télécharger le PDF

CCP Maths 1 PC 2010 — Énoncé 1/5
MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures
_______________________________________________________________________________________________
EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC
______________________
SESSION 2010 PCM1002
Les calculatrices sont interdites
∗ ∗ ∗∗
N.B. :Le candidat attacherala plus grande importance`a la clart´e, `a la pr´ecision et `a
la concision de la r´edaction.
Si un candidat est amen´e`a rep´erer ce qui peut lui sembler ˆetreune erreur d’´enonc´e, il
le signalerasur sa copie et devra poursuivresa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a ´et´eamen´e`a prendre.
∗ ∗ ∗∗
Notations et objectifs
Dans tout ce probl`eme nest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 et Eest un espace
vectoriel de dimension finie nsur le corps Rdes nombres r´eels.
L(E)d´esigne l’alg`ebre des endomorphismes de Eet GL(E)l’ensemble des endomor-
phismes de Equi sontbijectifs.
On note 0l’endomorphisme nul et id l’application identit´e.
Pour tout endomorphisme f,Ker (f)et Im (f)d´esignerontrespectivementle noyau et
l’image de f.
L’ensemble des valeurs propres de fsera not´eSp(f)et on notera :
R(f)={h∈L(E)|h2=f}
R[X]d´esigne l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels.
´
Etantdonn´ef∈L(E)et P∈R[X]donn´epar P(X)=
ℓ
X
k=0
akXk,on d´efinit
P(f)∈L(E)par :
P(f)=
ℓ
X
k=0
akfk
_______________________________________________________________________________________________
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

CCP Maths 1 PC 2010 — Énoncé 2/5
o`uf0=id et pour k∈N⋆,fk=f◦. . . ◦f
|{z }
kfois
.
Si f1,...,fqd´esignentqendomorphismes de E(q∈N⋆)alors Y
16i6q
fid´esignera l’endo-
morphisme f1◦. . . ◦fq.
Pour tout entier pnon nul, Mp(R)d´esigne l’espace des matrices carr´ees`a plignes et p
colonnes `a coefficients dans R.
Ipest la matrice identit´ede Mp(R).
L’objectif du probl`eme est d’´etudier des conditions n´ecessaires ou suffisantes `a l’existence
de racines carr´ees d’un endomorphisme fet de d´ecrire dans certains cas l’ensemble R(f).
PARTIE I
A) On d´esigne par fl’endomorphisme de R3dontla matrice dans la base canonique est
donn´ee par :
A=
8 4 −7
−8−4 8
001
1) Montrer que fest diagonalisable.
2) D´eterminer une base (v1,v2,v3)de R3form´ee devecteurs propres de fet donner la
matrice Dde fdans cette nouvelle base.
3) Soit Pla matrice de passage de la base canonique `a la base (v1,v2,v3). Soit un entier
m>1. Sans calculer l’inverse de P,exprimer Amen fonction de D,Pet P−1.
4) Calculer P−1,puis d´eterminer la matricede fmdans la base canonique.
5) D´eterminer toutes les matrices de M3(R)qui commutentavec la matrice Dtrouv´ee
`a la question 2).
6) Montrer que si H∈M3(R)v´erifie H2=D,alors Het Dcommutent.
7) D´eduire de ce quipr´ec`ede toutes les matrices Hde M3(R)v´erifiantH2=D,puis
d´eterminer tous les endomorphismes hde R3v´erifianth2=fen donnantleur matrice dans
la base canonique.
B) Soientfet jles endomorphismes de R3dontles matrices respectives Aet Jdans la
base canonique sontdonn´ees par :
A=
2 1 1
1 2 1
1 1 2
et J=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1) Calculer Jmpour tout entier m>1.
2) En d´eduire que pour tout m∈N⋆,fm=id +1
3(4m−1)j.Cette relation est-elle
encore valable pour m=0?
3) Montrer que fadmet deux valeurs propres distinctes λet µtelles que λ<µ.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

CCP Maths 1 PC 2010 — Énoncé 3/5
4) Montrer qu’il existe un unique couple (p, q)d’endomorphismes de R3tel que pour
tout entier m>0, fm=λmp+µmqet montrer que ces endomorphismes pet qsont
lin´eairementind´ependants.
5) Apr`es avoir calcul´ep2,q2,p◦qet q◦p,trouver tous les endomorphismes h,combi-
naisons lin´eaires de pet qqui v´erifienth2=f.
6) Montrerque fest diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de f.´ Ecrire
la matrice Dde f,puis la matrice de pet de qdans cette nouvelle base.
7) D´eterminer une matrice Kde M2(R)non diagonale telle que K2=I2,puis une
matrice Yde M3(R)non diagonaletelle que Y2=D.
8) En d´eduire qu’il existe un endomorphisme hde R3v´erifianth2=fqui n’est pas
combinaison lin´eaire de pet q.
9) Montrer quetous les endomorphismes hde R3v´erifianth2=fsontdiagonalisables.
PARTIE II
Soit fun endomorphisme de E.On suppose qu’il existe (λ, µ)∈R2et deux endomor-
phismes non nuls pet qde Etels que :
λ6=µet 
id =p+q
f=λp +µq
f2=λ2p+µ2q
1) Calculer (f−λid) ◦(f−µid). En d´eduire que fest diagonalisable.
2) Montrer que λet µsontvaleurs propres de fet qu’il n’y en apas d’autres.
3) D´eduire de la relation trouv´ee dans la question 1) que p◦q=q◦p=0puis montrer
que p2=pet q2=q.
4) On suppose jusqu’`ala fin de cette partie que λµ 6=0.
Montrer que fest un isomorphisme et ´ecrire f−1comme combinaison lin´eairede pet q.
5) Montrer que pour tout m∈Z:
fm=λmp+µmq
6) Soit Fle sous-espace de L(E)engendr´epar pet q.D´eterminer la dimension de F.
7) On suppose dans la suite de cette partie que λet µsontstrictementpositifs.
D´eterminer R(f)∩F.
8) Soit kun entier sup´erieur ou ´egal `a 2. D´eterminer une matrice Kde Mk(R)non
diagonale et v´erifiantK2=Ik.
9) Montrer que si l’ordre de multiplicit´ede la valeur propreλest sup´erieur ou ´egal `a
2, alors il existe un endomorphisme p′∈L(E)\Ftel que p′2=pet p′◦q=q◦p′=0.
10) En d´eduire que si dim(E)>3, alors R(f)6⊂ F.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

CCP Maths 1 PC 2010 — Énoncé 4/5
PARTIE III
Soientp1,...,pm,mendomorphismes non nuls de Eet λ1,...,λm,mnombres r´eels
distincts. Soit fun endomorphisme de Ev´erifiantpour tout entier k∈N:
fk=
m
X
i=1
λk
ipi
1) Montrer que pour tout P∈R[X], on a:
P(f)=
m
X
i=1
P(λi)pi
2) En d´eduire que
m
Y
i=1
(f−λiid) =0, puis que fest diagonalisable.
3) Pour tout entier ℓtel que 16ℓ6m,on consid`ere le polynˆome :
Lℓ(X)=Y
16i6m
i6=ℓ
(X−λi)
(λℓ−λi)
Montrer que pour tout entier ℓ,tel que 16ℓ6m,on apℓ=Lℓ(f). En d´eduire que
Im (pℓ)⊂Ker (f−λℓid), puis que le spectre de fest :
Sp(f)={λ1,...,λm}
4) V´erifier que pour tout couple d’entiers (i, j)tels que 16i, j6m,on a:
pi◦pj=0si i6=j
pisi i=j
5) Justifier le fait quela somme
m
X
i=1
Ker (f−λiid) est directe et ´egale `a Eet que les
projecteurs associ´es `a cette d´ecomposition de Esontles pi.
6) Soit Fle sous-espace vectoriel de L(E)engendr´epar {p1,...,pm}.D´eterminer la
dimension de F.
7) D´eterminer R(f)∩Fdans le cas o`uλ1,...,λmsontdes r´eels positifs ou nuls.
8) Dans cette question, on suppose de plus que m=n.
8.1) Pr´eciser alors la dimension des sous-espaces propres de f.
8.2) Montrer quesi h∈R(f), tout vecteur propre de fest ´egalementvecteur propre
de h.
8.3) En d´eduire que R(f)⊂Fet donner une condition n´ecessaire et suffisante sur
les λipour queR(f)soit non vide.
9) Montrer que si m<net si tous les λisontpositifs ou nuls, alors R(f)6⊂ F.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

CCP Maths 1 PC 2010 — Énoncé 5/5
PARTIE IV
A) Soit fun endomorphisme non nul de Etel qu’il existe un entier p>1tel que fp=0
et fp−16=0.
1) Montrer qu’il existe x∈Enon nul tel que la famille (x, f(x),f2(x),...,fp−1(x)) est
libre. En d´eduire que p6net que fn=0.
2) Montrer que si R(f)6=∅alors 2p−16n.
3) D´eterminer les r´eels a0,...,an−1tels que √1+x=
n−1
X
k=0
akxk+O(xn)au voisinage
de 0. Dans la suite, Pnd´esigne le polynˆomed´efini par Pn(X)=
n−1
X
k=0
akXk.
4) Montrer qu’il existe une fonction ηborn´ee au voisinage de 0telle que l’on ait
P2
n(x)−x−1=xnη(x). En d´eduire que Xndivise P2 n−X−1.
5) Montrer alors que R(f+id) 6=∅.Plus g´en´eralement, montrer que pour tout αr´eel,
R(αf+id) 6=∅,puis que pour tout βr´eel strictementpositif, R(f+βid) 6=∅.
B) 1) SoitT=(aij )16i,j6nune matrice triangulaire sup´erieure de Mn(R)donttous les
coefficients diagonaux sont´egaux `a un r´eel λ.
Montrer que (T−λIn)n=0.
2) On supposedans toute la suite que fest un endomorphisme de Edontle polynˆome
caract´eristique est scind´eet qui n’admet qu’une seule valeur propreλ.D´eduire de la
question pr´ec´edente que E=Ker (f−λid)n.
3) Montrer que si λ>0alors R(f)6=∅.
Fin de l’´enonc´e
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .