Géométrie différentielle élémentaire

Géométrie différentielle élémentaire
Frédéric Paulin
Version préliminaire
Cours de première année de mastère
École Normale Supérieure
Année 2006-2007
1
2

1 Introduction
On peut considérer un objet géométrique selon plusieurs échelles, et les outils d’études
diffèrent alors :
infinitésimal ←→ algèbre linéaire et multilinéaire
local ←→ calcul différentiel
global ←→ géométrie/topologie différentielle
asymptotique ←→ géométrie asymptotique à la Gromov.
Une grande partie de ce cours sera consacré au passage de l’infinitésimal et du local au global.
Nous supposerons acquis les deux premiers points (voir par exemple [Bou1, Ave, CarH, Die1]),
et nous ne parlerons pas du dernier (voir par exemple [Gro1, Gro2]).
Dans cet ouvrage élémentaire, nous ne traiterons pas de géométrie riemannienne, ni de
géométrie symplectique, ni de géométrie de contact, qui sont traditionnellement des cours de
seconde année de mastère (voir par exemple [GHL, McDS]). Nous n’aborderons pas non plus
certains points plus avancés de géométrie différentielle, comme les fibrés principaux et les classes
caractéristiques, la transversalité et ses applications, ainsi que quelques points sur les formes
différentielles, comme la formule de Kunneth (voir par exemple [BT, Hir, God]). Nous ne
parlerons pas des variétés différentielles à bord, pourtant si utiles en topologie différentielle
(et en particulier, nous n’aborderons pas la suite exacte d’une paire en cohomologie de de
Rham, voir par exemple [God]).
Nous mettrons l’accent d’une part sur les exemples de variétés différentielles, qu’elles viennent
en familles ou en points remarquables, d’autres part sur leurs groupes de transformations, chers
aux physiciens. En ce qui concerne les champs de tenseurs, nous restreindrons notre étude aux
champs de vecteurs et aux formes différentielles. Nous n’aborderons quasiment pas les spécifici-
tés de la géométrie différentielle complexe, pourtant si riche (voir par exemple [Voi, Laz, BPV]).
Pour les aspects de théorie de jauge et d’analyse sur les variétés, qui ont eu un impact important
sur la topologie des variétés, avec les travaux par exemple de Donaldson et de Perelman, nous
renvoyons aux textes [Aub, Don, Bes] par exemple.
Nous espérons que le plaisir du lecteur dans la découverte de ces espaces (les variétés dif-
férentielles), ces groupes (les groupes de Lie), ces champs (champs de vecteurs et formes dif-
férentielles) sera renforcé par les très nombreux exercices et problèmes de ce recueil, issus de
trois années d’enseignements à l’École Normale Supérieure. Une partie d’entre eux est accompa-
gnée d’un schème1de preuve ou d’indications de résolution, pas forcément rédigées de manière
optimales ni complètes.
Souhaitant revenir aux Éléments d’Euclide, nous dirons porisme (π´oρισµα) au lieu de co-
rollaire.
Remerciements. Une partie des 189 exercices et problèmes, avec leurs solutions, et de nombreuses
corrections, ont été fournis par Sébastien Gouëzel. Je l’en remercie chaleureusement. Je remercie tous
les élèves m’ayant signalé des incorrections dans les premières versions de ce texte.
1n.m. (gr. σχηµα). Structure d’ensemble d’un processus.
3
Table des matières
1 Introduction 3
2 Variétés différentielles 7
2.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Sous-variétés de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 La catégorie des variétés différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Le point de vue des faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Exemples de variétés différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Exemples triviaux, contre-exemples et culture . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Exemples familiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Plongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Sommes disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Homéomorphismes locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.3 Exemples cruciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Les sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Les espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Les variétés grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Fibrés vectoriels 62
3.1 Sous-espaces tangents d’une sous-variété de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Fibré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Application tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Plongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Sommes disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7 Le fibré des formes alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Opérations sur les fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Préimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4

3.9 Autresexercices.................................... 80
3.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4 Champs de vecteurs et feuilletages 88
4.1 Champsdevecteurs.................................. 88
4.2 Opérations sur les champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.1 Addition. ................................... 89
4.2.2 Multiplication par une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.3 Restriction. .................................. 90
4.2.4 Image réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.5 Expression d’un champ de vecteurs dans une carte. . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Flot local d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Dérivations ...................................... 95
4.5 Dérivations et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6 Crochets de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Champsdeplans ...................................101
4.8 Feuilletages ......................................103
4.9 ThéorèmedeFrobénius................................107
4.10Autresexercices....................................109
4.11 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Groupes de Lie et espaces homogènes 147
5.1 GroupesdeLie ....................................147
Culture......................................151
5.2 AlgèbresdeLie ....................................152
5.3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4 Champs de vecteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.5 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.6 Sous-groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.7 Revêtements et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.8 Espaceshomogènes..................................176
Actions continues de groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Actions différentiables de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Espaces homogènes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Actions transitives de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Exemples de variétés homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Variétésquotients ................................186
5.9 Autresexercices....................................186
5.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6 Formes différentielles 205
6.1 Formesdifférentielles .................................205
Structured’algèbre................................205
Imageréciproque.................................207
Différentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Produit intérieur et dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Gradient, divergence, rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.2 Cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5
Algèbre de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Calcul de la cohomologie des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Autres calculs de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.3 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Intégration dans les ouverts de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Intégration de formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Le théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.4 Cohomologie à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.5 Dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Cohomologie de de Rham des espaces projectifs réels . . . . . . . . . . . . . 253
6.6 Théorie du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.6.1 Degré d’une application entre variétés de même dimension. . . . . . . . 254
6.6.2 Indice d’un champ de vecteurs en un zéro isolé. . . . . . . . . . . . . . . 259
6.6.3 Nombre d’enlacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.7 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.8 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
A Annexes : rappels divers 300
A.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
A.2 Rappels sur les actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
A.3 Rappels de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
A.4 Rappels sur les revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Revêtements universels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.5 Rappels d’algèbre multilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.6 Rappels d’algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Catégories, foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Complexes de cochaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Index 336
Bibliographie 342
6

2 Variétés différentielles
Pour des explications historiques sur l’invention de la notion de variété et ses motivations,
nous renvoyons aux textes originaux de Riemann [Rie, Spi], H. Poincaré [Poi], E. Cartan [Car],
ainsi qu’aux ouvrages d’histoire des mathématiques comme l’excellent [Die4].
2.1 Variétés topologiques
Avant de définir les variétés topologiques, donnons deux résultats de topologie générale.
Pour tout ndans N, l’ensemble Rnest muni de sa topologie usuelle.
Théorème 2.1 (Théorème d’invariance du domaine de Brouwer) Soit Uun ouvert de
Rn, et f:U→Rnune application continue et injective. Alors f(U)est ouvert, et f:U→f(U)
est un homéomorphisme. 
En particulier, un ouvert non vide de Rnn’est pas homéomorphe à un ouvert non vide de Rm
si net msont distincts. Notons que si l’on remplace « homéomorphe » par « C1-difféomorphe »,
alors cette dernière assertion est évidente. Dans le cadre différentiel de ce cours, le théorème
d’inversion locale (voir l’appendice A.3) est en général un outil suffisant pour remplacer le
théorème d’invariance du domaine de Brouwer.
Nous admettrons le théorème 2.1. Les preuves les plus naturelles utilisent des outils élé-
mentaires de topologie algébrique, ce qui constituerait une diversion un peu longue (voir
[God, Spa, Hat, Pau]). Il existe aussi des preuves plus directes, mais moins éclairantes (voir
avec précautions la preuve originelle [Brou]).
La proposition suivante servira à comprendre les propriétés topologiques globales (qui sont
minimes) que nous demanderons aux variétés topologiques. Nous renvoyons à l’appendice A.1
pour les définitions des notions topologiques utilisées.
