propagation de la lumi`ere

´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT–´ ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´ EL´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2012
PREMI` ERE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere MP
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 3 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE I — MP.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` a le
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. Le bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
PROPAGATION DE LA LUMI` ERE
L’objectif de ce probl` eme est d’´ etudier diff´ erents aspects de la propagation de la lumi` ere. Dans une
premi` ere partie on ´ etudiera le mod` ele g´ eom´ etrique de la lumi` ere. Dans une deuxi` eme partie, on
mod´ elisera la lumi` ere par une onde ce qui permettra d’introduire une particule appel´ ee photon. On
´
evoquera finalement la possibilit´ e d’une ´ eventuelle masse pour ce photon et on essaiera d’en tirer les
cons´ equences.
La valeur des constantes fondamentales utilis´ ees ainsi qu’un formulaire d’analyse vectorielle sont
fournis en fin d’´ epreuve. Hormis le nombre jtel que j2=−1, les nombres complexes seront sou-
lign´ es, et leurs complexes conjugu´ es seront not´ es par le symbole ∗en exposant : si aet bsont deux
r´ eels et si z=a+jb alors z∗=a−jb. Les vecteurs seront surmont´
es d’un chapeau s’ils sont unitaires
ou d’une fl` eche dans le cas g´ en´ eral.
I. — Propagation g´ eom´ etrique de la lumi` ere
Dans le mod` ele g´ eom´ etrique de la lumi` ere, on repr´ esente la trajectoire de l’´ energie lumineuse dans
un milieu d’indice de r´ efraction n(M)au point M, par une courbe g´ eom´ etrique Cnomm´ ee rayon
lumineux. L’objectif de cette partie est l’obtention d’une ´ equation diff´ erentielle dont la solution admet
cette courbe pour graphe.
1 — Rappeler les lois de Descartes et faire un dessin pour les illustrer. Au cours de quel si` ecle ces
lois ont-elles ´ et´ e propos´ ees?
2 — On consid` ere un dioptre d´ elimitant deux milieux d’indices constants n1et n2. Expliquer la
notion de r´ eflexion totale; D´ emontrer qu’il existe un angle d’incidence limite α
lim pour la r´
efraction.
On exprimera
α
lim en fonction de n1et n2.

Propagation de la lumi` ere
On ´ etudie maintenant la trajectoire d’un rayon lumineux dans un milieu non homog` ene le long d’une
direction. On consid` ere pour cela dans un premier temps, le milieu stratifi´ e repr´ esent´ e sur la figure
1 : chaque couche horizontale est rep´ er´ ee par un entier i, toutes les couches ont la mˆ eme ´ epaisseur et
l’indice nide la couche iest constant. On suppose finalement que l’indice d´ ecroˆ ıt avec i: pour deux
entiers iet jsi i<jalors ni>nj. On note α
il’angle entre le rayon qui se propage dans la couche
d’indice niet le vecteur b ex.
3 — Relier les couples (ni, α
i)et nj,
α
jpour i6=j. Reproduire le sch´
ema sur la copie et dessiner
la trajectoire du rayon lumineux.
... ... ... ... ...
n0
ni
0
y
x
y
O
... ... ... ... ...
FIGURE 1 – Milieu inhomog` ene stratifi´ e suivant Oy
Afin de d´ eterminer l’´ equation diff´ erentielle de la trajectoire du rayon lumineux, on rend la stratifica-
tion infiniment fine : on tend vers un milieu continu. ` A l’ordonn´ ee y, l’indice de r´ efraction est n(y)
et l’angle entre le rayon et le vecteur b exest not´ e
α (y). Le point M(x,y)d´ ecrit la trajectoire du rayon
lumineux, on note sson abscisse curviligne, c’est-` a-dire la longueur de la trajectoire OM, et b esle vec-
teur unitaire tangent ` a la trajectoire. Ainsi en tout point Mde la trajectoire, on a dsb es=dxb ex+dyb ey
avec b es=cos[
α (y)] b ex+sin[ α (y)] b ey.
