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Mines Physique 1 PC 2012 — Énoncé 1/6
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2012
PREMI ` ERE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PC
(Dur´ ee del’´ epreuve:3heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujet mis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEI—PC.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte6 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquant lesraisonsdes initiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Lebar` eme tiendra compte
de ces initiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
PROPAGATION DE LALUMI` ERE
L’objectifde ce probl` eme estd’´ etudierdiff´ erentsaspectsdelapropagation delalumi` ere.Dansune
premi` erepartieon ´ etudieralemod` eleg´ eom´ etriquedelalumi` ere.Dansunedeuxi` emepartie,on
mod´ eliseralalumi` ereparuneonde ce quipermettrad’introduireuneparticule appel´ ee photon.On
´
evoquerafinalement lapossibilit´ ed’une´ eventuellemassepource photon eton essaierad’entirerles
cons´ equences.
Lavaleurdesconstantesfondamentalesutilis´ eesainsiqu’un formulaired’analysevectoriellesont
fournisenfin d’´ epreuve.Hormislenombrejtelquej2=−1,lesnombrescomplexes serontsou-
lign´ es,et leurscomplexesconjugu´ es serontnot´ esparlesymbole∗enexposant : siaetbsontdeux
r´ eelsetsiz=a+jbalorsz∗=a−jb.Lesvecteurs serontsurmont´
esd’un chapeaus’ils sontunitaires
ou d’unefl` echedansle casg´ en´ eral.
I.—Propagationg´ eom´ etriquedelalumi` ere
Danslemod` eleg´ eom´ etriquedelalumi` ere,on repr´ esentelatrajectoiredel’´ energielumineusedans
un milieu d’indice der´ efraction n(M)au pointM,parune courbeg´ eom´ etriqueCnomm´ ee rayon
lumineux.L’objectifde cettepartie est l’obtention d’une´ equation diff´ erentielledont lasolution admet
cette courbepourgraphe.
1—D´ efinirlanotion demilieulin´ eaire,homog` ene,transparentet isotrope.Quelle est latrajectoire
d’un rayon lumineux dansun telmilieu?
2—RappelerlesloisdeDescartesetfaireun dessin pourlesillustrer.Aucoursdequelsi` ecle ces
loisont-elles´ et´ epropos´ ees?
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3—Onconsid` ereun dioptred´ elimitantdeux milieux d’indice constantsn1etn2.Expliquerla
notion der´ eflexion totale;D´ emontrerqu’il existeun angled’incidence limite
α
lim pourlar´
efraction.
Onexprimera
α
lim enfonction den1etn2.
On´ etudiemaintenant latrajectoired’un rayon lumineux dansun milieu non homog` enelelong d’une
direction.Onconsid` erepourceladansun premiertemps,lemilieustratifi´ erepr´ esent´ esurlafigure
1:chaque couchehorizontale estrep´ er´ ee parun entieri,touteslescouchesont lamˆ eme´ epaisseuret
l’indice nidela coucheiestconstant.Onsupposefinalementquel’indice d´ ecroˆ ıt avec i:pourdeux
entiersietjsii<jalorsni>nj.On note
α
il’angle entrelerayon quisepropagedansla couche
d’indice niet levecteurb ex.
4—Relierlescouples(ni, α
i)etnj,
α
jpouri6=j.Reproduirelesch´
emasurla copie etdessiner
latrajectoiredu rayon lumineux.
... ... ... ... ...
n0
ni
0
y
x
y
O
... ... ... ... ...
FIGURE1 – Milieuinhomog` enestratifi´ esuivantOy
Afin ded´ eterminerl’´ equation diff´ erentielledelatrajectoiredu rayon lumineux,on rend lastratifica-
tion infinimentfine:on tend versun milieucontinu.` Al’ordonn´ ee y,l’indice der´ efraction estn(y)
et l’angle entrelerayon et levecteurb exestnot´ e
α (y).LepointM(x,y)d´ ecrit latrajectoiredu rayon
lumineux,on notesson abscisse curviligne,c’est-` a-direlalongueurdelatrajectoireOM,etb eslevec-
teurunitairetangent` alatrajectoire.AinsientoutpointMdelatrajectoire,on adsb es=dxb ex+dyb ey
avec b es=cos[
α (y)]b ex+sin[ α (y)]b ey.
5—D´ eterminerunequantit´ eC0constante entoutpointMdelatrajectoire enfonction den(y)et
α (y)puisexprimern(y)enfonction deC0,dsetdx.
6—Montrerquela courbeCcorrespond ` alasolution del’´ equation
d2y
dx2=−d dy−n2 β
2
o` ul’on exprimera
β enfonction deC0.Quelle analogiem´ ecaniquepeut-on envisager?En utilisant
cette analogie,retrouverler´ esultatdelaquestion 1.
7—L’indice du milieus’´ ecrit souslaformen2(y)=n2
0+ky2o`
un0etksontdeux constantes
r´ eelles.D´ eterminer,selon lesignedek,l’expression delatrajectoirey=y(x)passantparl’origineO
de coordonn´ eesx=0ety=0.Onexprimeray(x)enfonction dex,
α
0,ketn0.Quelest lesignedek
dansle casd’un mirage etdansle casd’unefibreoptique.
FIN DELA PARTIEI
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II.—Nature ondulatoire delalumi` ere
Lalumi` ere est` apr´ esentmod´ elis´ ee paruneonde´ electromagn´ etiqueplanedepulsation
ω etdevecteur
d’onde−→ k.Onassocie` a cetteondeuneparticule,appel´ ee photon,d’´ energieE
γ
=h ω etdequantit´ ede
mouvement−→ p
γ
=h−→
ko` uhest la constantedePlanck.Onsupposeque cesexpressions sont toujours
valables,quelquesoit lemilieu danslequelsepropagel’onde et ind´ ependammentdel’´ eventuelle
massedu photon.On utiliseralesnotations suivantes:
–Champ´ electrique au pointM` al’instantt:−→ E(M,t),
–Champmagn´ etique au pointM` al’instantt:−→ B(M,t),
–Champ deRiemann-Silbersteinau pointMet` al’instantt:−→ Ψ(M,t)=−→
E(M,t)+jc−→ B(M,t);
–Potentielscalaire au pointM` al’instantt:V(M,t);
–Potentielvectorielau pointM` al’instantt:−→ A(M,t);
–VecteurdePoynting au pointM` al’instantt:−→ Π(M,t);
–Densit´ evolumiqued’´ energie´ electromagn´ etique au pointM` al’instantt:uem(M,t);
–Densit´ evolumiquede charge enM` al’instantt:
ρ (M,t);
–Densit´ ede courantenM` al’instantt:−→ j(M,t).
On pourrautiliserlevecteur−→ ∇repr´ esent´ edanslabase cart´ esienneB=(b ex,b ey,b ez)parletriplet
∂
∂ x,
∂
∂ y,
∂
∂ z.Dansler´
ef´ erentielgalil´ een{O,B},on rep` erelepointMparlevecteur
−→
r=−−→ OM=xb ex+yb ey+zb ez.
II.A.—Propagation danslevide
8—Ecrireles´ equationsdeMaxwell danslevide.Donnerl’expression de−→ Πetdeuemenfonction
de−→ Eet−→ Bainsiquedesconstantesutiles.En quellesunit´ es s’expriment−→ Πetuem?
9—Enoncerl’´ equation localede conservation del’´ energiedanslevide,appel´ ee aussi´ equation
localedePoynting.Paranalogie avec uneou plusieurs´ equationsdebilanlocaldansd’autresdomaines
delaphysiquequel’on pr´ ecisera,donnerl’interpr´ etation physiquede−→ Πetuemainsique celledu flux
de−→ Π` atraversunesurface ferm´ ee arbitraire.
10 —Retrouverenlesjustifiant lesexpressionsde−→ E(M,t)et−→ B(M,t)enfonction despotentiels
V(M,t)et−→ A(M,t).En d´ eduirel’expression de−→ Ψ(M,t)enfonction despotentielsV(M,t)et−→
A(M,t).
Montrerquelesquatre´ equationsdeMaxwell en−→ E(M,t)et−→ B(M,t)ser´ eduisent` adeux ´ equations
aux d´ eriv´ eespartiellesnefaisant intervenirque−→ Ψ(M,t)etc.
11 —Relierchacunedesdeux grandeurs−→ Ψ∗(M,t)·−→
Ψ(M,t)et−→
Ψ∗(M,t)∧−→
Ψ(M,t)`
aunegrandeur
physique connue.
12 —D´ eterminerl’´ equation depropagation du champ−→ Ψ(M,t).Nommercette´ equation eten
d´ eduireles´ equationsdepropagation du champ´ electrique etmagn´ etique.Dansle cas´ etudi´ e,le champ
´
electriques’´ ecrit sousforme complexe−→ E(M,t)=−→
E0ej(
ω t−−→ k.−→ r).En d´
eduirelarelation dedis-
persion reliant lanormedu vecteurd’ondek=k−→ kket lapulsation
ω .D´ eterminerl’expression de
l’´ energiedu photon E
γ
enfonction desaquantit´ edemouvement−→ p
γ
.
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Onsouhaited´ eterminerlavitessemoyenneded´ eplacementdansle
videdel’´ energie´ electromagn´ etique associ´ ee ` auneondeplanemo-
nochromatiquedepulsation
ω etdevecteurd’onde~ k=kb ez.On
consid` erele cylindre´ el´ ementairedelongueurdℓetdesection dS
inclusedansleplan d’ondede cotezrepr´ esent´ esurlafigure2.Afin
desimplifierlemod` ele,on supposequel’onde´ etudi´ ee estpolaris´ ee
rectilignement,larepr´ esentation complexedu champ´ electrique as-
soci´ es’´ ecrit donc−→ E(M,t)=E0ej(
ω t−kz)b
ex.FIGURE2 – Cylindre
´
el´ ementaire
13 —ExprimerD−→
ΠEethuemi,valeursmoyennestemporelles(surunep´ eriode) respectivesde−→ Π
etuem,enfonction deE0etdesconstantesutiles.D´ eterminerlesdeux ´ energiesmoyennestemporelles
surunep´ eriode,celle contenuedansle cylindre´ el´ ementaire etcelletraversant l’´ el´ ementdesurface
dSpendant letempsdt.Ensupposantquel’´ energie´ electromagn´ etiquesed´ eplace danslevide` ala
vitessemoyenneve=dℓ/dt,d´ eduiredesexpressionspr´ ec´ edemmentobtenuesdanscettequestion,la
valeurdeve.
II.B.—Propagation dansun di´ electrique
Onsupposemaintenantquelalumi` eresepropagedansun di´ electriqued’indice der´ efraction constant
n.Celasignifiequeles´ equationsdeMaxwell sontmodifi´ eesenremplac¸ant lapermittivit´ edu vide
ε
0
parunepermittivit´ en2
ε
0.
14 —Quelle est lanouvellerelation dedispersion ?Quelle est lavitessedephasedel’onde ?
15 —Onconsid` erel’interface plane entre
deux di´ electriquesd’indice n1etn2repr´ esent´ ee
surlafigure3.L’interface estdansleplanOxy,
sataillesuivant l’axeOyestsuppos´ ee tr` esgrande
devantsalongueurLsuivant l’axeOx.Uneonde
planedepulsation
ω arrive avec un angled’in-
cidence α surl’interface.Onmod´ elisel’inter-
face commeunepupilledediffraction suivant
l’axeOx.Calculerl’´ eclairementI(
θ )dansladi-
rection
θ .Dansquelledirection trouve-t-on le
maximumdediffraction ?Conclure.On noteraI0
l’´ eclairementmaximum.
FIGURE3 – Interface entrelesdeux di´ electriques
II.C.—Propagation del’ondelumineuseavec unemassedephoton non nulle
Onsuppose` apr´ esentet jusqu’` alafin du probl` emequelephoton poss` edeunemassem
γ
non nulle.
Dansce cas,son ´ energie,saquantit´ edemouvementetsamassedoiventv´ erifierlarelation :
E2
γ
=p2
γ
c2+m2
γ
c4.(1)
o` uE
γ
etp
γ
repr´ esentent toujoursl’´ energie et l’impulsion du photon donn´ eesenintroduction dela
partieII.
