Mines Physique 1 MP 2012 — Énoncé 1/6
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT´
ETIENNE,MINESDENANCY,
T´
EL ´
ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI`
ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI`
ERE TSI)
CONCOURS DADMISSION 2012
PREMI `
ERE´
EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili`
ere MP
(Dur´
ee del´
epreuve:3heures)
Lusagedelacalculatrice estautoris´
e
Sujet mis `
adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPEEIVP
Lescandidats sontpri´
esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi`
erepagedelacopie:
PHYSIQUEIMP.
L´
enonc´
ede cette´
epreuve comporte6 pages.
Si, aucoursdel’´
epreuve,un candidatrep`
ere ce quiluisemble ˆ
etreune erreurd´
enonc´
e,il estinvit´
e`
ale
signalersursa copie et`
apoursuivresa compositionenexpliquant lesraisonsdes initiativesquil aura´
et´
e
amen´
e`
aprendre.
Ilnefaudrapash´
esiter`
aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´
erationsnum´
eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ
eme lorsquel’´
enonc´
enele demandepasexplicitement. Lebar`
eme tiendra compte
de ces initiativesainsiquedesqualit´
esder´
edaction dela copie.
PROPAGATION DE LALUMI`
ERE
Lobjectifde ce probl`
eme estd´
etudierdiff´
erentsaspectsdelapropagation delalumi`
ere.Dansune
premi`
erepartieon ´
etudieralemod`
eleg´
eom´
etriquedelalumi`
ere.Dansunedeuxi`
emepartie,on
mod´
eliseralalumi`
ereparuneonde ce quipermettradintroduireuneparticule appel´
ee photon.On
´
evoqueranalement lapossibilit´
edune´
eventuellemassepource photon eton essaieradentirerles
cons´
equences.
Lavaleurdesconstantesfondamentalesutilis´
eesainsiquun formulairedanalysevectoriellesont
fournisenn d´
epreuve.Hormislenombrejtelquej2=1,lesnombrescomplexes serontsou-
lign´
es,et leurscomplexesconjugu´
es serontnot´
esparlesymboleenexposant : siaetbsontdeux
r´
eelsetsiz=a+jbalorsz=ajb.Lesvecteurs serontsurmont´
esdun chapeausils sontunitaires
ou dune`
echedansle casg´
en´
eral.
I.Propagationg´
eom´
etriquedelalumi`
ere
Danslemod`
eleg´
eom´
etriquedelalumi`
ere,on repr´
esentelatrajectoiredel´
energielumineusedans
un milieu dindice der´
efraction n(M)au pointM,parune courbeg´
eom´
etriqueCnomm´
ee rayon
lumineux.Lobjectifde cettepartie est lobtention dune´
equation diff´
erentielledont lasolution admet
cette courbepourgraphe.
1RappelerlesloisdeDescartesetfaireun dessin pourlesillustrer.Aucoursdequelsi`
ecle ces
loisont-elles´
et´
epropos´
ees?
2Onconsid`
ereun dioptred´
elimitantdeux milieux dindicesconstantsn1etn2.Expliquerla
notion der´
eexion totale;D´
emontrerquil existeun angledincidence limite
α
lim pourlar´
efraction.
Onexprimera
α
lim enfonction den1etn2.
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Mines Physique 1 MP 2012 — Énoncé 2/6
On´
etudiemaintenant latrajectoiredun rayon lumineux dansun milieu non homog`
enelelong dune
direction.Onconsid`
erepourceladansun premiertemps,lemilieustrati´
erepr´
esent´
esurlagure
1:chaque couchehorizontale estrep´
er´
ee parun entieri,touteslescouchesont lamˆ
eme´
epaisseuret
lindice nidela coucheiestconstant.Onsupposenalementquelindice d´
ecroˆ
ıt avec i:pourdeux
entiersietjsii<jalorsni>nj.On note
α
ilangle entrelerayon quisepropagedansla couche
dindice niet levecteurb
ex.
3Relierlescouples(ni,
α
i)etnj,
α
jpouri6=j.Reproduirelesch´
emasurla copie etdessiner
latrajectoiredu rayon lumineux.
...
...
...
...
...
n0
ni
0
y
x
y
O
...
...
...
...
...
FIGURE1 – Milieuinhomog`
enestrati´
esuivantOy
An ded´
eterminerl´
equation diff´
erentielledelatrajectoiredu rayon lumineux,on rend lastratica-
tion innimentne:on tend versun milieucontinu.`
Alordonn´
ee y,lindice der´
efraction estn(y)
et langle entrelerayon et levecteurb
exestnot´
e
α
(y).LepointM(x,y)d´
ecrit latrajectoiredu rayon
lumineux,on notesson abscisse curviligne,cest-`
a-direlalongueurdelatrajectoireOM,etb
eslevec-
teurunitairetangent`
alatrajectoire.AinsientoutpointMdelatrajectoire,on adsb
es=dxb
ex+dyb
ey
avec b
es=cos[
α
(y)]b
ex+sin[
α
(y)]b
ey.
4D´
eterminerunequantit´
eC0constante entoutpointMdelatrajectoire enfonction den(y)et
α
(y)puisexprimern(y)enfonction deC0,dsetdx.
5Montrerquela courbeCcorrespond `
alasolution del´
equation
d2y
dx2=d
dyn2
β
2
o`
ulon exprimera
β
enfonction deC0.Quelle analogiem´
ecaniquepeut-on envisager?
6Lindice du milieus´
ecrit souslaformen2(y)=n2
0+ky2o`
un0etksontdeux constantes
r´
eelles.D´
eterminer,selon lesignedek,lexpression delatrajectoirey=y(x)passantparlorigineO
de coordonn´
eesx=0ety=0.Onexprimeray(x)enfonction dex,
α
0,ketn0.Quelest lesignedek
dansle casdun mirage etdansle casdunebreoptique.
FIN DELA PARTIEI
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Mines Physique 1 MP 2012 — Énoncé 3/6
II.Nature ondulatoire delalumi`
ere
Lalumi`
ere est`
apr´
esentmod´
elis´
ee paruneonde´
electromagn´
etiqueplanedepulsation
ω
etdevecteur
donde
k.Onassocie`
a cetteondeuneparticule,appel´
ee photon,d´
energieE
γ
=h
ω
etdequantit´
ede
mouvement
p
γ
=h
ko`
uhest la constantedePlanck.Onsupposeque cesexpressions sont toujours
valables,quelquesoit lemilieu danslequelsepropagelonde et ind´
ependammentdel´
eventuelle
massedu photon.On utiliseralesnotations suivantes:
Champ´
electrique au pointM`
alinstantt:
E(M,t),
Champmagn´
etique au pointM`
alinstantt:
B(M,t),
Champ deRiemann-Silbersteinau pointMet`
alinstantt:
Ψ(M,t)=
E(M,t)+jc
B(M,t);
Potentielscalaire au pointM`
alinstantt:V(M,t);
Potentielvectorielau pointM`
alinstantt:
A(M,t);
VecteurdePoynting au pointM`
alinstantt:
Π(M,t);
Densit´
evolumiqued´
energie´
electromagn´
etique au pointM`
alinstantt:uem(M,t);
Densit´
evolumiquede charge enM`
alinstantt:
ρ
(M,t);
Densit´
ede courantenM`
alinstantt:
j(M,t).
On pourrautiliserlevecteur
repr´
esent´
edanslabase cart´
esienneB=(b
ex,b
ey,b
ez)parletriplet
x,
y,
z.Dansler´
ef´
erentielgalil´
een{O,B},on rep`
erelepointMparlevecteur
r=
OM=xb
ex+yb
ey+zb
ez.
II.A.Propagation danslevide
7Ecrireles´
equationsdeMaxwell danslevide.Donnerlexpression de
Πetdeuemenfonction
de
Eet
Bainsiquedesconstantesutiles.En quellesunit´
es sexpriment
Πetuem?
8Enoncerl´
equation localede conservation del´
energiedanslevide,appel´
ee aussi´
equation
localedePoynting.Paranalogie avec uneou plusieurs´
equationsdebilanlocaldansdautresdomaines
delaphysiquequelon pr´
ecisera,donnerlinterpr´
etation physiquede
Πetuemainsique celledu ux
de
Π`
atraversunesurface ferm´
ee arbitraire.
9Retrouverenlesjustiant lesexpressionsde
E(M,t)et
B(M,t)enfonction despotentiels
V(M,t)et
A(M,t).En d´
eduirelexpression de
Ψ(M,t)enfonction despotentielsV(M,t)et
A(M,t).
Montrerquelesquatre´
equationsdeMaxwell en
E(M,t)et
B(M,t)ser´
eduisent`
adeux ´
equations
aux d´
eriv´
eespartiellesnefaisant intervenirque
Ψ(M,t)etc.
10 Relierchacunedesdeux grandeurs
Ψ(M,t)·
Ψ(M,t)et
Ψ(M,t)
Ψ(M,t)`
aunegrandeur
physique connue.
11 D´
eterminerl´
equation depropagation du champ
Ψ(M,t).Nommercette´
equation eten
d´
eduireles´
equationsdepropagation du champ´
electrique etmagn´
etique.Le champ´
electriques´
ecrit
sousforme complexe
E(M,t)=
E0ej(
ω
t
k.
r).En d´
eduirelarelation dedispersion reliant lanorme
du vecteurdondek=k
kket lapulsation
ω
.D´
eterminerlexpression del´
energiedu photon E
γ
en
fonction desaquantit´
edemouvement
p
γ
.
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Mines Physique 1 MP 2012 — Énoncé 4/6
Onsouhaited´
eterminerlavitessemoyenneded´
eplacementdansle
videdel´
energie´
electromagn´
etique associ´
ee `
auneondeplanemo-
nochromatiquedepulsation
ω
etdevecteurdonde~
k=kb
ez.On
consid`
erele cylindre´
el´
ementairedelongueurdetdesection dS
inclusedansleplan dondede cotezrepr´
esent´
esurlagure2.An
desimplierlemod`
ele,on supposequelonde´
etudi´
ee estpolaris´
ee
rectilignement,larepr´
esentation complexedu champ´
electrique as-
soci´
es´
ecrit donc
E(M,t)=E0ej(
ω
tkz)b
ex.FIGURE2 – Cylindre
´
el´
ementaire
12 ExprimerD
ΠEethuemi,valeursmoyennestemporelles(surunep´
eriode) respectivesde
Π
etuem,enfonction deE0etdesconstantesutiles.D´
eterminerlesdeux ´
energiesmoyennestemporelles
surunep´
eriode,celle contenuedansle cylindre´
el´
ementaire etcelletraversant l´
el´
ementdesurface
dSpendant letempsdt.Ensupposantquel´
energie´
electromagn´
etiquesed´
eplace danslevide`
ala
vitessemoyenneve=d/dt,d´
eduiredesexpressionspr´
ec´
edemmentobtenuesdanscettequestion,la
valeurdeve.
II.B.Propagation dansun di´
electrique
Onsupposemaintenantquelalumi`
eresepropagedansun di´
electriquedindice der´
efraction constant
n.Celasigniequeles´
equationsdeMaxwell sontmodi´
eesenremplac¸ant lapermittivit´
edu vide
ε
0
parunepermittivit´
en2
ε
0.
13 Quelle est lanouvellerelation dedispersion ?Quelle est lavitessedephasedelonde ?
14 Onconsid`
erelinterface plane entre
deux di´
electriquesdindice n1etn2repr´
esent´
ee
surlagure3.Linterface estdansleplanOxy,
sataillesuivant laxeOyestsuppos´
ee tr`
esgrande
devantsalongueurLsuivant laxeOx.Uneonde
planedepulsation
ω
arrive avec un angledin-
cidence
α
surlinterface.Onmod´
eliselinter-
face commeunepupilledediffraction suivant
laxeOx.Calculerl´
eclairementI(
θ
)dansladi-
rection
θ
.Dansquelledirection trouve-t-on le
maximumdediffraction ?Conclure.On noteraI0
l´
eclairementmaximum.
FIGURE3 – Interface entrelesdeux di´
electriques
II.C.Propagation delondelumineuseavec unemassedephoton non nulle
Onsuppose`
apr´
esentet jusqu`
alan du probl`
emequelephoton poss`
edeunemassem
γ
non nulle.
Dansce cas,son ´
energie,saquantit´
edemouvementetsamassedoiventv´
erierlarelation :
E2
γ
=p2
γ
c2+m2
γ
c4.(1)
o`
uE
γ
etp
γ
repr´
esentent toujoursl´
energie et limpulsion du photon donn´
eesenintroduction dela
partieII.
15 Quelle est ladimension dela constante
δ
=h
m
γ
c?
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Mines Physique 1 MP 2012 — Énoncé 5/6
16 D´
eterminerlanouvellerelation dedispersion entre
ω
,k,cet
δ
.En d´
eduirel´
equation
aux d´
eriv´
eespartiellesdont les solutions sont lesformulationscomplexesdeschamps´
electrique
etmagn´
etique
E(M,t)=
E0ej(
ω
t
k.
r)et
B(M,t)=
B0ej(
ω
t
k.
r).Cette´
equation estappel´
ee
´
equation deKlein-Gordon .
Onsouhaiteg´
en´
eraliserles´
equationsdeMaxwell demani`
ere`
a ce quellespermettentderetrou-
verl´
equation deKlein-Gordon.Pourconserverlalin´
earit´
ede ces´
equations,on effectuedeux hy-
poth`
eses:
H1Lesdensit´
esde charge etde courantsontmodi´
eesdefac¸on additiveparlexistence dune
massepourlephoton
ρ
(M,t)estremplac´
epar
ρ
(M,t)+f(M,t)
j(M,t)estremplac´
epar
j(M,t)+
F(M,t)
o`
uf(M,t)et
F(M,t)sontdeschamps scalairesetvectoriels.
H2Lexpression deschamps
E(M,t)et
B(M,t)enfonction despotentielsV(M,t)et
A(M,t)
nestpasmodi´
ee parlintroduction delamassedu photon.
17 R´
e´
ecrireles´
equationsdeMaxwell danslevidesouslhypoth`
eseH1.Montrerquelhy-
poth`
eseH2nestpasencontradiction avec ces´
equations.En´
ecrivant lesnouvelles´
equationsde
propagation,montrerquelon peutxerdesconditionsditesdejaugepourlesquelles
A=
σ
1
Fetf=
σ
2V
o`
ulon d´
eterminera
σ
1et
σ
2enfonction de
δ
et
µ
0ou
ε
0.Onconservera cesconditionsdanslasuite
du probl`
eme.
18 D´
emontrerque
V
t=
χ
div(
A).
o`
ulon d´
eterminera
χ
enfonction dec.Onsupposeraque cetterelation est toujoursvalabledanstout
lerestedu probl`
eme.
19 D´
eterminerlesdeux ´
equationsdeMaxwell v´
eri´
eesparle champ
Ψ(M,t).En d´
eduireque
Ψ(M,t),V(M,t)et
A(M,t)sontaussisolutionsdel´
equation deKlein-Gordon.
Unesource ´
emetuneondeplaneprogressivesepropageant lelong delaxeOz.Elle estd´
ecrite
parlepotentielvecteurcomplexe~
A(M,t)=~
A0ej(
ω
tkz)et lepotentielscalaire complexeV(M,t)=
V0ej(
ω
tkz).On d´
ecompose~
A0=~
A|| +~
Ao`
u~
A|| est laprojection de~
A0surlaxedepropagation et~
A
est laprojection de~
A0dansleplan perpendiculaire`
alaxedepropagation.Levecteurdondes´
ecrit
~
k=kb
ez.
20 Montrerquelarelation dedispersion associ´
ee `
alapropagation de cetteondes´
ecrit sousla
formek2c2=
ω
2
ω
2
po`
u
ω
pestunepulsation de coupurequelon d´
eterminera.
21 D´
eterminerlexpression desvecteurs~
E0et~
B0telsque~
E=~
E0ej(
ω
tkz)et~
B=~
B0ej(
ω
tkz).
Onexprimera~
B0enfonction~
k,~
A|| et/ou ~
Apuis~
E0enfonction enfonction de
ω
,
ω
p,~
A|| et/ou ~
A.
Quen d´
eduiredelanaturetransversedu champ´
electromagn´
etiquesi lamassedu photon estnon
nulle ?
22 Etudierenfonction delaposition de
ω
par rapport`
a
ω
p,lexistence duneondeprogressive.
Calculerdansce caslavitessedephase eten d´
eduirel´
evolution dun paquetdonde.
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