4 — D´ eterminer une quantit´ eC0constante en tout point Mde la trajectoire en fonction de n(y)et
α (y)puis exprimer n(y)en fonction de C0, dset dx.
5 — Montrer que la courbe Ccorrespond ` a la solution de l’´ equation
d2y
dx2=−d dy−n2 β
2
o` u l’on exprimera
β en fonction de C0. Quelle analogie m´ ecanique peut-on envisager?
6 — L’indice du milieu s’´ ecrit sous la forme n2(y) = n2
0+ky2o`
un0et ksont deux constantes
r´ eelles. D´ eterminer, selon le signe de k, l’expression de la trajectoire y=y(x)passant par l’origine O
de coordonn´ ees x=0 et y=0. On exprimera y(x)en fonction de x,
α
0,ket n0. Quel est le signe de k
dans le cas d’un mirage et dans le cas d’une fibre optique.
FIN DE LA PARTIE I
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Physique I, ann´ ee 2012 — fili` ere MP
II. — Nature ondulatoire de la lumi` ere
La lumi` ere est ` a pr´ esent mod´ elis´ ee par une onde ´ electromagn´ etique plane de pulsation
ω et de vecteur
d’onde −→ k. On associe ` a cette onde une particule, appel´ ee photon, d’´ energie E
γ
=h ω et de quantit´ e de
mouvement −→ p
γ
=h−→
ko` uhest la constante de Planck. On suppose que ces expressions sont toujours
valables, quel que soit le milieu dans lequel se propage l’onde et ind´ ependamment de l’´ eventuelle
masse du photon. On utilisera les notations suivantes :
– Champ ´ electrique au point M` a l’instant t:−→ E(M,t),
– Champ magn´ etique au point M` a l’instant t:−→ B(M,t),
– Champ de Riemann-Silberstein au point Met ` a l’instant t:−→ Ψ(M,t) = −→
E(M,t) + jc−→ B(M,t);
– Potentiel scalaire au point M` a l’instant t:V(M,t);
– Potentiel vectoriel au point M` a l’instant t:−→ A(M,t);
– Vecteur de Poynting au point M` a l’instant t:−→ Π(M,t);
– Densit´ e volumique d’´ energie ´ electromagn´ etique au point M` a l’instant t:uem(M,t);
– Densit´ e volumique de charge en M` a l’instant t:
ρ (M,t);
– Densit´ e de courant en M` a l’instant t:−→ j(M,t).
On pourra utiliser le vecteur −→ ∇repr´ esent´ e dans la base cart´ esienne B= ( b ex,b ey,b ez)par le triplet
∂
∂ x,
∂
∂ y,
∂
∂ z. Dans le r´
ef´ erentiel galil´ een {O,B}, on rep` ere le point Mpar le vecteur
−→
r=−−→ OM =xb ex+yb ey+zb ez.
II.A. — Propagation dans le vide
7 — Ecrire les ´ equations de Maxwell dans le vide. Donner l’expression de −→ Πet de uem en fonction
de −→ Eet −→ Bainsi que des constantes utiles. En quelles unit´ es s’expriment −→ Πet uem ?
8 — Enoncer l’´ equation locale de conservation de l’´ energie dans le vide, appel´ ee aussi ´ equation
locale de Poynting. Par analogie avec une ou plusieurs ´ equations de bilan local dans d’autres domaines
de la physique que l’on pr´ ecisera, donner l’interpr´ etation physique de −→ Πet uem ainsi que celle du flux
de −→ Π` a travers une surface ferm´ ee arbitraire.
9 — Retrouver en les justifiant les expressions de −→ E(M,t)et −→ B(M,t)en fonction des potentiels
V(M,t)et −→ A(M,t). En d´ eduire l’expression de −→ Ψ(M,t)en fonction des potentielsV(M,t)et −→
A(M,t).
Montrer que les quatre ´ equations de Maxwell en −→ E(M,t)et −→ B(M,t)se r´ eduisent ` a deux ´ equations
aux d´ eriv´ ees partielles ne faisant intervenir que −→ Ψ(M,t)et c.
10 — Relier chacune des deux grandeurs −→ Ψ∗(M,t)·−→
Ψ(M,t)et −→
Ψ∗(M,t)∧−→
Ψ(M,t)`
a une grandeur
physique connue.
11 — D´ eterminer l’´ equation de propagation du champ −→ Ψ(M,t). Nommer cette ´ equation et en
d´ eduire les ´ equations de propagation du champ ´ electrique et magn´ etique. Le champ ´ electrique s’´ ecrit
sous forme complexe −→ E(M,t) = −→
E0ej(
ω t−−→ k.−→ r). En d´
eduire la relation de dispersion reliant la norme
du vecteur d’onde k=k−→ kket la pulsation
ω . D´ eterminer l’expression de l’´ energie du photon E
γ
en
fonction de sa quantit´ e de mouvement −→ p
γ
.
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Propagation de la lumi` ere
On souhaite d´ eterminer la vitesse moyenne de d´ eplacement dans le
vide de l’´ energie ´ electromagn´ etique associ´ ee ` a une onde plane mo-
nochromatique de pulsation
ω et de vecteur d’onde ~ k=kb ez. On
consid` ere le cylindre ´ el´ ementaire de longueur dℓet de section dS
incluse dans le plan d’onde de cote zrepr´ esent´ e sur la figure 2. Afin
de simplifier le mod` ele, on suppose que l’onde ´ etudi´ ee est polaris´ ee
rectilignement, la repr´ esentation complexe du champ ´ electrique as-
soci´ e s’´ ecrit donc −→ E(M,t) = E0ej(
ω t−kz)b
ex.FIGURE 2 – Cylindre
´
el´ ementaire
12 — Exprimer D−→ ΠEet huemi, valeurs moyennes temporelles (sur une p´
eriode) respectives de −→ Π
et uem, en fonction de E0et des constantes utiles. D´ eterminer les deux ´ energies moyennes temporelles
sur une p´ eriode, celle contenue dans le cylindre ´ el´ ementaire et celle traversant l’´ el´ ement de surface
dSpendant le temps dt. En supposant que l’´ energie ´ electromagn´ etique se d´ eplace dans le vide ` a la
vitesse moyenne ve=dℓ/dt, d´ eduire des expressions pr´ ec´ edemment obtenues dans cette question, la
valeur de ve.
II.B. — Propagation dans un di´ electrique
On suppose maintenant que la lumi` ere se propage dans un di´ electrique d’indice de r´ efraction constant
n. Cela signifie que les ´ equations de Maxwell sont modifi´ ees en remplac¸ant la permittivit´ e du vide
ε
0
par une permittivit´ en2
ε
0.
13 — Quelle est la nouvelle relation de dispersion? Quelle est la vitesse de phase de l’onde?
14 — On consid` ere l’interface plane entre
deux di´ electriques d’indice n1et n2repr´ esent´ ee
sur la figure 3 . L’interface est dans le plan Oxy,
sa taille suivant l’axe Oy est suppos´ ee tr` es grande
devant sa longueur Lsuivant l’axe Ox. Une onde
plane de pulsation
ω arrive avec un angle d’in-
cidence
α sur l’interface. On mod´ elise l’inter-
face comme une pupille de diffraction suivant
l’axe Ox. Calculer l’´ eclairement I(
θ )dans la di-
rection
θ . Dans quelle direction trouve-t-on le
maximum de diffraction ? Conclure. On notera I0
l’´ eclairement maximum. FIGURE 3 – Interface entre les deux di´
electriques
II.C. — Propagation de l’onde lumineuse avec une masse de photon non nulle
On suppose ` a pr´ esent et jusqu’` a la fin du probl` eme que le photon poss` ede une masse m
γ
non nulle.
Dans ce cas, son ´ energie, sa quantit´ e de mouvement et sa masse doivent v´ erifier la relation :
E2
γ
=p2
γ
c2+m2
γ
c4.(1)
o` uE
γ
et p
γ
repr´ esentent toujours l’´ energie et l’impulsion du photon donn´ ees en introduction de la
partie II.
15 — Quelle est la dimension de la constante δ =h
m
γ
c?
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Physique I, ann´ ee 2012 — fili` ere MP
16 — D´ eterminer la nouvelle relation de dispersion entre ω ,k,cet δ . En d´ eduire l’´ equation
aux d´ eriv´ ees partielles dont les solutions sont les formulations complexes des champs ´ electrique
et magn´ etique −→ E(M,t) = −→
E0ej(
ω t−−→ k.−→ r)et −→
B(M,t) = −→
B0ej(
ω t−−→ k.−→ r). Cette ´
equation est appel´ ee
≪´
equation de Klein-Gordon ≫.
On souhaite g´ en´ eraliser les ´ equations de Maxwell de mani` ere ` a ce qu’elles permettent de retrou-
ver l’´ equation de Klein-Gordon. Pour conserver la lin´ earit´ e de ces ´ equations, on effectue deux hy-
poth` eses :
– H1 Les densit´
es de charge et de courant sont modifi´ ees de fac¸on additive par l’existence d’une
masse pour le photon
ρ (M,t)est remplac´ e par ρ (M,t) + f(M,t)
−→
j(M,t)est remplac´ e par −→ j(M,t) + −→ F(M,t)
o` uf(M,t)et −→ F(M,t)sont des champs scalaires et vectoriels.
– H2 L’expression des champs −→ E(M,t)et −→ B(M,t)en fonction des potentiels V(M,t)et −→ A(M,t)
n’est pas modifi´ ee par l’introduction de la masse du photon.
17 — R´ e´ ecrire les ´ equations de Maxwell dans le vide sous l’hypoth` ese H1 . Montrer que l’hy-
poth` ese H2 n’est pas en contradiction avec ces ´
equations. En ´ ecrivant les nouvelles ´ equations de
propagation, montrer que l’on peut fixer des conditions dites de jauge pour lesquelles
−→
A=
σ
1−→
Fet f=
σ
2V
o` u l’on d´ eterminera
σ
1et
σ
2en fonction de
δ et µ
0ou
ε
0. On conservera ces conditions dans la suite
du probl` eme.
18 — D´ emontrer que
∂ V
∂ t=
χ div(−→ A).
o` u l’on d´ eterminera χ en fonction de c. On supposera que cette relation est toujours valable dans tout
le reste du probl` eme.
19 — D´ eterminer les deux ´ equations de Maxwell v´ erifi´ ees par le champ −→ Ψ(M,t). En d´ eduire que
−→
Ψ(M,t),V(M,t)et −→
A(M,t)sont aussi solutions de l’´ equation de Klein-Gordon.
Une source ´ emet une onde plane progressive se propageant le long de l’axe Oz. Elle est d´ ecrite
par le potentiel vecteur complexe ~ A(M,t) = ~
A0ej(
ω t−kz)et le potentiel scalaire complexe V(M,t) =
V0ej(
ω t−kz). On d´
ecompose~ A0=~ A|| +~ A⊥o` u~ A|| est la projection de~ A0sur l’axe de propagation et~ A⊥
est la projection de ~ A0dans le plan perpendiculaire ` a l’axe de propagation. Le vecteur d’onde s’´ ecrit
~
k=kb ez.
20 — Montrer que la relation de dispersion associ´ ee ` a la propagation de cette onde s’´ ecrit sous la
forme k2c2=
ω
2−
ω
2
po`
u
ω
pest une pulsation de coupure que l’on d´
eterminera.
21 — D´ eterminer l’expression des vecteurs ~ E0et ~
B0tels que ~ E=~
E0ej(
ω t−kz)et ~
B=~
B0ej(
ω t−kz).
On exprimera ~ B0en fonction~
k,~ A|| et/ou ~ A⊥puis ~ E0en fonction en fonction de
ω , ω
p,~
A|| et/ou ~ A⊥.
Qu’en d´ eduire de la nature transverse du champ ´ electromagn´ etique si la masse du photon est non
nulle?
22 — Etudier en fonction de la position de ω par rapport ` a ω
p, l’existence d’une onde progressive.
Calculer dans ce cas la vitesse de phase et en d´ eduire l’´ evolution d’un paquet d’onde.
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