Proposition 2.2 Soit Xun espace topologique, dont tout point admet un voisinage ouvert
homéomorphe à un ouvert d’un espace Rn. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Xest séparé et à base dénombrable,
2. Xest σ-compact,
3. Xest dénombrable à l’infini,
4. Xest métrisable séparable,
5. il existe un plongement topologique de Xdans `2(R).
Preuve. Un espace topologique séparé dans lequel tout point admet un voisinage ouvert homéo-
morphe à un ouvert d’un Rnest localement compact. En particulier, tout point d’un tel espace
admet un système fondamental de voisinages fermés métrisables (pour la topologie induite).
Il est immédiat qu’un espace localement compact à base dénombrable admet une base dé-
nombrable d’ouverts d’adhérences compactes, donc est σ-compact, et qu’un espace σ-compact,
dans lequel tout point admet un voisinage ouvert qui est à base dénombrable (pour la topologie
induite), est à base dénombrable. Donc (1) et (2) sont équivalents.
Il est immédiat qu’un espace dénombrable à l’infini est σ-compact, et qu’un espace locale-
ment compact et σ-compact est dénombrable à l’infini. Donc (2) et (3) sont équivalents.
L’espace de Hilbert `2(R)est métrisable et à base dénombrable (l’ensemble des boules
ouvertes de rayons rationnels centrées aux suites presque nulles de rationnels est une base
7
dénombrable d’ouverts). Tout sous-espace d’un espace métrisable et à base dénombrable l’est
encore. Un espace topologique à base dénombrable est séparable, car si (Ui)i∈Nest une base
d’ouverts non vides, et xiun point de Ui, alors (xi)i∈Nest dense. Donc (5) implique (4).
Un espace métrique séparable est séparé et à base dénombrable (en prenant les boules
ouvertes de rayons rationnels centrées aux points d’une partie dénombrable dense). Donc (4)
implique (1).
Un espace topologique X, séparé, à base dénombrable, et dont tout point admet un système
fondamental de voisinages fermés métrisables, se plonge dans `2(R). En effet, soit (Ui)i∈Nune
base dénombrable d’ouverts de X. Nous pouvons supposer que Uiest métrisable (pour la
topologie induite), car si Jest l’ensemble des itels que Uiest métrisable, alors (Uj)j∈Jest
encore une base d’ouverts. Notons diune distance sur l’espace Uicompatible avec sa topologie.
Considérons la fonction ϕi:X→[0,1] définie par ϕi(x) = min{1, di(x, ∂Ui)}si xest dans Uiet
ϕi(x) = 0 sinon. Il est facile de vérifier que ϕiest continue et non nulle exactement sur Ui. Alors
l’application f:x7→ (1
i+1 ϕi(x))i∈Nest un homéomorphisme de Xsur son image dans `2(R).
En effet, l’injectivité découle du fait que Xsoit séparé et que (Ui)i∈Nsoit une base d’ouverts.
La continuité vient du fait que les ϕisoient continues et bornées en valeur absolue par 1. Enfin,
l’application f:X→f(X)est fermée, car si Fest un fermé de Xet si xn’est pas dans F,
alors il existe itel que x⊂Ui⊂X−F, et donc d(f(x), f (F)) ≥ϕi(x)/(i+ 1) >0. Donc (1)
implique (5). 
Une variété topologique (ou par abus variété) est un espace topologique Mtel que
•l’espace Msoit séparé et à base dénombrable,
•tout point de Madmette un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert d’un espace Rn.
En particulier, par la proposition 2.2, une variété topologique est un espace localement
compact, métrisable, séparable, dénombrable à l’infini. Au lieu de demander que Msoit séparé
à base dénombrable, nous pourrions demander, de manière équivalente par la proposition 2.2,
que Msoit métrisable séparable. Il est souvent plus facile de vérifier les conditions séparé à base
dénombrable que les conditions métrisable séparable (lorsque l’on veut montrer qu’un objet est
une variété), et c’est pour cela que nous mettons en avant les premières. Par contre, les secondes
sont souvent plus utiles lorsque l’on travaille sur une variété donnée.
Mais ces propriétés globales des variétés topologiques sont minimes, et en pratique faciles
à vérifier (cette vérification étant parfois omise). Ce qui est important est qu’une variété topo-
logique admette les mêmes propriétés topologiques locales qu’un espace Rn. Par exemple, elle
est, entre autres, (voir les appendices A.1 et A.4 pour des définitions)
– localement compacte (ce qui n’est pas uniquement une condition locale à cause de l’hy-
pothèse de séparation),
– localement connexe par arcs (donc elle est connexe par arcs si elle est connexe),
– localement contractile.
Soit Mune variété topologique. Pour tout xdans M, l’entier ntel qu’il existe un voisinage
ouvert de xhoméomorphe à un ouvert de Rnest uniquement défini, par le théorème d’invariance
du domaine de Brouwer 2.1, et il est localement constant (donc constant sur toute composante
connexe de M). Pour tout ndans N, une variété topologique est dite de dimension nsi tout
point admet un voisinage ouvert homéomorphe à un ouvert de Rn. Toute composante connexe
de Mpossède donc une dimension bien définie. Dans la littérature comme dans ce cours, on
ne considère en général que des variétés topologiques dont les dimensions des composantes
connexes sont égales. On appelle souvent courbe une variété topologique de dimension 1, et
surface une variété topologique de dimension 2.
Par exemple, les variétés topologiques de dimension 0sont les espaces discrets dénombrables.
8

Exercice E.1 Montrer qu’une variété topologique compacte connexe de dimension 1est homéo-
morphe au cercle S1. Montrer qu’une variété topologique connexe non compacte de dimension
1est homéomorphe à R. En déduire qu’une variété topologique de dimension 1est somme
disjointe d’un ensemble dénombrable d’espaces homéomorphes à Rou à S1.
La collection des variétés topologiques forme une sous-catégorie de la catégorie des espaces
topologiques, notée TOP, et de même pour les variétés topologiques de dimension n, dont la
collection est notée TOPn. Voir l’appendice A.6 pour la définition d’une catégorie.
L’outil principal qui permet le passage du local au global dans les variétés topologiques est
celui de partition de l’unité, que nous introduisons maintenant. Nous renvoyons à l’appendice
A.1 pour les définitions de topologie générale utilisées, en particulier celle de famille localement
finie de parties.
Soit Xun espace topologique. Si f:X→Rest une fonction continue, on appelle support
de fl’adhérence de {x∈X:f(x)6= 0}, et on le note Supp(f). C’est le plus petit fermé en
dehors duquel fest nulle.
Une partition de l’unité de Xest une famille (ϕα)α∈A de fonctions continues de Xdans
[0,1], dont la famille des supports est localement finie, et qui vérifie Piϕi= 1 (remarquer
qu’alors (ϕ−1
α(]0,1]))α∈A est un recouvrement ouvert, et que la somme Piϕi(x)ne possède
qu’un nombre fini de termes non nuls pour tout xdans X). Soit U= (Ui)i∈Iun recouvrement
ouvert de X. Une partition de l’unité subordonnée à Uest une partition de l’unité (ϕi)i∈Ide
X, telle que, pour tout i∈I, le support de ϕisoit contenu dans Ui.
Remarque. Supposons que l’on ait une partition de l’unité (ϕ0
α)α∈A de X, telle que, pour tout
α∈ A, il existe un élément de Ucontenant le support de ϕ0
α. Il est alors facile de modifier cette
partition de l’unité pour la rendre subordonnée à U. En effet, si f:A→Iest n’importe quelle
application telle que le support de ϕ0
αsoit contenu dans Uf(α)pour tout α, posons
ϕi:x7→ X
α∈f−1(i)
ϕ0
α(x),
avec la convention usuelle P∅= 0. Alors (ϕi)i∈Iest une partition de l’unité subordonnée à U.