16 —Quelle est ladimension dela constante δ =h
m
γ
c?
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17 —D´ eterminerlanouvellerelation dedispersion entre ω ,k,cet δ .En d´ eduirel’´ equation
aux d´ eriv´ eespartiellesdont les solutions sont lesformulationscomplexesdeschamps´ electrique
etmagn´ etique−→ E(M,t)=−→
E0ej(
ω t−−→ k.−→ r)et−→
B(M,t)=−→
B0ej(
ω t−−→ k.−→ r).Cette´
equation estappel´ ee
≪´
equation deKlein-Gordon ≫.
Onsouhaiteg´ en´ eraliserles´ equationsdeMaxwell demani` ere` a ce qu’ellespermettentderetrou-
verl’´ equation deKlein-Gordon.Pourconserverlalin´ earit´ ede ces´ equations,on effectuedeux hy-
poth` eses:
–H1Lesdensit´
esde charge etde courantsontmodifi´ eesdefac¸on additiveparl’existence d’une
massepourlephoton
ρ (M,t)estremplac´ epar ρ (M,t)+f(M,t)
−→
j(M,t)estremplac´ epar−→ j(M,t)+−→ F(M,t)
o` uf(M,t)et−→ F(M,t)sontdeschamps scalairesetvectoriels.
–H2L’expression deschamps−→
E(M,t)et−→ B(M,t)enfonction despotentielsV(M,t)et−→ A(M,t)
n’estpasmodifi´ ee parl’introduction delamassedu photon.
18 —R´ e´ ecrireles´ equationsdeMaxwell danslevidesousl’hypoth` eseH1.Montrerquel’hy-
poth` eseH2n’estpasencontradiction avec ces´
equations.En´ ecrivant lesnouvelles´ equationsde
propagation,montrerquel’on peutfixerdesconditionsditesdejaugepourlesquelles
−→
A=
σ
1
−→
Fetf=
σ
2V
o` ul’on d´ eterminera
σ
1et
σ
2enfonction de
δ et µ
0ou
ε
0.Onconservera cesconditionsdanslasuite
du probl` eme.
19 —D´ emontrerque
∂ V
∂ t=
χ div(−→ A).
o` ul’on d´ eterminera
χ enfonction dec.Onsupposeraque cetterelation est toujoursvalabledanstout
lerestedu probl` eme.
20 —D´ eterminerlesdeux ´ equationsdeMaxwell v´ erifi´ eesparle champ−→ Ψ(M,t).En d´ eduireque
−→
Ψ(M,t),V(M,t)et−→
A(M,t)sontaussisolutionsdel’´ equation deKlein-Gordon.
Unesource ´ emetuneondeplaneprogressivesepropageant lelong del’axeOz.Elle estd´ ecrite
parlepotentielvecteurcomplexe~ A(M,t)=~
A0ej(
ω t−kz)et lepotentielscalaire complexeV(M,t)=
V0ej(
ω t−kz).On d´
ecompose~ A0=~ A|| +~ A⊥o` u~ A|| est laprojection de~ A0surl’axedepropagation et~ A⊥
est laprojection de~ A0dansleplan perpendiculaire` al’axedepropagation.Levecteurd’ondes’´ ecrit
~
k=kb ez.
21 —Montrerquelarelation dedispersion associ´ ee ` alapropagation de cetteondes’´ ecrit sousla
formek2c2=
ω
2−
ω
2
po`
u
ω
pestunepulsation de coupurequel’on d´
eterminera.
22 —D´ eterminerl’expression desvecteurs~ E0et~
B0telsque~ E=~
E0ej(
ω t−kz)et~
B=~
B0ej(
ω t−kz).
Onexprimera~ B0enfonction~
k,~ A|| et/ou ~ A⊥puis~ E0enfonction enfonction de
ω , ω
p,~
A|| et/ou ~ A⊥.
Qu’en d´ eduiredelanaturetransversedu champ´ electromagn´ etiquesi lamassedu photon estnon
nulle ?
23 —Etudierenfonction delaposition de ω par rapport` a ω
p,l’existence d’uneondeprogressive.
Calculerdansce caslavitessedephase eten d´ eduirel’´ evolution d’un paquetd’onde.
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