TD 3 du 29/02/2016

Géométrie Diérentielle, TD 3 du 29 février 2016
1. Sous-variétés de
Soient
06r6n
Mn (R)
des entiers, avec
n > 2.
det : A 7→ det(A) est C ∞ sur Mn (R),
diérentielle de det est non nulle.
1 Montrer que
lesquelles la
2 En déduire que
SLn (R)
l'ensemble des matrices de rang
n−1
3 Montrer qu'il existe un voisinage
alors la matrice
4 Soit
Vr ⊂ Mn (R)
C∞
est une sous-variété
Ir + A C
B
D
U
de
et caractériser les matrices en
Mn (R).
est une sous-variété de
de
0
dans
Mn (R)
Montrer de même que
Mn (R).
tel que, si
est de rang
r
si et seulement si
Mn (R)
∈ U,
D = B(Ir + A)−1 C .
l'ensemble des matrices à coecients réels de rang
c'est une sous-variété de
A C
B D
r.
Montrer que
et calculer sa codimension.
5 Montrer que les matrices symétriques de rang
r
forment une sous-variété de l'espace
des matrices symétriques. Calculer sa codimension.
r forment
r(n − r).
6 Montrer que les projecteurs orthogonaux de rang
pace des matrices symétriques, de dimension
une sous-variété de l'es-
6 n − 1 ne forment pas une sous-variété de Mn (R).
considérer ce qui se passe en 0.
7 Montrer que les matrices de rang
On pourra par exemple
2. Grassmanniennes
Soit
F
sev de
Rn .
1 Montrer que
{A ∈ Mn (R) | ker A = F }
Mn (R).
et
{A ∈ Mn (R) |
Im
A = F}
sont des
sous-variétés de
N est une sous-variété de G(k, n), alors {A ∈
Mn (R) | ker A ∈ N } et {A ∈ Mn (R) | Im A ∈ N } sont des sous-variétés de Mn (R).
2 Plus généralement, montrer que si
3 Soit
M
une hypersurface compacte de
est surjective de
3. Le groupe
M
dans
Montrer que l'application
T : x 7→ Tx M
G(n − 1, n).
SUN
1 Expliquer pourquoi, pour montrer que
il sut de le vérier au voisinage de
2 Montrer que
gent en
Rn .
Id.
SLN (C)
SLN (C)
UN .
C∞
de
MN (C),
Id.
est une sous-variété
Même question pour
est une sous-variété
C∞
de
MN (C),
et calculer son espace tan-
2
Géométrie diérentielle 29/02/2016
3
SLN (C)
et
UN
sont-ils transverses en
4 Montrer que le groupe
tangent en
SUN
Id ?
est une sous-variété
C∞
de
MN (C), et calculer son espace
Id.
4. Algèbre de Lie et Théorème de Von Neumann
Soit
G
Gln (R).
sous-groupe fermé de
On va montrer le théorème de Von Neumann qui
arme que G est une sous-variété de Gln (R). On dénit, pour
∞
∞
P
P
(−1)i M i+1
Mi
et si kM k < 1, L(Id +M ) =
.
i!
i+1
i=0
i=0
1 Montrer (en utilisant
A
L)
B
k→∞
et
A
B
(e k e k e
−A
k
e
−B
k
2
)k −→ eAB−BA
k→∞
tM
LG = {M ∈ Mn (R) | ∀t ∈ R, e ∈ G}. Montrer que LG est une sous-algèbre
de Mn (R), i.e. un sev de Mn (R) stable par (A, B) 7→ [A, B] = AB − BA.
2 On pose
de Lie
(A, B) ∈ Mn (R),
que pour tout
(e k e k )k −→ eA+B
M ∈ Mn (R), exp(M ) =
3 Montrer que pour prouver le théorème de Von Neumann, il sut de vérier que
est une sous-variété de
Soit
F
supplémentaire
ϕ:
G
Mn (R) au voisinage de l'identité.
de LG dans Mn (R). On dénit
Mn (R) = LG × F
→
GLn (R)
(A, M )
7→ eA eM
4 Montrer qu'il n'existe pas de suite
∀k > 0, eMk ∈ G.
(Mk )k>0
de
F \ {0}
tendant vers
0
et telle que
U de 0 dans LG et un voisinage ouvert V
C ∞ -diéomorphisme de U sur V ∩ G, ce qui
5 Montrer qu'il existe un voisinage ouvert
de
In
dans
GLn (R)
tel que
ϕ|U
soit un
achève la preuve du théorème de Von Neumann.
En particulier,
LG
est l'espace tangent à
un diéomorphisme entre
LG
et
G en In
et l'exponentielle réalise localement
G.
5. L'image d'une sous-variété est-elle une sous-variété ?
Soient
M
et
N
deux sous-variétés et
f :M →N
une application
C ∞.
1 Donner des contre-exemples au fait que l'image d'une variété par une immersion injective propre est une sous-variété si l'on supprime immersion, injective ou propre.
2 On suppose que
f
est une immersion propre et que le cardinal de
constant. Montrer que
f (M )
est une sous-variété de
f −1 (f (x))
est ni
N.
3 On suppose que f est propre de rang constant et que le nombre de composantes
−1
connexes de f
(f (x)) est ni constant. Montrer que f (M ) est une sous-variété de N .