En effet,
(1) l’application ϕiest bien définie et continue, car sur un voisinage de tout point, ϕiest
somme d’un nombre fini de ϕ0
α;
(2) Piϕi=Pαϕ0
α= 1 ;
(3) la famille de fermés (Supp ϕi)i∈Iest localement finie, car pour tout ouvert Ude X,
{i∈I: (Supp ϕi)∩U6=∅} ⊂ f{α∈ A : (Supp ϕ0
α)∩U6=∅},
et l’image d’un ensemble fini par une application est finie ;
(4) nous avons
(Supp ϕi)⊂[
α∈f−1(i)
Supp ϕ0
α=[
α∈f−1(i)
Supp ϕ0
α⊂Ui,
car une union localement finie de fermés est fermée.
Proposition 2.3 Une variété topologique Mest paracompacte, et tout recouvrement ouvert de
Madmet une partition de l’unité qui lui est subordonnée. Si de plus Mest compacte, alors tout
recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini et une partition de l’unité finie qui est
subordonnée à ce sous-recouvrement.
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En fait, tout recouvrement ouvert d’un espace topologique paracompact admet une partition
de l’unité subordonnée (voir [Dug, page 170]), mais nous ne montrerons ce résultat que dans
les cas des variétés, et nous aurons besoin de sa version différentiable (i.e. de la proposition 2.9)
au chapitre 6.
Lemme 2.4 Pour tout x0dans Rnet tout voisinage Ude x0, il existe une fonction C∞de Rn
dans R, de support contenu dans U, constante égale à 1sur un voisinage de x0, et à valeurs
dans [0,1].
Preuve. Rappelons que limt→0+1
tne−1
t= 0 pour
tout ndans R. Il est alors facile de vérifier que,
pour tous a < b, l’application de Rdans R
fa,b :t7→ 
1 + e2t−(a+b)
(b−t)(t−a)−1
si a < t < b
1 si t≤a
0 si t≥b
est C∞. Alors, pour  > 0suffisamment petit, l’ap-
plication x7→ f/2,(||x−x0||)convient, pour || · ||
la norme usuelle.
a b
1
0
Preuve de la proposition 2.3. Comme Mest dénombrable à l’infini, il existe par définition
une suite exhaustive de compacts (Ki)i∈N(voir l’appendice A.1). Posons K−1=∅, et K0
n=
Kn+1−◦
Kn, qui est un sous-espace compact de M.
Soit U= (Uα)α∈A un recouvrement ouvert. Posons
Vn,α =Uα∩◦
Kn+2 −Kn−1.
Alors (Vn,α)α∈A est un recouvrement ouvert de K0
n, donc admet un sous-recouvrement fini
(Vn,α)α∈An. Alors (Vn,α)n∈N,α∈Anest un recouvrement ouvert de M, plus fin que U, et localement
fini. Donc Mest paracompacte.
Pour tout xdans K0
n, soit Wxun voisinage ouvert de x, contenu dans Vn,α pour un αdans
A, et homéomorphe à un ouvert d’un espace Rk. Par le lemme précédent, il existe donc (en
prolongeant par 0en dehors de Wx) une application continue ϕxde Mdans [0,1], de support
contenu dans Wx, constante égale à 1sur un voisinage W0
xde x. Comme (W0 x)x∈K0
nrecouvre
K0
n, il existe une partie finie Bnde K0 ntelle que (W0 x)x∈Bnrecouvre K0 n. Posons
ϕ:y7→ X
n∈N, x∈Bn
ϕx(y),
qui est une somme n’ayant qu’un nombre fini de termes non nuls (car pour xdans Bn, l’appli-
cation ϕxest nulle sur Kn−1, donc sur ysi nest assez grand), et qui est strictement positive (en
fait supérieure ou égale à 1) pour tout ydans M. Posons ϕ0
x=ϕx/ϕ. Alors (ϕ0 x)n∈N, x∈Bnest une
partition de l’unité que l’on peut rendre subordonnée à Uen utilisant la remarque précédant
la proposition 2.3.
La dernière assertion découle immédiatement de la première. 
Exercice E.2 Soit Mun espace topologique paracompact, dont tout point admet un voisinage
homéomorphe à un ouvert de Rn. Alors Mest métrisable.
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