télécharger le PDF

c Éditions H&K
Publié dans les Annales des Concours
1/19
CCP Maths 1 PSI 2010 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été
relu par Olivier Glorieux (ENS Lyon) et Céline Chevalier (ENS Cachan).
Ce problème traite de l’interpolation polynomiale d’une fonction réelle continue
d’une variable réelle.
• La première partie définit des polynômes d’interpolation de Lagrange et étudie
l’application linéaire Λ qui, à une fonction f continue sur un segment [ a ; b ],
associe le polynôme de Lagrange Pn interpolant f en des points x0 , . . . , xn
de [ a ; b ] donnés. On montre en particulier que Λ est un endomorphisme continu
de C([ a ; b ] , R) muni de la norme infinie et l’on calcule sa norme. Lorsque
f ∈ Cn+1 ([ a ; b ] , R), on prouve également une expression de l’erreur d’interpolation Pn − f .
• La deuxième partie consiste en une étude de fonction dont le principal but est
d’obtenir, lorsque f ∈ Cn+1 ([ a ; b ] , R), une majoration uniforme de l’erreur
d’interpolation Pn − f dans le cas où les points d’interpolation sont les points
équidistants xi = a + i h avec h = (b − a) /n.
• Enfin, la troisième partie propose la démonstration d’une formule barycentrique
pour Pn en fonction des (f (xk ))k∈[[ 0 ; n ]] , puis applique cette formule à l’interpolation polynomiale de la fonction x 7→ cos (xπ/2).
D’une longueur raisonnable pour une épreuve de quatre heures, ce sujet d’analyse
fait la part belle au programme de première année (étude de fonction, polynômes, racines de polynômes et théorèmes des valeurs intermédiaire et de Rolle notamment) et
constitue une bonne occasion de réviser cette partie du programme de mathématiques
que l’on ne saurait négliger.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
2/19
Publié dans les Annales des Concours
Indications
Partie I
I.1.1 Étudier le caractère défini de la forme bilinéaire symétrique positive B sur les
deux espaces Rn [X] et C(R, R).
I.2.3 Justifier que si f ∈ Rn [X], alors Pn (f ) = f , puis
n
P
Lk (X) = 1
k=0
I.3.1 Utiliser la question I.2.1.
I.3.2 Montrer que Φ est continue sur le segment [ a ; b ].
I.3.3 Justifier et utiliser le fait que pour tout i ∈ [[ 0 ; n ]]
Ψ(xi )Li (τ ) = |Li (τ )|
I.4.1 Penser au théorème de Rolle.
I.5.1 Montrer que Pn+1 − Pn ∈ Rn+1 [X] et que x0 , . . . , xn sont racines de ce polynôme pour conclure.
II.1.2 Établir que
∀t ∈ [ 0 ; n ]
ϕ(n − t) = ϕ(t)
II.1.4 Utiliser ϕ(t − 1) > ϕ(t) pour t ∈ [ 0 ; n/2 ].
Partie II
II.2.3 Exploiter le résultat de la question II.1.4.
n
P
1
=0
k=0 tn − k
II.2.4 Justifier l’égalité
II.3.2 Montrer que tn −−−−−→ 0.
n→+∞
II.4.3 Utiliser la définition de tn , celle de ϕ et la question précédente.
II.5.1 Montrer que
|Tn+1 (x)| = hn+1 ϕ(t)
II.5.2 Utiliser la question I.5.3, puis la question précédente et la question II.4.3.
Partie III
III.2 Faire usage de la question I.2.1 et de la question précédente.
III.3.1 Justifier que
(−1)n−k
wk = n
h k! (n − k)!
et
wk
⋆
n
= (−1)
k
k
III.3.2 Se servir de la question III.2.
III.4.2 Justifier que P4n est le polynôme d’interpolation de f sur [ −2n ; 2n ] aux
points déterminés à la question précédente.
III.4.3 Se souvenir que p ∈ Z et p 6 x < p + 1.
III.4.4 Calculer f (n+1) . Utiliser la question I.5.3 et l’inégalité obtenue à la question
précédente. Montrer que θ(n, p) −−−−−→ 0 à l’aide de la formule de Stirling.
n→+∞
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
3/19
Publié dans les Annales des Concours
Partie I
I.1
Définition d’une structure euclidienne sur Rn [X]
I.1.1 Identifions les polynômes de Rn [X] avec les fonctions polynomiales de R
dans R. Puisqu’une fonction polynomiale de R dans R est continue, il vient que Rn [X]
est un sous-espace vectoriel de C(R, R). La fonction B est définie sur C(R, R)×C(R, R)
et à valeurs réelles. Elle est de plus manifestement bilinéaire, symétrique et positive.
Elle l’est de même par restriction à Rn [X] × Rn [X].
Montrons que cette restriction est définie positive sur Rn [X]. Supposons que
P ∈ Rn [X] vérifie B(P, P) = 0. Ceci s’écrit
n
P
P(xi )2 = 0
i=0
Puisque pour tout i ∈ [[ 0 ; n ]], P(xi ) ∈ R, on a P(xi )2 > 0. Or une somme de n + 1
termes positifs est nulle si et seulement si tous les termes de la somme sont nuls. Ainsi,
donc
∀i ∈ [[ 0 ; n ]]
P(xi )2 = 0
∀i ∈ [[ 0 ; n ]]
P(xi ) = 0
On en déduit que le polynôme P, de degré au plus n, admet au moins n + 1 racines
distinctes. Par conséquent, P = 0. Ceci montre que la restriction de B à Rn [X]×Rn [X]
est définie positive sur Rn [X]. En conclusion,
B définit un produit scalaire sur Rn [X].
Montrons que B n’est pas définie positive sur C(R, R). La fonction f définie
pour x ∈ R par
n
f (x) =
Π (x − xi )
i=0
est une fonction polynomiale donc continue sur R. Elle est non nulle sur R car c’est
une fonction polynomiale de degré n + 1 dont les seules racines sont x0 , . . . , xn .
En outre,
B(f, f ) =
n
P
i=0
f (xi )2 =
n
P
i=0
n
Π (xi − xj )2 =
j=0
n
P
0=0
i=0
En résumé, B(f, f ) = 0 et f 6= 0. Par suite, B n’est pas définie positive sur C(R, R).
En particulier,
B ne définit pas un produit scalaire sur C(R, R).
Même lorsque l’énoncé demande de justifier « rapidement » un fait mathématique, il ne faut pas bâcler la réponse, à plus forte raison quand il s’agit de
la première question d’une épreuve. Tout au plus peut-on passer rapidement
sur certains points faciles et néanmoins traiter sérieusement les points que
l’on juge important. Le rapport du jury précise que « nombreux sont ceux
qui sont déroutés par une question sur le produit scalaire et qui ne savent
pas faire ressortir l’essentiel, en l’occurrence le caractère défini (ou non) de
la forme bilinéaire ».
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
4/19
Publié dans les Annales des Concours
I.1.2 Introduisons le symbole de Kronecker défini pour (j, k) ∈ N2 par
1 si j = k
δj,k =
0 sinon
Soit (j, k) ∈ [[ 0 ; n ]]2 . Calculons
n
Lk (xj ) =
Π (xj − xi )
i=0 (x − x )
k
i6=k
i
Si j 6= k, alors l’un des termes du produit est (xj −xj )/(xk −xj ) = 0. Par conséquent,
dans ce cas, Lk (xj ) = 0. Si j = k, alors les n termes du produit sont égaux à 1 et
Lk (xj ) = 1. En résumé,
1 si j = k
2
∀(j, k) ∈ [[ 0 ; n ]]
Lk (xj ) =
0 sinon
Pour tout k ∈ [[ 0 ; n ]], Lk est un polynôme à coefficients réels de degré égal à n,
donc Lk ∈ Rn [X]. Soit (j, k) ∈ [[ 0 ; n ]]2 . Écrivons, à l’aide du calcul précédent,
n
n
P
P
B(Lj , Lk ) =
Lj (xi )Lk (xi ) =
δi,j δi,k
i=0
i=0
Si k 6= j, tous les termes de la somme ci-dessus sont nuls. Si k = j, alors
n
P
B(Lj , Lj ) =
δi,j 2
i=0
et le seul terme non nul dans cette somme est δj,j 2 = 12 = 1. Par conséquent,
∀(j, k) ∈ [[ 0 ; n ]]2
B(Lj , Lk ) = δj,k
On en déduit que la famille (Lk )k∈[[ 0 ; n ]] est une famille orthonormée de Rn [X].
Puisqu’elle comporte n + 1 vecteurs et que Rn [X] est de dimension n + 1, il vient que
(Lk )k∈[[ 0 ; n ]] est une base orthonormée de (Rn [X], B).
I.2
Définition de Pn (f )
I.2.1 Soit f ∈ C(R, R) et k ∈ [[ 0 ; n ]]. Calculons, à l’aide de la question précédente,
B(f, Lk ) =
=
n
P
i=0
n
P
f (xi )Lk (xi )
f (xi )δk,i
i=0
B(f, Lk ) = f (xk )
Par suite,
Pn (f )(xk ) =
=
n
P
i=0
n
P
B(f, Li )Li (xk )
B(f, Li )δi,k
d’après I.1.2
i=0
= B(f, Lk )
Pn (f )(xk ) = f (xk )
d’après le début de la question
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .