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Centrale Maths 2 PC 2007 — Énoncé
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Concours Centrale - Supélec 2007
Épreuve :
MATHÉMATIQUES II
Filière
PC
Préliminaires et notations :
• Soit n ∈ IN∗ . K désigne l’un des corps IR ou C
I .
• K [ X ] désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K .
n
• L’espace IR sera si nécessaire muni de son produit scalaire canonique, et
rapporté à la base canonique qui est orthonormale.
Partie I n
On rappelle que E = K est un espace vectoriel sur K de dimension n pour les
lois usuelles. On munit de plus E d’une multiplication notée × et définie par :
Pour tout x = ( x 1, …, x n ) et y = ( y 1, …, y n ) dans E , x × y = ( x 1 ⋅ y 1, …, x n ⋅ y n ) .
I.A - Soit x = ( x 1, …, x n ) fixé dans E . Pour P ∈ K [ X ] , on notera :
P ( x ) = ( P ( x 1 ), …, P ( x n ) ) .
I.A.1)
Vérifier que Φ : P a P ( x ) est une application linéaire de K [ X ] vers E ,
telle que Φ ( P ⋅ Q ) = Φ ( P ) × Φ ( Q ) pour tout P, Q ∈ K [ X ] .
I.A.2)
Montrer que A x = { P ( x ), P ∈ K [ X ] } est un sous-espace vectoriel de E .
Montrer que A x est stable pour × , c’est-à-dire que, si y, z ∈ A x alors y × z ∈ A x .
I.A.3)
On suppose ici x i ≠ x j pour tout i, j ∈ [[ 1, n]] tels que i ≠ j .
On note K n – 1 [ X ] l’ensemble des polynômes de K [ X ] dont le degré est inférieur
ou égal à n – 1 .
Montrer que la restriction de Φ à K n – 1 [ X ] est injective.
Montrer que A x est de dimension n .
I.B - Soit y = ( y 1, …, y n ) donné dans E , ainsi que P ∈ K [ X ] fixé de degré ≥ 1 .
On s’intéresse à l’ensemble noté R y, P : R y, P = { x ∈ E ⁄ P ( x ) = y } .
I.B.1)
Montrer que si K = C
I , R y, P n’est jamais vide.
I.B.2)
I.B.3)
Montrer que si K = IR , R y, P peut être vide : donner un exemple.
p
I , et P ( X ) = X avec p ∈ IN∗ .
On suppose K = C
Déterminer le cardinal de R y, P , noté Card ( R y, P ) , en fonction de p et de
m y = Card ( { i ∈ [[ 1, n]] ⁄ y i ≠ 0 } ) .
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I.B.4)
D’une façon générale, donner un majorant de Card ( R y, P ) en fonction de
n et du degré de P .
I.C - Pour Γ partie non vide de E , et P ∈ K [ X ] fixé de degré ≥ 1 , on s’intéresse
à l’ensemble noté R Γ, P = { x ∈ E ⁄ P ( x ) ∈ Γ } .
2
I.C.1)
Exemple 1 : On prend K = IR , n = 2 , P ( X ) = X . Déterminer et dessiner Γ et R Γ, P , dans chacun des cas suivants :
2
i) Γ = { (x, y) ∈ IR ⁄ 2x + y = 1 } ,
2
ii) Γ = { (x, y) ∈ IR ⁄ x – y = 1 } ,
2
2
2
iii) Γ = { (x, y) ∈ IR ⁄ x – y = 1 } .
2
I.C.2)
Exemple 2 : On prend K = IR , n = 3 , P ( X ) = X . Déterminer et donner la nature géométrique de Γ et R Γ, P , dans chacun des deux cas suivants :
3
i) Γ = { ( x, y, z ) ∈ IR ⁄ x + y – z = 1 } ,
3
ii) Γ = { ( x, y, z ) ∈ IR ⁄ x – y = 1 } .
3
I.C.3)
Exemple 3 : On prend K = IR , n = 2 , P ( X ) = X – X et soit :
2
Γ = { ( x, y) ∈ IR ⁄ x – y = 0 } .
Déterminer et dessiner Γ et R Γ, P .
I.D - Pour cette question, on pourra utiliser sur E la norme infinie définie par :
si x = ( x 1, …, x n ) est dans E , x ∞ = max x i .
1≤i≤n
I.D.1)
On suppose que Γ est de cardinal fini. Donner un majorant de
Card ( R Γ, P ) en fonction de Card ( Γ ) , de n et du degré de P .
I.D.2)
Si Γ est borné, montrer que R Γ, P est borné. Lorsque K = IR , donner
un exemple pour lequel Γ est non borné et R Γ, P est borné. Lorsque K = C
I , si
R Γ, P est borné, montrer que Γ est borné.
Partie II Soit V un espace vectoriel sur K de dimension finie N ≥ 1 et L ( V ) l’espace vectoriel sur K des endomorphismes de V , qui est aussi muni de la loi de composition o .
On note id V l’application identité de V dans V .
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II.A - Soit n ∈ IN* , n ≤ N .
On considère n projecteurs non nuls p 1, p 2, …, p n de
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L(V )
tels que :
n
∑
p k = id V , et p i o p j = 0 pour tout i, j ∈ [[ 1, n]] tels que i ≠ j .
k=1
n
On pose
A

n
=  ∑ x k p k ⁄ ( x 1, … , x n ) ∈ K  .
k = 1

II.A.1) Montrer que A est un K -espace vectoriel de dimension n , stable
pour o .
II.A.2) Montrer que l’application Ψ de E vers A , définie par :
n
∑
Ψ : ( x 1, …, x n ) a
xk pk
k=1
est un isomorphisme tel que, pour tout x, y ∈ E , Ψ ( x × y ) = Ψ ( x ) o Ψ ( y ) .
II.A.3) Montrer que, pour tout x ∈ E et P ∈ K [ X ] , Ψ ( P ( x ) ) = P ( Ψ ( x ) ) .
n
II.B - Soit f ∈
A , avec
f =
∑ λk pk , où ( λ1, …, λn ) ∈ K
n
.
k=1
On suppose λ i ≠ λ j pour tout i, j ∈ [[ 1, n]] tels que i ≠ j .
n
II.B.1)
Soit g ∈
A
avec g =
∑ µk pk , et P ∈ K [ X ] .
k=1
Montrer que g = P ( f ) si et seulement si P ( λ k ) = µ k pour tout k ∈ [[ 1, n]] .
II.B.2)
Montrer que pour tout
j ∈ [[ 1, n]] , il existe P j ∈ K [ X ]
tel que
p j = P j( f ) .
II.B.3)
Montrer que f est diagonalisable, et préciser ses valeurs propres.
II.C - Soit f ∈ L ( V ) supposé diagonalisable. On note λ 1, …, λ n ses valeurs propres distinctes et on pose λ = ( λ 1, …, λ n ) .
Pour P ∈ K [ X ] donné, on note R f , P = { g ∈ L ( V ) ⁄ f = P ( g ) } .
II.C.1) Donner n projecteurs non nuls p 1, p 2, …, p n tels que
n
n
∑
p k = id V , p i o p j = 0 pour tout i, j ∈ [[ 1, n]] tels que i ≠ j , et f =
∑ λk pk .
k=1
k=1
On dispose ainsi de l’application Ψ définie en II.A.
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II.C.2) Soit g ∈ R f , P .
Montrer que f o g = g o f .
Montrer que chaque sous-espace V j = ker ( f – λ j id V ) est stable par g , pour tout
j ∈ [[ 1, n]] .
On suppose que g est diagonalisable. Montrer qu’il existe une base de vecteurs
propres pour f et propres pour g .
II.C.3) Montrer que Ψ ( R λ, P ) ⊂ R f , P et que, si toutes les valeurs propres de f
sont simples, on a l’égalité Ψ ( R λ, P ) = R f , P .
r
I et que P ( X ) = X avec r ∈ IN∗ . Déterminer le cardinal
On suppose que K = C
de R f , P lorsque toutes les valeurs propres de f sont simples.
r
II.C.4) On suppose que K = C
I et que P ( X ) = X avec r ∈ IN et r ≥ 2 .
Lorsque N ≥ 2 , montrer que R idV , P est de cardinal infini.
Montrer que R f , P est de cardinal infini si et seulement si f admet au moins une
valeur propre multiple.
r
I et que P ( X ) = X avec r ∈ IN∗ .
II.C.5) On suppose que K = C
Si l’on suppose que les complexes λ 1, …, λ n sont tous non nuls, montrer que si
g ∈ R f , P , alors g est diagonalisable.
Si l’on suppose que λ 1 = 0 et que g ∈ R f , P , montrer que g est diagonalisable si
et seulement si f et g ont le même rang.
II.D - Exemple 4 : On prend K = IR , et f ∈
canonique :
L ( IR3 )
de matrice dans la base
1 1 –1
F = 1 1 1 .
1 1 1
Déterminer, par leur matrice G dans la base canonique, toutes les applications
3
2
g ∈ L ( IR ) , telles que g = f .
Partie III Dans cette partie on considère un espace vectoriel euclidien V de dimension
N ≥ 1 , muni d’un produit scalaire noté ⟨ . ,.⟩ , la norme euclidienne associée étant
notée . .
On note O ( V ) le groupe (pour la loi o ) des automorphismes orthogonaux de V .
On note de plus S ( V ) l’ensemble des endomorphismes symétriques de V .
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Soit r ∈ IN∗ donné. Pour f ∈ L ( V ) , on s’intéresse à R r ( f ) = { g ∈
et aux sous-ensembles S ( V ) ∩ R r ( f ) ou O ( V ) ∩ R r ( f ) .
L(V ) ⁄ f
r
= g }
III.A III.A.1) Montrer que si S ( V ) ∩ R r ( f ) est non vide alors f ∈ S ( V ) .
III.A.2) On suppose ici que r est pair et f ∈ S ( V ) . Montrer que S ( V ) ∩ R r ( f ) est
non vide si et seulement si toutes les valeurs propres de f sont dans IR+ .
III.A.3) On suppose ici que r est impair et f ∈ S ( V ) . Montrer que S ( V ) ∩ R r ( f )
est non vide et est réduit à un seul élément.
III.A.4) Exemple 5 :
Soit A = 1 1 .
1 1
Déterminer toutes les matrices B ∈
Déterminer toutes les matrices B ∈
M2 ( IR)
M2 ( IR)
2
telles que B = A .
3
symétriques telles que B = A .
III.B III.B.1) Montrer que si O ( V ) ∩ R r ( f ) est non vide, alors f ∈ O ( V ) .
III.B.2) Soit g ∈ O ( V ) . Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de V sta⊥
ble par g , il en est de même de son orthogonal F .
III.B.3) On suppose ici N = 2 et V orienté, et on suppose que f est la rotation
d’angle de mesure θ , avec θ ∈ IR . Déterminer O ( V ) ∩ R r ( f ) .
III.B.4) Exemple 6 :
Soit A = 0 – 1 .
1 0
Déterminer toutes les matrices B ∈
Déterminer toutes les matrices B ∈
M2 ( CI )
M2 ( IR)
2
telles que B = A .
2
orthogonales telles que B = A .
III.C - Soit F un sous-espace vectoriel de V de dimension m , et f la symétrie
orthogonale par rapport à F .
III.C.1) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur r et m pour
que R r ( f ) soit non vide, et exhiber dans ce cas un élément g ∈ O ( V ) ∩ R r ( f ) .
III.C.2) Étudier S ( V ) ∩ R r ( f ) .
3
III.D - On suppose ici que N = 3 , et on considère l’espace euclidien V = IR
orienté, muni de son produit scalaire canonique, la base canonique étant orthonormale directe.
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Soir r ∈ IN∗ , et soit f la rotation d’angle de mesure θ , avec θ ∈ IR\2πZZ , d’axe
D = IRu , où u = 1 ; f ≠ id V .
III.D.1) Déterminer O ( V ) ∩ R r ( f ) .
III.D.2) Déterminer O ( V ) ∩ R r ( – f ) .
III.D.3) Exemple 7 :
Déterminer, par leur matrice dans la base canonique, toutes les rotations g de
1
3
V , telles que g soit la rotation d’axe dirigé par u = ------- ( 0, 1, 1 ) et d’angle de
2
π
mesure --- .
2
••• FIN •••
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