphérique par un modèle 1.5D en considérant que le rayon du canal est fixe. Ils ont trouvé que les caractéristiques du streamer dépendent fortement du rayon du canal. Dans un travail ultérieur [Al-2], ils ont étudié l’influence de la température sur les propriétés du streamer. Une autre étude a été proposée par Babaeva et Naidis [Ba-1]. Cette étude permet d'illustrer l'allure du champ électrique dû à la charge d'espace et la propagation d'un streamer positif dans d'une décharge de configuration sphère-plan, à la pression atmosphérique. Au cours de ces années, les recherches sont motivées par les nouvelles applications, notamment le traitement des effluents industriels gazeux [Ba-2] [Ei-1] ou liquides et par la problématique du rejet dans l’atmosphère d’espèces volatiles organiques issues d’une combustion incomplète. Morrow [Mo-3] a effectué une analyse de la propagation du streamer en géométrie 2D dans le cas d’une configuration fil-plan. Il a introduit tous les processus possible tels que l’ionisation, l’attachement, la recombinaison, la diffusion et la photo ionisation. La modélisation des décharges streamers a connu un grand avancement par les fameux travaux de Kulikovsky [Ku-5] [Ku-6]. Ce dernier a étudié la propagation du streamer positif dans l’azote et dans l’air à la pression atmosphérique en géométrie bidimensionnelle entre deux électrodes planes. L’étude est basée sur un algorithme Scharfetter-Gummel corrigé [Ku-7] pour la résolution des équations de transport. Kulikovsky a montré que la phase de propagation du streamer nécessite la présence d'électrons libres susceptibles de développer de nouvelles avalanches qui contribuant à l’augmentation de la conductivité du canal. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 50 Georghiou et al [Ge-2] ont étudié l’évolution temporelle bidimensionnelle de la distribution électronique à la cathode en traitant l’effet photoélectrique durant les différentes étapes de l’évolution de la décharge électrique jusqu’à l’étape de la propagation du streamer. Les modélisations effectuées en géométrie monodimensionnelle ne prennent pas en compte l'expansion radiale de la décharge. Par contre les modèles de type 1.5D dans lesquels le transport est effectué en 1D et le calcul du champ électrique en 2D, prenaient en considération cette expansion radiale définie. Le modèle 2D permettait d’effectuer une description moyennement réaliste de la propagation du streamer selon la performance des systèmes de calcul et le développement des algorithmes pour la résolution des équations fondamentales du phénomène. Moss et al. [Mo-4] ont étudié le déplacement des électrons au niveau de la tête de streamer par une simulation de Monte Carlo 1D où le profil de champ électrique est en 3D. Chanrion & Neubert [Ch-2] ont développé un modèle Monte Carlo 2.5D. qui leur permet d'étudier les électrons en fuite dans un streamer négatif avec une précision bien meilleure. Les travaux en géométrie tridimensionnelle sur les décharges streamers sont peu développés dans la littérature. [Pa-4] permet de donner des bons résultats en tenant en compte l'extension radiale et tangentielle de la décharge, et en estimant d’une façon plus réaliste le champ électrique. Luque et al. [Lu-1] ont étudié les problèmes numériques de simulations tridimensionnelles de la décharge streamer. Chao Li et al. [Li-4] ont présenté des simulations en 3D, où tous les électrons libres dans la région de champ élevé de la tête de streamer négatif sont suivis individuellement. Chanrion & Neubert [Ch-3] ont confirmé ce résultat. Luque et Ebert [Lu-2] ont présenté des simulations tridimensionnelles étudiant l’interaction entre deux streamers négatifs dans l'air. La modélisation numérique tridimensionnelle des décharges filamentaires éxige l'utilisation d’un schéma numérique puissant qui pourra, d'une part, suivre les forts gradients de densité et de champ rencontrés à la tête de l'onde d'ionisation. D'autre part, il est souhaitable que ce schéma soit souple et consomme peu de temps de calcul pour une exploitation simple et facile. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 51 III.2 Méthodes numériques Le concept physique de la décharge streamer étant défini, il reste à trouver les outils numériques nécessaires pour résoudre les équations du modèle hydrodynamique. En effet toute modélisation repose sur les algorithmes utilisés devant répondre aux contraintes physiques du phénomène et aux exigences de temps de calcul. Dans notre cas, nous avons besoin de deux algorithmes complémentaires, l'un pour résoudre les équations de continuité et l'autre pour calculer le champ électrique par la résolution de l'équation de Poisson. La spécificité de la décharge étudiée (fortes variations de champ et de densité, etc.) nécessite un choix des schémas numériques très exigeants du point de vue performance. Nous avons vu précédemment que les méthodes numériques pour résoudre les équations de transport déjà existantes sont souvent des méthodes qui suivent plus ou moins ces variations et qui sont difficilement extensibles en géométrie multidimensionnelle, car elles conduisent à des temps de calculs trop longs. Dans le meilleur des cas, ces méthodes décrivent assez bien l'évolution de la décharge mais c'est soit au détriment du temps de calcul, soit au détriment de la souplesse de la méthode, ce qui ne correspond pas à nos objectifs. L’algorithme utilisé pour calculer le champ doit répondre à deux exigences car il faut savoir, d'un côté, que le fait de prendre en compte l'effet de la charge d'espace implique le calcul du champ électrique à chaque pas de temps. D'un autre côté, le calcul du champ doit être aussi précis que possible puisque chaque écart par rapport à la valeur réelle du champ, se répercute d'une façon exponentielle sur l'évolution des espèces. Et puisque la vitesse de calcul et la précision d'une méthode sont deux contraintes opposées, il faudra trouver l'algorithme, qui par rapport au problème posé, réalise un bon compromis entre ces deux exigences (rapidité et précision). III.2.1 Choix de la méthode idéale pour résoudre les équations de transport Pour choisir un schéma numérique capable de résoudre les équations du modèle hydrodynamique, il est important de préciser quelques conditions nécessaires permettant d’avoir les qualités souhaitées. Donc, il faut écrire les équations du problème donné (ce qui a été fait dans le chapitre II) et définir leur domaine de validité. Ensuite après avoir effectué des éventuelles simplifications sur les équations, il faut rechercher les conditions initiales du problème et les données de base nécessaires à sa résolution. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 52 Parmi les critères nécessaires pour avoir une technique numérique performante, nous citons : • La méthode de résolution utilisée ne doit pas générer des particules fictives qui ne correspondent pas au résultat de l'équation de conservation des particules. • Les résultats obtenus ne doivent pas être non physiques, comme par exemple obtenir des densités de particules négatives. • Les résultats doivent être obtenus sans oscillations numériques et sans diffusion numérique. Cela signifie que la méthode de résolution utilisée doit assurer la stabilité du profil, tel que, le profil de densité. • La méthode numérique doit pouvoir tenir compte des variations brusques spatiales ou temporelles des densités initiales ou calculées. • La méthode numérique doit prendre en compte les conditions aux limites exactes de la décharge. • La méthode doit être la plus rapide que possible, et facilement adaptable à une résolution d'un problème multidimensionnel. III.2.2 Description des méthodes numériques La décharge étudiée impose que la méthode choisie pour résoudre les équations de transport soit performante et ayant la capacité de suivre les forts gradients durant un temps de calcul raisonnable. Dans ce qui suit, nous allons définir quelques schémas numériques : QUICKEST, ADBQUICKEST, FCT Shasta Phoenical LPE et le schéma Scharfetter et Gummel. Nous allons, ensuite, comparer ces techniques numériques pour retenir le schéma le plus performant et le plus adapté pour résoudre les équations Dérive-Diffusion (III.1) et (III.2) du modèle hydrodynamique utilisé: ∂ne ∂newe,r ∂n ∂ − − De,r e = Se ∂t ∂r ∂r ∂r ∂np ∂t + ∂npwp,r ∂r ∂np ∂ Sp − Dp,r = ∂r ∂r (III.1) (III.2) CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 53 III.2.2.1 Schéma QUICKEST avec des différents limiteurs Le schéma QUICKEST (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics with Estimated Streaming Terms) est une technique décrite et développée par Leonard [Le-1] qui n’exige pas une connaissance spéciale de la solution, et qui permet de traiter tous les points de l’intervalle inter-électrodes dans le calcul. Le schéma explicite exige la résolution d’un système d’équations, il s’obtient directement en fonction des grandeurs connues à l’instant t d’où la dénomination d’explicite. Les valeurs de Δt et Δx ne sont pas indépendantes et doivent vérifier la relation de stabilité donnée par le nombre de Courant Friedrich Levy (CFL). La méthode Quickest utilisée pour résoudre les équations Dérive-Diffusion (III.1) et (III.2) est basée sur les étapes suivantes : 1. Calculer les flux par l’équation : Les flux sont calculés par la formule suivante : k Φi+1/2 = k ni+1 +nik 1 1 k 2 k k - ci+1/2 (ni+1 -nik )(1-ci+1/2 ) (ni+1 -2nik +ni-1 ) 2 2 6 (III.3) ci+1/2 : est le nombre de courant (critère de Friedrich-Levy) donné par l’expression (III.4) . Il représente le rapport entre la distance effectivement parcourue dans une cellule élémentaire par la particule et la longueur de la cellule Δx .: ci+1/2 = wi+1/2 ∆t ∆x (III.4) Les valeurs de Δt et Δx doivent, donc, vérifier la relation de stabilité ayant la forme : ci+1/2 ≤ 1 . Wi+1/2 : vitesse de dérive pour une demi distance entre les points i et i+1. L’équation donnant nki +1 ne tient compte que des échanges entre les cellules i-1, i et i+1. La variation de nki +1 ne peut être causée que par des flux provenant des cellules i-1 ou i+1. Cette remarque très importante se traduit mathématiquement par la relation ci+1/2 ≤ 1 (condition de temps de propagation) qui met en évidence l’impossibilité d’augmenter la précision spatiale sans diminuer le pas de temps. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 54 L’utilisation des flux Φki+1 / 2 dans le schéma Quikcest peut générer l’apparition de nouveaux maximums de densités et réintroduire ainsi des densités négatives. Ceci est le rôle du Flux Limiteur qui doit le réaliser en respectant la non création de nouveaux extremums, ni l’accentuation des extrêmes déjà existants. 2. Calculer les flux limités: Les limiteurs de flux permettent de limiter les flux déjà calculés ci-dessus. Cette limitation garantit la positivité du schéma numérique utilisé de telle sorte qu’aucun flux ne pourra augmenter la valeur de densité de n’importe quel point de l’intervalle inter-électrodes au-delà de celle du point voisin. La sélection d’un flux limiteur est très importante pour assurer la monotonicité, la positivité, et la conservation de la solution recherchée. Nous allons présenter, dans ce qui suit, la méthode du flux limiteur SUPERBEE et la technique ADBQUICKEST. Ce choix est justifié par le fait que le SUPERBEE donne des résultats performants par rapport aux autres limiteurs [Ha-4] [Bo-3] et que la technique ADBQUICKEST est la plus récente parmi les techniques décrites dans la littérature [Ca-1][Fe-1] [Fe-2]. L'utilisation d'un limiteur de flux nécessite automatiquement l'emploi de la technique TVD (Diminution de Variation Totale). Durant les années quatre vingt, Le concept de TVD a été introduit pour la première fois pour la simulation de la dynamique des fluides [Ha-5]. Il existe une variété de schémas numériques avec les propriétés TVD en utilisant plusieurs formes de limiteurs de flux. L'utilisation de cette technique avec un algorithme de résolution de l'équation de continuité a donné des résultats meilleurs même dans les zones de discontinuité, toute en empêchant l'apparition des oscillations et des valeurs non physique sur le profil de la densité recherché. L'estimation de la variation TVk à l'instant k du profil de la densité pendant sa propagation est définie par la relation suivante: TVk = nx −1 ∑ i =1 nki +1 − nki (III.5) La condition principale décrite par la TVD est de veiller à ce que : TVk +1 ≤ TVk (III.6) CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 55 C'est-à-dire que les flux de dérive d’un schéma numérique d’ordre élevé en espace sont automatiquement limités par un limiteur de flux. Le but de cette manœuvre numérique est d'assurer qu'il n'y a aucune augmentation de la quantité TVk+1 à l'instant k+1 durant le temps de propagation du profil de la densité. a. Flux limiteur SUPERBEE ( Le flux limiteur SUPERBEE Φ rik+1 / 2 ) est simplement une fonction linéaire du rapport de la pente de densité rik+1 / 2 qui est calculé de la façon suivante: Φ(rik+1 / 2 ) = max (0, min (1, 2rik+1 / 2 ), min (2,rik+1 / 2 )) rik+1 / 2 = (nki − nki −1 ) /(nki +1 − nki ) (III.7) La majorité des algorithmes utilisés pour la résolution de l'équation de continuité après discrétisation par la méthode de différences donnent la solution calculée sous la forme suivante: nki +1 =nki − Ai +1 / 2 (nki − nik−1 ) + Bi −1 / 2 (nki +1 − nki ) (III.8) cette équation ci-dessus doit satisfaire aux conditions suivantes: Ai +1 / 2 ≥ 0 Bi −1 / 2 ≥ 0 Ai +1 / 2 + Bi −1 / 2 ≤ 1 . Les valeurs des coefficients A et B sont égales à: Ai= ci +1 / 2 + +1 / 2 ci +1 / 2 2 ( 1- ci +1 / 2 ) ( Φ(rik+1 / 2 ) rik+1 / 2 − Φ(rik−1 / 2 ) ) (III.9) et: Bi −1 / 2 = 0 b. Méthode ADBQUICKEST La technique ADBQUICKEST est une nouvelle version de la TVD du schéma Quickest. Elle a été présentée pour la première fois dans la littérature en 2009 par Ferreira VG et Kurokawa [Fe-1]. Ils ont discrétisé l'équation de continuité en utilisant CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 56 la méthode de différences finies en troisième ordre en espace. L'écriture de l'équation de continuité en utilisant ce type de discrétisation est intitulée l'algorithme Quickest. Le couplage du schéma Quickest avec le flux limiteur ADBQUICKEST présente une meilleure alternative pour résoudre les problèmes multidimensionnels liés aux équations de transport de type Dérive-Diffusion. Le flux limiteur du schéma ADBQUICKEST est donné par l’expression: Φ(rik+1 / 2 ) = max (0, min (2rik+1 / 2 , ( ) 2 + c2 − 3 c + 1 − c2 rik+1 / 2 3−3 c , 2)) (III.10) La technique ADBQUICKEST est développée, aussi, comme suit: Soit les équations (III.1 et 2) que nous pouvons écrire de la façon suivante: nki +1 − nki = −( ci +1 / 2 ∆t ∆t ∫ n(xi +1 / 2 , t) dt − 0 ci −1 / 2 ∆t ∆t ∫ n(xi−1 / 2 , t) dt ) (III.11) 0 Si nous considérons que la vitesse est constante à l’intérieur de chaque intervalle, l’équation (III.11) s’exprime uniquement en terme des densités n et du nombre de courant c=ci+1/2 , il vient que: nki +1 − nki = −c (nki +1 / 2 − nki −1 / 2 ) Avec : nki±1 / 2 = 1 ∆t ∆t ∫ n (xi±1 / 2 , t) dt (III.12) (III.13) 0 Il s’en suit que nki+1 / 2 et nki−1 / 2 représentent les valeurs moyennes prises sur l’intervalle de temps ∆t des densités au centre de chaque cellule. De manière générale, nous désignerons dans ce qui suit nki+1 / 2 ou nki−1 / 2 par nf . L'objectif principal de la technique ADBQUICKEST est de contrôler les valeurs de nf issues d’une méthode d’interpolation, telle que le schéma QUICKEST, afin de rendre le schéma strictement positif et de manière à ce qu’aucun maximum ou minimum n’apparaisse sur l’intervalle de temps. Pour ce faire, nous allons introduire un certain nombre de variables normalisées de façon à permettre un traitement facile de la situation physique considérée. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 57 Considérons pour commencer la figure (III.1): w>0 w<0 nI nC nS xi-1 nI nf xi nS nC xi+1 xi-1 w nf xi w xi+1 Figure (III.1) : Déplacement des particules suivant le signe de la vitesse de dérive. Cette figure correspond aux cas pour lesquels la vitesse de dérive est positive ou négative. Pour w > 0 , nous avons introduit les notations S, C et I pour caractériser le déplacement des particules de la gauche vers la droite de la figure (III.1) et pour w < 0 les notations S, C et I pour caractériser le déplacement des particules de la droite vers la gauche de la figure (III.1). Dans ces conditions, l’ensemble des différentes situations rencontrées peuvent être uniformisées en introduisant la quantité normalisée suivante: n k (x, t) = (nk (x, t) − nkS ) (III.14) (nkI − nkS ) La relation ci-dessus entraîne immédiatement que: = n kS 0= et n kI 1 (III.15) En tenant compte des relations précédentes, nous obtenons la préservation des conditions de monotonicité représentées sur la figure (III.1) en termes des variables normalisées. Il est clair que les conditions (III.16) pour w > 0 ou w < 0 définies comme suit : n kS ≤ n kC ≤ n kI ou nkI ≤ nkC ≤ nkS (III.16) CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 58 conduisent à la relation suivante: 0 ≤ n kC ≤ 1 Par ailleurs, comme le montrent les parties hachurées de la figure (III.2), la quantité n kf est nécessairement compris entre n kC et 1. De la même manière n ku (valeur centrée entre les points S et C) est nécessairement compris entre zéro et n kC 1 n kf n kC n ku n kI n kS 0 w Figure (III.2) : Présentation des variables normalisées. Nous avons donc les intervalles suivants: 0≤ n ku ≤ n kC et n kC ≤ n kf ≤ 1 (III.17) Le maintien des propriétés de monotonicité à l’instant k + 1 conduit à l’inégalité : n kS+1 ≤ n kC+1 ≤ n kI +1 (III.18) De la même manière, l’équation (III.12) s’écrit : −c (n kf − n uk ) n ki +1 − n ik = (III.19) Les relations ci-dessus vont nous permettre de définir les limites de variation de la grandeur centrée n kf qui permettent de préserver la monotonicité. De l’équation ci-dessus nous déduisons : 1 k k +1 n kf =+ n uk (nC − nC ) c (III.20) CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 59 Comme n kC+1 est plus grand ou égal à n kS+1 , nous avons : 1 k k +1 n kf ≤ n ku + (nC − nS ) c (III.21) D’autre part, nous savons par ailleurs que n ku est non négatif. Nous pouvons alors déduire la quantité de n kS+1 par la relation suivante: = n kS+1 (nkS+1 − nkS ) = -c ( n kf − n uk ) ( nkI − nkS ) (III.22) Cette relation montre clairement que n kS+1 est non positif (à cause de la quantité c ( n kf − n uk ) qui est supérieur à zéro). Dans ces conditions, la valeur la plus faible de n kf préservant la condition de monotonicité correspond aux valeurs extrêmes de n ku ( n ku = 0 ) et de n kS+1 ( n kS+1 = 0 ), soit alors: 1 k n kf ≤ nC c (III.23) Cette inégalité donne la valeur maximale de n kf comprise entre n kC et 1, qui assure la monotonicité du schéma numérique utilisé. Si n kC est négatif ou plus grand que 1, dans ce cas la monotonicité initiale n’est plus vérifiée et il suffit d’adopter n kf = n kC . La procédure pour le bon fonctionnement du limiteur de flux ADBQUICKEST peut se résumer de la manière suivante: • Définir d'abord l’ordre des points S, C et I en fonction du signe de la vitesse de dérive w. • Si le dénominateur (nkI − nkS ) est différent de zéro, nous pouvons calculer la quantité normalisée de n kC =− (nkC nkS ) /(nkI − nkS ) ; si n kC est inférieure à zéro ou supérieur à 1, nous posons n kf = n kC • Nous calculons les valeurs A et B ; A = 2 − 3 c + c2 7 − 6c − 3 c + 2c 2 et B = −4 + 6 c − 3c + c 2 −5 + 6c − 3 c + 2c 2 k • Si 0< n kC <A, nous calculons n = (2 − c) n kc en utilisant la valeur de n kf obtenue f avec une approximation d’ordre élevé. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 60 1 1 • Si A< n kC <B, nous calculons n kf =n kc + (1 − c )(1 − n kc ) − (1 − c 2 )(1 − 2n kc ) 2 6 • Si B< n kC <1, nous calculons n kf = 1 − c + c n kc • Nous calculons la valeur définitive de nkf . En posant nkf = n kf (nkI − nkS ) + nkS 3. Calculer la solution: Nous calculons les valeurs de nkC en utilisant la relation (III.12) et l’on recommence la même procédure pour chaque intervalle de temps. Toutes les étapes précédentes doivent évidemment être effectuées pour toutes les cellules du domaine de définition. Nous présentons dans le tableau récapitulatif (III.1), les limiteurs les plus utilisés dans la littérature [Ca-1] [Ro-2] [Va-1], Nom du limiteur de Expressions flux Minmod max (0, min (1,rik+1 / 2 )) Φ(rik+1 / 2 ) = = Φ(rik+1 / 2 ) max (0, min ( 2, 2rik+1 / 2 ),(1 + rik+1 / 2 ) / 2) ) Muscl Superbee ADBQuickest Φ(rik+1 / 2 ) = max (0, min (1, 2rik+1 / 2 ), min (2,rik+1 / 2 )) Φ(rik+1 / 2 ) max (0, min = (2rik+1 / 2 , ( ) 2 + c2 − 3 c + 1 − c2 rik+1 / 2 3−3 c , 2)) Tableau (III.1): Représentation de différents limiteurs de flux avec leurs expressions. III.2.2.2 Méthode FCT Shasta Phoenical LPE La méthode FCT développée par Boris et Book [Bo-2] est une approche pour la résolution numérique de l’équation de continuité qui n’exige pas une connaissance spéciale de la solution, et qui permet de traiter tous les points de l’intervalle interélectrodes dans le calcul. Elle se caractérise par plusieurs variantes avec des algorithmes de correction de flux développés afin de diminuer les problèmes d'oscillations et de diffusion numérique. Le plus important de ces algorithmes est celui de la méthode Shasta Phoenical LPE. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 61 La FCT Shasta Phoenical LPE (Sharp and Smooth Transport Algorithm) est une technique décrite et développée par J.P. Boris et D.L. Book [Bo-2] qui se base sur les étapes suivantes : 1. calculer la densité transportée et diffusée nik+1 : Cette diffusion est appliquée en tout point sans distinction. nik+1=nik - 1 k k [ci+1/2 [(ni+1 +nik )-ci-1/2 (nik +ni-1 )] 2 (III.24) k k +[υi+1/2 [(ni+1 +nik )-υi-1/2 (nik +ni-1 )] Les valeurs de Δt et Δx ne sont pas indépendantes et doivent vérifier la relation de stabilité de la forme : ci+1/2 ≤ 1 / 2 (III.25) Pour l’algorithme Shasta Phoenical LPE, il est strictement imposé que ci+1/2 doit être inférieur à 1/2 [Mo-2]. υi+1 / 2 : sont les coefficients de diffusion donnés par l’expression suivante : 1 1 υi +1 / 2 = + ci2+1 / 2 6 3 (III.26) L’étape suivante consiste à annuler cette diffusion là où elle n’est pas nécessaire. 2. calculer les flux d’anti-diffusion: Φki +1 / 2=μi +1 / 2 [nik++11-niki +1+(-nki + 2 +3nki +1-3nki -nki −1 )/6] µi+1 / 2= 2 (1 − ci+1/2 )/6 (III.27) (III.28) Où µi +1 / 2 sont les coefficients d’anti-diffusion. L’utilisation des flux bruts d’anti-diffusion Φki+1 / 2 dans le schéma FCT peut générer l’apparition de nouveaux maximums de densités et réintroduire ainsi des densités négatives. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 62 Une telle anti-diffusion est appelée Phoenical car elle compense exactement la diffusion quand la vitesse s’annule et permet donc de retrouver la densité intacte, tel que le phœnix renaît de ses cendres. Les flux d’anti-diffusion sont limités terme par terme de telle sorte qu’aucun flux de transfert d’anti-diffusion ne pourra augmenter la valeur de densité de n’importe quel point de l’intervalle inter-électrodes au-delà de celle du point voisin. Le flux d’anti-diffusion ne doit ni créer de nouveaux extremums, ni accentuer les extrêmes déjà existants. A partir de cette correction de flux d’anti-diffusion que le nom de la FCT (Flux Corrected Transport) a été inspiré. 3. calculer les flux d’anti-diffusion corrigés: Φik+1 / 2 = S max [0, min [S (nik++21-nik++11 ), lΦi +1 / 2l, S (nik++21-nik++11)]] avec : (III.29) k+1 k+1 = lSl 1= et S Sign(ni+1 -ni ) 4. calculer la solution: k+1 nk+1 = ni i k k - Φi +1 / 2 + Φi −1 / 2 (III.30) La solution complète est donc une solution explicite corrigée par des flux d’antidiffusion corrigés qui permettent d’avoir une petite erreur de phase (LPE: Low Phase Error). L’algorithme Shasta Phoenical LPE a été renforcé par le flux de correction proposé par Morrow [Mo-1] comme suit : k Φi+1/ 2 0 = Si et si k k+1 k+1 Φi+1/ 2 (ni+1 -ni ) < 0 k k+1 k+1 Φi+1/ 2 (ni+2 -ni+1 ) < 0 (III.31) k k+1 Φi+1/ 2 (nik+1-ni-1 )<0 III.2.2.3 Schéma Scharfetter et Gummel (SG) Le schéma SG normal a été proposé par Scharfetter et Gummel en 1969 pour la résolution de l’équation Dérive-Diffusion. Dans ce travail, nous allons coupler entre le schéma SG normal et les schéma améliorés SG0 d’ordre 0 et SG1 d’ordre 1 presentés par Kulikovsky [Ku-7]. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 63 Le schéma implicite SG résout un système d’équations à chaque pas temporel en fonction des grandeurs connues aux instants t et t+Δt d’où la dénomination d’implicite. Le pricipe des schémas SG, SG0 et SG1 est basé sur la création d’un maillage constitué de nœuds élementaires comme indiqué sur la figure (III.3.a) ou de nœuds virtuels telque représenté sur la figure (III.3.b). Nous notons : i-1/2 le milieu de la cellule comprise entre deux nœuds consécutifs i-1 et i et le milieu i+1/2 entre les nœuds i et i+1. hi est le pas spatial entre deux nœuds consécutifs i et i+1 défini comme suit : = hi xi +1 − xi hv est le pas virtuel entre deux nœuds virtuels xG et xD défini comme suit : hv = 2εDi +1 / 2hi / µ Ei +1 − Ei , Les nœuds virtuels xG et xD sont donnés par les éxpressions suivantes : xG =( xi + xi +1 − hv ) / 2 et xD =( xi + xi +1 + hv ) / 2 Le champ électrique longitudinal Ei+1/2 au point milieu i+1/2 (voir les figures (III.3)) est la moyenne des deux champs longitudinaux Ei et Ei+1. Nous supposons que le flux Φki+1 / 2 , le champ Ei+1/2 et le coéfficient de diffusion Di+1/2 sont constants entre deux nœuds consécutifs i et i+1. Ei+1/2 Ei Ei+1 xi-1/2 xi-1 xi+1/2 xi xi+3/2 x xi+1 hi=Δx Figure (III.3.a) : Présentation du maillage élementaire sur l’axe de propagation OX. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 64 Ei+1/2 Ei Ei+1 xi-1/2 xi+1/2 xi-1 xi XG xi+3/2 x XD xi+1 hv hi=Δx Figure (III.3.b) : Présentation du maillage constitué des nœuds virtuels sur l’axe OX. Pour résoudre les équation de Dérive-Diffusion (III.1) et (III.2) par les schémas SG, SG0 et SG1, il faut suivre les étapes suivantes : 1. Calculer les flux: lorsque: hv = hi , le flux est calculé par le schéma SG selon l’expression: Φki += 1/2 Di +1 / 2 hiI0 (n k i − eαi nki +1 ) (III.32) avec: I0 = eαi − 1 et αi µhE αi = i i Di +1 / 2 lorsque: hv < hi , le flux peut être calculé: soit par le schéma SG0, dont l’expression est donnée comme suit : Φki+= 1/2 Di +1 / 2 hvI0 (n G − eαv nD ) (III.33) Avec: µh E αv = v i , Di +1 / 2 et I0 = eα v − 1 αv notant que nG et nD sont les densités aux noeuds virtuels XG à gauche et XD à droite données par les expressions suivantes: ( ) a x −x nG = nki + 1 e ( G i ) − 1 ( ) a x −x nD = nki + 1 e ( D i ) − 1 (III.34) (III.35) CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 65 avec: a= nk + 1 1 log i +k1 , n +1 hi i ou par le schéma SG1, qui est donné par les expressions suivantes : Di +1 / 2 k = Φi +1 / 2 hvI1 Di +1 / 2 Φk = i +1 / 2 hvI1' (n G ) si wG ≥ wD nG − nD si wG < wD − eαv (1 + α vβv ) nD ( −α'v 1 + α'vβ'v e ) −1 (III.36) Nous définissons les vitesses de dérives corréspondantes au noeuds virtuels nG et nD comme suit: w= ( w + w − ∆w ) /2 i i +1 v G ( wi + wi +1 + ∆wv ) /2 w= D ∆w = hv ( w − w ) i +1 i v hi (III.37) avec : α v =− hv wG , Di +1 / 2 w − wG , βv = D 2wG I1 = − α2v + α vβv α3v + eα v α3v (α β 3 v v + α2v + 2α vβv − 2α2v βv ) et : α'v =− hv wD , Di +1 / 2 w − wG , β'v = D 2wD ' = I1 α '3v + 2α'v β'v α3v − e −α'v α '3v (α ' 3 v β'v + α '2v + 2α 'v β 'v + 2α '2v β 'v ) CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 66 2. Calculer la solution: La densité calculée au temps t+Δt s’ écrit sous la forme: nk+1 = nki - (ci+1/2 Φik+1 / 2 -ci-1/2 Φik−1 / 2 ) i (III.38) Après avoir décrit les différentes techniques numériques ; la méthode Quickest avec les flux limiteurs Superbee et ADBQUICKEST, la méthode FCT et la méthode Scharfetter et Gummel, nous allons maintenant effectuer des tests numériques sur ces différentes techniques afin de choisir le schéma le plus adapté pour notre modélisation numérique. III.2.3 Tests de validité sur les différents schémas numériques Pour valider les schémas numériques utilisés dans cette thèse et tester leurs performances, nous allons leur effectuer des tests numériques en suivant l’évolution monodimensionnelle d’une densité initiale sans terme source dans le cas des situations tests où l’on connaît déjà la solution. Il s'agit de la propagation d'un profil de densité multi-formes ; rectangulaire, gaussien et triangulaire. Le profil de la densité initiale doit se propager sans aucune déformation. L'équation à résoudre est donc la suivante: ∂n(x, t ) ∂n(x, t ) W(x, t ) + =0 ∂t ∂x (III.39) Les schémas ont été soumis à des conditions identiques à celles utilisées par Davies [Da-2] et qui sont les suivantes : • L'équation est résolue sur un intervalle [0,1] divisé en nx-1 cellules. • La vitesse de propagation considérée W(x) est prise dans nos tests constante. Les conditions aux limites sont périodiques, c'est à dire que toute particule arrivant à l'extrémité du domaine est réinjectée au début du domaine. On doit donc retrouver au bout d'une période T = dx ∫ W(x) le même profil de densité qu'à l'instant initial. Par conséquent, tout écart des résultats observé, par rapport au profil initial de la densité au bout d'une période de propagation T, nous renseignera sur la précision et la qualité des méthodes utilisées. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 67 III.2.3.1 Test de l'impulsion rectangulaire, gaussienne et triangulaire Dans ce qui suit, nous allons effectuer des tests numériques sur les algorithmes utilisés dans ce travail. Ces tests vont nous permettre de choisir l’algorithme qui respecte le plus fidèlement les critères cités précédement. Cette expérience numérique sera effectuée en faisant propager le profil de la densité avec une vitesse constante pendant une période T. La résolution de l'équation de continuité (sans terme de diffusion et avec un terme source nul) est effectuée pour un nombre de point nx suivant l'axe de propagation égal à 500. Le schéma numérique doit être capable de suivre le plus fidèlement possible la distribution analytique de la densité initiale n(x,t) multiforme ; rectangulaire, gaussienne, et triangulaire avec une vitesse de dérive constante. Cette densité est donnée à l'instant initial par l’expression suivante: • n(x, t=0)=10 pour 0.05<x<0.25 -300*(x-0.2)² pour 0.35<x<0.65 • n(x, t=0)=10e • n(x, t=0)=100x-75 pour 0.75<x<0.85 • n(x, t=0)=-100x+95 pour 0.85<x<0.95 • n(x, t=0)=0 dans le reste de l'intervalle. La vitesse de propagation constante W(x) est égale à 10 (ua). 18 16 14 Solution analytique Solution calculée par SG Solution calculée par ADBQuickest Solution calculée par Superbee Solution calculée par FCT LPE 12 Densité (ua) nx=500 10 8 6 4 2 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Position (ua) Figure (III.3) : Solutions calculées après une période T. 1.0 CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 68 La figure (III.3) représente les résultats calculés à l’instant t=T pour une vitesse de propagation constante. Le nombre de points nx est égal à 500 et l’intervalle inter-électrodes est égal à 1 (ua). Nous remarquons que les profils des solutions calculées par les différents schémas numériques sont en concordance avec le profil de la solution analytique pour toutes les formes utilisées, à l’exception de celui calculé par le schéma FCT LPE qui ne suit pas le profil de la solution analytique aux zones de discontinuité (coin droit des réctangles et le sommet du triangle). Ce comportement est dû à la correction faite par le schéma FCT Shasta Phoenical LPE qui assure l’élimination de tout extremum. III.2.3.2 Calcul de l'erreur absolue moyenne Dans la littérature [Bo-2], nous avons constaté que lors des simulations des décharges haute pression, le CFL utilisé pour les schémas explicites est compris généralement entre 10-3 et 10-1. Nous effectuons, maintenant, un calcul de l'Erreur Absolue Moyenne (EAM) en fonction du CFL et pour plusieurs nombres de points nx, par rapport à la solution analytique après une période T. Pour ces tests, les valeurs du CFL sont prises égales à 0.001 , 0.01 et 0.1 dans les mêmes conditions précédentes. L'expression (III.40) donnant l'EAM a été proposée par Boris et Book [Bo-2]: EAM = 1 i =nx analytique − nnumérique ∑n i nx i =1 i (III.40) Les figures de (III.4) à (III.7) représentent la variation de l'EAM de la propagation du profil de la densité initiale à une vitesse constante, et ce en fonction du CFL (varie entre 10-3 et 10-1) et pour différentes valeurs de nx. Les figures (III.4) (III.5), (III.6) et (III.7) montrent les variations des erreurs absolues moyennes issues respectivement des schémas numériques Quickest sans limiteur, Quickest avec limiteur Superbee, Quickest avec limiteur ADBQuickest, et FCT LPE. Nous constatons que les variations des EAM sont quasi linéaires, indépendantes du CFL et inversement proportionnelles au nombre de points nx. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 69 Erreur Absolue Moyenne (ua) 0.6 nx=100 nx=200 nx=300 nx=400 nx=500 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 10-3 10-2 10-1 CFL Figure (III.4) : Erreurs absolues moyennes issues du schéma Quickest. Erreur Absolue Moyenne (ua) 0.20 0.15 nx=100 nx=200 nx=300 nx=400 nx=500 0.10 0.05 0.00 10-3 10-2 10-1 CFL Figure (III.5) : Erreurs absolues moyennes issues du schéma Quickest + limiteur Superbee. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 70 Erreur Absolue Moyenne (ua) 0.20 0.15 nx=100 nx=200 nx=300 nx=400 nx=500 0.10 0.05 0.00 10-3 10-2 10-1 CFL Figure (III.6) : Erreurs absolues moyennes issues de la technique ADBQuickest. Erreur Absolue Moyenne (ua) 0.20 0.15 nx=100 nx=200 nx=300 nx=400 nx=500 0.10 0.05 0.00 10-3 10-2 10-1 CFL Figure (III.7) : Erreurs absolues moyennes issues de l’algorithme Shasta Phoenical LPE. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 71 Les expériences numériques que nous avons effectuées, nous permettent de choisir le ou les schémas numériques qui respectent les critères de stabilité cités auparavant. Tous ces schémas ont donné entière satisfaction à nos attentes. Pour choisir un schéma numérique, nous avons préféré de présenter sur la figure (III.9) sous forme d'histogramme, le calcul des erreurs absolues moyennes (EAM) issues des différentes techniques numériques en fonction de nx (pour 100 et 500) et pour un CFL de 10-1. Erreur Absolue Moyenne (ua) 0.4 Quickest FCT Quickest + Superbee ADBQuickest 0.3 CFL=10-1 0.2 0.1 0.0 nx=100 nx=500 Figure (III.9) : Histogramme des valeurs EAM des différents schémas pour un CFL de 10-1 et pour des valeurs nx 100 et 500. Nous remarquons que le schéma FCT LPE et les deux techniques ; Quickest avec limiteur Superbee et ADBQuickest, donnent une meilleure précision pour le calcul de la densité. La technique ADBQuickest est caractérisée par la valeur de l'EAM la plus faible. A titre d'exemple, si nous comparons les performances du schéma FCT LPE avec celles du Quickest sans limiteur, nous constatons que la valeur de l'erreur absolue moyenne issue du schéma FCT LPE a diminué de 68% pour nx=100 et de 83% nx=500. Pour la technique ADBQuickest, nous enregistrons la diminution de la valeur de l'erreur absolue moyenne issue de cet algorithme de 77% pour nx=100 et 85% pour nx=500 par rapport au schéma Quickest. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 72 2.5 Flux limiteur Φ(r) 2.0 1.5 1.0 Limiteur Minmod Limiteur Muscl Limiteur Superbee ADBQuickest CFL= 0.1 ADBQuickest CFL= 0.5 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 Rapport de pente de densité r Figure (III.10): Présentation des degrés de correction des différents flux limiteurs. Dans la figure (III.10), nous avons tracé les allures des différents limiteurs de flux décrits dans ce chapitre en fonction du rapport de pente de densité. Nous remarquons nettement que le limiteur Superbee possède un degré de correction de flux dans les zones de discontinuité relativement plus élevé par rapport aux autres limiteurs Minmod, Muscl et ADBQuickest. Les allures des limiteurs Muscl et ADBQuickest pour un CFL égal à 0.5 sont quasiment identiques, leurs degrées de correction est supérieur à celui du limiteur Minmod. III.2.3.3 Test de validité proposé par Kulikovsky Ce test, proposé par Kulikovsky [Ku-7], va nous permettre de suivre l’évolution spatio-temporelle de la densité initiale utilisée, et dont le profil est une forme d’onde de choc donnée par l’expression suivante : n ( x, t =0 ) =n1 + 2 avec = n1 10 = (ua) et n2 1012 (ua) 1 x − 0.6 1 + tanh n2 2 0.02 CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 73 Le terme source et le terme de diffusion ne sont pas pris en considération dans ce test. Le nombre de points nx est égal à 400 répartis sur un intervalle interélectrodes de 1 (ua). La vitesse de dérive est de la forme : w(x) = -Ax avec la constante A égale à 104 (ua). Puisque le terme de diffusion est égal à zéro, l’équation de continuité est une équation différentielle ayant une solution analytique donnée par l’expression suivante : ( At = n ( x, t ) e= n xeAt , t 0 ) 1013 1012 1011 1010 Densité initiale Solution analytique Solution calculée par SG, SG0 et SG1 Solution calculée par ADBquickest Solution calculée par Superbee Solution calculée par FCT LPE Densité (ua) 109 nx=400 108 107 106 105 104 103 102 101 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Position (ua) Figure (III.11) : Solutions calculées par des différents schémas numériques. La figure (III.11) représente les résultats calculés par les schémas numériques pour un nombre de points nx égal à 400 et un nombre de pas en temps nt égal à 50. Nous constatons que les profils des solutions sont identiques avec celui de la solution analytique. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 74 Nous allons réduire la précision en diminuant le nombre de points nx de 400 à 100, et ce dans les conditions précédentes. Le nombre de pas en temps nt égale 100. 1013 1012 1011 1010 Densité initiale Solution analytique Solution calculée par SG, SG0 et SG1 Solution calculée par ADBquickest Solution calculée par Superbee Solution calculée par FCT LPE Densité (ua) 109 nx=100 108 107 106 105 104 103 102 101 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Position (ua) Figure (III.12) : Solutions calculées par des différents schémas numériques. La figure (III.12) représente les résultats obtenus dans les conditions précédentes et pour un nombre de point nx égal à 100. Nous remarquons que le profil de la solution calculée par le schéma Quickest-Superbee présente une légère déformation et un décalage par rapport au profil de la solution analytique. Les solutions déterminées par les deux schémas ADBQuikest et FCT LPE présentent une déformation sous forme d’escalier appelé phénomène de clipping. Le profil de la solution calculée par l’algorithme SG avec ses schémas améliorés SG0 et SG1 est en bon accord avec la solution analytique. III.2.3.4 Résumé La comparaison des schémas explicites précédents nous a permis de retenir le schéma numérique Quickest avec les limiteurs Superbee et ADBQuickest. La combinaison du limiteur de flux Superbee avec Quickest est bien adaptée pour la résolution des équations de continuité en présence de forts gradients de densité, et celle du limiteur de flux ADBQuickest avec Quickest donne une meilleure précision sur le calcul de la densité. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 75 Les tests numériques proposés par Kulikovsky [Ku-7], nous ont permis de déduire que, l’algorithme Scharfetter et Gummel a donné de bons résultats puisque les profils des densités calculées par ce schéma étaient en bon accord avec ceux des solutions analytiques. Cet algorithme à fait preuve d’une excellente stabilité et d’une importante conservation de l’allure du profil de la solution analytique (absence des particules fictives), ainsi que d’une très grande précision sur les résultats obtenus. Les solutions calculées par les schémas FCT LPE et Quickest avec ses limiteurs Superbee et ADBquickest sont moyennement acceptables. L’allure des profils des densités calculées par ces schéma étaient, en général, quasi identiques avec celles des profils des solutions analytiques. Et comme nous avons imposé des critères stricts pour le choix de la méthode numérique, nous procédons à l’élimination de ces schémas sous le prétexte de la présence des déformations sur les profils de leurs résultats. Dans ce travail, nous avons opté pour les schémas numériques Scharfetter et Gummel SG, SG0 et SG1 pour les raisons que nous venons d'évoquer. Pour confirmer le choix de l’utilisation d’un schéma amélioré parmi les différents schémas Scharfetter et Gummel et ce dans le but de résoudre les équations de continuité du modèle hydrodynamique, nous allons effectuer dans ce qui suit un calcul de l'Erreur Absolue Moyenne (EAM) en fonction du nombre de points nx. Pour ce calcul, les valeurs de nx sont comprises entre 100 et 1100 avec un pas de variation de 100 points. La figure (III.13) représente les variations des erreurs absolues moyennes résultantes de la propagation de la densité initiale calculée respectivement par les schémas numériques SG, SG0 et SG1. Nous constatons que les variations des EAM issues des schémas numériques SG et SG0 sont identiques, quasi linéaires et indépendantes du nombre de points nx. Pour nx inférieur ou égal à 800 points, l’erreur absolue moyenne donnée par le schéma SG1 est importante et inversement proportionnelle au nombre de points nx. Son allure ne rejoint celle des schémas SG et SG0 qu’à partir de nx égal à 900. Cependant, le schéma SG0, le plus facile à mettre en œuvre, présente plus de stabilité. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 76 SG SG0 SG1 2.0 -3 Erreur absolue moyenne (10 ua) 2.5 0.030 0.025 0.020 0.015 1.5 0.010 0.005 0.000 200 400 1.0 0.5 0.0 200 400 600 800 1000 Nombre de points nx Figure (III.13) : Erreurs absolues moyennes issues des schémas SG, SG0 et SG1. Nous pouvons conclure à partir des tests réalisés dans ce paragraphe, que le schéma numérique à retenir dans ce travail pour la résolution de l’équation DériveDiffusion est le schéma amélioré Scharfetter et Gummel d’ordre 0 (SG0). III.3 Conclusion Les schémas les plus utilisés actuellement sont les schémas implicites (méthodes aux différences finies) et les schémas explicites (méthode FCT et Muscl). L’utilisation des schémas de type explicite pour la résolution des équations de type Dérive-Diffusion engendrent une grande diffusion numérique dans le profil de la solution calculée. Les flux limiteurs permettent d’avoir des solutions corrigées. Seulement, l’interprétation des résultats obtenus par les calculs serait difficile puisqu'il n'est pas possible de savoir si les formes des courbes obtenues sont dues à un comportement physique ou à la diffusion numérique [Po-3]. Les schémas explicites sont en général difficiles à programmer et sont connus par la lenteure de calcul. Dans ce chapitre, nous avons décrit les schémas Quickest avec ses limiteur, Scharfetter et Gummel et la FCT LPE. Nous avons prouvé avec les tests effectués que l’algorithme implicite SG avec ses différents schémas améliorés SG0 et SG1 est une technique numérique performante pour résoudre les équations de continuité du modèle hydrodynamique. CHAPITRE III: RESOLUTION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE TRANSPORT 77 Par rapport aux autres méthodes utilisées pour la résolution des équations de conservation, le schéma SG présente de nombreux avantages tels que : Le respect du critère de la conservation et de la stabilité. Ses résultats ne comportent pas de grandes oscillations pour un nombre de points nx réduit. La facilité d’être étendu à des cas multidimensionnels. Pour pouvoir modéliser le modèle hydrodynamique de la décharge électrique à haute pression, les équations de continuité résolues par le schéma SG seront couplées de façon auto-cohérente avec l’équation de Poisson. Dans le chapitre suivant nous allons choisir une méthode numérique pour résoudre l’équation de Poisson tout en tenant compte des expansions transversale et tangentielle du champ électrique, ensuite nous allons tester et valider numériquement le modèle hydrodynamique utilisé dans cette thèse. CHAPITRE IV MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE DE LA DECHARGE FILAMENTAIRE Dans le chapitre précédent, nous avons présenté une étude bibliographique sur les différentes méthodes numériques pour la résolution des équations de continuité de type Dérive-Diffusion des particules chargées à haute pression, ce qui nous a permis de constater qu'il n’existait pas réellement de méthode idéale qui ne réunissait que des avantages. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 79 IV.1 Introduction Les modèles fluides en trois dimensions ne sont utilisés que récemment. L’évolution des modélisations numériques a commencé par le modèle 1D et 1.5D jusqu’ aux diverses descriptions des modèles fluides bidimensionnels développés au cours des vingt dernières années. Dans la description 2D, la non-uniformité radiale des densités des particules chargées et le champ électrique radial sont inclus. Cette description n’est pas suffisante, car la non-uniformité tangentielle du streamer, et l'interaction avec un autre streamer ou avec des parois latérales nécessitent un modèle en 3D. Donc, Le modèle tridimensionnel est un outil puissant et performant pour étudier la cinétique des particules chargées dans tous les points du domaine de modélisation [Ch-4]. Le modèle 3D est une application typique et utile dans la simulation scientifique qui permet d’avoir des données difficiles à visualiser avec les techniques classiques de la visualisation. Le but du chapitre précédent de cette thèse est la recherche des techniques disponibles pour effectuer cette modélisation numérique tridimensionnelle, et d’augmenter par conséquent, la taille des données qu’il est possible de traiter. La simulation en 3D produit des données volumiques. Ce sont des données organisées en une grille en trois dimensions. Cette organisation de données est très différente de l’organisation classique qui ne comprend que les surfaces 2D dans l’espace 3D. Dans ce chapitre, Nous allons travailler sur un modèle hydrodynamique tridimensionnel. Le couplage de l'équation de continuité de type Dérive-Diffusion avec l'équation de poisson est la base de ce modèle pour la modélisation de décharges haute pression en trois dimensions. Dans la littérature, le plus souvent pour modéliser la décharge de type streamer, c’est d’utiliser les deux premiers moments de l'équation de Boltzmann couplés de façon auto-cohérente à l'équation de Poisson. La décharge streamer haute pression est caractérisée par un champ électrique fortement inhomogène dû à la présence d'une importante charge d'espace nette. Ce champ électrique est la somme algébrique en tout point de l'espace du champ électrique appliqué (c'est-à-dire le champ géométrique) et du champ de charge d'espace nette. Les valeurs du champ algébrique dans la décharge streamer sont assez importantes pour produire des ionisations partielles du gaz dans le front de la décharge. En présence de ce champ électrique, la propagation de la décharge est très rapide et son extension radiale est plus réduite. Devant ce phénomène physique, on doit s'attendre à avoir des gradients de densité élevés dus aux variations brusques du champ électrique au niveau du front de propagation du streamer. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 80 La prise en compte correcte des forts gradients de densité dans les décharges haute pression nous ramène à utiliser un schéma numérique capable de résoudre l'équation de continuité avec une précision acceptable. D'après les tests numériques effectués dans le chapitre III, Le schéma numérique le plus adapté à cette situation physique pour la résolution des équations Dérive-Diffusion est l'algorithme Scharfetter et Gummel d’ordre 0 (SG0). Nous tenons à rappeler que le schéma amélioré SG0 testé au chapitre précédent, est caractérisé par sa précision et sa stabilité par rapport aux autres méthodes numériques décrites dans le chapitre précédent. Pour le calcul du champ électrique de la décharge streamer, il doit être effectué d’une manière facilitant le passage à trois dimensions et assurant une bonne précision pour avoir une estimation plus réaliste de l’évolution spatio-temporelle de la décharge électrique. IV.2 Résolution de l’équation de Poisson Comme il vient d'être souligné, pour tenir compte du fait que la décharge streamer n'est pas transversalement ni tangentiellement infinie tout en considérant le modèle hydrodynamique déjà décrit dans le chapitre II, le champ électrique est calculé en trois dimensions. En effet, une résolution classique de l'équation de Poisson à une dimension n'est valable que si le rayon de la décharge est infini ou grand par rapport à la distance longitudinale (distance inter-électrodes). Ceci est loin d'être le cas dans la réalité pour les décharges streamer. IV.2.1 Méthode de sur-relaxation L'équation de Poisson à résoudre en géométrie cartésienne s'écrit de la façon suivante : e ∂²V − (np − ne ) 2 = ε0 ∂r (IV.1) C'est une équation aux dérivées partielles au point défini par le vecteur de position r . Elle pourra être résolue après discrétisation par exemple par des méthodes matricielles. Ces méthodes de résolution peuvent être directes (citons par exemple la méthode tri-diagonale de Thomas, la méthode des disques) ou itératives (par exemple Gauss-Seidel, sur-relaxation). Généralement, les méthodes itératives sont les plus utilisées. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 81 Cela peut être expliqué par le fait que les méthodes directes entrainent pendant la résolution de l’équation de Poisson, l’occupation d’un espace mémoire important se répercutant sur le temps de calcul. Dans cette thèse, nous allons retenir la méthode itérative de sur-relaxation, qui convient le mieux à priori au calcul du champ électrique. La méthode de sur-relaxation est une variante de la méthode de Gauss-Seidel pour résoudre un système d'équations linéaires. La convergence de cet algorithme est généralement plus rapide. Cette méthode a été découverte simultanément par David M. Young, Jr et Stan Frankel en 1950 dans le but de résoudre automatiquement des systèmes linéaires avec des ordinateurs [En-1]. En trois dimensions, l’équation (IV.1) est donnée par l’expression suivante : ∂²V ( x, y, z ) ∂x² + ∂²V ( x, y, z ) ∂y² + ∂²V ( x, y, z ) ∂z² e = − (np ( x, y, z ) − ne ( x, y, z )) ε0 (IV.2) En développant le terme de gauche de l'équation (IV.2), à l'aide des différences finies centrées en tout point de l'espace réparti d’un pas régulier sur l’intervalle interélectrodes pour chaque dimension, nous obtenons alors: pour la dimension longitudinale: ∂²V ( x, y, z ) ∂x² = Vi +1,j,l − 2Vi,j,l + Vi −1,j,l ∆x² (IV.3) pour la dimension transversale: ∂²V ( x, y, z ) ∂y² = Vi,j +1,l − 2Vi,j,l + Vi,j −1,l ∆y² (IV.4) pour la dimension tangentielle: ∂²V ( x, y, z ) ∂z² = Vi,j,l +1 − 2Vi,j,l + Vi,j,l −1 ∆z² (IV.5) CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 82 Si nous remplaçons les expressions (IV.3) (IV.4) (IV.5) dans l’équation (IV.2) nous obtenons la forme discrétisée suivante: Vi,j −1,l + Vi,j +1,l Vi,j,l −1 + Vi,j,l +1 1 1 1 Vi+1,j,l − 2Vi,j,l + + = ρi,j,l − − + ∆x² ∆x² ∆y² ∆z² ∆x² ∆y² ∆z² Vi −1,j,l (IV.6) avec : e ρi,j,l = − (np ( x, y, z ) − ne ( x, y, z )) ε0 Le champ électrique est calculé par la méthode de sur-relaxation. La résolution de l'équation de Poisson (IV.2) est faite en deux étapes ; 1- Après sa discrétisation, la résolution des matrices tri-diagonales issues de l’équation (IV.6) est obtenue en utilisant l’algorithme de Thomas dit ‘Tri Diagonal Matrix Algorithm TDMA’ proposé par Patankar en 1980 [Pa-5]. La solution ainsi obtenue correspond à la première itération. 2- Après chaque itération, un test de convergence est effectué. Pour accélérer le processus de convergence des itérations successives, un facteur de relaxation (d’où le nom de cette méthode) est introduit dans ces calculs. IV.2.2 Test de validité de la méthode de sur-relaxation Maintenant, nous allons présenter les résultats obtenus par la méthode de surrelaxation issus d’un test dont nous connaissons la solution au préalable. Ce test va nous permettre de valider cette méthode en comparant les résultats obtenus avec les résultats analytiques. Pour cela, nous allons calculer le potentiel et le champ électriques en tout point du volume séparant deux électrodes métalliques carrées de dimensions (3 cm x 3 cm). La distance inter-électrodes est égale à 3 cm et la tension appliquée au niveau de l’anode est 100 volts. Les figures (IV.1 a, b, c et d) représentent respectivement les distributions en 2D et 3D du potentiel et du champ électrique longitudinal en tout point de l’intervalle inter-électrodes. . CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 83 Potentiel électrique (v) 100 80 60 40 20 Po 0 sit 2 ion tra 1 ns 0 ve rsa -1 le (cm -2 ) 3.0 2.5 2.0 (c 1.5 des ctro e l é ter e in m) 1.0 -3 0.5 0.0 Dis c tan a. Potentiel électrique présenté en 2D c. Potentiel électrique présenté en 3D Champ électrique (v/cm) -33.35 Po s -33.34 -33.33 -33.32 -33.31 -33.30 iti o 2 n tra 1 ns 0 ve rs -1 -2 al e -3 (c m ) 0.0 0.5 Distance 1.0 1.5 inter-élec 2.0 trodes (c 2.5 3.0 m) b. Champ longitudinal présenté en 2D d. Champ longitudinal présenté en 3D Figure (IV.1) : Potentiel et champ électrique longitudinal présentés en 2D et 3D Nous constatons que les résultats obtenus par la méthode de sur-relaxation sont identiques aux résultats analytiques. C’est-à-dire que la distribution du champ électrique longitudinal en 2D et 3D est en très bon accord avec le champ géométrique en absence d'une charge d'espace dont la valeur est égale à -33.33 v/cm dans tout le domaine de simulation. Cette comparaison prouve la validité de cette méthode de calcul, ce qui justifie son utilisation pour la modélisation multidimensionnelle de la décharge filamentaire. IV.3 Modèle hydrodynamique tridimensionnel Nous rappelons que le modèle hydrodynamique, déjà décrit au chapitre II pour la modélisation de la propagation des décharges haute pression dans l’approximation CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 84 fluide, est basé sur le couplage auto-cohérent des deux premiers moments de l'équation de Boltzmann (c'est-a-dire l’équation de continuité et l’équation de quantité de mouvement) pour chaque espèce chargée, couplés avec l’équation de Poisson pour le calcul du champ électrique de charge d’espace. Dans ce qui suit nous allons discrétiser les équations utilisées dans ce modèle. IV.3.1 Discrétisation des équations Dérive-Diffusion Les équations de continuité pour les densités électronique et ionique sont données respectivement par les équations (II.14) et (II.15): ∂ne ( r, t ) ∂Φ e ( r, t ) = Se ( r, t ) ∂t ∂r ∂np ( r, t ) ∂Φp ( r, t ) + = Sp ( r, t ) ∂t ∂r (IV.7) + (IV.8) Les flux électronique et ionique sont donnés comme suit : ∂ne ( r, t ) Φe ( r, t ) = −ne ( r, t ) we,r ( r, t ) − De,r ( r, t ) ∂r ∂np ( r, t ) = Φp ( r, t ) np ( r, t ) wp,r ( r, t ) − Dp,r ( r, t ) ∂r (IV.9) (IV.10) Nous considérons dans cette thèse, que l’évolution spatiotemporelle de la décharge filamentaire se fait entre deux électrodes métalliques, carrées, planes et parallèles. Dans une configuration cartésienne tridimensionnelle, les équations de type Dérive-Diffusion des particules chargées s’écrivent selon les expressions : ∂ne ( x, y, z, t ) ∂t ∂np ( x, y, z, t ) ∂t + + ∂Φ e,x ( x, y, z, t ) ∂x ∂Φp,x ( x, y, z, t ) ∂x + + ∂Φ e,y ( x, y, z, t ) ∂y ∂Φp,y ( x, y, z, t ) ∂y + + ∂Φ e,z ( x, y, z, t ) ∂z ∂Φp,z ( x, y, z, t ) ∂z = Se ( x, y, z, t ) (IV.11) = Sp ( x, y, z, t ) (IV.12) Où: Φ e,x , Φp,x , Φ e,y , Φp,y , Φ e,z et Φp,z représentent respectivement les composantes longitudinales, transversales et tangentielles des flux électronique et ionique déduits des équations (IV.9) et (IV.10). CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 85 En discrétisant les équations (IV.11) et (IV.12) par la méthode des volumes finis en coordonnées cartésiennes nous obtenons une expression pour chaque densité des particules chargées de la forme suivante: +1 k nki,j,l − ni,j,l ∆t + Φik+1 / 2,j,l − Φik−1 / 2,j,l ∆x + k k Φi,j +1 / 2,l − Φi,j −1 / 2,l ∆y + k k Φi,j,l +1 / 2 − Φi,j,l −1 / 2 ∆z (IV.13) = Ski,j,l IV.3.2 Résolution des équations de continuité en trois dimensions La résolution tridimensionnelle de l’équation (IV.13) pour chaque densité des particules chargées peut se faire par des schémas numériques développés pour deux ou trois dimensions. Néanmoins, ces schémas, connus par leurs complexités, sont extrêmement lourds lorsque le nombre de dimension augmente. Raison pour laquelle, l’utilisation des outils informatiques très avancés est sollicitée. Ce type de résolution ne peut donc être adopté. Une autre méthode dite (à pas fractionnaires ; Time Splitting) va nous permettre de résoudre ces équations DériveDiffusion. Méthode à pas de temps fractionnaires La méthode "à pas fractionnaires" consiste à remplacer l’équation de transport tridimensionnelle (IV.13) par une succession des équations monodimensionnelles dans chacune des directions de l’espace [Be-2][Hu-1][Kr-1] [Po-4]. L’intérêt de cette méthode réside dans la stabilité et la convergence rapide vers la solution recherchée. Nous mentionnons aussi la simplicité de la programmation du système d'équations et la diminution de la consommation d’un espace important de la mémoire de l’outil informatique et par conséquent un gain important dans le temps CPU [Kr-1]. Le passage d’une équation tridimensionnelle à un système d’équations monodimensionnelles signifie que l’évolution spatiotemporelle qui se fait d’une façon synchrone va se faire d’une manière séparée selon chaque direction de l’espace. L’équation de transport tridimensionnelle (IV.13) s’écrira en un ensemble d’équations monodimensionnelles comme suit : CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 86 selon la direction longitudinale: +1 k nki,j,l − ni,j,l ∆t + Φik+1 / 2,j,l − Φik−1 / 2,j,l ∆x = 0 (IV.14) = 0 (IV.15) = 0 (IV.16) selon la direction transversale: +1 k nki,j,l − ni,j,l ∆t + k k Φi,j +1 / 2,l − Φi,j −1 / 2,l ∆y et selon la direction tangentielle: +1 k nki,j,l − ni,j,l ∆t + k k Φi,j,l +1 / 2 − Φi,j,l −1 / 2 ∆z ensuite, nous introduisons le terme source: k +1 nki,j,l − ni,j,l ∆t = Si,j,l (IV.17) IV.3.3 Organigramme du code numérique développé Pour effectuer la modélisation numérique de la décharge filamentaire, il est nécessaire de connaître les coefficients de transport et de réaction qui prennent en compte les phénomènes de non équilibre causés soit par les variations spatiales ou temporelles rapides du champ électrique, ou bien par des processus collisionnels liés à la pression élevée du gaz ou à une température différente des conditions standards. Au début de l’organigramme de la figure (IV.2) les conditions de la décharge filamentaire sont définies, à savoir, la tension appliquée, la distance inter-électrodes, la température et la pression du gaz, etc.… Une fois, les paramètres d’entrée sont connus, le champ électrique est calculé par la méthode de sur-relaxation. Les différentes composantes ; longitudinale, transversale et tangentielle du champ électrique vont nous permettre de déterminer la vitesse de dérive. A cette étape, nous pouvons résoudre les équations de transport pour obtenir les densités électronique et ionique. Le champ de charge d’espace est donc calculé par la résolution de l’équation de Poisson. Connaissant les densités électronique et ionique ainsi que le champ électrique, nous pouvons relancer de nouveau nos calculs, en respectant la condition sur le temps que CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 87 nous avons imposée. Cette condition va nous permettre d’avoir les résultats à la sortie de l’organigramme. Les résultats obtenus donnent une description des caractéristiques de la décharge telles que la densité électronique et ionique, le champ électrique longitudinal, transversal et tangentiel, etc.… Données de la décharge: Densité initiale, distance inter-électrodes, pression, potentiel,.. Calcul des composantes longitudinale, transversale et tangentielle du champ électrique par la méthode de sur-relaxation Calcul des densités électronique et ionique en utilisant les deux premiers moments de l’équation de Boltzmann Calcul du terme source Non t > tmax Oui Résultats: caractéristiques de la décharge: Densités électronique et ionique, charge nette et champ électrique Figure (IV.2) : Organigramme du code numérique développé pour la modélisation en 3D de la décharge streamer à haute pression. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 88 IV.3.4 Test de validité du modèle utilisé Pour mettre en évidence les performances de notre code 3D, nous allons, maintenant, le tester dans des situations proches de celles qui caractérisent la propagation de la décharge streamer dans les gaz à haute pression. Pour cela, nous allons prendre les conditions proposées par Morrow [Mo-1] et utilisées par Potin [Po-3]. La propagation des électrons et des ions se fait entre des électrodes carrées planes et parallèles séparées par une distance inter-électrodes de 3 cm selon la direction longitudinale et auxquelles est appliquée une tension de 16.74 kV (voir figure (IV.3)). Electrode gauche (Cathode) V = 0 kv ∂ne =0 x ∂ ∂n p =0 ∂x Z Y (XZ) Zmax/2 Plans de symétrie Electrode droite (Anode) V = 16.74 kv ∂ne =0 x ∂ ∂n p =0 ∂x Ymax/2 (XY) 0 Xmax X Axes de symétrie Figure (IV.3) : Représentation schématiques des conditions de simulation. La résolution des équations de continuité Dérive-Diffusion en 3D des électrons et des ions est faite par le schéma Scharfetter et Gummel amélioré d’ordre zéro (SG0). Dans le cas d'une modélisation tridimensionnelle (transport en 3D et champ électrique en 3D) que nous présentons dans ce chapitre, nous considérons que les distributions initiales des électrons et des ions ont plutôt une forme gaussienne et sont centrées CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 89 dans l'espace inter-électrodes de manière à générer à l'instant initial un plasma neutre sans charge d'espace. La densité de forme gaussienne sphérique définie par l'expression suivante a une valeur maximale égale à 1013 particules par cm3: ne (x, y, z,= t 0) = np (x, y, z,= t 0) = 1013 e ( −16 (x −1.5)2 + y2 + z2 ) Le terme source et les termes d'ionisation et/ou d'attachement ne sont pas pris en compte dans ces calculs. Les équations de continuité pour les électrons et les ions sont couplées avec l'équation de Poisson qui est résolue en utilisant la méthode de sur-relaxation. Les figures (IV.4) et (IV.5) représentent les variations spatiales mono et bidimensionnelles des densités électroniques pour les temps : 0, 1.8, 5, 10, 15 et 20 ns. Les profils des densités calculées sont tracés à l’échelle logarithmique. 1014 00.0 ns 01.8 ns 05.0 ns 10.0 ns 15.0 ns 20.0 ns 1012 1011 Anode Cathode -3 Densités (cm ) 1013 1010 109 108 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Position longitudinale (cm) Figure (IV.4) : Densité électronique en fonction de la position calculée pour différents instants (échelle des ordonnées logarithmique en 1D). Nous remarquons qu'une quantité d'électrons se déplace longitudinalement vers l'anode et qu'un front électronique extrêmement raide apparaît du côté de la cathode. Sur la configuration bidimensionnelle, nous constatons une faible extension transversale du profil initial de la densité électronique. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 90 1.5 1.5 8 0.5 109 1010 1011 1012 1013 10 1.0 Position transversale (cm) 1.0 Position transversale (cm) 8 109 10 10 1011 10 12 10 13 10 0.0 -0.5 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.0 -1.5 -1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 3.0 0.5 t=0.0 ns 2.0 2.5 3.0 2.5 3.0 2.5 3.0 t=10.0 ns 1.5 1.5 1.0 1.0 Position transversale (cm) Position transversale (cm) 1.5 Position longitudinale (cm) Position longitudinale (cm) 0.5 0.0 -0.5 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.0 -1.5 -1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 3.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Position longitudinale (cm) Position longitudinale (cm) t=1.8 ns t=15.0 ns 1.5 1.5 1.0 1.0 Position transversale (cm) Position transversale (cm) 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Position longitudinale (cm) t=5.0 ns 2.5 3.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Position longitudinale (cm) t=20.0 ns Figure (IV.5) : Densités électroniques issues du code 3D et présentées en 2D pour des instants différents en 2D (Échelle logarithmique cm-3). CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 91 Ces faibles déplacements électroniques correspondent à des variations très importantes de la densité de charge d’espace nette pour différents instants. Ces variations issues du code 3D sont présentées respectivement en 1D sur la figure (IV.6) et en 2D sur les figures (IV.7.a et b) pour les instants 1.8 et 10 ns. 01.8 ns 05.0 ns 10.0 ns 15.0 ns 20.0 ns -3 Charge d'espace nette (cm ) 3e+5 2e+5 1e+5 0 -1e+5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Position (cm) -3 -3 Charge d'espace nette(cm ) 1e+5 Charge d'espace nette(cm ) Figure (IV.6) : Densité de charge d’espace nette présentée en 1D pour différents instants. 1.5e+5 5e+4 1.0e+5 0 -5e+4 -1e+5 n io sit Po 0.5 1.0 le na di itu ng lo 1.5 3.0 2.0 2.0 1.0 0.0 2.5 m (c ) cm) ale ( -2.0 vers s n a tr ition Pos -1.0 3.0 -3.0 (a) t=1.8 ns 5.0e+4 0.0 -5.0e+4 0.5 Po sit ion 1.0 lon 1.5 git 2.0 ud ina 2.5 le (c m ) 3.0 2.0 1.0 le rsa ve s n tra 0.0 -1.0 -2.0 3.0 -3.0 on siti Po (b) t=10.0 ns Figure (IV.7) : Densité de charge d’espace nette en 2D pour différents instants. ) (cm CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 92 La distribution de la charge d’espace nette est positive du côté de la cathode à cause d’un excès des ions positifs et elle est négative du côté de l'anode à cause de la quantité des électrons qui s’y trouvent. Ces deux distributions représentent un maxima et un minima dans la densité de la charge d’espace nette. Les figures (IV.8) montrent la propagation du profil en 3D de la densité électronique à l’échelle logarithmique pour les instants 1.8 ns et 20 ns. t=1.8 ns t=20.0 ns Figure (IV.8) : Représentation tridimensionnelle de la densité électronique suivant l’échelle logarithmique en (cm-3). A l’instant 1.8 ns, le profil de densité électronique de forme gaussienne sphérique est presque stationnaire et n’a subi aucune déformation. Pour l’instant 20 ns, nous constatons deux importantes variations, une déformation sur le profil de la densité électronique du côté de la cathode et un avancement sous forme sphérique des électrons vers l’anode. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… Champ longitudinal (v/cm) 0.0 -4.0e+3 93 01.8 ns 05.0 ns 10.0 ns 15.0 ns 20.0 ns -8.0e+3 -1.2e+4 -1.6e+4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Position longitudinale (cm) Figure (IV.9): Variations du champ électrique longitudinal pour différents instants. La figure (IV.9) représente les variations du champ électrique longitudinal pour différents instants. Nous remarquons la présence de deux minimas du champ électrique longitudinal correspondant de manière respective au maxima et au minima dans la densité de la charge d’espace nette. Les figures (IV.10) et (IV.11) montrent respectivement les distributions bidimensionnelle et tridimensionnelle du champ électrique longitudinal pour les instants 1.8 ns et 20 ns. Les deux minimas du champ électrique longitudinal sur ces figures ont des formes quasiment coniques, leurs bases sont proches du centre et leurs sommets sont orientés l’un vers la cathode et l’autre vers l’anode. Les figures (IV.12) montrent les variations de la composante transversale du champ électrique issues du code 3D et présentées en 2D pour deux instants. Les deux maximas et les deux minimas constatés sur la distribution du champ transversal correspondent respectivement au maxima et minima de la densité de charge d'espace nette Les distributions tridimensionnelles des composantes transversale et tangentielle du champ électrique ont la forme de quatre ovales symétriques par rapport à l’axe longitudinal (voir figures (IV.13) et (IV.14)). Chaque ovale correspond à un minima du côté de l’anode et à un maxima du côté de la cathode. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 94 t=1.8 ns t=20.0 ns 0.0 Champ électrique longitudinal (v/cm) Champ électrique longitudinal (v/cm) 0.0 -4.0e+3 -8.0e+3 -1.2e+4 -4.0e+3 -8.0e+3 -1.2e+4 -1.6e+4 1.5 Pos 1.0 0.5 itio n tr 0.0 -0.5 ans ver -1.0 -1.5 sale (cm ) 1.5 0.0 0.5 1.0 Position 1.5 2.0 inale longitud 2.5 (cm) 1.0 3.0 0.5 Posit 0.0 -0.5 -1.0 ion t rans vers ale ( cm) -1.5 0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 (cm dinale longitu n io it s Po 0.5 3 ) Figure (IV.10) : Variations du champ électrique longitudinal issues du modèle 3D et présentées en 2D pour deux instants différents. Figure (IV.11) : Représentation tridimensionnelle du champ électrique longitudinal en (v/cm) pour deux instants différents. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 95 t=1.8 ns t=20.0 ns Champ transversal (v/cm) Champ transversal (v/cm) 6e+3 8e+3 4e+3 6e+3 2e+3 4e+3 0 2e+3 -2e+3 0 -2e+3 -4e+3 -4e+3 -6e+3 r ve ns tra ion sit Po t ion sit Po 1.0 1.0 0.5 0.5 0.0 -0.5 -1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 (cm) udinale n longit Positio 3.0 -0.5 2.5 2.0 -1.0 -1.5 (cm ) (cm -1.5 2.0 3.0 le sa ale ers sv ran 0.0 (cm) 1.0 dinale 0.5 ngitu lo n io Posit 1.5 0.0 ) Figure (IV.12) : Variations du champ électrique transversal issues du modèle 3D et présentées en 2D pour deux instants différents. Figure (IV.13) : Représentation tridimensionnelle du champ électrique transversal en (v/cm) pour deux instants différents. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… t=1.8 ns 96 t=20 ns Figure (IV.14) : Représentation tridimensionnelle du champ électrique tangentiel en (v/cm) pour deux instants différents. IV.3.5 Résumé Les variations spatiotemporelles des grandeurs citées précédemment (la densité électronique, la charge d’espace nette et les composantes du champ électrique) présentées en configurations multidimensionnelles peuvent être expliquées par le fait que le plasma étant initialement neutre, le champ électrique est constant sur tout l'espace inter-électrodes. Cependant comme les densités d'ions et d'électrons sont maximales au centre, seule la densité de charge d’espace nette qui est loin du centre est moins importante. Les électrons dans ce cas se déplacent sous l’influence d’un champ électrique important et se dirigent vers l'anode. Puisque les électrons sont plus mobiles par rapport aux ions, un excès d'électrons apparaît du côté de l'anode. Cet excès est engendré par les électrons qui s'échappent de la partie centrale. Dans l’autre côté (cathode), les électrons pénètrent dans la partie centrale, ce qui va créer un front de la charge d’espace extrêmement raide. Ces électrons sont soumis à l’influence d’un champ électrique important engendré par une forte charge d'espace ionique qui se trouve dans ce côté. Très rapidement, les électrons sont piégés au centre de l'espace inter-électrodes par le fait que le champ électrique appliqué est égal au champ opposant crée par la densité de charge d'espace. CHAPITRE IV: MODELISATION NUMERIQUE TRIDIMENSIONNELLE… 97 Les résultats issus de nos calculs en 3D sont en très bon accord avec ceux obtenus par Potin [Po-4] pour différents instants. Cela nous montre que les outils numériques que nous avons sélectionnés sont parfaitement adaptés au traitement d'un problème non linéaire multidimensionnel pour lequel plusieurs équations doivent être résolues en même temps. L'exemple que nous venons de traiter constitue la base de la modélisation d'une décharge streamer en 3D. Il suffit d'introduire le terme source pour qu'une décharge streamer se développer dans l'espace inter-électrodes. IV.4 Conclusion Ce chapitre a été consacré à la présentation et à la résolution des équations du modèle fluide tridimensionnel appliqué à la décharge streamer. Dans la première partie de ce chapitre, nous avons défini la méthode de sur-relaxation pour la résolution de l’équation de Poisson. Cette méthode, qui a été testée et validée, nous a permis de calculer les composantes tridimensionnelles du champ électrique dans une situation dont nous connaissons au préalable la solution analytique. Dans la deuxième partie, nous avons décrit le modèle fluide tridimensionnel basé sur le couplage des deux premiers moments de l’équation de Boltzmann à l'équation de Poisson. La résolution de l’équation Dérive-Diffusion en 3D, nous a mené à utiliser une méthode appelée "à pas fractionnaires". A l’aide de cette méthode, nous avons remplacé l’équation de continuité en trois dimensions par un ensemble d’équations monodimensionnelles suivant les trois directions de l’espace inter-électrodes. Pour valider le modèle fluide tridimensionnel, nous avons effectué un test numérique non linéaire dans les mêmes conditions décrites par Potin [Po-3], tout en négligeant le terme source. La comparaison de nos résultats avec ceux obtenus par cet auteur nous a montré qu’ils sont en accord et qu’ils sont quasiment similaires. Cette comparaison nous a aussi confirmé l’efficacité et la performance de notre code numérique utilisé pour la modélisation spatiotemporelle de la décharge filamentaire. tridimensionnelle de la propagation CHAPITRE V MODELISATION NUMERIQUE EN 3D DE LA DECHARGE STREAMER DANS L'AZOTE MOLECULAIRE Le chapitre précédent nous a permis de mettre en évidence la validité du code tridimensionnel pour la résolution des équations du modèle fluide, en utilisant les mêmes conditions que celles proposées par Morrow et décrites par Potin. Dans ce qui suit, nous utilisons des conditions permettant de se rapprocher des situations des décharges streamer à haute pression, ensuite nous allons étudier l’influence des variations de la tension appliquée et de la pression sur la propagation du streamer en configuration tridimensionnelle. CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 99 V.1 Test de validité selon Dhali et Williams Dans le souci permanant de valider notre code numérique, nous allons effectuer cette fois-ci un test numérique en présence d’un terme source non nul, et dans lequel, nous allons comparer les résultats obtenus du code 3D pour la résolution des équations du modèle tridimensionnel avec ceux issus de l’étude effectuée dans l'azote par Dhali et Williams [Dh-1] [Dh-2]. Pour cela, nous avons choisi des conditions de décharges similaires à celles de Dhali et Williams [Dh-2]: la pression P du gaz d'azote est de 760 Torr, sa température est de 300°K, la distance inter-électrodes est de 0.5 cm et le potentiel appliqué à l'anode est de 26 kV, ce qui correspond à un champ électrique de 52 kV/cm. Le travail de Dhali et Williams [Dh-2] avait comme objectif la mise en évidence de l'importance d'une analyse pour comprendre les mécanismes de propagation de la décharge streamer. Ils avaient considéré deux hypothèses ; • La première est que la décharge streamer était initiée par un plasma relativement dense constitué par une distribution électronique et ionique identique de forme d’une demi-gaussienne centrée sur l'une des deux électrodes et ayant une valeur maximale égale à 1014 cm3. Cette hypothèse permet la propagation immédiate du streamer en évitant le traitement de la phase de croissance de l'avalanche électronique initiale jusqu'à ce qu'elle atteigne une taille critique. • La deuxième concerne l’introduction en permanence dans tout l’intervalle inter-électrodes, d’une densité électronique et ionique égale à 108 cm3. Cela permet la prise en compte des effets secondaires en diminuant considérablement le temps de calcul. Pour simuler la propagation d’un streamer négatif de la cathode vers l'anode, Dhali et Williams ont supposé que la distribution initiale des densités électronique et ionique est située à la cathode. Les différents paramètres de transport utilisés par Dhali et Williams [Dh-2] sont donnés comme suit : Coefficient d'ionisation: α =5.7 P e−260 P / E (cm−1 ) Mobilité électronique: µe = 2.9 105 / P (cm2 V-1s-1 ) Mobilité ionique: µp = 2.6 103 / P (cm2 V-1s-1 ) Coefficient de diffusion électronique et ionique: D= D= 1.8 103 (cm2 s-1 ) e p CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 100 Les équations utilisées par Dhali et Williams sont les mêmes que celles introduites aux chapitre II et IV: selon la direction longitudinale: ∂ne ∂ne we,x ∂n ∂ − − De,x e = 0 ∂t ∂x ∂x ∂x ∂np ∂t + ∂np wp,x ∂x − ∂np ∂ = Dp,x 0 ∂x ∂x selon la direction transversale: ∂ne ∂ne we,y ∂n ∂ − − De,y e = 0 ∂t ∂y ∂y ∂y ∂np ∂t + ∂np wp,y ∂y − ∂np ∂ = Dp,y 0 ∂y ∂y et selon la direction tangentielle: ∂ne ∂ne we,z ∂n ∂ − − De,z e = 0 ∂t ∂z ∂z ∂z ∂np ∂t + ∂np wp,z ∂z − ∂np ∂ = Dp,z 0 ∂z ∂z ensuite, nous introduisons les termes sources S e et S p : ∂np ∂ne = S= Sp e ∂t ∂t Avec Se = Sp = neµe αE La résolution numérique des équations de transport dans le modèle fluide tridimensionnel nécessite au préalable l'introduction des conditions aux limites et les conditions initiales. Nous rappelons que la méthode numérique utilisée pour la résolution des équations de transport est le schéma numérique SG couplé avec SG0. Selon la littérature, la résolution numérique des équations aux dérivées partielles dépend essentiellement de la nature des conditions et les étapes de l'intégration. Dans cette thèse, nous avons utilisé les conditions de Neumann sur l'axe de symétrie pour le calcul des densités électronique et ionique, et du champ électrique. Pour se mettre dans les mêmes conditions de Dhali et Williams, l’intervalle inter-électrodes est 0.5 cm. La tension appliquée à l’électrode de droite est 26 Kv. CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 101 La densité initiale (une demi-gaussienne sphérique) est placée à la cathode (électrode de gauche). Un fond de charge neutre (108 cm-3), dans l'ensemble de l'espace inter-électrodes, simule la création de paires électron-ion germes nécessaires à la propagation du streamer : 2 2 2 y x z − n(x, y, z) = n0.exp − − + 108 σy σx σz avec, n0=1014cm-3 , = σx 0.027 cm = , σy 0.021 = cm , σz 0.021 cm Le tableau (V.1) résume les paramètres de transport utilisés pour la modélisation numérique de la décharge streamer. Paramètres de Transport Valeurs N 2.83 10+16 (cm-3) D e,x 1800 (cm-2s-1) D e,y 2190 (cm-2s-1) De,z 2190 (cm-2s-1) D p,x = D p,y = D p,z 10 (cm-2s-1) µe 2.9 x 105 (cm2V-1s-1) µp 2.6 x 103 (cm2V-1s-1) X max 0.5 (cm) y max 0.5 (cm) Z max 0.5 (cm) Tableau (V.1) : Paramètres de transport utilisés Dans leurs travaux, Dhali et Williams [Dh-2] ne précisaient pas le nombre de points utilisé selon la direction longitudinale, raison pour laquelle, nous avons choisi d'utiliser un maillage constant dans toutes les directions ; • longitudinale avec nx égal à 161 points (le pas est donc de 0.3125 x 10-2 cm), • transversale avec ny égal à 81 points (le pas est donc de 0.625 x 10-2 cm), • tangentielle avec nz égal à 81 points (le pas est donc de 0.625 x 10-2 cm). CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 102 Dans le souci de faciliter la comparaison de nos résultats avec ceux de Dhali et Williams [Dh-2], nous avons présenté les profiles des paramètres de sortie issus de nos calculs tridimensionnels en 1D selon l’axe de propagation. La comparaison de ces résultats montrés sur les figures (V.1) et (V.2) permet d’observer l'évolution de la propagation de la densité électronique et du champ électrique longitudinal sur l'axe de propagation pour la même échelle et aux instants 1.0, 2.0, 2.5 et 3.0 ns [Be-3]. 1015 Résultats obtenus par Dhali et Williams Nos calculs -3 Densité électronique (cm ) 1014 1013 3 ns 1012 2.5 ns 10 11 2 ns 1010 1 ns 109 108 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Distance inter-électrodes (cm) Figure (V.1) : Densité électronique calculée pour les instants 1.0, 2.0, 2.5 et 3.0 ns. Nous pouvons remarquer que le comportement global est identique aussi bien en ce qui concerne les variations des densités électroniques que celles du champ électrique, les ordres de grandeur étant presque les mêmes avec quelques légères différences. La plus notable est la vitesse de propagation du streamer calculée à partir de notre code, qui est légèrement moins élevée que celle de Dhali et Williams pour les temps 2.5 et 3.0 ns. Le champ électrique calculé par notre modèle est toujours inférieur à celui obtenu par Dhali et Williams durant tous les instants. Nous constatons, à l'examen des densités électroniques, que les différences apparaissent essentiellement au voisinage de la cathode. Cela provient, dans notre cas, de la densité initiale que nous avons prise légèrement différente de celle utilisée par Dhali et Williams, puisque l’expression exacte de cette densité n’a pas été mentionnée dans leur article. CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 103 0.0 -0.5 5 Champ électrique (10 v/cm) Résultats obtenus par Dhali et Williams Nos calculs -1.0 1 ns 2 ns -1.5 0.0 0.1 0.2 2.5 ns 0.3 3 ns 0.4 0.5 Distance inter-électrodes (cm) Figure (V.2) : Champ électrique longitudinal calculé pour différents instants. Le comportement du champ électrique est lui aussi relativement semblable, même si les valeurs des extrêmes sont légèrement différentes. Nous pouvons aussi noter à titre d’exemple, que la valeur maximale du champ électrique à 2.0 ns est légèrement inférieure dans notre cas (106 kV/cm) que dans le cas de Dhali et Williams (120kV/cm). Les comparaisons effectuées ci-dessus montrent que les résultats issus de notre modèle 3D sont physiquement réalistes et proches de ceux obtenus par Dhali et Williams [Dh-2]. Néanmoins, nous pouvons justifier ces différences par l’utilisation d’un modèle numérique 3D [Be-3] qui est différent du modèle 2D utilisé par Dhali et Williams [Dh-2]. L’utilisation d’un grand nombre de paramètres dans notre modèle peut changer considérablement les caractéristiques du streamer, tels que : la méthode numérique utilisée pour le calcul du terme source, le nombre de points de discrétisation, leur répartition dans l'espace, le pas minimal choisi pour l'évolution temporelle, la méthode numérique utilisée pour la résolution de l'équation de Poisson, etc… CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 104 log10(ne)cm-3 1.0 ns 2.0 ns 2.5 ns 3.0 ns Figure (V.3): Représentation en 3D de la propagation de la densité électronique pour des différents instants (log 10 (n e )cm-3). CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 105 105 V.cm-1 1.0 ns 2.0 ns 2.5 ns 3.0 ns Figure (V.4): Evolution tridimensionnelle du champ électrique longitudinal pour des différents instants en (105 V.cm-1). CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 106 105 V.cm-1 1.0 ns 2.0 ns 2.5 ns 3.0 ns Figure (V.5): Evolution tridimensionnelle du champ électrique transversal pour des différents instants en (105 V.cm-1). CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 107 105 V.cm-1 1.0 ns 2.0 ns 2.5 ns 3.0 ns Figure (V.6): Evolution tridimensionnelle du champ électrique tangentiel pour des différents instants en (105 V.cm-1). CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 108 Les figures de (V.3) à (V.6) représentent respectivement les iso-surfaces (courbes de niveau en 3D) de la densité électronique et des composantes du champ électrique longitudinale, transversale et tangentielle, aux instants 1.0, 2.0, 2.5 et 3.0 ns. Les figures (V.3) montrent les étapes de formation de la décharge streamer. Nous pouvons constater l’existence de deux régions différentes sur le profil du streamer ; La première, appelée zone dynamique de la décharge, représente sa tête et son corps. Elle permet de créer les conditions d’ionisation du milieu nécessaires à la propagation du streamer. La seconde, appelée zone statique de la décharge, permet d’assurer l’écoulement permanent des charges collectées à la tête du streamer [Be-3]. A cause de l’influence de l’ionisation et du déplacement des électrons vers l’anode, les composantes longitudinale, transversale et tangentielle du champ électrique montrées sur les figures (V.4, 5 et 6) deviennent très importantes au niveau du front de la décharge (tête du streamer), entrainant un élargissement permanent en fonction du temps du profil de densité électronique. Ces composantes rendent le streamer confiné dans l’intervalle inter-électrodes et permettent son déplacement suivant la direction longitudinale. La propagation de la tête du streamer où le champ électrique longitudinal est maximal, dépend des mécanismes d’ionisation à l’intérieur du gaz. Par contre le rayon de la tête du streamer, qui s’accroit durant sa propagation, dépend peu des ces mécanismes. Il est fortement lié aux composantes transversale et tangentielle du champ électrique et au profil initial de la décharge filamentaire. Nous constatons que durant sa propagation, la tête du streamer créer un champ électrique attirant les électrons à l’intérieur de la décharge. Nous remarquons, le long de l’axe de propagation de la décharge streamer, que les lignes du champ électrique sont perpendiculaires aux électrodes montrant, ainsi, l’existence des composantes transversale et tangentielle du champ électrique qui sont négligeables par rapport à la composante longitudinale. A partir de l’allure du champ électrique nous pouvons imaginer le mouvement des électrons durant la propagation du streamer. Le champ électrique attire les électrons qui se trouvent au voisinage du front du streamer, et permet leur pénétration à l’intérieur du streamer et leur déplacement vers l’anode selon la direction longitudinale. Les électrons, se trouvant aux bords du filament et en particulier derrière sa tête, pénètrent obliquement à sa surface, puis ils prennent une direction parallèle à l’axe de propagation et se dirigent à leur tour vers l’anode. CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 109 Comme les ions sont quasiment immobiles par rapport aux électrons, la distribution nette de charge d’espace au centre de la décharge est positive. Les champs électriques transversal et tangentiel engendrés par cette distribution de charge ne peuvent être que positif et les électrons sont, en permanence, attirés vers le centre selon l’axe de propagation. Les figures (V.5 et 6) représentent, respectivement, les variations, des composantes transversale et tangentielle du champ électrique. Ces deux composantes sont très importantes au niveau du front de la décharge et décroissent régulièrement en allant vers l’anode. Puisque les composantes transversale et tangentielle du champ électrique sont positives à l’intérieur du canal, les électrons sont attirés, en permanence, vers le centre du streamer entrainant une contraction graduelle de la décharge. La figure (V.7) représente la variation de la vitesse de propagation du streamer en fonction du temps. Cette vitesse est calculée à partir du déplacement longitudinal du front du streamer aux différents instants. Nous constatons que la vitesse de propagation du streamer diminue légèrement jusqu'à un minimum pour un temps inférieur à 2,2 ns. Cette phase de propagation suit une création d’une importante charge d'espace au niveau de la cathode à l’instant initial. 8 Vitesse de propagation (10 cm/s) 1.5 1.4 1.3 1.2 1.0 1.5 2.0 2.5 Temps (ns) Figure (V.7): Variations de la vitesse de propagation du streamer. 3.0 CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 110 A partir de ce moment, la vitesse de propagation de la tête du streamer, la densité électronique et le champ électrique se développent d'une manière régulière, cela est expliqué par l’augmentation du nombre des électrons germes qui devient de plus en plus important, et conduit à l’augmentation réelle de l'efficacité d'ionisation. Pour les temps supérieurs à 2,2 ns, la structure finale de la décharge filamentaire apparaît. Les variations du champ électrique et des densités électronique et ionique au niveau du front du streamer sont extrêmement rapides. Dans ce qui suit, nous allons effectuer une étude paramétrique sur l'évolution du streamer négatif. V.2 Etude paramétrique sur la propagation du streamer négatif Nous allons maintenant, étudier l'influence de la variation de certains paramètres physiques tels que, la pression et la tension appliquée sur le comportement du streamer négatif à haute pression. V.2.1 Influence de la pression Les effets de la pression sont étudiés dans les mêmes conditions utilisées précédemment. Les valeurs de pression sont égales respectivement à 660, 760, 860 et 960 Torr ce qui correspond à un pas de variation constant sur la pression de 100 Torr. Les figures (V.8) et (V.9) représentent respectivement la variation de la densité électronique et du champ électrique pour des différentes valeurs de pression à l’instant de 2 ns et pour une tension de 26 kV. Nous remarquons que la propagation du streamer est de moins en moins rapide lorsque la pression du milieu augmente. A titre d’exemple, la vitesse de propagation du streamer a augmenté de 43 % pour une pression de 660 Torr et a diminué respectivement de 24 % pour une pression de 860 Torr et de 37 % pour une pression de 960 Torr par rapport à la pression atmosphérique de 760 Torr. Nous pouvons expliquer ce comportement physique par le fait que les libres parcours moyens et les mobilités des particules chargées sont inversement proportionnels à la pression du gaz. C'est-à-dire que la probabilité de collision diminue avec l'augmentation de la pression ce qui engendre un ralentissement de la propagation normale du streamer de la cathode vers l'anode. Le même comportement est observé sur l'évolution du champ électrique. On remarque que la valeur maximale du champ électrique à la tête du streamer diminue avec l'augmentation de la pression et cela pour les raisons physiques qu'on vient d'évoquer. CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 111 1015 -3 Densité électronique (cm ) 1014 1013 1012 660 torr 1011 760 torr 1010 860 torr 109 960 torr 108 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Position longitudinale (cm) Figure (V.8) : Densité électronique à l’instant 2 ns pour différentes valeurs de pression. 660 torr 760 torr 5 Champ électrique longitudinal (10 v/cm) -1.5 860 torr 960 torr -1.0 -0.5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Position longitudinale (cm) Figure (V.9) : Champ électrique à l’instant 2 ns pour différentes valeurs de pression. CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 112 V.2.2 Influence de la tension appliquée Dans cette partie du mémoire, nous allons étudier les effets de la tension appliquée dans les mêmes conditions que celles utilisées précédemment pour une pression du gaz égale à 760 Torr. Les valeurs de tension sont respectivement égales à 25, 26, 27 et 28 kV. Les figures (V.10) et (V.11) représentent respectivement la variation de la densité électronique et du champ électrique pour des différentes valeurs de la tension électrique à l’instant 2 ns. Nous remarquons que la propagation de la décharge streamer devient de plus en plus rapide avec l’augmentation de la tension anodique. Par exemple, la vitesse de propagation du streamer a diminué de 11 % pour une tension de 25 kV et a augmenté respectivement de 11 % pour une tension de 27 kV et de 24 % pour une tension de 28 kV par rapport à la tension de 26 kV. Le même comportement est observé sur la variation du champ électrique en fonction de la position et de la valeur de la tension anodique. 1015 Densité électronique (cm-3) 1014 1013 1012 28 Kv 1011 27 Kv 26 Kv 1010 25 Kv 109 108 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Distance inter-électrodes (cm) Figure (V.10) : Densité électronique à l’ instant 2 ns pour différentes valeurs de tension. CHAPITRE V: MODÉLISATION NUMÉRIQUE EN 3D DE LA DÉCHARGE … 113 28 Kv 27 Kv 5 Champ électrique longitudinal (10 v/cm) -1.5 26 Kv 25 Kv -1.0 -0.5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Distance inter-électrodes (cm) Figure (V.11) : Champ électrique à l’ instant 2 ns pour différentes valeurs de tension. Les variations de la densité électronique et du champ électrique sont totalement naturelles, on sait que la valeur du champ géométrique est proportionnelle à la tension anodique. Ce qui implique une présence de probabilité de collisions élastique et inélastique importante dans l'espace inter-électrodes. Cette probabilité est très favorable pour une évolution rapide de la décharge considérée. V.3 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons validé le modèle numérique 3D pour étudier la propagation du streamer en comparant les résultats issus de nos calculs avec ceux obtenus par Dhali et Williams [Dh-2]. Après avoir confirmé la validité de notre modèle numérique tridimensionnel et discuter les résultats obtenus, nous avons effectué une étude concernant l'influence des variations de la pression et de la tension appliquée, sur la propagation de la décharge streamer. Nous avons constaté que la vitesse de propagation du streamer est quasi inversement proportionnelle à l'augmentation de la pression et est quasi proportionnelle à la variation de la tension appliquée. CONCLUSION ET PERSPECTIVE Des travaux précédents dans la littérature ont montré l’intérêt de la décharge filamentaires à haute pression dans les différentes applications industrielles. La modélisation et la simulation numériques sont d'une grande aide et d'une grande opportunité pour l'étude des plasmas. Le développement et l’amélioration des outils informatiques dans les dernières années ont permis la résolution numérique des problèmes multidimensionnels. CONCLUSION ET PERSPECTIVE 115 L’objectif de cette thèse était de mettre au point un modèle numérique de la décharge streamer à haute pression pour la résolution des équations de transport et de l'équation de Poisson en géométrie tridimensionnelle. Cette modélisation numérique nous a permis d'étudier la dynamique des particules chargées lors de la propagation des ondes d'ionisation dans des situations de fortes variations de densité et de champ électrique en utilisant un simple ordinateur personnel. Dans le chapitre I, nous avons donné un aperçu sur le développement des décharges streamers et les processus qui sont à l'origine de la formation des avalanches électroniques dans les décharges électriques et notamment les décharges à haute pression. Ensuite, nous avons effectué une recherche bibliographique sur les différentes applications industrielles de la décharge filamentaire. Le chapitre II a été consacré à la description du modèle hydrodynamique, qui est issu du couplage des deux premiers moments de l’équation de Boltzmann avec l'équation de Poisson. Les équations de conservation de la densité et de la quantité de mouvement sont obtenues à partir des deux premiers moments de l'équation de Boltzmann. L'hypothèse du champ local est la condition de fermeture de ce système d'équations, elle est réalisée en supposant connus les coefficients de transport et de réaction (vitesses de dérive, coefficients de diffusion, etc…). Dans le chapitre III, nous avons montré que, le schéma numérique Scharfetter et Gummel SG0 adopté pour la résolution des équations de transport, présente plus de précision et de stabilité par rapport aux autres schémas numériques tels que: ADBQuickest, Quickest-Superbee et la FCT. Le chapitre IV a été consacré à la présentation du modèle hydrodynamique en trois dimensions. Passant par la description de la méthode de sur-relaxation pour la résolution de l’équation de Poisson, et la méthode à pas fractionnaires pour faciliter la résolution des équations du modèle 3D, nous avons testé notre code numérique tridimensionnel dans des situations proches de celles qui caractérisent la propagation de la décharge streamer dans les gaz à pression atmosphérique afin de mettre en évidence ses performances. Suite à la validation de notre code numérique, nous avons consacré le dernier chapitre de cette thèse pour la simulation de la propagation du streamer négatif dans l'azote moléculaire dans une configuration plan-plan. Ensuite nous avons effectué une étude paramétrique montrant l'influence de la variation de la pression du gaz et de la CONCLUSION ET PERSPECTIVE 116 tension appliquée sur la vitesse de propagation du streamer négatif. Ce qui nous a permis de constater que la vitesse de propagation du streamer est inversement proportionnelle à l'augmentation de la pression, et proportionnelle à la variation de la tension appliquée. En perspective de ce modeste travail, il sera nécessaire de poursuivre cette étude qui n’est qu’à ses débuts. La modélisation et l'étude de l'évolution spatiotemporelle de la décharge streamer doivent être impérativement étendues à une simulation 3D qui prend en compte la distribution des niveaux moléculaires des particules excitées lors de la propagation du streamer. Une étude plus fine de l’analyse des espèces actives formées et du bilan d’énergie nécessaire à la formation du plasma sera également capitale. Les résultats issus de cette thèse ainsi que ceux des travaux futurs seront également une source de données essentielle pour la validation des modèles électriques et hydrodynamiques de la décharge filamentaire à haute pression. De tels modèles seront considérés comme des outils complémentaires aux différentes études expérimentales et constitueront une aide précieuse dans les différentes applications industrielles de la décharge filamentaire. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES A [Ab-1] [Ab-2] [Al-1] [Al-2] [Ar-1] A. Abahazem. "Etudes expérimentales des décharges couronne pour la dépollution des gaz". Thèse de doctorat Université Toulouse III – Paul Sabatier 2009 I. Abbas, P. Bayle “A critical analysis of ionising wave propagation mechanisms in breakdown”. J. Phys. D13, pp 1055 -1058. 1980. N. Aleksandrov and E. Bazelyan, "Simulation of long-streamer propagation in air at atmospheric pressure", J. Phys. D: Appl. Phys. 29, 740-752 1996 N. Aleksandrov and E. Bazelyan, "Temperature and density effects on the properties of a long positive streamer in air", J. Phys. D: Appl. Phys. 29, 2873–2880 1996 P. Arques. 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